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2022-2023学年北京市西城区中考数学专项突破仿真模拟卷（二模三模）含解析
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2022-2023学年北京市西城区中考数学专项突破仿真模拟卷
（二模）
一、选一选（本大题共12小题，每小题3分，共36分.）
1. 倒数是它本身的数是（ ）
A. 1 B. ﹣1 C. 1或﹣1 D. 0
2. 为了了解我县4000名初中生身高情况，从中抽取了400名学生测量身高，在这个问题中，样本是（ ）
A. 4000 B. 4000名
C. 400名学生身高情况 D. 400名学生
3. 下列因式分解错误的是（ ）
A. 2x（x﹣2）+（2﹣x）=（x﹣2）（2x+1） B. x2+2x+1=（x+1）2
C. x2y﹣xy2=xy（x﹣y） D. x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）
4. 在平面直角坐标系中，点P(－2，＋1)所在的象限是（ ）
A. 象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5. 估计的值在（ ）．
A. 1和2之间
B. 2和3之间
C. 3和4之间
D. 4和5之间
6. 如图，是由若干个相同的小立方体搭成的几何体体俯视图和左视图．则小立方体的个数可能是（ ）
A. 5或6 B. 5或7 C. 4或5或6 D. 5或6或7
7. 下列命题中，假命题的是（ ）
A. 直角三角形斜边上的高等于斜边的一半
B. 圆既是轴对称图形，又是对称图形
C. 一组邻边相等的矩形是正方形
D. 菱形对角线互相垂直平分
8. 如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直（A、D、B在同一条直线上），设∠CAB＝α，那么拉线BC的长度为（ ）
A. B. C. D.
9. 已知点C在线段AB上，且点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论正确的是（ ）
A. AB2=AC•BC B. BC2=AC•BC C. AC=BC D. BC= AB
10. 二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A. ﹣1≤t＜8 B. ﹣1≤t＜3 C. t≥﹣1 D. 3＜t＜8
11. 在平面直角坐标系中，点A（4，﹣2），B（0，2），C（a，﹣a），a为实数，当△ABC的周长最小时，a的值是（ ）
A ﹣1 B. 0 C. 1 D.
12. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②CB平分∠ABD；③∠AOC=∠AEC；④AF=DF；⑤BD=2OF，其中正确的结论有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
二、填 空 题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 计算：________．
14. 若3a2﹣a﹣3=0，则5﹣3a2+a=_____．
15. 如图，已知长方形纸片的一条边一个含30°角的直角三角尺的直角顶点，长方形纸片的一组对边分别与直角三角尺的两边相交，∠2=115°，则∠1的度数是__________．
16. 如图，菱形ABC的对角线相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE=AC，连接CE、OE、AE，AE交OD于点F，若AB=2，∠ABC=60°，则AE的长_____．
17. 如图，正方形ABCD的面积为36cm2，点E在BC上，点G在AB的延长线上，四边形EFGB是正方形，以点B为圆心，BC的长为半径画，连接AF，CF，则图中阴影部分的面积为_____．
18. 如图，将直线y＝x向下平移b个单位长度后得到直线l，l与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点A，与x轴相交于点B，则OA2﹣OB2的值为_____．
三、解 答 题（本大题共8小题，满分66分）
19. （1）计算：（3.14﹣π）0﹣|﹣|+（）﹣1+2tan60°；
（2）解方程组.
20. 如图，在△ABC中，AB＞AC，点D在边AC上．
（1）作∠ADE，使∠ADE＝∠ACB，DE交AB于点E；（尺规作图，保留作图痕迹，没有写作法）
（2）若BC＝5，点D是AC的中点，求DE的长．
21. 如图，在平面直角坐标系中，过点A（2，0）的直线l与y轴交于点B，tan∠OAB=，直线l上的点P位于y轴左侧，且到y轴的距离为1．
（1）求直线l的表达式；
（2）若反比例函数的图象点P，求m的值．
22. 为了了解学生平均每天“诵读经典”的时间，在全校范围内随机抽查了部分学生进行统计，并将统计的结果分为：每天诵读时间t ≤20分钟的学生记为A类，20分钟＜t ≤40分钟的学生记为B类，40分钟＜t ≤60分钟的学生记为C类，t＞60分钟的学生记为D类四种．将收集的数据绘制成如下两幅没有完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次共抽查了 名学生进行统计，m＝ %，n＝ %；
（2）请补全上面条形图；
（3）如果该校共有1200名学生，请你估计该校C类学生约有多少人.
23. 学校新到一批实验器材需要整理，若实验管理员李老师一人单独整理需要40分钟完成，现在李老师与工人王师傅共同整理20分钟后，李老师因事外出，王师傅再单独整理了20分钟才完成任务.
（1）王师傅单独整理这批实验器材需要多少分钟完成；
（2）学校要求王师傅的工作时间没有能超过30分钟，要完成整理这批器材，李老师至少要工作多少分钟？
24. 如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点B，点C是⊙O上一点，连接CB并延长交直线l于点D，使AC=AD．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BD=2，OA=4，求线段BC的长．
25. 如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和B（1，0），与y轴交于点C，直线y=x﹣2A，C两点，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；
（2）在y轴上是否存在一点G，使得GD+GB的值最小？若存在，求出点G的坐标；若没有存在，请说明理由；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAB是以AB为腰的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若没有存在，请说明理由．
26. 如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.
（1）问题发现
① 当时， ；② 当时，
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明.
（3）问题解决
当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD长.
2022-2023学年北京市西城区中考数学专项突破仿真模拟卷
（二模）
一、选一选（本大题共12小题，每小题3分，共36分.）
1. 倒数是它本身的数是（ ）
A. 1 B. ﹣1 C. 1或﹣1 D. 0
【正确答案】C
【分析】根据倒数的定义求解即可．
【详解】倒数是它本身的数是1或﹣1，0没有倒数．
故选：C．
此题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．要求掌握并熟练运用．
2. 为了了解我县4000名初中生的身高情况，从中抽取了400名学生测量身高，在这个问题中，样本是（ ）
A. 4000 B. 4000名
C. 400名学生的身高情况 D. 400名学生
【正确答案】C
【详解】样本是：400名学生身高情况．
故选C．
3. 下列因式分解错误的是（ ）
A. 2x（x﹣2）+（2﹣x）=（x﹣2）（2x+1） B. x2+2x+1=（x+1）2
C. x2y﹣xy2=xy（x﹣y） D. x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）
【正确答案】A
【详解】A、原式=（x﹣2）（2x﹣1），错误；
B、原式=（x+1）2，正确；
C、原式=xy（x﹣y），正确；
D、原式=（x+y）（x﹣y），正确，
故选A．
4. 在平面直角坐标系中，点P(－2，＋1)所在的象限是（ ）
A. 象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【正确答案】B
【详解】解：∵－2<0，＋1>0，
∴点P (－2，＋1)在第二象限，
故选：B．
5. 估计的值在（ ）．
A. 1和2之间
B. 2和3之间
C. 3和4之间
D. 4和5之间
【正确答案】C
【详解】因为3的平方是9,4的平方是16，即=3，=4，
所以估计的值在3和4之间，
故正确的选项是C.
6. 如图，是由若干个相同的小立方体搭成的几何体体俯视图和左视图．则小立方体的个数可能是（ ）
A. 5或6 B. 5或7 C. 4或5或6 D. 5或6或7
【正确答案】D
【详解】试题分析：俯视图和左视图可画出三种立方体组合图形，前一排有3个立方体，后一排左侧有1个立方体，前一排的上面可以摆放1个或2个或3个立方体，所以立方体的个数为5或6或7个，故选D．
考点：物体的三视图．
7. 下列命题中，假命题的是（ ）
A. 直角三角形斜边上的高等于斜边的一半
B. 圆既是轴对称图形，又是对称图形
C. 一组邻边相等的矩形是正方形
D. 菱形对角线互相垂直平分
【正确答案】A
【详解】A. ∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故A是假命题；
B. ∵圆既是轴对称图形，又是对称图形，故B是真命题；
C. ∵一组邻边相等的矩形是正方形，故C是真命题；
D. ∵菱形对角线互相垂直平分，故D是真命题；
故选A．
8. 如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直（A、D、B在同一条直线上），设∠CAB＝α，那么拉线BC的长度为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】根据垂直的定义和同角的余角相等，可由∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，可求得∠CAD=∠BCD，然后在Rt△BCD中 cos∠BCD=，可得BC=.
故选B．
点睛：本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键．
9. 已知点C在线段AB上，且点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论正确的是（ ）
A. AB2=AC•BC B. BC2=AC•BC C. AC=BC D. BC= AB
【正确答案】D
【详解】∵点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，
∴，即AC2=BC•AB，故A、B错误；
∴AC=AB，故C错误；
∴BC==AB，故D正确；
故选D．
本题主要考查黄金分割，黄金分割的定义是：“把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为黄金分割．其比值是，近似值为0.618”.
10. 二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A. ﹣1≤t＜8 B. ﹣1≤t＜3 C. t≥﹣1 D. 3＜t＜8
【正确答案】A
【分析】先求出b，确定二次函数解析式，关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解可以看成二次函数y＝x2﹣2x与直线y＝t的交点，然后求出当﹣1＜x＜4时，-1≤y＜8，进而求解；
【详解】解：∵对称轴为直线x＝1，
∴b＝﹣2，
∴y＝x2﹣4x，
关于x一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解可以看成二次函数y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点，
∵二次函数开口向上，对称轴直线，
∴当时，函数有最小值，
当时，，
当时，，
∴﹣1＜x＜4，二次函数y的取值为-1≤y＜8，
∴-1≤t＜8；
故选A．
本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形的解决问题是解题的关键．
11. 在平面直角坐标系中，点A（4，﹣2），B（0，2），C（a，﹣a），a为实数，当△ABC的周长最小时，a的值是（ ）
A. ﹣1 B. 0 C. 1 D.
【正确答案】C
【详解】作B关于直线y=﹣x的对称点B′，
连接B′A交直线y=﹣x于C，
则△ABC的周长最小，
∵B（0，2），
∴B′（﹣2，0），
设直线AB′的解析式为y=kx+b，
∴，
∴，
∴直线AB′的解析式为y=﹣x﹣，
解得，
∴C（1，﹣1），
∴a=1．
故选C．
12. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②CB平分∠ABD；③∠AOC=∠AEC；④AF=DF；⑤BD=2OF，其中正确的结论有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【正确答案】C
【详解】①∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BD，
故①正确；
②∵OC∥BD，
∴∠OCB=∠DBC，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠OBC=∠DBC，
∴BC平分∠ABD，
故②正确；
③∵∠AOC是⊙O的圆心角，∠AEC是⊙O的圆内部的角，
∴∠AOC≠∠AEC，
故③没有正确；
④∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BD，
∵OC∥BD，
∴∠AFO=90°，
∵点O圆心，
∴AF=DF，
故④正确；
⑤由④有，AF=DF，
∵点O为AB中点，
∴OF是△ABD的中位线，
∴BD=2OF，
故⑤正确；
综上可知：其中一定成立的有①②④⑤，
故选C．
点睛：本题主要考查圆周角定理及圆的有关性质，掌握圆中有关的线段、角的相等是解题的关键，特别注意垂径定理的应用．
二、填 空 题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 计算：________．
【正确答案】4
【分析】根据平方的意义求解．
【详解】解：由平方的意义可得：，
故答案：4．
本题考查平方的意义，正确理解平方的意义是解题关键 ．
14. 若3a2﹣a﹣3=0，则5﹣3a2+a=_____．
【正确答案】2
【详解】∵3a2﹣a﹣3=0，
∴3a2﹣a=3，
则原式=5﹣（3a2﹣a）
=5﹣3
=2，
故答案为2．
15. 如图，已知长方形纸片的一条边一个含30°角的直角三角尺的直角顶点，长方形纸片的一组对边分别与直角三角尺的两边相交，∠2=115°，则∠1的度数是__________．
【正确答案】85°
【详解】如图所示，∵DE∥BC，
∴∠2=∠3=115°，
又∵∠3是△ABC的外角，
∴∠1=∠3﹣∠A=115°﹣30°=85°，
故答案为85°．
16. 如图，菱形ABC的对角线相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE=AC，连接CE、OE、AE，AE交OD于点F，若AB=2，∠ABC=60°，则AE的长_____．
【正确答案】
【详解】在菱形ABCD中，OC=AC，AC⊥BD，
∵DE=AC，
∴DE=OC，
∵DE//AC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形OCED是矩形，
∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AD=AB=AC=2，OA=AC=1，
在矩形OCED中，由勾股定理得：CE=OD===，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE===；
故答案是：．
17. 如图，正方形ABCD的面积为36cm2，点E在BC上，点G在AB的延长线上，四边形EFGB是正方形，以点B为圆心，BC的长为半径画，连接AF，CF，则图中阴影部分的面积为_____．
【正确答案】9πcm2
【详解】设正方形EFGB的边长为a，则CE=6﹣a，AG=6+a，
阴影部分的面积=S扇形ABC+S正方形EFGB+S△CEF﹣S△AGF
=+a2+a（6﹣a）﹣a（6+a）
=9π+a2+3a﹣a2﹣3a﹣a2
=9π．
18. 如图，将直线y＝x向下平移b个单位长度后得到直线l，l与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点A，与x轴相交于点B，则OA2﹣OB2的值为_____．
【正确答案】10．
【详解】解：∵平移后解析式是y=x﹣b，
代入y=得：x﹣b=，
即x2﹣bx=5，
y=x﹣b与x轴交点B的坐标是（b，0），
设A的坐标是（x，y），
∴OA2﹣OB2
=x2+y2﹣b2
=x2+（x﹣b）2﹣b2
=2x2﹣2xb
=2（x2﹣xb）
=2×5=10，
故答案为10．
点睛：本题是反比例函数综合题，用到的知识点有：函数的平移规律，函数与反比例函数的交点坐标，利用了转化及方程的思想，其中利用平移的规律表示出y=x平移后的解析式是解答本题的关键.
