中考数学全程复习方略 第18讲 等腰三角形、直角三角形 课件

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考点一　等腰(等边)三角形的性质与判定【主干必备】1.等腰三角形
上的中线(或底边上的高或顶角平分
【微点警示】(1)注意等腰三角形边的分类讨论:已知等腰三角形的两条边时,此两边可能是一底边一腰,也可能是两个腰,但要符合三角形的三边关系.
(2)注意等腰三角形角的分类讨论:已知等腰三角形的一个角时,若此角≥90°,则它是顶角;若此角<90°,则它可能是顶角,也可能是底角.
【核心突破】例1(2019·重庆中考A卷)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,连接AD,BE平分∠ABC交AC于点E,过点E作EF∥BC交AB于点F.(1)若∠C=36°,求∠BAD的度数.(2)求证:FB=FE.
【思路点拨】(1)利用等腰三角形的性质求出∠ABC,再利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠ADB=90°,即可解决问题.(2)先证明∠FBE=∠FEB,再利用“等角对等边”解决问题.
【明·技法】等腰三角形中的分类讨论1.已知等腰三角形的两边(a,b),求周长(c)时,分两种情况:(1)若a为腰,b为底时,则周长c=2a+b.(2)若b为腰,a为底时,则周长c=2b+a.
2.已知等腰三角形的周长(c)和一边(a),求另一边时,分两种情况:(1)若已知边(a)为腰:则第三边为c-2a;(2)若已知边(a)为底:则另两边为 (c-a).
【题组过关】1.(2019·驻马店正阳模拟)如图,在△ABC中,AB=AC,若以点B为圆心,BC长为半径作弧,交AC于点E,则下列结论一定正确的是(　 　)A.AE=BE　　　　　B.BE是∠ABC的平分线C.∠BAC=∠EBCD.AE=BC
2.(2019·襄阳模拟)如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,若AB=5,BD=3,则△ADE的周长为(　 　)A.2　　　B.6　　　C.9　　　D.15
3.(易错警示题)(2019·兰州中考)在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,则∠B=_________°. 
4.(2019·武汉江汉区期末)如图,在△ABC中,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,MN经过点O,与AB,AC相交于点M,N,且MN∥BC.若AB=7,AC=6,那么△AMN的周长是_________. 
5.(2019·温州鹿城区模拟)如图,在△ABC中,AB=AC,CD是∠ACB的平分线,DE∥BC,交AC于点E.(1)求证:DE=CE.(2)若∠CDE=35°,求∠A的度数.略
考点二　线段的垂直平分线的性质与判定【主干必备】1.定义:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.2.性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离___________. 
3.判定:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的_________________上. 
【微点警示】(1)用定义判定线段垂直平分线的两个条件:一是垂直,二是平分.(2)用判定方法判定线段垂直平分线的必备:证明有两点在线段的垂直平分线上,才能“根据两点确定一条直线”得到线段的垂直平分线.
【核心突破】例2(2019·长沙中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,分别以点A和点B为圆心,大于 AB的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则∠CAD的度数是(　 　)A.20°　　　B.30°　　　C.45°　　　D.60°
【明·技法】线段垂直平分线的应用特征(1)线段垂直平分线中的两组相等线段.①线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等;②被垂直平分的线段,被分为两条相等线段.
(2)证题时,经常把垂直平分线上的点和线段的端点连接起来,利用垂直平分线上的点和线段两端点的距离相等来证题.
【题组过关】1.(2019·南充中考)如图,在△ABC中,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,若BC=6,AC=5,则△ACE的周长为(　 　)A.8B.11C.16D.17
2.如图,已知线段AB,分别以A,B为圆心,大于 AB为半径作弧,连接弧的交点得到直线l,在直线l上取一点C,使得∠CAB=25°,延长AC至点M,则∠BCM的度数为___________. 
3.(2019·淮安模拟)如图,在△ABC中,边AB,AC的垂直平分线ED,GF分别交AB,AC于点E,G,交BC于点D,F,连接AD,AF,若∠DAF=40°,求∠BAC的度数.略
考点三　直角三角形的性质与判定【主干必备】
【微点警示】(1)一条边等于另一条边的一半且有30°角的三角形:①直角三角形;②一条直角边等于斜边的一半,①②缺一不可.(2)一条边上的中线等于这条边的一半的三角形:这个三角形一定是直角三角形.
【核心突破】例3(1)(2018·淄博中考)如图,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC,若AN=1,则BC的长为(　 　)A.4B.6C.4 D.8
(2)(2018·徐州中考)如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,D为AC的中点,若∠C=55°,则∠ABD=_________°. 
【明·技法】直角三角形性质的四个应用1.在一个题目中,若直角三角形较多,可考虑利用等面积的方法求线段的长度.2.可利用直角三角形两锐角互余,根据同(等)角的余角相等证明两个锐角相等.
3.在直角三角形中,有30°锐角可考虑30°角所对直角边等于斜边的一半.4.在直角三角形中,若有斜边中点,可考虑直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
【题组过关】1.某商场一楼与二楼之间的手扶电梯如图所示.其中AB,CD分别表示一楼、二楼地面的水平线,∠ABC=150°,BC的长是8 m,则乘电梯从点B到点C上升的高度h是(　 　)
A.4 m　　B.8 m　　C. m　　D.4 m
2.如图,△ABC中,AB=AC=13,BC=10,AD平分∠BAC交BC于点D,点E为AC的中点,连接DE,则△CDE的周长为(　 　)A.16.5 B.18C.23D.26
3.(2019·黄石中考)如图,在△ABC中,∠B=50°,CD⊥AB于点D,∠BCD和∠BDC的平分线相交于点E,F为边AC的中点,CD=CF,则∠ACD+∠CED=(　 　)A.125°　　　B.145°　　　C.175°　　　D.190°
考点四　勾股定理及其逆定理【主干必备】1.勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么______________. 2.勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足______________,那么这个三角形是直角三角形. 
