2023年江苏省无锡市宜兴市中考一模数学试题-

这是一份2023年江苏省无锡市宜兴市中考一模数学试题-，共34页。试卷主要包含了3的平方根是，下列运算正确的是，下列事件中，属于确定事件的是，下列命题中等内容，欢迎下载使用。

2023年江苏省无锡市宜兴市中考一模数学试题
1．3的平方根是（    ）
A．± B．±3 C．3 D．
2．下列运算正确的是（　　）
A．a3+a4＝a7 B．a3•a4＝a12
C．（a3）4＝a7 D．（﹣2a3）4＝16a12
3．下列事件中，属于确定事件的是（    ）
①抛出的篮球会下落；            ②从装有黑球、白球的袋中摸出红球；
③14人中至少有2人是同月出生；    ④买一张彩票，中1000万大奖．
A．①② B．①③ C．②④ D．①②③
4．如果圆锥的母线长为5，底面半径为2，那么这个圆锥的侧面积为（  ）
A． B． C． D．
5．下列命题中：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（4）对角线相等且互相垂直的四边形是正方形，正确的命题个数为（      ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．正比例函数的图象在第二、四象限，则一次函数的图象大致是（  ）
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴正半轴上，点，连接AP交y轴于点B．若．则的值是（    ）

A． B． C． D．
8．如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点A落在上的点N处，为折痕，连接；再将沿翻折，使点D恰好落在上的点F处，为折痕，连接并延长交于点P，若，，则线段的长等于（    ）

A． B． C． D．
9．如图，矩形ABCD中，点A在双曲线上，点B，C在x轴上，延长CD至点E，使，连接BE交y轴于点F，连接CF，则的面积为（    ）

A．2 B．3 C． D．4
10．如图，是的直径，点C在上，，垂足为D，，点E是上的动点（不与C重合），点F为的中点，若在E运动过程中的最大值为4，则的值为（    ）

A． B． C． D．
11．分解因式：－x=__________．
12．方程的解是______．
13．命题“对顶角相等”的逆命题是______．
14．请写出一个函数的表达式，使其图象是以直线为对称轴，开口向上的抛物线：______．
15．小明在跳绳考核中，前4次跳绳成绩（次数/分钟）记录为：140，138，140，137，若要使5次跳绳成绩的平均数与众数相同，则小明第5次跳绳成绩是______．
16．如图，在矩形中，，，E点为边延长线一点，且．连接交边于点，过点作于点，则_________．

17．如图，正方形的边长为2，点E是边上的动点，连接、，将绕点E顺时针旋转得到，将绕点E逆时针旋转得到，连接，则线段的取值范围为______．

18．如图，二次函数的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，则______；M是二次函数在第四象限内图像上一点，连接、，当的面积最大时，点M的坐标为______．

19．（1）计算：            
（2）化简：
20．（1）解不等式组
（2）已知，，请比较M和N的大小．
21．如图，在中，E是边上一点，连接、、，与交于点O，，求证：

(1)．
(2)
22．某教育部门为了解本地区中小学生参加家庭劳动时间的情况，随机抽取该地区1200名中小学生进行问卷调查，并将调查问卷（部分）和结果描述如下：
        
中小学生每周参加家庭劳动时间x（h）分为5组：第一组（0≤x<0.5），第二组（0.5≤x<1），第三组（1≤x<1.5），第四组（1.5≤x<2），第五组（x≥2）．根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次调查中，中小学生每周参加家庭劳动时间的中位数落在哪一组？
(2)在本次被调查的中小学生中，选择“不喜欢”的人数为多少？
(3)该教育部门倡议本地区中小学生每周参加家庭劳动时间不少于2h，请结合上述统计图，对该地区中小学生每周参加家庭劳动时间的情况作出评价，并提出两条合理化建议．
23．将分别标有数字1，2，4，5的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．
(1)随机地抽取一张，则抽到卡片上所标数字为质数的概率是______．
(2)随机地抽取一张，卡片上所标数字作为十位上的数字（不放回），再抽取一张，卡片上所标数字作为个位上的数字，请利用列表或画树状图的方法，求这个两位数能被3整除的概率是多少？
24．如图，内接于，AB是直径，的平分线交于点D，交于点E，连接，作，交的延长线于点F