三、解 答 题（本大题共8小题，满分66分）
19. （1）计算：（3.14﹣π）0﹣|﹣|+（）﹣1+2tan60°；
（2）解方程组.
【正确答案】（1）3；（2）
【详解】试题分析：（1）项非零数的零次幂等于1，第二项根据二次根式的性质和值得意义化简，第三项负整数指数幂等于这个数正整数指数幂的倒数，第三项根据角的三角函数值计算.
解：（1）原式=1﹣；
（2），
①×3得：3m+6n=30③，
②+③得：11n=33，解得：n=3，
把n=3代入①得：m=4，
所以方程组的解为：．
20. 如图，在△ABC中，AB＞AC，点D在边AC上．
（1）作∠ADE，使∠ADE＝∠ACB，DE交AB于点E；（尺规作图，保留作图痕迹，没有写作法）
（2）若BC＝5，点D是AC的中点，求DE的长．
【正确答案】（1）作图见解析；（2）
【分析】（1）根据作一个角等于已知角的步骤解答即可；
（2）由作法可得DE∥BC，又因为D是AC的中点，可证DE为△ABC的中位线，从而运用三角形中位线的性质求解．
【详解】解：（1）如图，∠ADE为所作；
（2）∵∠ADE=∠ACB，
∴DE∥BC，
∵点D是AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE=BC=．
21. 如图，在平面直角坐标系中，过点A（2，0）的直线l与y轴交于点B，tan∠OAB=，直线l上的点P位于y轴左侧，且到y轴的距离为1．
（1）求直线l的表达式；
（2）若反比例函数的图象点P，求m的值．
【正确答案】（1）；（2）．
【分析】(1)已知A（2，0）an∠OAB==,可求得OB=1，所以B（0，1），设直线l的表达式为，用待定系数法即可求得直线l的表达式；（2）根据直线l上的点P位于y轴左侧，且到y轴的距离为1可得点P的横坐标为－１，代入函数的解析式求得点P的纵坐标，把点P的坐标代入反比例函数中，即可求得m的值．
【详解】解：(1) ∵A（2，0），∴OA=2
∵tan∠OAB==
∴OB=1
∴B（0，1）
设直线l的表达式为，则
∴
∴直线l的表达式为
(2) ∵点P到y轴的距离为1，且点P在y轴左侧，
∴点P的横坐标为－１
又∵点P在直线l上，
∴点P的纵坐标为：
∴点P的坐标是
∵反比例函数的图象点P，
∴
∴
本题考查待定系数法求函数的解析式；函数与反比例函数的交点坐标．
22. 为了了解学生平均每天“诵读经典”的时间，在全校范围内随机抽查了部分学生进行统计，并将统计的结果分为：每天诵读时间t ≤20分钟的学生记为A类，20分钟＜t ≤40分钟的学生记为B类，40分钟＜t ≤60分钟的学生记为C类，t＞60分钟的学生记为D类四种．将收集的数据绘制成如下两幅没有完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次共抽查了 名学生进行统计，m＝ %，n＝ %；
（2）请补全上面的条形图；
（3）如果该校共有1200名学生，请你估计该校C类学生约有多少人.
【正确答案】（1）50，26，14；（2）图见解析；（3）该校C类学生约有240人
【分析】（1）根据B类的人数和百分比即可得到这次共抽查的学生总人数，进而可求出m、n的值；
（2）根据（1）的结果在条形图中补全统计图即可；
（3）用1200乘以C类学生所占的百分比即可C类学生人数.
【详解】解：（1）20÷40%=50（人），
13÷50=26%， ∴m=26%；
∴7÷50=14%， ∴n=14%；
故空中依次填写26，14，50；
（2）C类学生数=50-13-20-7=10
条形图如图
（3）1200×20%=240（人）.
答：该校C类学生约有240人.
23. 学校新到一批实验器材需要整理，若实验管理员李老师一人单独整理需要40分钟完成，现在李老师与工人王师傅共同整理20分钟后，李老师因事外出，王师傅再单独整理了20分钟才完成任务.
（1）王师傅单独整理这批实验器材需要多少分钟完成；
（2）学校要求王师傅的工作时间没有能超过30分钟，要完成整理这批器材，李老师至少要工作多少分钟？
【正确答案】（1）王师傅单独整理这批实验器材需要80分钟．（2）李老师至少要工作25分钟．
【分析】（1）设王师傅单独整理这批实验器材需要x分钟，则王师傅的工作效率为，根据李老师与工人王师傅共同整理20分钟的工作量+王师傅再单独整理了20分钟的工作量=1，可得方程，解出即可；
（2）根据王师傅的工作时间没有能超过30分钟，列出没有等式求解．
【详解】解：（1）设王师傅单独整理这批实验器材需要x分钟，则王师傅的工作效率为，
由题意，得：20（+）+20×=1，
解得：x=80，
经检验得：x=80是原方程的根．
答：王师傅单独整理这批实验器材需要80分钟．
（2）设李老师要工作y分钟，
由题意，得：（1﹣）÷≤30，
解得：y≥25．
答：李老师至少要工作25分钟．
考点：分式方程的应用；一元没有等式的应用．
24. 如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点B，点C是⊙O上一点，连接CB并延长交直线l于点D，使AC=AD．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BD=2，OA=4，求线段BC的长．
【正确答案】（1）见解析；（2）
【详解】试题分析：（1）连接OC，如图，根据等腰三角形的性质，由OB=OC，AC=AD得到∠OBC=∠OCB，∠ACD=∠ADC，再由OA⊥l得∠ADC+∠ABD=90°，加上∠ABD=∠OBC，于是有∠OCB+∠ACD=90°，即∠ACO=90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）如图1，作直径BE，连接CE，设 O半径为r，则AB=OA-OB=4-r，根据勾股定理得AD2=BD2-AB2=12-（4-r）2，AC2=AO2-OC2=16-r2，由于AC=AD，则12-（4-r）2=16-r2，解得r=，再证明Rt△ABD∽Rt△CBE，然后利用相似比可计算出BC．
（1）证明：连接OC，如图，
∵OB=OC，AC=AD
∴∠OBC=∠OCB，∠ACD=∠ADC，
∵OA⊥l，
∴∠ADC+∠ABD=90°，
而∠ABD=∠OBC，
∴∠OCB+∠ACD=90°，
∴∠ACO=90°
∴OC⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：如图1，作直径BE，连接CE，
设⊙O半径为r，则AB=OA﹣OB=4﹣r，
在Rt△ABD中，∵AD2=BD2﹣AB2=12﹣（4﹣r）2，
在Rt△AOC中，∵AC2=AO2﹣OC2=16﹣r2，
而AC=AD，
∴12﹣（4﹣r）2=16﹣r2，解得r=，
∵BE为⊙O直径，
∴∠BCE=90°，
又∵∠ABD=∠EBC，
∴Rt△ABD∽Rt△CBE，
∴，即，
∴BC=．
点睛：本题考查了切线的判定定理:半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.也考查了勾股定理和相似三角形的判定与性质.
25. 如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和B（1，0），与y轴交于点C，直线y=x﹣2A，C两点，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；
（2）在y轴上是否存在一点G，使得GD+GB的值最小？若存在，求出点G的坐标；若没有存在，请说明理由；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAB是以AB为腰的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】（1）y=﹣x2+x﹣2；D；（2）G（0，），（3）P点坐标为或（，﹣）．
【分析】（1）先由直线y=x﹣2与x轴的交点求出A点和C点的坐标，再用待定系数法求出求抛物线解析式即可；
（2）作点B关于y轴的对称点B'，连接BB'，交y轴于点G，则B'（﹣1，0），用待定系数法求出直线B'D的解析式，再求与y轴的交点坐标即可；
（3）分AP=AB和BP=AB=3两种情况求解.
【详解】解：（1）把x=0代入直线y=x﹣2中，y=﹣2，
∴C（0，﹣2），
把y=0代入直线y=x﹣2中，x=4，
∴A（4，0），
把A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）代入抛物线y=ax2+bx+c中得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x﹣2
∴顶点D，
（2）存在，
如图1，作点B关于y轴的对称点B'，连接BB'，交y轴于点G，则B'（﹣1，0），
设直线B'D的解析式为：y=kx+b，
则，解得：，
∴直线B'D的解析式为：
∴G（0，），
∴存在点G（0，），使得GD+GB的值最小；
（3）∵对称轴x=，且A（4，0），B（1，0），
设P（，m），且AB=4﹣1=3，
分两种情况：
①当AP=AB=3时，即AP==3，
解得：m=±，
②当BP=AB=3时，即BP==3，
解得：m=，
综上所述，P点坐标为或
本题考查了待定系数法求函数和二次函数解析式，二次函数图像与性质，轴对称---最短路径，等腰三角形的定义，勾股定理及分类讨论的数学思想，解答本题的关键是熟练掌握待定系数法及二次函数的图像与性质.
26. 如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.
（1）问题发现
① 当时， ；② 当时，
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明.
（3）问题解决
当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长.
【正确答案】（1）①,②.（2）无变化；理由参见解析.（3），.
