2023年中考数学专项复习课件：抛物线的交点问题

这是一份2023年中考数学专项复习课件：抛物线的交点问题，共22页。PPT课件主要包含了例3题解图，提分要点，例5题图，随堂练习，第1题图，答案A，答案②③等内容，欢迎下载使用。
一、抛物线与直线的交点问题
例1　已知直线y＝kx＋2过一、二、三象限，则直线y＝kx＋2与抛物线y＝x2－2x＋3的交点个数为(　　)A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1个或2个
例2　已知抛物线y＝－x2＋4x＋5，若直线y＝a与抛物线只有一个交点，则a的值为____；若直线y＝a与抛物线有两个交点，则a的取值范围为______．
【思维教练】直线y＝a与x轴平行，故直线与抛物线只有一个交点时，该点在抛物线顶点处；从顶点处向下平移直线，直线与抛物线有两个交点．
例3　在平面直角坐标系 xOy中，抛物线y＝ x2－x－4与x轴交于A，B(4，0)两点，与y轴交于点C，过点C作直线l∥x轴，将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象，当直线y＝ x＋d与新图象只有一个公共点 P(x0，y0)，且y0≤8 时，则d的取值范围是____________．
【思维教练】结合题干条件画出翻折后的新图象，找准两个临界点的位置，即过点C和l与右侧抛物线只有一个交点的位置，再结合y0≤8即可求出d的取值范围．
【解析】由y＝ x2－x－4得，抛物线与y轴的交点为C(0，－4).依题意翻折后的图象如解图．令y＝8，则 x2－x－4＝8，解得x1＝－4(舍去)，x2＝6.∴新图象经过点(6，8).当直线y＝ x＋d经过点(6，8)时，可得d＝5.当直线y＝ x＋d经过点C时，可得d＝－4.当直线y＝ x＋d(d＜－4)与函数 y＝ x2－x－4(x＞0)的图象仅有一个公共点时，
也就是方程 x2－x－4＝ x＋d有相等的实数根．整理方程，得 x2－3x－(8＋2d)＝0.由根的判别式得(－3)2＋4(8＋2d)＝8d＋41＝0，解得d＝－ .结合图象可知，d的取值范围为－4＜d≤5或d＜－ .
抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与直线y＝mx＋n(m≠0)的交点问题取决于一元二次方程mx＋n＝ax2＋bx＋c(m≠0，a≠0)的根的情况．(1)当抛物线与直线有两个公共点时，Δ＞0，且这两个公共点的横坐标是一元二次方程的两个根；(2)当抛物线与直线只有一个公共点时，Δ＝0，且这个公共点的横坐标是一元二次方程的唯一根；(3)当抛物线与直线没有交点时，Δ＜0，一元二次方程无实数根．
二、抛物线与线段的交点问题
例4　在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，4)，点B的坐标为(6，4)，抛物线y＝x2－5x＋a－2的顶点为C.若抛物线与线段AB恰有一个公共点，则a的取值范围为________．
【思维教练】若抛物线与线段AB恰有一个公共点，可对顶点C进行分类讨论，分以下两种情况(自主完成作图)：
【解析】当顶点C在线段AB下方时，由题意可得，解得0≤a＜6；当顶点C在AB上时，当x＝ 时，y＝4，∴ － ＋a－2＝4，∴a＝ ，综上所述，当0≤a＜6或a＝ 时，抛物线与线段AB恰有一个公共点．
例5　如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(3，3)，B(3，5)，若抛物线y＝(x－b)2＋b(b≥0)与线段AB有公共点，结合函数图象，则b的取值范围为____________________．
【思维教练】将A，B两点分别代入抛物线解析式求出b的值，判断抛物线经过点A，B时，图象的运动变化情况，即可求出b的取值范围．
1≤b≤2或3≤b≤4
当抛物线的二次项系数a确定时，求抛物线与线段的公共点：(1)顶点在对称轴上上下平移时，求交点时计算三个临界值，即抛物线过线段两端点以及抛物线顶点在线段上；(2)抛物线的顶点在水平直线上左右移动时，求交点时计算两个临界值，即抛物线过线段两端点；
(3)顶点在直线y＝kx＋b(k≠0)上移动或在一条抛物线上移动时，求交点时计算三个临界值，即抛物线过线段两端点以及顶点在线段上；(4)画出抛物线的大致图象，并分析图象的运动变化情况以及过临界点时与线段的交点，求出字母的取值范围．
1. 如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3).若抛物线y＝ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是(　　) A. ≤a≤3 B. ≤a≤1 C. ≤a≤3 D. ≤a≤1
2. 已知二次函数y＝x2－2ax＋a2－2a－4(a为常数)的图象与x轴有交点，且当x＞3时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是(　　)A. a≥－2 B. a＜3C. －2≤a＜3 D. －2≤a≤3
3. 直线l过点(0，4)且与y轴垂直，若二次函数y＝(x－a)2＋(x－2a)2＋(x－3a)2－2a2＋a(其中x是自变量)的图象与直线l有两个不同的交点，且其对称轴在y轴右侧，则a的取值范围是(　　)A. a>4 B. a>0C. 0