(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求的半径和的长．
25．某新华书店决定用不多于28000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售，已知甲种图书进价是乙种图书每本进价的1.4倍，若用1680元购进甲种图书的数量比用1400元购进的乙种图书的数量少10本，
(1)甲乙两种图书的进价分别为每本多少元？
(2)新华书店决定甲种图书售价为每本40元，乙种图书售价每本30元，问书店应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？（购进两种图书全部销售完）
26．（1）如图，已知A是直线外一点．用直尺和圆规作，使过A点，与直线相切于Q，且．（请保留作图痕迹，不写做法）
（2）在（1）的条件下，若，则的半径长为______，的内接的面积最大值为______．

27．如图，矩形ABCD中，，．点P在AD上运动（点P不与点A、D重合）将沿直线翻折，使得点A落在矩形内的点M处（包括矩形边界）．
                
(1)求AP的取值范围；
(2)连接DM并延长交矩形ABCD的AB边于点G，当时，求AP的长．
28．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点，，与y轴交于点C，连接、．
        
(1)求二次函数的函数表达式；
(2)设二次函数的图像的顶点为D，求直线的函数表达式以及的值；
(3)若点M在线段上（不与A、B重合），点N在线段上（不与B、C重合），是否存在与相似，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．

参考答案：
1．A
【分析】根据平方根的定义计算即可得到答案；
【详解】解：根据平方根的定义可知：
∵
∴
∴3的平方根是，
故选A；
【点睛】本题考查了平方根，掌握并熟练使用相关知识，同时注意解题时需注意的事项是本题的解题关键．
2．D
【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方的法则计算即可．
【详解】解：A、a3与a4不是同类项不能合并，故错误，不符合题意；
B、a3•a4=a7，故错误，不符合题意；
C、（a3）4=a12，故错误，不符合题意；
D、（-2a3）4=16a12，故正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方，熟记法则是解题的关键．
3．D
【分析】根据确定事件的定义，必然事件和不可能事件统称为确定事件，对事件进行判断即可．
【详解】①抛出的篮球会下落，此事件是必然事件，故此项正确；
②装有黑球、白球的袋中没有红球，所以不可能摸出红球，此事件是不可能事件，故此项正确；
③一年有12个月，14人中肯定至少有2人是同月出生，此事件是是必然事件，故此项正确；
④买一张彩票，中1000万大奖，有可能发生也有可能不发生，此事件是不确定事件，故此项错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了确定事件的定义，理解确定事件和不确定事件是解题的关键．
4．B
【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，据此求解即可．
【详解】解：底面圆的半径为2，则底面周长=4π，
圆锥的侧面积=×4π×5=10π．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
5．C
【分析】根据平行形四边形、矩形、菱形、正方形的判定分别得出各选项是否正确即可．
【详解】解：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形，根据平行四边形的判定得出，表述正确，符合题意；
（2）对角线相等的平行四边形是矩形；根据矩形的判定得出，表述正确，符合题意；
（3）一组邻边相等的平行四边形是菱形；根据菱形的判定得出，表述正确，符合题意；
（4）对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形；原表述错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定理．
6．A
【分析】根据正比例函数图象所经过的象限判定，由此可以推知一次函数的图象的大致情况．
【详解】∵正比例函数的图象在第二、四象限，
∴，
∴一次函数的图象与y轴交于正半轴，且经过第一、三象限．
观察选项，只有A选项正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，牢记“k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限”是解题的关键．
7．C
【分析】过点作轴于点，则，可得，由得出,，根据勾股定理求得，根据正弦的定义即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作轴于点，

∴
∴
∴，
∵点
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，求正切，熟练掌握以上知识是解题的关键．
8．B
【分析】过点P作，，垂足为点G、H，由折叠的性质可得，四边形是正方形，利用勾股定理求得，再证明可得，设，则，，根据矩形的性质可得，又因为，即可求出，从而求得，最后利用勾股定理即可求出结果．
【详解】解：过点P作，，垂足为点G、H，
由折叠的性质可知，四边形是正方形，，
，，，
，
在中，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，即，
设，则，，
，，
，，
∴四边形是矩形，，
，，
，
，
，
，
，
故选：B．

【点睛】本题考查折叠的性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，正方形的性质及勾股定理，作辅助线构造是解题的关键．
9．B
【分析】设交轴于点，交于点，设，，利用平行线分线段成比例推出和长度，从而求出长度，即可求出的面积.
【详解】解：设交轴于点，交于点，设，则.