【分析】（1）①当α=0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少．
②α=180°时，可得AB∥DE，然后根据，求出的值是多少即可．
（2）首先判断出∠ECA=∠DCB，再根据，判断出△ECA∽△DCB，即可求出的值是多少，进而判断出的大小没有变化即可．
（3）根据题意，分两种情况：①点A，D，E所在的直线和BC平行时；②点A，D，E所在的直线和BC相交时；然后分类讨论，求出线段BD的长各是多少即可．
【详解】（1）①当α=0°时，
∵Rt△ABC中，∠B=90°，
∴AC=，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴,BD=8÷2=4，
∴．
②如图1，
，
当α=180°时，
可得AB∥DE，
∵，
∴
（2）如图2，
，
当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，
∵∠ECD=∠ACB，
∴∠ECA=∠DCB，
又∵，
∴△ECA∽△DCB，
∴．
（3）①如图3，
，
∵AC=4，CD=4，CD⊥AD，
∴AD=
∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC=．
②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，
，
∵AC=，CD=4，CD⊥AD，
∴AD=，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE==2，
∴AE=AD-DE=8-2=6，
由（2），可得
，
∴BD=．
综上所述，BD的长为或．
2022-2023学年北京市西城区中考数学专项突破仿真模拟卷
（三模）
一、单项选一选（本题共16个小题，共42分）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
2. 计算正确的是（ ）
A. a3﹣a2=a B. （ab3）2=a2b5 C. （﹣2）0=0 D. 3a2•a﹣1=3a
3. 有以下图形：平行四边形、矩形、等腰三角形、线段、菱形，其中既是轴对称图形又是对称图形的有（ ）
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
4. 在下列式子：①②（x﹣2）0③中，x没有可以取到2是（ ）
A. 只有① B. 只有② C. ①和② D. ①和③
5. 给出三个命题：①点P（b，a）在抛物线y=x2+1上；②点A（1，3）能在抛物线y=ax2+bx+1上；③点B（﹣2，1）能在抛物线y=ax2﹣bx+1上．若①为真命题，则（ ）
A. ②③都是真命题 B. ②③都是假命题
C. ②真命题，③是假命题 D. ②是假命题，③是真命题
6. 没有等式0≤ax+5≤4的整数解是1，2，3，4，则a的取值范围是（ ）
A. B. a≤ C. ≤a＜﹣1 D. a≥
7. 如图2的三幅图分别是从没有同方向看图1所示的工件立体图得到的平面图形，（没有考虑尺寸）其中正确的是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③
8. 已知函数的图象如图所示，则一元二次方程根的存在情况是
A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个没有相等的实数根 D. 无法确定
9. 如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠B=40°，AC边的垂直平分线交BC于点E，连接AE，则∠BAE的度数是( )
A. 45° B. 50° C. 55° D. 60°
10. 若关于x的方程x2﹣x+sina＝0有两个相等的实数根，则锐角a为（ ）
A. 75° B. 60° C. 45° D. 30°
11. 在2016年泉州市初中体育中考中，随意抽取某校5位同学一分钟跳绳的次数分别为：158，160，154，158，170，则由这组数据得到的结论错误的是（ ）
A. 平均数为160 B. 中位数为158 C. 众数为158 D. 方差为20.3
12. 没有等式2x>3-x的解集是（ ）
A. x>3 B. x<3 C. x>1 D. x<1
13. 为响应承办“绿色奥运”的号召，九年级(1)班全体师生义务植树300棵.原计划每小时植树x棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务.则下面所列方程中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
14. 数学课，老师和同学一起去测量校内某处的大树AB的高度，如图，老师测得大树前斜坡DE的坡度i=1：4，一学生站在离斜坡顶端E的水平距离DF为8m处的D点，测得大树顶端A的仰角为α，已知sinα=，BE=1.6m，此学生身高CD=1.6m，则大树高度AB为（ ）m．
A. 7.4 B. 7.2 C. 7 D. 6.8
15. AB是⊙O的直径，弦CD垂直于AB交于点E，∠COB=60°，CD=2，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. π D. 2π
16. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB=OC，下列结论：①b＞1且b≠2；②b2﹣4ac＜4a2；③a＞；其中正确的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填 空 题（本大题共3小题，共8分）
17. |a|=（2017）0，则a=_____．
18. 方程x4﹣2x2﹣400x=9999的解是_____．
19. 在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2017次后，顶点A在整个旋转过程中所的路程之和为________．
三、解 答 题（本大题共7小题，共70分）
20. 已知a1，a2，a3，…，a2015都是正整数，设：M=（a1+a2+a3+…+a2014）（a2+a3+…+a2015），N=（a1+a2+a3+…+a2015）（a2+a3+…+a2014），试着比较M，N大小．
21. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为直径作⊙O，交AB于D，过点O作OE∥AB，交BC于E．
（1）求证：ED为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，ED=4，EO的延长线交⊙O于F，连DF、AF，求△ADF的面积．
22. 某县为了丰富初中学生的大课间，要求各学校开展形式多样的阳光体育某中学就“学生体育兴趣爱好”的问题，随机了本校某班的学生，并根据结果绘制成如下的没有完整的扇形统计图和条形统计图：
在这次中，喜欢篮球项目的同学有多少人？
在扇形统计图中，“乒乓球”的百分比为多少？
如果学校有800名学生，估计全校学生中有多少人喜欢篮球项目？
请将条形统计图补充完整；
在被的学生中，喜欢篮球的有2名女同学，其余为男同学现要从中随机抽取2名同学代表班级参加校篮球队，请运用列表或树状图求出所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的概率．
23. 如图，四边形ABCD是平行四边形，点A（1，0），B（4，1），C（4，3），反比例函数y=的图象点D，点P是函数y=mx+3﹣4m（m≠0）的图象与该反比例函数图象的一个公共点；
（1）求反比例函数的解析式；
（2）通过计算说明函数y=mx+3﹣4m的图象一定过点C；
（3）对于函数y=mx+3﹣4m（m≠0），当y随x的增大而增大时，确定点P的横坐标的取值范围，（没有必写过程）
24. 某商场将每件进价为80元某种商品原来按每件100元出售，可售出100件．后来市场，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．
（1）求商场经营该商品原来可获利润多少元？
（2）设后来该商品每件降价x元，商场可获利润y元．
①若商场经营该商品要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？
②求出y与x之间的函数关系式，并通过画该函数图象的草图，观察其图象的变化趋势，题意写出当x取何值时，商场获利润没有少于2160元．
25. 如图，在平面直角坐标系中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经
过点A、C、B的抛物线的一部分C1与点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封
闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C2：（＜0）的顶点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积？若存在，求出△PBC面积的值；若没有存在，请说明理由；
（3）当△BDM为直角三角形时，求的值．
26. 如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题：
（1）求证：△BEF∽△DCB；
（2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，求t的值；
（3）如图2过点Q作QG⊥AB，垂足为G，当t为何值时，四边形EPQG为矩形，请说明理由；
（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由．
2022-2023学年北京市西城区中考数学专项突破仿真模拟卷
（三模）
一、单项选一选（本题共16个小题，共42分）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】由互为倒数的两数之积为1，即可求解．
【详解】解：∵，
∴的倒数是.
故选C
2. 计算正确的是（ ）
A. a3﹣a2=a B. （ab3）2=a2b5 C. （﹣2）0=0 D. 3a2•a﹣1=3a
【正确答案】D
【详解】A、没有是同类项，没有能合并，故选项错误；
B、（ab3）2=a2b6，故选项错误；
C、（﹣2）0=1，故选项错误；
D、3a2•a﹣1=3a，故选项正确．
故选D．
3. 有以下图形：平行四边形、矩形、等腰三角形、线段、菱形，其中既是轴对称图形又是对称图形的有（ ）
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
【正确答案】C
【详解】矩形，线段、菱形是轴对称图形，也是对称图形，符合题意；
等腰三角形是轴对称图形，没有是对称图形，没有符合题意；
平行四边形没有是轴对称图形，是对称图形，没有符合题意．
共3个既是轴对称图形又是对称图形．
故选C．
4. 在下列式子：①②（x﹣2）0③中，x没有可以取到2的是（ ）
A. 只有① B. 只有② C. ①和② D. ①和③
【正确答案】C
【详解】①，x﹣2≠0，则x≠2；
②（x﹣2）0，x﹣2≠0，则x≠2；
③中，x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故x没有可以取到2的是①和②．
故选C．
5. 给出三个命题：①点P（b，a）在抛物线y=x2+1上；②点A（1，3）能在抛物线y=ax2+bx+1上；③点B（﹣2，1）能在抛物线y=ax2﹣bx+1上．若①为真命题，则（ ）
A. ②③都是真命题 B. ②③都是假命题
C. ②是真命题，③是假命题 D. ②是假命题，③是真命题
【正确答案】C
【详解】根据题意，得
把点P（b，a）代入抛物线y=x2+1，得a=b2+1．
②中，把点A（1，3）代入抛物线y=ax2+bx+1，得a+b+1=3．
把a=b2+1，代入得b2+b﹣1=0，
△=1+4=5＞0，则方程有解．
故原命题为真命题．
③中，把点B（﹣2，1）代入抛物线y=ax2﹣bx+1，得a（﹣2）2﹣b×（﹣2）+1=1，即4a+2b=0．
把a=b2+1代入，得4b2+4+2b=0，
△=4﹣4×4×4=﹣60＜0，则方程无解．
故原命题为假命题．
故选C．
6. 没有等式0≤ax+5≤4的整数解是1，2，3，4，则a的取值范围是（ ）
A. B. a≤ C. ≤a＜﹣1 D. a≥
【正确答案】C
【详解】没有等式0≤ax+5≤4可化为
解得
（1）当a=0时，得0≤﹣1，没有成立；
（2）当a＞0时，得﹣≤x≤﹣，因为没有等式0≤ax+5≤4的整数解是1，2，3，4，所以﹣≤1，﹣≥4，解得﹣5≤a≤﹣，与a＞0没有符；
（3）当a＜0时，得﹣≤x≤﹣；因为没有等式0≤ax+5≤4的整数解是1，2，3，4，所以-≤a＜﹣1．
故选C．
7. 如图2的三幅图分别是从没有同方向看图1所示的工件立体图得到的平面图形，（没有考虑尺寸）其中正确的是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③
【正确答案】D
【详解】从正面看可得到两个左右相邻的中间没有界线的长方形，①错误；
从左面看可得到两个上下相邻的中间有界线的长方形，②错误；
从上面看可得到两个左右相邻的中间有界线的长方形，③正确．
故选D．
8. 已知函数的图象如图所示，则一元二次方程根的存在情况是
A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个没有相等的实数根 D. 无法确定
【正确答案】C
【详解】试题分析：函数的图象有四种情况：
①当，时，函数的图象、二、三象限；
②当，时，函数的图象、三、四象限；
③当，时，函数的图象、二、四象限；
④当，时，函数的图象第二、三、四象限.
由图象可知，函数的图象第二、三、四象限，所以，.
根据一元二次方程根的判别式，方程根的判别式为，
当时，，
∴方程有两个没有相等的实数根．故选C.
9. 如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠B=40°，AC边的垂直平分线交BC于点E，连接AE，则∠BAE的度数是( )
A. 45° B. 50° C. 55° D. 60°
【正确答案】D
【详解】∵AB=AC，∠B=40°，
∴∠B=∠C=40°，
∴∠BAE=180°﹣∠B﹣∠C=100°，
又∵AC边的垂直平分线交BC于点E，
∴AE=CE，
∴∠CAE=∠C=40°，
∴∠BAE=∠BAE﹣∠CAE=60°．
故选D．
10. 若关于x的方程x2﹣x+sina＝0有两个相等的实数根，则锐角a为（ ）
A. 75° B. 60° C. 45° D. 30°
【正确答案】D
【分析】根据题意可得：方程的判别式△＝0，从而可得关于sinα的方程，解方程即可求出sinα的值，然后根据角的三角函数值即可确定α的度数．
【详解】解：根据题意得△＝（﹣）2﹣4sinα＝0，
解得sinα＝，
所以锐角α＝30°．
故选：D．
本题考查了一元二次方程的根的判别式和锐角三角函数的知识，属于基本知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程根的关系以及角的三角函数值是解答的关键．
11. 在2016年泉州市初中体育中考中，随意抽取某校5位同学一分钟跳绳的次数分别为：158，160，154，158，170，则由这组数据得到的结论错误的是（ ）
A. 平均数为160 B. 中位数为158 C. 众数为158 D. 方差为20.3
【正确答案】D
【详解】解：A．平均数为（158+160+154+158+170）÷5=160，正确，故本选项没有符合题意；
B．按照从小到大的顺序排列为154，158，158，160，170，位于中间位置的数为158，故中位数为158，正确，故本选项没有符合题意；
C．数据158出现了2次，次数至多，故众数为158，正确，故本选项没有符合题意；
D．这组数据的方差是S2=[（154﹣160）2+2×（158﹣160）2+（160﹣160）2+（170﹣160）2]=28.8，错误，故本选项符合题意．
故选D．
点睛：本题考查了众数、平均数、中位数及方差，解题的关键是掌握它们的定义，难度没有大．
12. 没有等式2x>3-x的解集是（ ）
A. x>3 B. x<3 C. x>1 D. x<1
【正确答案】C
【详解】没有等式2x＞3﹣x移项得，
2x+x＞3，
即3x＞3，
系数化1得；
x＞1．
故选C．
13. 为响应承办“绿色奥运”的号召，九年级(1)班全体师生义务植树300棵.原计划每小时植树x棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务.则下面所列方程中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据题意有，原计划每小时植树x棵，实际每小时植树棵，利用“实际比计划提前20分钟完成任务”列出方程即可．
【详解】解：根据题意有，
故选：A．
本题主要考查列分式方程，读懂题意找到等量关系是解题的关键．
14. 数学课，老师和同学一起去测量校内某处的大树AB的高度，如图，老师测得大树前斜坡DE的坡度i=1：4，一学生站在离斜坡顶端E的水平距离DF为8m处的D点，测得大树顶端A的仰角为α，已知sinα=，BE=1.6m，此学生身高CD=1.6m，则大树高度AB为（ ）m．
A. 7.4 B. 7.2 C. 7 D. 6.8
【正确答案】D
【详解】
如图所示:过点C作延长线于点G,交EF于点N,
根据题意可得:,
计算得出:,
,
,
,
,
设,则,
故,即,
计算得出:,
故,
则,
故选D.
