2024届上海市金山区高三一模数学试卷及答案

这是一份2024届上海市金山区高三一模数学试卷及答案，共11页。

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．已知集合，，则 ．
2．在复平面内，若复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数= ．
3．不等式的解集是 ．
4．双曲线的离心率是 ．
5．已知角α、β的终边关于原点对称，则 ．
6．第6题 图
已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则图中m的值为 ．
7．已知某圆台上底面和下底面的半径分别为和，母线长为，则该圆台的高为 ．
8．从1，2，3，4，5这五个数中随机抽取两个不同的数，则所抽到的两个数的和大于6的概率为__________（结果用数值表示）．
9．已知函数()在区间上是严格增函数，且其图像关于点对称，则的值为 ．
10．若，则 ．
11．若函数()的图像关于直线对称，且该函数有且仅有7个零点，则的值为 ．
12．已知平面向量、、满足，，且，则的取值范围是 ．
二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．已知a、b、c是实数，则“”是“”的（ ）．
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件
14．已知事件和相互独立，且，，则（ ）．
（A） （B） （C） （D）
15．如图，在正方体中，、为正方体内（含边界）不重合的两个动点，下列结论错误的是（ ）．
（A）若，，则
（B）若，，则平面平面
第15题 图
（C）若，，则∥平面
（D）若，，则∥
16．设集合，、均为的非空子集（允许）．中的最大元素与中的最小元素分别记为，则满足的有序集合对的个数为（ ）．
三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．（本题满分14分）本题共有2个小题, 第1小题满分6分，第2小题满分8分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为的中点，为与的交点．
（1）证明：∥平面；
（2）求三棱锥的体积．
第17题 图
18．（本题满分14分）本题共有2个小题, 第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知数列满足，且．
（1）求的值；
（2）若数列为严格增数列，其中是常数，求的取值范围．
19．（本题满分14分）本题共有2个小题, 第1小题满分6分，第2小题满分8分．
网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务．小金正在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图．

图1 图2
第19题 图
（1）为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角α不能超过，且底面至少有两个顶点与地面接触．外包装看作长方体，如图1所示，记长方体的纵截面为矩形，，，而客户家门高度为米，其他过道高度足够．若以倾斜角的方式进客户家门，小金能否将冰箱运送入客户家中？计算并说明理由．
（2）由于客户选择以旧换新服务，小金需要将客户长方体形状的旧冰箱进行回收．为了省力，小金选择将冰箱水平推运(冰箱背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于冰箱背面）．推运过程中遇到一处直角过道，如图2所示，过道宽为米．记此冰箱水平截面为矩形，．设，当冰箱被卡住时(即点、分别在射线PR、PQ上，点在线段上），尝试用表示冰箱高度的长，并求出的最小值，最后请帮助小金得出结论：按此种方式推运的旧冰箱，其高度的最大值是多少？（结果精确到）
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知三条直线（）分别与抛物线交于点、，为轴上一定点，且，记点到直线的距离为，△的面积为．
（1）若直线的倾斜角为，且过抛物线的焦点，求直线的方程；
（2）若，且，证明：直线过定点；
（3）当时，是否存在点，使得，，成等比数列，，，也成等比数列？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
设函数的定义域为，给定区间，若存在，使得，则称函数为区间上的“均值函数”，为函数的“均值点”．
（1）试判断函数是否为区间上的“均值函数”，如果是，请求出其“均值点”；如果不是，请说明理由；
（2）已知函数是区间上的“均值函数”，求实数的取值范围；
（3）若函数（常数）是区间上的“均值函数”，且为其“均值点”．将区间任意划分成（）份，设分点的横坐标从小到大依次为，记，，．再将区间等分成（）份，设等分点的横坐标从小到大依次为，记．求使得的最小整数的值．
评分标准
填空题：
1．； 2. ； 3. ；
4．； 5. ； 6. 3；
7．； 8. ； 9. 或；
10．8； 11. 32； 12..
选择题：
13. B； 14. A； 15. D； 16. B.
三、解答题
17．(1)证明：四边形为正方形，为与的交点，
是的中点，
又是的中点，， ……………………2分
又平面平面，
//平面． ……………………6分
(2)解：平面是的中点，
到平面的距离， ……………………10分
四边形是正方形，，
三棱锥的体积． ……………………14分
18．解：(1) 由，得，故，即.……3分
又，故数列是以为首项，为公比的等比数列.
从而，.所以. ……………………6分
(2) 设数列满足，
因为数列为严格增数列，
故对正整数恒成立， ……………………10分
即对正整数恒成立，
当时，取到最小值.所以. ……………………14分
19．解：(1) 当倾斜角时，冰箱倾斜后实际高度(即冰箱最高点到地面的距离， ……………………4分
故冰箱能够按要求运送入客户家中． ……………………6分
(2) 延长与直角走廊的边相交于、，
则，，，
又，设，，
则
，． ……………………10分
求得驻点，作表格得
所以最小值． ……………………13分
由实际意义需向下取整，此情况下能顺利通过过道的冰箱高度的最大值为米．……14分
20. 解：(1) 焦点，斜率， ……………………2分
故直线的方程为． ……………………4分
(2) 联立消去，整理，得．
设、，则， .
由，即，得， ……………………6分
即，直线，
故直线过定点. ……………………10分
(3) 当时，．
设，则.
由，
得，即． ① …………12分
联立消去，整理，得.
由，得．
于是，．
由，，且，
得，从而，
即，化简，得． ② …14分
①②相减，整理，得．
而，即，
故，即． ……………………17分
又当时，比如取，，满足题意，
故存在点满足题意． …………………18分
21.解：(1) 由，得或(舍). ……………………2分
故为区间上的“均值函数”，且为其“均值点”. ………………4分
（A）
（B）
（C）
（D）
-
0
+
严格减
极小值
严格增
(2) 设为该函数的“均值点”，则，且
，
即关于的方程在区间上有解. ………………6分
整理，得，
①当时，，方程无解.
②当时，.
令，得，且，
从而在上是严格减函数，
在上是严格减函数，在上严格增函数，
故.
即实数的取值范围是. …………………10分
(3) 由，得.
从而， ……………………11分
.
当时，，即在上单调递减，
故()， ……………………13分
.
……………………15分
又，从而
，
，
所以，. ……………………17分
由，即，，
故使得的最小整数的值为15. ……………………18分