在双曲线上，
.
.
四边形为矩形，
.
.
，
.
，
，
，
，
.
.
故答案选：B.
【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义、矩形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键在于学会利用参数解决问题，综合性比较强.
10．A
【分析】先判断出点，，，四点共圆，判断出的最大值为，再求出，然后根据勾股定理即可求出答案．
【详解】解：如图，

连接，，
点是的中点，
，
，
，
，
，
点，，，在以为直径的圆上，
，
∵，
在中，，，
根据勾股定理得，
故选A．
【点睛】此题主要考查了垂径定理，四点共圆，勾股定理，作出辅助线判断出点，，，四点共圆是解本题的关键．
11．x（x+1）（x－1）
【详解】解：原式

12．
【分析】利用公式法解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
13．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
【分析】交换原命题中的题设和结论的位置即可．
【详解】解：命题“对顶角相等”的逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，
故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．
【点睛】本题考查了逆命题的定义，熟知交换原命题中的题设和结论的位置即为原命题的逆命题是解本题的关键．
14．
【分析】已知对称轴，根据顶点坐标，开口方向，可写出满足条件的二次函数解析式．
【详解】解：根据题意，得二次函数的顶点坐标为，
根据顶点式，得，
设，，
则函数的表达式为（本题答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次函数的性质与解析式的关系，正确写抛物线的顶点坐标是解题的关键．
15．145
【分析】设第5次跳绳成绩为x次/分钟，由题意易知众数为140，然后根据平均数及众数可进行求解．
【详解】解：设第5次跳绳成绩为x次/分钟，由前4次跳绳成绩可知众数为140，
∴，
解得：；
故答案为145．
【点睛】本题主要考查平均数与众数，熟练掌握平均数与众数是解题的关键．
16．
【分析】根据矩形可得 ，，，根据，可得，，，结合可得，即可得到，得到，结合，，，即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴ ，，，
∵，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查三角形相似的判定与性质，勾股定理及矩形性质，解题的关键是的得到．
17．
【分析】连接并延长，过作，交的延长线于，根据正方形的性质，可证出，从而可证是的平分线，同理可证：是的平分线，可得出、的运动轨迹便可求解．
【详解】
解：如图，连接并延长，过作，交的延长线于，
四边形是正方形，
，，
，


在和中


，


即：


是的平分线
同理可证：是的平分线
在上运动，在上运动
当点与点重合时，则点与点重合；或当点与点重合时，则点与点重合；
此时最长，



当在的中点时，，此时、分别是、的中点，
此时最小


故答案：．
【点睛】本题考查了以正方形为背景的旋转问题，三角形的全等的判定及性质、勾股定理、正方形的性质等，找出动点的运动轨迹是解题的关键．
18．     90    
【分析】①根据题意求出，，，从而可得，，，根据勾股定理的逆定理即可求出结果；
②过点M作轴，交于点H，求出直线的解析式为，设点M的坐标为，则，可得，根据，且函数开口向下，即可求出结果．
【详解】解：①∵二次函数的图像与x轴交于A、B两点，
∴时，，
解得：，，
∴点A的坐标为：；点B的坐标为：，
，，
，
∵二次函数的图像与y轴交于点C，
∴时，，
∴点C的坐标为：，
，
，
在和中,
，，
在中， ，即，
∴是直角三角形，
；
②过点M作轴，交于点H，
设直线的解析式为，
∵点B在直线上，
∴把代入得，，
解得：，
∴直线的解析式为，
设点M的坐标为，则，
，
，
∵，且函数开口向下，
∴当时，的面积最大，此时点M的坐标为，
故答案为：90；．

【点睛】本题考查了二次函数的综合应用、勾股定理，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
19．（1）；（2）
【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数值，二次根式的性质，以及零指数幂运算法则即可求出值；
（2）运用同分母分式的加减法则进行计算即可．
【详解】解：原式