15. AB是⊙O的直径，弦CD垂直于AB交于点E，∠COB=60°，CD=2，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. π D. 2π
【正确答案】B
【详解】连接OD．
∵CD⊥AB，
∴CE=DE=CD=（垂径定理），
故S△OCE=S△ODE，
即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，
又∵∠COB=60°（圆周角定理），
∴OC=2，
故S扇形OBD==，即阴影部分的面积为．
故选B．
16. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB=OC，下列结论：①b＞1且b≠2；②b2﹣4ac＜4a2；③a＞；其中正确的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【正确答案】D
【详解】①∵OB=OC，
∴C（0，c），B（﹣c，0）
把B（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c得0=ac2﹣bc+c，即0=ac2+c（1﹣b），
∵a＞0，
∴1﹣b＜0，即b＞1，
如果b=2，由0=ac2﹣bc+c，可得ac=1，此是△=b2﹣4ac=0，故b＞1且b≠2正确，
②∵a＞0，b＞0，c＞0，设C（0，c），B（﹣c，0）
∵AB=|x1﹣x2|＜2，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＜4，
∴（﹣）2﹣4×＜4，即﹣＜4，
∴b2﹣4ac＜4a2；故本项正确．
③把B（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c可得ac+1=b，
代入y=ax2+bx+c得y=ax2+（ac+1）x+c=ax2+acx+x+c=ax2+x+acx+c=x（ax+1）+c（ax+1）=（x+c）（ax+1），
解得x1=﹣c，x2=﹣，
由图可得x1，x2＞﹣2，
即﹣＞﹣2，
∵a＞0，
∴＜2，
∴a＞；正确．
所以正确的个数是3个．
故选D．
主要考查了二次函数图象与系数关系．解题的关键是根与系数的灵活运用．
二、填 空 题（本大题共3小题，共8分）
17. |a|=（2017）0，则a=_____．
【正确答案】±1
【详解】∵|a|=（2017）0=1，
∴a=±1，
故答案为±1．
18. 方程x4﹣2x2﹣400x=9999解是_____．
【正确答案】﹣9或11
【分析】可将9999进行适当的变形，以配合前面的式子组成已知的公式．
x4-2x2-400x=9999
x4+2x2-4x2-400x=10000-1
x4+2x2+1=4x2+400x+100
即（x2+1）2=（2x+100）2，解方程即可求解．
【详解】解：由题意可得：
x4﹣2x2﹣400x=9999
（x2+1）2=（2x+100）2
①当x2+1=2x+100时，经化简可得（x﹣1）2=100
解得x=﹣9或x=11．
②当x2+1=﹣2x﹣100时，经化简可得（x+1）2=﹣100，此方程无解，
因此x的值应该是﹣9或11．
故答案是：﹣9或11．
本题中正确的将9999进行拆分以配合前面的式子组成熟悉的公式是解题的关键．
19. 在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2017次后，顶点A在整个旋转过程中所的路程之和为________．
【正确答案】3026π
【分析】根据A的运动路径，计算前几次的路线长，探究一般性规律，然后计算求解即可．
【详解】解：转动A的路线长是：，
转动第二次的路线长是：，
转动第三次的路线长是：，
转动第四次的路线长是：0，
转动第五次A的路线长是：，
以此类推，每四次为1个循环，
故顶点A转动四次的路线长为：，
∵，
∴这样连续旋转2017次后，顶点A在整个旋转过程中所的路程之和是：．
故．
本题考查了图形规律的探究，弧长．解题的关键在于推导出一般性规律．
三、解 答 题（本大题共7小题，共70分）
20. 已知a1，a2，a3，…，a2015都是正整数，设：M=（a1+a2+a3+…+a2014）（a2+a3+…+a2015），N=（a1+a2+a3+…+a2015）（a2+a3+…+a2014），试着比较M，N的大小．
【正确答案】M＞N,见解析
【详解】试题分析：用作差法解.
试题解析：
∵a1，a2，a3，…，a2015都是正整数，M=（a1+a2+a3+…+a2014）（a2+a3+…+a2015），N=（a1+a2+a3+…+a2015）（a2+a3+…+a2014），
∴M﹣N=（a1+a2+a3+…+a2014）（a2+a3+…+a2015）﹣（a1+a2+a3+…+a2015）（a2+a3+…+a2014）
=（a1+a2+a3+…+a2014）（a1+a2+a3+…+a2015）﹣a1（a1+a2+a3+…+a2014）﹣[（a1+a2+a3+…+a2015）（a1+a2+a3+…+a2014）﹣a1（a1+a2+a3+…+a2015）]
=（a1+a2+a3+…+a2014）（a1+a2+a3+…+a2015）﹣a1（a1+a2+a3+…+a2014）﹣（a1+a2+a3+…+a2015）（a1+a2+a3+…+a2014）+a1（a1+a2+a3+…+a2015）
=﹣a1（a1+a2+a3+…+a2014）+a1（a1+a2+a3+…+a2015）
=﹣a1（a1+a2+a3+…+a2014）+a1（a1+a2+a3+…+a2014）+a1•a2015
=a1•a2015＞0，
∴M＞N．
21. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为直径作⊙O，交AB于D，过点O作OE∥AB，交BC于E．
（1）求证：ED为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，ED=4，EO的延长线交⊙O于F，连DF、AF，求△ADF的面积．
【正确答案】（1）见解析；（2）△ADF的面积是．
【详解】试题分析：（1）连接OD，CD，求出∠BDC=90°，根据OE∥AB和OA=OC求出BE=CE，推出DE=CE，根据SSS证△ECO≌△EDO，推出∠EDO=∠ACB=90°即可；
（2）过O作OM⊥AB于M，过F作FN⊥AB于N，求出OM=FN，求出BC、AC、AB的值，根据sin∠BAC＝，求出OM，根据cos∠BAC＝，求出AM，根据垂径定理求出AD，代入三角形的面积公式求出即可．
试题解析：
（1）证明：连接OD，CD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠CDA=90°=∠BDC，
∵OE∥AB，CO=AO，
∴BE=CE，
∴DE=CE，
∵在△ECO和△EDO中
，
∴△ECO≌△EDO，
∴∠EDO=∠ACB=90°，
即OD⊥DE，OD过圆心O，
∴ED为⊙O的切线．
（2）过O作OM⊥AB于M，过F作FN⊥AB于N，
则OM∥FN，∠OMN=90°，
∵OE∥AB，
∴四边形OMFN是矩形，
∴FN=OM，
∵DE=4，OC=3，由勾股定理得：OE=5，
∴AC=2OC=6，
∵OE∥AB，
∴△OEC∽△ABC，
∴，
∴，
∴AB=10，
在Rt△BCA中，由勾股定理得：BC==8，
sin∠BAC=，
即 ，
OM==FN，
∵cos∠BAC=，
∴AM=
由垂径定理得：AD=2AM=，
即△ADF的面积是AD×FN=××=．
答：△ADF的面积是．
考查了切线的性质和判定，勾股定理，三角形的面积，垂径定理，直角三角形的斜边上中线性质，全等三角形的性质和判定等知识点的运用，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力．
22. 某县为了丰富初中学生的大课间，要求各学校开展形式多样的阳光体育某中学就“学生体育兴趣爱好”的问题，随机了本校某班的学生，并根据结果绘制成如下的没有完整的扇形统计图和条形统计图：
在这次中，喜欢篮球项目的同学有多少人？
在扇形统计图中，“乒乓球”的百分比为多少？
如果学校有800名学生，估计全校学生中有多少人喜欢篮球项目？
请将条形统计图补充完整；
在被的学生中，喜欢篮球的有2名女同学，其余为男同学现要从中随机抽取2名同学代表班级参加校篮球队，请运用列表或树状图求出所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的概率．
【正确答案】人；；人；见解析
【分析】(1)先利用跳绳的人数和它所占的百分比计算出的总人数，再用总人数分别减去喜欢其它项目的人数可得到喜欢篮球项目的人数；
(2)依据喜欢乒乓球的人数，即可计算出喜欢乒乓球项目的百分比；
(3)用800乘以样本中喜欢篮球项目的百分比可估计全校学生中喜欢篮球项目的人数；
(4)依据喜欢篮球项目的人数，即可将条形统计图补充完整；
(5)画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】在这次中，总人数为人，
喜欢篮球项目的同学有人人；
在扇形统计图中，“乒乓球”的百分比为；
如果学校有800名学生，估计全校学生中喜欢篮球项目的有人；
条形统计图：
画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的结果数为12，
所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的概率．
本题考查了条形统计图、扇形统计图、列表法或树状图法求概率，准确识图，从没有同的统计图中得到必要的信息是解题的关键.本题还考查的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23. 如图，四边形ABCD是平行四边形，点A（1，0），B（4，1），C（4，3），反比例函数y=的图象点D，点P是函数y=mx+3﹣4m（m≠0）的图象与该反比例函数图象的一个公共点；
（1）求反比例函数的解析式；
（2）通过计算说明函数y=mx+3﹣4m的图象一定过点C；
（3）对于函数y=mx+3﹣4m（m≠0），当y随x的增大而增大时，确定点P的横坐标的取值范围，（没有必写过程）
【正确答案】（1）y=；（2）C（4，3）；（3）见解析.
