2023年中考数学一轮复习课件：等腰三角形与直角三角形

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等腰三角形与直角三角形
考点1 等腰三角形的性质与判定
考点2 直角三角形的性质与判定
1. 如图，在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则CD＝(　　) A. B. C. a－b D. b－a
2. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AEDF的周长是(　　)A. 5 B．10C. 15 D. 20
3. 已知△ABC为等边三角形，点E，F分别在边AC，BC上，且AF与BE相交于点D.(1)若AB＝4，则△ABC的面积是________；(2)若AE＝CF，则∠ADE＝________．
4. 等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多 20°，则这个底角的度数是(　　)A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D，E，F分别为AB，AC，AD的中点，若BC＝2，则EF的长度为(　　)A. B. 1 C. D.
【拓展设问】△ACD的面积为________．
6. 如图，已知直角△ABC中，CD是斜边AB上的高， AC＝4，BC＝3，则AD＝________.
例　教材原题　人教八上P83第12题如图，△ABD，△AEC都是等边三角形．求证：BE＝DC.
证明：∵△ABD，△AEC为等边三角形，∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC＝60°，∴∠DAB＋∠BAC＝∠EAC＋∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE，
在△DAC和△BAE中， ∴△DAC≌△BAE(SAS)，∴BE＝DC.
1. 改变图形，将等边三角形变为等腰三角形
如图，△ABC和△CDE都是等腰三角形，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE，AD，BE交于点H，连接HC.(1)求证：△ACD≌△BCE；
证明：(1)∵∠ACB＝∠DCE，∴∠ACB＋∠BCD＝∠DCE＋∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE(SAS)；
(2)求证：HC平分∠AHE.
【思维教练】要证HC平分∠AHE，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，需证线段相等，先根据(1)中三角形全等得到角的相等，作垂线得到90°角的相等关系，从而得证三角形全等，进而得证角平分．
(2)如图，过点C作CM⊥AD于点M，CN⊥BE于点N，
∵△ACD≌△BCE，∴∠CAM＝∠CBN，在△ACM和△BCN中，
∴△ACM≌△BCN(AAS)，∴CM＝CN，∴HC平分∠AHE.
2. 改变图形，将等边三角形共顶角变为共底角，结合结论判断考查如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点A，C，E在同一直线上，AD与BE，BC分别交于点F，M，BE与CD交于点N.下列结论正确的是________(写出所有正确结论的序号).　　　　　　　　　　　　　　　　　　①AM＝BN；　　　　　　　　　②△ABF≌△DNF；③∠FMC＋∠FNC＝180°；　　 ④ .
【思维教练】③要证∠FMC＋∠FNC＝180°，根据已知条件证△ACD≌△BCE，进而证△ACM≌△BCN，
再根据全等三角形性质得∠AMC＝∠BNC，等角代换即可得证；④根据△ACM≌△BCN得到线段相等，根据等边三角形性质得MN∥AE，根据平行线性质得到线段的比例关系，转化线段即可得证．
3. 改变图形，将等边三角形共顶角变为共底角，判断三角形形状如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上，连接BE，AD，点M，N分别是线段BE，AD上的两点，且BM＝ BE，AN＝ AD，则△CMN的形状是(　　)A. 等腰三角形 B. 直角三角形C. 等边三角形 D. 不等边三角形
【思维教练】要判断△CMN的形状，先根据两等边三角形性质得到△BCE≌△ACD，
从而得到一组相等角，根据题目已知边的关系，可证△MCE≌△NCD，从而得到边角关系，即可判断三角形形状．
1. 如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan ∠OBD的值是(　　)　　　　　　　　　　　　　 A. B. 2 C. D.
2. 如图，∠EOF的顶点O是边长为2的等边△ABC的重心，∠EOF的两边与△ABC的边交于E、F，∠EOF＝120°，则∠EOF与△ABC的边所围成阴影部分的面积是(　　) A. B. C. D.
3. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE＝5，DF＝3，则下列结论错误的是(　　)A. BF＝1 B. DC＝3 C. AE＝5 D. AC＝9
4.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，BE平分∠ABC交AC于点E，连接CD交BE于点O.若AC＝8，BC＝6，则OE的长是________.
【解析】如图，以BC所在直线为x轴，AC所在直线为y轴构建平面直角坐标系，过点E作EF⊥AB于点F，
∵BE是∠CBA的平分线，EC⊥BC，∴EC＝EF，∠ECB＝∠EFB＝90°，∴△ECB，△EFB为直角三角形，
∴Rt△ECB≌Rt△EFB(HL)，∴BC＝BF＝6.∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，∴AF＝10－6＝4.设CE＝x，则EF＝x，AE＝8－x，∵AF2＋EF2＝AE2，∴42＋x2＝(8－x)2，∴x＝3，∴EC＝3，∴E(0，3)，B(6，0).设BE所在直线的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，把点E(0，3)，B(6，0)代入， 得 解得
∴y＝－ x＋3.∵D为AB的中点，∴D(3，4).设CD所在直线的解析式为y＝k′x，把D(3，4)代入，得4＋3k′，解得k′＝ ， ∴y＝ x，联立 解得 ∴O( ， )，
5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为________.
【解析】如图，过点F作FH⊥AC于点H.在Rt△ABC中，
∴S△ABC＝ AC·BC＝ ·AB·CD，∴CD＝ ，AD＝ ，∵FH∥EC，∴ ，∵EC＝EB＝2，∴ ，设FH＝2k，AH＝3k，CH＝3－3k，∵tan ∠FCH＝ ， ∴ ，