原式


【点睛】此题考查了实数的混合运算及分式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（1）；（2）
【分析】（1）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解．
（2）先作差，将结果利用配方法分解，再比较大小．
【详解】解：（1）由得：
由得：
∴不等式组的解集为；
（2）


∴
【点睛】此题考查了解一元一次不等式组以及配方法的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．(1)见解析
(2)见解析

【分析】(1)利用平行四边形的性质，证明即可．
(2)根据全等三角形的性质，证明即可．
【详解】（1）中，，，
∴
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）由（1）得，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
22．(1)第二组
(2)175人
(3)见解析

【分析】（1）由中位数的定义即可得出结论；
（2）用1200乘“不喜欢”所占百分比即可；
（3）答案不唯一，合理均可．
【详解】（1）解：由统计图可知，抽取的这1200名学生每周参加家庭劳动时间的中位数为第600个和第601个数据的平均数，
308+295=603，故中位数落在第二组；
（2）解：（人，
答：在本次被调查的中小学生中，选择“不喜欢”的人数为175人；
（3）解：由统计图可知，该地区中小学生每周参加家庭劳动时间大多数都小于h，建议学校多开展劳动教育，养成劳动的好习惯．（答案不唯一）．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的知识，读懂频数分布直方图和利用统计图获取信息是解题的关键．
23．(1)
(2)

【分析】（1）先求出这组数中质数的个数，再利用概率公式解答即可；
（2）首先根据题意可直接列出所有可能出现的结果，再算出这个两位数能被3整除的概率.
【详解】（1）解：数字1，2，4，5中，2，5是质数，
则随机抽取1张，抽到卡片数字是奇数的概率为；
故答案为：；
（2）解：列表如下：

1
2
4
5
1

12
14
15
2
21

24
25
4
41
42

45
5
51
52
54


出现的等可能性结果有12种，两位数能被3整除的有，12，15，21，24，42，45，51，54共有8种，
∴P（两位数能被3整除）．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，熟记概率公式是解决本题的关键．
24．(1)相切，理由见解析
(2)的半径为3.5，

【分析】（1）如图：连接OE，OC，根据角平分线的定义可得，即，则；再根据等腰三角形三线合一的性质可得，然后根据平行线的性质可得，再由是的半径即可证明结论；
（2）设的半径为x，则，，再在中运用勾股定理求得x，即可求得半径；由AB是的直径可得、结合可得，进而说明，再结合可得，运用相似三角形的性质列式可求得；在中运用勾股定理可得，即；最后运用平行线等分线段定理即可解答．
【详解】（1）证明：如图：连接OE，OC
∵平分，
∴
∴，
∴
∵
∴
∵，
∴
∵是的半径
∴是的切线．

（2）解：设的半径为x，则，，
在中，由勾股定理可得，
∴，解得：，
∴的半径为3.5
∵AB是的直径，
∴，
∵
∴
∵
∴
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，即，解得，
∴
∵，
∴，即，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的证明、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，综合运用相关知识成为解答本题的关键．
25．(1)甲种图书进价每本28元，乙种图书进价每本20元；
(2)甲种图书进货本，乙种图书进货本时利润最大，最大利润13000元．

【分析】（1）设乙种图书进价每本元，则甲种图书进价为每本元，由题意：用1680元购进甲种图书数量比用1400元购进的乙种图书的数量少10本．列出分式方程，解方程即可；
（2）设书店甲种图书进货本，总利润元，由题意：甲种图书售价为每本40元，乙种图书售价每本30元，求出，再由新华书店决定用不多于28000元购进两种图书共1200本进行销售，列出的一元一次不等式，解得，再由一次函数的性质求出最大利润即可．
【详解】（1）解：设乙种图书进价每本x元，则甲种图书进价为每本元
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
甲种图书进价为每本元．
答：甲种图书进价每本28元，乙种图书进价每本20元；
（2）设甲种图书进货a本，总利润元，
由题意得：，