【详解】试题分析：（1）由B（4，1），C（4，3）得到BC⊥x轴，BC=2，根据平行四边形的性质得AD=BC=2，而A点坐标为（1，0），可得到点D的坐标为（1，2），然后把D（1，2）代入y=即可得到k=2，从而可确定反比例函数的解析式；
（2）把x=4代入y=mx+3﹣4m（m≠0）得到y=3，即可说明函数y=mx+3﹣4m（m≠0）的图象一定过点C；
（3）设点P的横坐标为x，由于函数y=mx+3﹣4m（m≠0）过C点，并且y随x的增大而增大时，则P点的纵坐标要小于3，横坐标要小于3，当纵坐标小于3时，由y=得到x＞，于是得到x的取值范围．
试题解析：解：（1）∵B（4，1），C（4，3），
∴BC∥y轴，BC=2，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=2，AD∥y轴，而A（1，0），
∴D（1，2），
∴由反比例函数y=的图象点D，可得k=1×2=2，
∴反比例函数解析式为y=；
（2）∵在函数y=mx+3﹣4m中，当x=4时，y=4m+3﹣4m=3，
∴函数y=mx+3﹣4m的图象一定过点C（4，3）；
（3）点P的横坐标的取值范围：＜x＜4．
如图所示，过C（4，3）作y轴的垂线，交双曲线于E，作x轴的垂线，交双曲线于F，
当y=3时，3=，即x=，
∴点E的横坐标为；
由点C的横坐标为4，可得F的横坐标为4；
∵函数y=mx+3﹣4m的图象一定过点C（4，3），且y随x的增大而增大，
∴直线y=mx+3﹣4m与双曲线的交点P落在EF之间的双曲线上，
∴点P的横坐标的取值范围是＜x＜4．
24. 某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，可售出100件．后来市场，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．
（1）求商场经营该商品原来可获利润多少元？
（2）设后来该商品每件降价x元，商场可获利润y元．
①若商场经营该商品要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？
②求出y与x之间函数关系式，并通过画该函数图象的草图，观察其图象的变化趋势，题意写出当x取何值时，商场获利润没有少于2160元．
【正确答案】（1）可获利润2000元；（2）①每件商品应降价2元或8元；②当2≤x≤8时，商店所获利润没有少于2160元．
【详解】：（1）原来可获利：20×100=2000元；
（2）①y=（20-x）（100+10x）=-10（x2-10x-200），
由-10（x2-10x-200）=2160，
解得：x1=2，x2=8，
∴每件商品应降价2或8元；
②观察图像可得
25. 如图，在平面直角坐标系中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经
过点A、C、B的抛物线的一部分C1与点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封
闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C2：（＜0）的顶点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC面积？若存在，求出△PBC面积的值；若没有存在，请说明理由；
（3）当△BDM为直角三角形时，求的值．
【正确答案】（1）A（，0）、B（3，0）．
（2）存在．S△PBC值为
（3）或时，△BDM为直角三角形．
【分析】（1）在中令y=0，即可得到A、B两点的坐标．
（2）先用待定系数法得到抛物线C1的解析式，由S△PBC = S△POC+ S△BOP–S△BOC得到△PBC面积的表达式，根据二次函数最值原理求出值．
（3）先表示出DM2，BD2，MB2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m的值．
【详解】解：（1）令y=0，则，
∵m＜0，∴，解得：，．
∴A（，0）、B（3，0）．
（2）存在．理由如下：
∵设抛物线C1的表达式为（），
把C（0，）代入可得，．
∴Ｃ1的表达式为：，即．
设P（p，），
∴ S△PBC = S△POC+ S△BOP–S△BOC=．
∵<0，∴当时,S△PBC值为．
（3）由C2可知： B（3，0），D（0，），M（1，），
∴BD2=，BM2=，DM2=．
∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：
当∠BMD=90°时，BM2+ DM2= BD2，即＋=，
解得：,(舍去)．
当∠BDM=90°时，BD2+ DM2= BM2，即＋=，
解得：，(舍去) ．
综上所述，或时，△BDM为直角三角形．
26. 如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题：
（1）求证：△BEF∽△DCB；
（2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，求t的值；
（3）如图2过点Q作QG⊥AB，垂足为G，当t为何值时，四边形EPQG为矩形，请说明理由；
（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由．
【正确答案】（1）证明见解析（2）2；（3）；（4）t=1或3或或秒时，△PQF是等腰三角形
【详解】解：（1）∵四边形是矩形，
在中，
分别是的中点，
（2）如图1，过点作于，
（舍）或秒；
四边形为矩形时,如图所示：
解得：
当点在上时，如图2，
当点在上时， 如图3，
时，如图4，
时，如图5，
综上所述，或或或秒时，是等腰三角形．
2022-2023学年北京市西城区中考数学专项突破仿真模拟卷
（二模）
一、选一选（本大题共12小题，每小题3分，共36分.）
1. 倒数是它本身的数是（ ）
A. 1 B. ﹣1 C. 1或﹣1 D. 0
2. 为了了解我县4000名初中生身高情况，从中抽取了400名学生测量身高，在这个问题中，样本是（ ）
A. 4000 B. 4000名
C. 400名学生身高情况 D. 400名学生
3. 下列因式分解错误的是（ ）
A. 2x（x﹣2）+（2﹣x）=（x﹣2）（2x+1） B. x2+2x+1=（x+1）2
C. x2y﹣xy2=xy（x﹣y） D. x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）
4. 在平面直角坐标系中，点P(－2，＋1)所在的象限是（ ）
A. 象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5. 估计的值在（ ）．
A. 1和2之间
B. 2和3之间
C. 3和4之间
D. 4和5之间
6. 如图，是由若干个相同的小立方体搭成的几何体体俯视图和左视图．则小立方体的个数可能是（ ）
A. 5或6 B. 5或7 C. 4或5或6 D. 5或6或7
7. 下列命题中，假命题的是（ ）
A. 直角三角形斜边上的高等于斜边的一半
B. 圆既是轴对称图形，又是对称图形
C. 一组邻边相等的矩形是正方形
D. 菱形对角线互相垂直平分
8. 如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直（A、D、B在同一条直线上），设∠CAB＝α，那么拉线BC的长度为（ ）
A. B. C. D.
9. 已知点C在线段AB上，且点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论正确的是（ ）
A. AB2=AC•BC B. BC2=AC•BC C. AC=BC D. BC= AB
10. 二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A. ﹣1≤t＜8 B. ﹣1≤t＜3 C. t≥﹣1 D. 3＜t＜8
11. 在平面直角坐标系中，点A（4，﹣2），B（0，2），C（a，﹣a），a为实数，当△ABC的周长最小时，a的值是（ ）
A ﹣1 B. 0 C. 1 D.
12. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②CB平分∠ABD；③∠AOC=∠AEC；④AF=DF；⑤BD=2OF，其中正确的结论有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
二、填 空 题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 计算：________．
14. 若3a2﹣a﹣3=0，则5﹣3a2+a=_____．
15. 如图，已知长方形纸片的一条边一个含30°角的直角三角尺的直角顶点，长方形纸片的一组对边分别与直角三角尺的两边相交，∠2=115°，则∠1的度数是__________．
16. 如图，菱形ABC的对角线相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE=AC，连接CE、OE、AE，AE交OD于点F，若AB=2，∠ABC=60°，则AE的长_____．
17. 如图，正方形ABCD的面积为36cm2，点E在BC上，点G在AB的延长线上，四边形EFGB是正方形，以点B为圆心，BC的长为半径画，连接AF，CF，则图中阴影部分的面积为_____．
18. 如图，将直线y＝x向下平移b个单位长度后得到直线l，l与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点A，与x轴相交于点B，则OA2﹣OB2的值为_____．
三、解 答 题（本大题共8小题，满分66分）
19. （1）计算：（3.14﹣π）0﹣|﹣|+（）﹣1+2tan60°；
（2）解方程组.
20. 如图，在△ABC中，AB＞AC，点D在边AC上．
（1）作∠ADE，使∠ADE＝∠ACB，DE交AB于点E；（尺规作图，保留作图痕迹，没有写作法）
（2）若BC＝5，点D是AC的中点，求DE的长．
21. 如图，在平面直角坐标系中，过点A（2，0）的直线l与y轴交于点B，tan∠OAB=，直线l上的点P位于y轴左侧，且到y轴的距离为1．
（1）求直线l的表达式；
（2）若反比例函数的图象点P，求m的值．
22. 为了了解学生平均每天“诵读经典”的时间，在全校范围内随机抽查了部分学生进行统计，并将统计的结果分为：每天诵读时间t ≤20分钟的学生记为A类，20分钟＜t ≤40分钟的学生记为B类，40分钟＜t ≤60分钟的学生记为C类，t＞60分钟的学生记为D类四种．将收集的数据绘制成如下两幅没有完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次共抽查了 名学生进行统计，m＝ %，n＝ %；
（2）请补全上面条形图；
（3）如果该校共有1200名学生，请你估计该校C类学生约有多少人.
23. 学校新到一批实验器材需要整理，若实验管理员李老师一人单独整理需要40分钟完成，现在李老师与工人王师傅共同整理20分钟后，李老师因事外出，王师傅再单独整理了20分钟才完成任务.
（1）王师傅单独整理这批实验器材需要多少分钟完成；
（2）学校要求王师傅的工作时间没有能超过30分钟，要完成整理这批器材，李老师至少要工作多少分钟？
24. 如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点B，点C是⊙O上一点，连接CB并延长交直线l于点D，使AC=AD．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BD=2，OA=4，求线段BC的长．
25. 如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和B（1，0），与y轴交于点C，直线y=x﹣2A，C两点，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；
（2）在y轴上是否存在一点G，使得GD+GB的值最小？若存在，求出点G的坐标；若没有存在，请说明理由；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAB是以AB为腰的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若没有存在，请说明理由．
26. 如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.
（1）问题发现
① 当时， ；② 当时，
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明.
（3）问题解决
当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD长.
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（二模）
一、选一选（本大题共12小题，每小题3分，共36分.）
1. 倒数是它本身的数是（ ）
A. 1 B. ﹣1 C. 1或﹣1 D. 0
【正确答案】C
【分析】根据倒数的定义求解即可．
【详解】倒数是它本身的数是1或﹣1，0没有倒数．
故选：C．
此题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．要求掌握并熟练运用．
2. 为了了解我县4000名初中生的身高情况，从中抽取了400名学生测量身高，在这个问题中，样本是（ ）
A. 4000 B. 4000名
C. 400名学生的身高情况 D. 400名学生
【正确答案】C
【详解】样本是：400名学生身高情况．
故选C．
3. 下列因式分解错误的是（ ）
A. 2x（x﹣2）+（2﹣x）=（x﹣2）（2x+1） B. x2+2x+1=（x+1）2
C. x2y﹣xy2=xy（x﹣y） D. x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）
【正确答案】A
【详解】A、原式=（x﹣2）（2x﹣1），错误；
B、原式=（x+1）2，正确；
C、原式=xy（x﹣y），正确；
D、原式=（x+y）（x﹣y），正确，
故选A．
4. 在平面直角坐标系中，点P(－2，＋1)所在的象限是（ ）
A. 象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【正确答案】B
【详解】解：∵－2<0，＋1>0，
∴点P (－2，＋1)在第二象限，
故选：B．
5. 估计的值在（ ）．
A. 1和2之间
B. 2和3之间
C. 3和4之间
D. 4和5之间
【正确答案】C
【详解】因为3的平方是9,4的平方是16，即=3，=4，
所以估计的值在3和4之间，
故正确的选项是C.
6. 如图，是由若干个相同的小立方体搭成的几何体体俯视图和左视图．则小立方体的个数可能是（ ）
A. 5或6 B. 5或7 C. 4或5或6 D. 5或6或7
【正确答案】D
【详解】试题分析：俯视图和左视图可画出三种立方体组合图形，前一排有3个立方体，后一排左侧有1个立方体，前一排的上面可以摆放1个或2个或3个立方体，所以立方体的个数为5或6或7个，故选D．
考点：物体的三视图．
7. 下列命题中，假命题的是（ ）
A. 直角三角形斜边上的高等于斜边的一半
B. 圆既是轴对称图形，又是对称图形
C. 一组邻边相等的矩形是正方形
D. 菱形对角线互相垂直平分
【正确答案】A
【详解】A. ∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故A是假命题；
B. ∵圆既是轴对称图形，又是对称图形，故B是真命题；
C. ∵一组邻边相等的矩形是正方形，故C是真命题；
D. ∵菱形对角线互相垂直平分，故D是真命题；
故选A．
8. 如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直（A、D、B在同一条直线上），设∠CAB＝α，那么拉线BC的长度为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】根据垂直的定义和同角的余角相等，可由∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，可求得∠CAD=∠BCD，然后在Rt△BCD中 cos∠BCD=，可得BC=.
故选B．
点睛：本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键．
9. 已知点C在线段AB上，且点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论正确的是（ ）
A. AB2=AC•BC B. BC2=AC•BC C. AC=BC D. BC= AB
【正确答案】D
【详解】∵点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，
∴，即AC2=BC•AB，故A、B错误；
∴AC=AB，故C错误；
∴BC==AB，故D正确；
故选D．
本题主要考查黄金分割，黄金分割的定义是：“把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为黄金分割．其比值是，近似值为0.618”.