【微点警示】(1)勾股定理应用的前提:只能在同一个直角三角形中,才能运用该定理求边长.
(2)勾股定理的几种变式:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则a2=c2-b2=(c+b)(c-b),b2=c2-a2=(c+a)(c-a), .
【核心突破】例4【原型题】(2018·黄冈中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,AD=2,CE=5,则CD=(　 　)A.2 B.3 C.4 D.2
【变形题】(变换结论)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,AD=2,CE=5,则BC=________. 
例5【原型题】(2018·东营中考)如图所示,圆柱的高AB=3,底面直径BC=3,现有一只蚂蚁想从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食,则它爬行的最短距离是(　 　)
【变形题】(变换条件)没有上盖的圆柱盒高为10 cm,底面周长为32 cm,点A距离下底面3 cm.一只位于圆柱盒外表面点A处的蚂蚁想爬到盒内表面对侧中点B处捕食,则它爬行的最短距离是_________ cm. 
例6(2018·杭州中考)折叠矩形纸片ABCD时,发现可以进行如下操作:①把△ADE翻折,点A落在DC边上的点F处,折痕为DE,点E在AB边上;②把纸片展开并铺平;③把△CDG翻折,点C落在线段AE上的点H处,折痕为DG,点G在BC边上,若AB=AD+2,EH=1,则AD=__________. 
【思路点拨】设AD=x,则AB=x+2,利用折叠的性质得DF=AD,EA=EF,∠DFE=∠A=90°,则可判断四边形AEFD为正方形,所以AE=AD=x,再根据折叠的性质得DH=DC=x+2,则AH=AE-HE=x-1,然后根据勾股定理得到x2+(x-1)2=(x+2)2,再解方程求出x即可.
【明·技法】勾股定理常见的应用与技巧1.已知直角三角形的任意两个边长,可直接利用勾股定理求得第三条边长.2.立体图形表面的最短路径问题,可将立体图形展开,构造直角三角形后利用勾股定理求解.
3.折叠问题中求解线段长度问题,常常将某些条件汇集到一个直角三角形中,再根据勾股定理列方程求解.
【题组过关】1.(2019·洛阳洛龙区期中)由线段a,b,c组成的三角形不是直角三角形的是(　 　)A.a2-b2=c2
D.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5
2.(传统数学文化题)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅弦图,后人称其为“赵爽弦图”,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形,如图,若其中AE=5,BE=12,则EF的长是________. 
3.(2019·宿迁中考)如图,∠MAN=60°,若△ABC的顶点B在射线AM上,且AB=2,点C在射线AN上运动,当△ABC是锐角三角形时,BC的取值范围是______________. 
4.(2019·巴中中考)如图,等腰直角三角板如图放置.直角顶点C在直线m上,分别过点A,B作AE⊥直线m于点E,BD⊥直线m于点D.(1)求证:EC=BD.(2)若设△AEC三边分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理.
【解析】(1)∵∠ACB=90°,∴∠ACE+∠BCD=90°.∵∠ACE+∠CAE=90°,∴∠CAE=∠BCD.在△AEC与△CDB中, ∴△CAE≌△BCD(AAS).∴EC=BD.
考点五　命题与定理【主干必备】1.真假命题:如果题设成立,结论_______________的命题叫真命题;如果题设成立,不能保证结论____________的命题叫假命题. 
2.互逆命题:如果两个命题的___________和___________正好相反,我们把这样的两个命题叫做互逆命题,如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的______________. 
3.互逆定理:若一个定理的逆命题是正确的,那么它就是这个定理的逆定理,称这两个定理为___________定理. 
【微点警示】(1)命题与定理的关系:定理隶属于命题,是真命题中的一种.(2)命题与定理的互逆:所有命题都有逆命题,但并不是所有定理都有逆定理,只有原命题正确并且其逆命题也正确的才是互逆定理.
【核心突破】例7(2019·衡阳中考)下列命题是假命题的是(　 　)A.n边形(n≥3)的外角和是360°B.线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等C.相等的角是对顶角D.矩形的对角线互相平分且相等
【明·技法】判断命题真假的方法只有对一件事情作出判断的语句才是命题,其中正确的命题是真命题,错误的命题是假命题.对于命题的真假(正误)判断问题,一般只需根据熟记的定义、公式、性质、判定定理等相关内容直接作出判断即可,有的则需要经过必要的推理与计算才能进一步确定真与假.
【题组过关】1.下列命题是假命题的是(　 　)A.平行四边形既是轴对称图形,又是中心对称图形B.同角(或等角)的余角相等C.角平分线上的点到角两边的距离相等D.正方形的对角线相等,且互相垂直平分
2.(易错警示题)有以下几个命题:①等边三角形的三个内角相等;②等腰三角形的两个底角相等;③若a是有理数,b是无理数,则a+b是无理数;④若a=b,则a2-b2=0.以上命题中有逆定理的个数是(　 　)A.1个B.2个C.3个D.4个