解得：，
∵，
随a的增大而增大，
∴当a最大时w最大，
∴当本时，w最大（元），
此时，乙种图书进货本数为（本）．
答：甲种图书进货本，乙种图书进货本时利润最大，最大利润13000元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用；解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
26．（1）见解析；（2），
【分析】（1）过点A作的垂线，垂足为P．在上截取．过点Q作的垂线，与过点P且垂直于的直线的交点为圆心O，以O为圆心，为半径，作，即可；
（2）设交于点C，由（1）得：垂直平分，可得是等腰直角三角形，可求出的长；根据题意得：当的边上的高最大时，的面积最大，
设线段的延长线交于点T，此时最大，则，可得到的长，再由三角形的面积公式解答，即可求解．
【详解】解：（1）过点A作的垂线，垂足为P．在上截取．过点Q作的垂线，与过点P且垂直于的直线的交点为圆心O，以O为圆心，为半径，作．

理由：根据作法得：，，，，
∴是等腰直角三角形，
∴垂直平分，，
∴，
∵，
∴过A点，与直线相切于Q；
（2）设交于点C，
由（1）得：垂直平分，
∴，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
即的半径长为；
根据题意得：当的边上的高最大时，的面积最大，
设线段的延长线交于点T，此时最大，则，
∴，
∴．
故答案为：，
【点睛】本题主要考查了尺规作图——作圆，切线的判定，垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
27．(1)
(2)

【分析】（1）根据点P在AD上运动可判断出，点M落在CD上时，AP的长度达到最大．利用翻折的性质和勾股定理求出和长度，再利用，即可推断出最大长度，从而求出取值范围．
（2）利用已知条件和翻折性质推出，从而证明，得出，再根据翻折性质、矩形性质和等腰三角形性质推出，．在中，，即可求出长度．
【详解】（1）解：当M落在CD上时，AP的长度达到最大，如图所示，

四边形ABCD是矩形，
，，，
沿直线翻折，
，，
，．
．
，
．
，
．
．
．
．
．
AP的取值范围是．
故答案为：．
（2）解：如图，

由折叠性质得：，
，
，
，
，
，
．
设，过M作于H，连接，
由折叠性质得：，，
．
，
．
．
，
．
，
MN为的中位线，则，
在中，，
，
．
．
．
（舍去）．
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是矩形的综合题，涉及到的知识点有翻折性质、三角形相似、中位线定理和勾股定理．解题的关键在于是否能判断出M落在CD上时，AP的长度达到最大．解题的难点在于是否能正确画出图形，解题的易错点在于是否能排除的其中一个值．
28．(1)；
(2)，；
(3)存在，，，．

【分析】（1）利用待定系数法，分别将、两点坐标代入二次函数表达式，列方程组求解即可；
（2）利用配方法将二次函数一般式化简成顶点式，即可得顶点坐标；连接交轴于点，过点作于点，利用面积法列方程可求的长，在直角三角形中，利用锐角三角函数求的值即可；
（3）利用相似三角形的性质可得：是直角三角形，且两条直角边之比为，可分三种情况，即分别假设三个角为直角，进行求解即可．
【详解】（1）解：将、代入
，得
二次函数表达式为；
（2）由题意得，



二次函数的顶点式为，
二次函数的图像的顶点的坐标为．
设直线解析式为：，
将、代入得：
，
解得：，
的解析式为：，
设直线与y轴交于E，过点C作点P，

当时，，
点的坐标为，即，
点是二次函数与轴的交点，
当时，，，即，
，
在中，，


解得：，
在中，，
．
（3）存在
与相似，
是直角三角形，且，，
是直角三角形，且两直角边之比为1:2；
分情况讨论如下：
①当时：
．时，

设，，，
则
即

解得：
在中，，
即，
解方程得：，（舍），

过点作轴交轴于点



即
解得：，，

点的坐标为；
．当时，
同理可得：，，
在中，，
即，
解方程得：，（此时点与点重合，不合题意，故舍去），

过点作轴交轴于点



即
解得：，

点的坐标为；
②当时：
过点作轴、轴于点、，

由题意可得：

设，则，

，即，


，解得
即，

，即，
解得：
点的坐标为
③当时：
由题意得：
，即
得，点的坐标为
此时点在线段之外，
故此种情况不满足题意，舍去
点N的坐标为：，，．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了用待定系数法求二次函数、一次函数解析式，锐角三角函数以及相似三角形的存在性问题，要注意分类讨论，避免遗漏．