10. 二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A. ﹣1≤t＜8 B. ﹣1≤t＜3 C. t≥﹣1 D. 3＜t＜8
【正确答案】A
【分析】先求出b，确定二次函数解析式，关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解可以看成二次函数y＝x2﹣2x与直线y＝t的交点，然后求出当﹣1＜x＜4时，-1≤y＜8，进而求解；
【详解】解：∵对称轴为直线x＝1，
∴b＝﹣2，
∴y＝x2﹣4x，
关于x一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解可以看成二次函数y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点，
∵二次函数开口向上，对称轴直线，
∴当时，函数有最小值，
当时，，
当时，，
∴﹣1＜x＜4，二次函数y的取值为-1≤y＜8，
∴-1≤t＜8；
故选A．
本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形的解决问题是解题的关键．
11. 在平面直角坐标系中，点A（4，﹣2），B（0，2），C（a，﹣a），a为实数，当△ABC的周长最小时，a的值是（ ）
A. ﹣1 B. 0 C. 1 D.
【正确答案】C
【详解】作B关于直线y=﹣x的对称点B′，
连接B′A交直线y=﹣x于C，
则△ABC的周长最小，
∵B（0，2），
∴B′（﹣2，0），
设直线AB′的解析式为y=kx+b，
∴，
∴，
∴直线AB′的解析式为y=﹣x﹣，
解得，
∴C（1，﹣1），
∴a=1．
故选C．
12. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②CB平分∠ABD；③∠AOC=∠AEC；④AF=DF；⑤BD=2OF，其中正确的结论有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【正确答案】C
【详解】①∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BD，
故①正确；
②∵OC∥BD，
∴∠OCB=∠DBC，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠OBC=∠DBC，
∴BC平分∠ABD，
故②正确；
③∵∠AOC是⊙O的圆心角，∠AEC是⊙O的圆内部的角，
∴∠AOC≠∠AEC，
故③没有正确；
④∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BD，
∵OC∥BD，
∴∠AFO=90°，
∵点O圆心，
∴AF=DF，
故④正确；
⑤由④有，AF=DF，
∵点O为AB中点，
∴OF是△ABD的中位线，
∴BD=2OF，
故⑤正确；
综上可知：其中一定成立的有①②④⑤，
故选C．
点睛：本题主要考查圆周角定理及圆的有关性质，掌握圆中有关的线段、角的相等是解题的关键，特别注意垂径定理的应用．
二、填 空 题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 计算：________．
【正确答案】4
【分析】根据平方的意义求解．
【详解】解：由平方的意义可得：，
故答案：4．
本题考查平方的意义，正确理解平方的意义是解题关键 ．
14. 若3a2﹣a﹣3=0，则5﹣3a2+a=_____．
【正确答案】2
【详解】∵3a2﹣a﹣3=0，
∴3a2﹣a=3，
则原式=5﹣（3a2﹣a）
=5﹣3
=2，
故答案为2．
15. 如图，已知长方形纸片的一条边一个含30°角的直角三角尺的直角顶点，长方形纸片的一组对边分别与直角三角尺的两边相交，∠2=115°，则∠1的度数是__________．
【正确答案】85°
【详解】如图所示，∵DE∥BC，
∴∠2=∠3=115°，
又∵∠3是△ABC的外角，
∴∠1=∠3﹣∠A=115°﹣30°=85°，
故答案为85°．
16. 如图，菱形ABC的对角线相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE=AC，连接CE、OE、AE，AE交OD于点F，若AB=2，∠ABC=60°，则AE的长_____．
【正确答案】
【详解】在菱形ABCD中，OC=AC，AC⊥BD，
∵DE=AC，
∴DE=OC，
∵DE//AC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形OCED是矩形，
∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AD=AB=AC=2，OA=AC=1，
在矩形OCED中，由勾股定理得：CE=OD===，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE===；
故答案是：．
17. 如图，正方形ABCD的面积为36cm2，点E在BC上，点G在AB的延长线上，四边形EFGB是正方形，以点B为圆心，BC的长为半径画，连接AF，CF，则图中阴影部分的面积为_____．
【正确答案】9πcm2
【详解】设正方形EFGB的边长为a，则CE=6﹣a，AG=6+a，
阴影部分的面积=S扇形ABC+S正方形EFGB+S△CEF﹣S△AGF
=+a2+a（6﹣a）﹣a（6+a）
=9π+a2+3a﹣a2﹣3a﹣a2
=9π．
18. 如图，将直线y＝x向下平移b个单位长度后得到直线l，l与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点A，与x轴相交于点B，则OA2﹣OB2的值为_____．
【正确答案】10．
【详解】解：∵平移后解析式是y=x﹣b，
代入y=得：x﹣b=，
即x2﹣bx=5，
y=x﹣b与x轴交点B的坐标是（b，0），
设A的坐标是（x，y），
∴OA2﹣OB2
=x2+y2﹣b2
=x2+（x﹣b）2﹣b2
=2x2﹣2xb
=2（x2﹣xb）
=2×5=10，
故答案为10．
点睛：本题是反比例函数综合题，用到的知识点有：函数的平移规律，函数与反比例函数的交点坐标，利用了转化及方程的思想，其中利用平移的规律表示出y=x平移后的解析式是解答本题的关键.
三、解 答 题（本大题共8小题，满分66分）
19. （1）计算：（3.14﹣π）0﹣|﹣|+（）﹣1+2tan60°；
（2）解方程组.
【正确答案】（1）3；（2）
【详解】试题分析：（1）项非零数的零次幂等于1，第二项根据二次根式的性质和值得意义化简，第三项负整数指数幂等于这个数正整数指数幂的倒数，第三项根据角的三角函数值计算.
解：（1）原式=1﹣；
（2），
①×3得：3m+6n=30③，
②+③得：11n=33，解得：n=3，
把n=3代入①得：m=4，
所以方程组的解为：．
20. 如图，在△ABC中，AB＞AC，点D在边AC上．
（1）作∠ADE，使∠ADE＝∠ACB，DE交AB于点E；（尺规作图，保留作图痕迹，没有写作法）
（2）若BC＝5，点D是AC的中点，求DE的长．
【正确答案】（1）作图见解析；（2）
【分析】（1）根据作一个角等于已知角的步骤解答即可；
（2）由作法可得DE∥BC，又因为D是AC的中点，可证DE为△ABC的中位线，从而运用三角形中位线的性质求解．
【详解】解：（1）如图，∠ADE为所作；
（2）∵∠ADE=∠ACB，
∴DE∥BC，
∵点D是AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE=BC=．
21. 如图，在平面直角坐标系中，过点A（2，0）的直线l与y轴交于点B，tan∠OAB=，直线l上的点P位于y轴左侧，且到y轴的距离为1．
（1）求直线l的表达式；
（2）若反比例函数的图象点P，求m的值．
【正确答案】（1）；（2）．
【分析】(1)已知A（2，0）an∠OAB==,可求得OB=1，所以B（0，1），设直线l的表达式为，用待定系数法即可求得直线l的表达式；（2）根据直线l上的点P位于y轴左侧，且到y轴的距离为1可得点P的横坐标为－１，代入函数的解析式求得点P的纵坐标，把点P的坐标代入反比例函数中，即可求得m的值．
【详解】解：(1) ∵A（2，0），∴OA=2
∵tan∠OAB==
∴OB=1
∴B（0，1）
设直线l的表达式为，则
∴
∴直线l的表达式为
(2) ∵点P到y轴的距离为1，且点P在y轴左侧，
∴点P的横坐标为－１
又∵点P在直线l上，
∴点P的纵坐标为：
∴点P的坐标是
∵反比例函数的图象点P，
∴
∴
本题考查待定系数法求函数的解析式；函数与反比例函数的交点坐标．
22. 为了了解学生平均每天“诵读经典”的时间，在全校范围内随机抽查了部分学生进行统计，并将统计的结果分为：每天诵读时间t ≤20分钟的学生记为A类，20分钟＜t ≤40分钟的学生记为B类，40分钟＜t ≤60分钟的学生记为C类，t＞60分钟的学生记为D类四种．将收集的数据绘制成如下两幅没有完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次共抽查了 名学生进行统计，m＝ %，n＝ %；
（2）请补全上面的条形图；
（3）如果该校共有1200名学生，请你估计该校C类学生约有多少人.
【正确答案】（1）50，26，14；（2）图见解析；（3）该校C类学生约有240人
【分析】（1）根据B类的人数和百分比即可得到这次共抽查的学生总人数，进而可求出m、n的值；
（2）根据（1）的结果在条形图中补全统计图即可；
（3）用1200乘以C类学生所占的百分比即可C类学生人数.
【详解】解：（1）20÷40%=50（人），
13÷50=26%， ∴m=26%；
∴7÷50=14%， ∴n=14%；
故空中依次填写26，14，50；
（2）C类学生数=50-13-20-7=10
条形图如图
（3）1200×20%=240（人）.
答：该校C类学生约有240人.
23. 学校新到一批实验器材需要整理，若实验管理员李老师一人单独整理需要40分钟完成，现在李老师与工人王师傅共同整理20分钟后，李老师因事外出，王师傅再单独整理了20分钟才完成任务.
（1）王师傅单独整理这批实验器材需要多少分钟完成；
（2）学校要求王师傅的工作时间没有能超过30分钟，要完成整理这批器材，李老师至少要工作多少分钟？
【正确答案】（1）王师傅单独整理这批实验器材需要80分钟．（2）李老师至少要工作25分钟．
【分析】（1）设王师傅单独整理这批实验器材需要x分钟，则王师傅的工作效率为，根据李老师与工人王师傅共同整理20分钟的工作量+王师傅再单独整理了20分钟的工作量=1，可得方程，解出即可；
（2）根据王师傅的工作时间没有能超过30分钟，列出没有等式求解．
【详解】解：（1）设王师傅单独整理这批实验器材需要x分钟，则王师傅的工作效率为，
由题意，得：20（+）+20×=1，
解得：x=80，
经检验得：x=80是原方程的根．
答：王师傅单独整理这批实验器材需要80分钟．
（2）设李老师要工作y分钟，
由题意，得：（1﹣）÷≤30，
解得：y≥25．
答：李老师至少要工作25分钟．
考点：分式方程的应用；一元没有等式的应用．
24. 如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点B，点C是⊙O上一点，连接CB并延长交直线l于点D，使AC=AD．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BD=2，OA=4，求线段BC的长．
【正确答案】（1）见解析；（2）
【详解】试题分析：（1）连接OC，如图，根据等腰三角形的性质，由OB=OC，AC=AD得到∠OBC=∠OCB，∠ACD=∠ADC，再由OA⊥l得∠ADC+∠ABD=90°，加上∠ABD=∠OBC，于是有∠OCB+∠ACD=90°，即∠ACO=90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）如图1，作直径BE，连接CE，设 O半径为r，则AB=OA-OB=4-r，根据勾股定理得AD2=BD2-AB2=12-（4-r）2，AC2=AO2-OC2=16-r2，由于AC=AD，则12-（4-r）2=16-r2，解得r=，再证明Rt△ABD∽Rt△CBE，然后利用相似比可计算出BC．
（1）证明：连接OC，如图，
∵OB=OC，AC=AD
∴∠OBC=∠OCB，∠ACD=∠ADC，
∵OA⊥l，
∴∠ADC+∠ABD=90°，
而∠ABD=∠OBC，
∴∠OCB+∠ACD=90°，
∴∠ACO=90°
∴OC⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：如图1，作直径BE，连接CE，
设⊙O半径为r，则AB=OA﹣OB=4﹣r，
在Rt△ABD中，∵AD2=BD2﹣AB2=12﹣（4﹣r）2，
在Rt△AOC中，∵AC2=AO2﹣OC2=16﹣r2，
而AC=AD，
∴12﹣（4﹣r）2=16﹣r2，解得r=，
∵BE为⊙O直径，
∴∠BCE=90°，
又∵∠ABD=∠EBC，
∴Rt△ABD∽Rt△CBE，
∴，即，
∴BC=．
点睛：本题考查了切线的判定定理:半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.也考查了勾股定理和相似三角形的判定与性质.
25. 如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和B（1，0），与y轴交于点C，直线y=x﹣2A，C两点，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；
（2）在y轴上是否存在一点G，使得GD+GB的值最小？若存在，求出点G的坐标；若没有存在，请说明理由；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAB是以AB为腰的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】（1）y=﹣x2+x﹣2；D；（2）G（0，），（3）P点坐标为或（，﹣）．
【分析】（1）先由直线y=x﹣2与x轴的交点求出A点和C点的坐标，再用待定系数法求出求抛物线解析式即可；
（2）作点B关于y轴的对称点B'，连接BB'，交y轴于点G，则B'（﹣1，0），用待定系数法求出直线B'D的解析式，再求与y轴的交点坐标即可；
（3）分AP=AB和BP=AB=3两种情况求解.
【详解】解：（1）把x=0代入直线y=x﹣2中，y=﹣2，
∴C（0，﹣2），
把y=0代入直线y=x﹣2中，x=4，
∴A（4，0），
把A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）代入抛物线y=ax2+bx+c中得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x﹣2
∴顶点D，
（2）存在，
如图1，作点B关于y轴的对称点B'，连接BB'，交y轴于点G，则B'（﹣1，0），
设直线B'D的解析式为：y=kx+b，
则，解得：，
∴直线B'D的解析式为：
∴G（0，），
∴存在点G（0，），使得GD+GB的值最小；
（3）∵对称轴x=，且A（4，0），B（1，0），
设P（，m），且AB=4﹣1=3，
分两种情况：
①当AP=AB=3时，即AP==3，
解得：m=±，
②当BP=AB=3时，即BP==3，
解得：m=，
综上所述，P点坐标为或
本题考查了待定系数法求函数和二次函数解析式，二次函数图像与性质，轴对称---最短路径，等腰三角形的定义，勾股定理及分类讨论的数学思想，解答本题的关键是熟练掌握待定系数法及二次函数的图像与性质.
26. 如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.
（1）问题发现
① 当时， ；② 当时，
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明.
（3）问题解决
当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长.
【正确答案】（1）①,②.（2）无变化；理由参见解析.（3），.
【分析】（1）①当α=0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少．
②α=180°时，可得AB∥DE，然后根据，求出的值是多少即可．
（2）首先判断出∠ECA=∠DCB，再根据，判断出△ECA∽△DCB，即可求出的值是多少，进而判断出的大小没有变化即可．
（3）根据题意，分两种情况：①点A，D，E所在的直线和BC平行时；②点A，D，E所在的直线和BC相交时；然后分类讨论，求出线段BD的长各是多少即可．
【详解】（1）①当α=0°时，
∵Rt△ABC中，∠B=90°，
∴AC=，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴,BD=8÷2=4，
∴．
②如图1，
，
当α=180°时，
可得AB∥DE，
∵，
∴
（2）如图2，
，
当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，
∵∠ECD=∠ACB，
∴∠ECA=∠DCB，
又∵，
∴△ECA∽△DCB，
∴．
（3）①如图3，
，
∵AC=4，CD=4，CD⊥AD，
∴AD=
∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC=．
②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，
，
∵AC=，CD=4，CD⊥AD，
∴AD=，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE==2，
∴AE=AD-DE=8-2=6，
由（2），可得
，
∴BD=．
综上所述，BD的长为或．
2022-2023学年北京市西城区中考数学专项突破仿真模拟卷
（三模）
一、单项选一选（本题共16个小题，共42分）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
2. 计算正确的是（ ）
A. a3﹣a2=a B. （ab3）2=a2b5 C. （﹣2）0=0 D. 3a2•a﹣1=3a
3. 有以下图形：平行四边形、矩形、等腰三角形、线段、菱形，其中既是轴对称图形又是对称图形的有（ ）
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
4. 在下列式子：①②（x﹣2）0③中，x没有可以取到2是（ ）
A. 只有① B. 只有② C. ①和② D. ①和③
5. 给出三个命题：①点P（b，a）在抛物线y=x2+1上；②点A（1，3）能在抛物线y=ax2+bx+1上；③点B（﹣2，1）能在抛物线y=ax2﹣bx+1上．若①为真命题，则（ ）
A. ②③都是真命题 B. ②③都是假命题
C. ②真命题，③是假命题 D. ②是假命题，③是真命题
6. 没有等式0≤ax+5≤4的整数解是1，2，3，4，则a的取值范围是（ ）
A. B. a≤ C. ≤a＜﹣1 D. a≥
7. 如图2的三幅图分别是从没有同方向看图1所示的工件立体图得到的平面图形，（没有考虑尺寸）其中正确的是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③
8. 已知函数的图象如图所示，则一元二次方程根的存在情况是
A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个没有相等的实数根 D. 无法确定
9. 如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠B=40°，AC边的垂直平分线交BC于点E，连接AE，则∠BAE的度数是( )
A. 45° B. 50° C. 55° D. 60°
10. 若关于x的方程x2﹣x+sina＝0有两个相等的实数根，则锐角a为（ ）
A. 75° B. 60° C. 45° D. 30°
11. 在2016年泉州市初中体育中考中，随意抽取某校5位同学一分钟跳绳的次数分别为：158，160，154，158，170，则由这组数据得到的结论错误的是（ ）
A. 平均数为160 B. 中位数为158 C. 众数为158 D. 方差为20.3
12. 没有等式2x>3-x的解集是（ ）
A. x>3 B. x<3 C. x>1 D. x<1
13. 为响应承办“绿色奥运”的号召，九年级(1)班全体师生义务植树300棵.原计划每小时植树x棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务.则下面所列方程中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
14. 数学课，老师和同学一起去测量校内某处的大树AB的高度，如图，老师测得大树前斜坡DE的坡度i=1：4，一学生站在离斜坡顶端E的水平距离DF为8m处的D点，测得大树顶端A的仰角为α，已知sinα=，BE=1.6m，此学生身高CD=1.6m，则大树高度AB为（ ）m．
A. 7.4 B. 7.2 C. 7 D. 6.8
15. AB是⊙O的直径，弦CD垂直于AB交于点E，∠COB=60°，CD=2，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. π D. 2π
16. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB=OC，下列结论：①b＞1且b≠2；②b2﹣4ac＜4a2；③a＞；其中正确的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填 空 题（本大题共3小题，共8分）
17. |a|=（2017）0，则a=_____．
18. 方程x4﹣2x2﹣400x=9999的解是_____．
19. 在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2017次后，顶点A在整个旋转过程中所的路程之和为________．
三、解 答 题（本大题共7小题，共70分）
20. 已知a1，a2，a3，…，a2015都是正整数，设：M=（a1+a2+a3+…+a2014）（a2+a3+…+a2015），N=（a1+a2+a3+…+a2015）（a2+a3+…+a2014），试着比较M，N大小．
21. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为直径作⊙O，交AB于D，过点O作OE∥AB，交BC于E．
（1）求证：ED为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，ED=4，EO的延长线交⊙O于F，连DF、AF，求△ADF的面积．
22. 某县为了丰富初中学生的大课间，要求各学校开展形式多样的阳光体育某中学就“学生体育兴趣爱好”的问题，随机了本校某班的学生，并根据结果绘制成如下的没有完整的扇形统计图和条形统计图：
在这次中，喜欢篮球项目的同学有多少人？
在扇形统计图中，“乒乓球”的百分比为多少？
如果学校有800名学生，估计全校学生中有多少人喜欢篮球项目？
请将条形统计图补充完整；
在被的学生中，喜欢篮球的有2名女同学，其余为男同学现要从中随机抽取2名同学代表班级参加校篮球队，请运用列表或树状图求出所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的概率．
23. 如图，四边形ABCD是平行四边形，点A（1，0），B（4，1），C（4，3），反比例函数y=的图象点D，点P是函数y=mx+3﹣4m（m≠0）的图象与该反比例函数图象的一个公共点；
（1）求反比例函数的解析式；
（2）通过计算说明函数y=mx+3﹣4m的图象一定过点C；
（3）对于函数y=mx+3﹣4m（m≠0），当y随x的增大而增大时，确定点P的横坐标的取值范围，（没有必写过程）
24. 某商场将每件进价为80元某种商品原来按每件100元出售，可售出100件．后来市场，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．
（1）求商场经营该商品原来可获利润多少元？
（2）设后来该商品每件降价x元，商场可获利润y元．
①若商场经营该商品要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？
②求出y与x之间的函数关系式，并通过画该函数图象的草图，观察其图象的变化趋势，题意写出当x取何值时，商场获利润没有少于2160元．
25. 如图，在平面直角坐标系中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经
过点A、C、B的抛物线的一部分C1与点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封
闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C2：（＜0）的顶点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积？若存在，求出△PBC面积的值；若没有存在，请说明理由；
（3）当△BDM为直角三角形时，求的值．
26. 如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题：
（1）求证：△BEF∽△DCB；
（2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，求t的值；
（3）如图2过点Q作QG⊥AB，垂足为G，当t为何值时，四边形EPQG为矩形，请说明理由；
（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由．
2022-2023学年北京市西城区中考数学专项突破仿真模拟卷
（三模）
一、单项选一选（本题共16个小题，共42分）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】由互为倒数的两数之积为1，即可求解．
【详解】解：∵，
∴的倒数是.
故选C
2. 计算正确的是（ ）
A. a3﹣a2=a B. （ab3）2=a2b5 C. （﹣2）0=0 D. 3a2•a﹣1=3a
【正确答案】D
【详解】A、没有是同类项，没有能合并，故选项错误；
B、（ab3）2=a2b6，故选项错误；
C、（﹣2）0=1，故选项错误；
D、3a2•a﹣1=3a，故选项正确．
故选D．
3. 有以下图形：平行四边形、矩形、等腰三角形、线段、菱形，其中既是轴对称图形又是对称图形的有（ ）
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
【正确答案】C
【详解】矩形，线段、菱形是轴对称图形，也是对称图形，符合题意；
等腰三角形是轴对称图形，没有是对称图形，没有符合题意；
平行四边形没有是轴对称图形，是对称图形，没有符合题意．
共3个既是轴对称图形又是对称图形．
故选C．
4. 在下列式子：①②（x﹣2）0③中，x没有可以取到2的是（ ）
A. 只有① B. 只有② C. ①和② D. ①和③
【正确答案】C
【详解】①，x﹣2≠0，则x≠2；
②（x﹣2）0，x﹣2≠0，则x≠2；
③中，x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故x没有可以取到2的是①和②．
故选C．
5. 给出三个命题：①点P（b，a）在抛物线y=x2+1上；②点A（1，3）能在抛物线y=ax2+bx+1上；③点B（﹣2，1）能在抛物线y=ax2﹣bx+1上．若①为真命题，则（ ）
A. ②③都是真命题 B. ②③都是假命题
C. ②是真命题，③是假命题 D. ②是假命题，③是真命题
【正确答案】C
【详解】根据题意，得
把点P（b，a）代入抛物线y=x2+1，得a=b2+1．
②中，把点A（1，3）代入抛物线y=ax2+bx+1，得a+b+1=3．
把a=b2+1，代入得b2+b﹣1=0，
△=1+4=5＞0，则方程有解．
故原命题为真命题．
③中，把点B（﹣2，1）代入抛物线y=ax2﹣bx+1，得a（﹣2）2﹣b×（﹣2）+1=1，即4a+2b=0．
把a=b2+1代入，得4b2+4+2b=0，
△=4﹣4×4×4=﹣60＜0，则方程无解．
故原命题为假命题．
故选C．
6. 没有等式0≤ax+5≤4的整数解是1，2，3，4，则a的取值范围是（ ）
A. B. a≤ C. ≤a＜﹣1 D. a≥
【正确答案】C
【详解】没有等式0≤ax+5≤4可化为
解得
（1）当a=0时，得0≤﹣1，没有成立；
（2）当a＞0时，得﹣≤x≤﹣，因为没有等式0≤ax+5≤4的整数解是1，2，3，4，所以﹣≤1，﹣≥4，解得﹣5≤a≤﹣，与a＞0没有符；
（3）当a＜0时，得﹣≤x≤﹣；因为没有等式0≤ax+5≤4的整数解是1，2，3，4，所以-≤a＜﹣1．
故选C．
7. 如图2的三幅图分别是从没有同方向看图1所示的工件立体图得到的平面图形，（没有考虑尺寸）其中正确的是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③
【正确答案】D
【详解】从正面看可得到两个左右相邻的中间没有界线的长方形，①错误；
从左面看可得到两个上下相邻的中间有界线的长方形，②错误；
从上面看可得到两个左右相邻的中间有界线的长方形，③正确．
故选D．
8. 已知函数的图象如图所示，则一元二次方程根的存在情况是
A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个没有相等的实数根 D. 无法确定
【正确答案】C
【详解】试题分析：函数的图象有四种情况：
①当，时，函数的图象、二、三象限；
②当，时，函数的图象、三、四象限；
③当，时，函数的图象、二、四象限；
④当，时，函数的图象第二、三、四象限.
由图象可知，函数的图象第二、三、四象限，所以，.
根据一元二次方程根的判别式，方程根的判别式为，
当时，，
∴方程有两个没有相等的实数根．故选C.
9. 如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠B=40°，AC边的垂直平分线交BC于点E，连接AE，则∠BAE的度数是( )
A. 45° B. 50° C. 55° D. 60°
【正确答案】D
【详解】∵AB=AC，∠B=40°，
∴∠B=∠C=40°，
∴∠BAE=180°﹣∠B﹣∠C=100°，
又∵AC边的垂直平分线交BC于点E，
∴AE=CE，
∴∠CAE=∠C=40°，
∴∠BAE=∠BAE﹣∠CAE=60°．
故选D．
10. 若关于x的方程x2﹣x+sina＝0有两个相等的实数根，则锐角a为（ ）
A. 75° B. 60° C. 45° D. 30°
【正确答案】D
【分析】根据题意可得：方程的判别式△＝0，从而可得关于sinα的方程，解方程即可求出sinα的值，然后根据角的三角函数值即可确定α的度数．
【详解】解：根据题意得△＝（﹣）2﹣4sinα＝0，
解得sinα＝，
所以锐角α＝30°．
故选：D．
本题考查了一元二次方程的根的判别式和锐角三角函数的知识，属于基本知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程根的关系以及角的三角函数值是解答的关键．
11. 在2016年泉州市初中体育中考中，随意抽取某校5位同学一分钟跳绳的次数分别为：158，160，154，158，170，则由这组数据得到的结论错误的是（ ）
A. 平均数为160 B. 中位数为158 C. 众数为158 D. 方差为20.3
【正确答案】D
【详解】解：A．平均数为（158+160+154+158+170）÷5=160，正确，故本选项没有符合题意；
B．按照从小到大的顺序排列为154，158，158，160，170，位于中间位置的数为158，故中位数为158，正确，故本选项没有符合题意；
C．数据158出现了2次，次数至多，故众数为158，正确，故本选项没有符合题意；
D．这组数据的方差是S2=[（154﹣160）2+2×（158﹣160）2+（160﹣160）2+（170﹣160）2]=28.8，错误，故本选项符合题意．
故选D．
点睛：本题考查了众数、平均数、中位数及方差，解题的关键是掌握它们的定义，难度没有大．
12. 没有等式2x>3-x的解集是（ ）
A. x>3 B. x<3 C. x>1 D. x<1
【正确答案】C
【详解】没有等式2x＞3﹣x移项得，
2x+x＞3，
即3x＞3，
系数化1得；
x＞1．
故选C．
13. 为响应承办“绿色奥运”的号召，九年级(1)班全体师生义务植树300棵.原计划每小时植树x棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务.则下面所列方程中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据题意有，原计划每小时植树x棵，实际每小时植树棵，利用“实际比计划提前20分钟完成任务”列出方程即可．
【详解】解：根据题意有，
故选：A．
本题主要考查列分式方程，读懂题意找到等量关系是解题的关键．
14. 数学课，老师和同学一起去测量校内某处的大树AB的高度，如图，老师测得大树前斜坡DE的坡度i=1：4，一学生站在离斜坡顶端E的水平距离DF为8m处的D点，测得大树顶端A的仰角为α，已知sinα=，BE=1.6m，此学生身高CD=1.6m，则大树高度AB为（ ）m．
A. 7.4 B. 7.2 C. 7 D. 6.8
【正确答案】D
【详解】
如图所示:过点C作延长线于点G,交EF于点N,
根据题意可得:,
计算得出:,
,
,
,
,
设,则,
故,即,
计算得出:,
故,
则,
故选D.
15. AB是⊙O的直径，弦CD垂直于AB交于点E，∠COB=60°，CD=2，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. π D. 2π
【正确答案】B
【详解】连接OD．
∵CD⊥AB，
∴CE=DE=CD=（垂径定理），
故S△OCE=S△ODE，
即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，
又∵∠COB=60°（圆周角定理），
∴OC=2，
故S扇形OBD==，即阴影部分的面积为．
故选B．
16. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB=OC，下列结论：①b＞1且b≠2；②b2﹣4ac＜4a2；③a＞；其中正确的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【正确答案】D
【详解】①∵OB=OC，
∴C（0，c），B（﹣c，0）
把B（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c得0=ac2﹣bc+c，即0=ac2+c（1﹣b），
∵a＞0，
∴1﹣b＜0，即b＞1，
如果b=2，由0=ac2﹣bc+c，可得ac=1，此是△=b2﹣4ac=0，故b＞1且b≠2正确，
②∵a＞0，b＞0，c＞0，设C（0，c），B（﹣c，0）
∵AB=|x1﹣x2|＜2，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＜4，
∴（﹣）2﹣4×＜4，即﹣＜4，
∴b2﹣4ac＜4a2；故本项正确．
③把B（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c可得ac+1=b，
代入y=ax2+bx+c得y=ax2+（ac+1）x+c=ax2+acx+x+c=ax2+x+acx+c=x（ax+1）+c（ax+1）=（x+c）（ax+1），
解得x1=﹣c，x2=﹣，
由图可得x1，x2＞﹣2，
即﹣＞﹣2，
∵a＞0，
∴＜2，
∴a＞；正确．
所以正确的个数是3个．
故选D．
主要考查了二次函数图象与系数关系．解题的关键是根与系数的灵活运用．
二、填 空 题（本大题共3小题，共8分）
17. |a|=（2017）0，则a=_____．
【正确答案】±1
【详解】∵|a|=（2017）0=1，
∴a=±1，
故答案为±1．
18. 方程x4﹣2x2﹣400x=9999解是_____．
【正确答案】﹣9或11
【分析】可将9999进行适当的变形，以配合前面的式子组成已知的公式．
x4-2x2-400x=9999
x4+2x2-4x2-400x=10000-1
x4+2x2+1=4x2+400x+100
即（x2+1）2=（2x+100）2，解方程即可求解．
【详解】解：由题意可得：
x4﹣2x2﹣400x=9999
（x2+1）2=（2x+100）2
①当x2+1=2x+100时，经化简可得（x﹣1）2=100
解得x=﹣9或x=11．
②当x2+1=﹣2x﹣100时，经化简可得（x+1）2=﹣100，此方程无解，
因此x的值应该是﹣9或11．
故答案是：﹣9或11．
本题中正确的将9999进行拆分以配合前面的式子组成熟悉的公式是解题的关键．
19. 在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2017次后，顶点A在整个旋转过程中所的路程之和为________．
【正确答案】3026π
【分析】根据A的运动路径，计算前几次的路线长，探究一般性规律，然后计算求解即可．
【详解】解：转动A的路线长是：，
转动第二次的路线长是：，
转动第三次的路线长是：，
转动第四次的路线长是：0，
转动第五次A的路线长是：，
以此类推，每四次为1个循环，
故顶点A转动四次的路线长为：，
∵，
∴这样连续旋转2017次后，顶点A在整个旋转过程中所的路程之和是：．
故．
本题考查了图形规律的探究，弧长．解题的关键在于推导出一般性规律．
三、解 答 题（本大题共7小题，共70分）
20. 已知a1，a2，a3，…，a2015都是正整数，设：M=（a1+a2+a3+…+a2014）（a2+a3+…+a2015），N=（a1+a2+a3+…+a2015）（a2+a3+…+a2014），试着比较M，N的大小．
【正确答案】M＞N,见解析
【详解】试题分析：用作差法解.
试题解析：
∵a1，a2，a3，…，a2015都是正整数，M=（a1+a2+a3+…+a2014）（a2+a3+…+a2015），N=（a1+a2+a3+…+a2015）（a2+a3+…+a2014），
∴M﹣N=（a1+a2+a3+…+a2014）（a2+a3+…+a2015）﹣（a1+a2+a3+…+a2015）（a2+a3+…+a2014）
=（a1+a2+a3+…+a2014）（a1+a2+a3+…+a2015）﹣a1（a1+a2+a3+…+a2014）﹣[（a1+a2+a3+…+a2015）（a1+a2+a3+…+a2014）﹣a1（a1+a2+a3+…+a2015）]
=（a1+a2+a3+…+a2014）（a1+a2+a3+…+a2015）﹣a1（a1+a2+a3+…+a2014）﹣（a1+a2+a3+…+a2015）（a1+a2+a3+…+a2014）+a1（a1+a2+a3+…+a2015）
=﹣a1（a1+a2+a3+…+a2014）+a1（a1+a2+a3+…+a2015）
=﹣a1（a1+a2+a3+…+a2014）+a1（a1+a2+a3+…+a2014）+a1•a2015
=a1•a2015＞0，
∴M＞N．
21. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为直径作⊙O，交AB于D，过点O作OE∥AB，交BC于E．
（1）求证：ED为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，ED=4，EO的延长线交⊙O于F，连DF、AF，求△ADF的面积．
【正确答案】（1）见解析；（2）△ADF的面积是．
【详解】试题分析：（1）连接OD，CD，求出∠BDC=90°，根据OE∥AB和OA=OC求出BE=CE，推出DE=CE，根据SSS证△ECO≌△EDO，推出∠EDO=∠ACB=90°即可；
（2）过O作OM⊥AB于M，过F作FN⊥AB于N，求出OM=FN，求出BC、AC、AB的值，根据sin∠BAC＝，求出OM，根据cos∠BAC＝，求出AM，根据垂径定理求出AD，代入三角形的面积公式求出即可．
试题解析：
（1）证明：连接OD，CD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠CDA=90°=∠BDC，
∵OE∥AB，CO=AO，
∴BE=CE，
∴DE=CE，
∵在△ECO和△EDO中
，
∴△ECO≌△EDO，
∴∠EDO=∠ACB=90°，
即OD⊥DE，OD过圆心O，
∴ED为⊙O的切线．
（2）过O作OM⊥AB于M，过F作FN⊥AB于N，
则OM∥FN，∠OMN=90°，
∵OE∥AB，
∴四边形OMFN是矩形，
∴FN=OM，
∵DE=4，OC=3，由勾股定理得：OE=5，
∴AC=2OC=6，
∵OE∥AB，
∴△OEC∽△ABC，
∴，
∴，
∴AB=10，
在Rt△BCA中，由勾股定理得：BC==8，
sin∠BAC=，
即 ，
OM==FN，
∵cos∠BAC=，
∴AM=
由垂径定理得：AD=2AM=，
即△ADF的面积是AD×FN=××=．
答：△ADF的面积是．
考查了切线的性质和判定，勾股定理，三角形的面积，垂径定理，直角三角形的斜边上中线性质，全等三角形的性质和判定等知识点的运用，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力．
22. 某县为了丰富初中学生的大课间，要求各学校开展形式多样的阳光体育某中学就“学生体育兴趣爱好”的问题，随机了本校某班的学生，并根据结果绘制成如下的没有完整的扇形统计图和条形统计图：
在这次中，喜欢篮球项目的同学有多少人？
在扇形统计图中，“乒乓球”的百分比为多少？
如果学校有800名学生，估计全校学生中有多少人喜欢篮球项目？
请将条形统计图补充完整；
在被的学生中，喜欢篮球的有2名女同学，其余为男同学现要从中随机抽取2名同学代表班级参加校篮球队，请运用列表或树状图求出所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的概率．
【正确答案】人；；人；见解析
【分析】(1)先利用跳绳的人数和它所占的百分比计算出的总人数，再用总人数分别减去喜欢其它项目的人数可得到喜欢篮球项目的人数；
(2)依据喜欢乒乓球的人数，即可计算出喜欢乒乓球项目的百分比；
(3)用800乘以样本中喜欢篮球项目的百分比可估计全校学生中喜欢篮球项目的人数；
(4)依据喜欢篮球项目的人数，即可将条形统计图补充完整；
(5)画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】在这次中，总人数为人，
喜欢篮球项目的同学有人人；
在扇形统计图中，“乒乓球”的百分比为；
如果学校有800名学生，估计全校学生中喜欢篮球项目的有人；
条形统计图：
画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的结果数为12，
所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的概率．
本题考查了条形统计图、扇形统计图、列表法或树状图法求概率，准确识图，从没有同的统计图中得到必要的信息是解题的关键.本题还考查的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23. 如图，四边形ABCD是平行四边形，点A（1，0），B（4，1），C（4，3），反比例函数y=的图象点D，点P是函数y=mx+3﹣4m（m≠0）的图象与该反比例函数图象的一个公共点；
（1）求反比例函数的解析式；
（2）通过计算说明函数y=mx+3﹣4m的图象一定过点C；
（3）对于函数y=mx+3﹣4m（m≠0），当y随x的增大而增大时，确定点P的横坐标的取值范围，（没有必写过程）
【正确答案】（1）y=；（2）C（4，3）；（3）见解析.
【详解】试题分析：（1）由B（4，1），C（4，3）得到BC⊥x轴，BC=2，根据平行四边形的性质得AD=BC=2，而A点坐标为（1，0），可得到点D的坐标为（1，2），然后把D（1，2）代入y=即可得到k=2，从而可确定反比例函数的解析式；
（2）把x=4代入y=mx+3﹣4m（m≠0）得到y=3，即可说明函数y=mx+3﹣4m（m≠0）的图象一定过点C；
（3）设点P的横坐标为x，由于函数y=mx+3﹣4m（m≠0）过C点，并且y随x的增大而增大时，则P点的纵坐标要小于3，横坐标要小于3，当纵坐标小于3时，由y=得到x＞，于是得到x的取值范围．
试题解析：解：（1）∵B（4，1），C（4，3），
∴BC∥y轴，BC=2，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=2，AD∥y轴，而A（1，0），
∴D（1，2），
∴由反比例函数y=的图象点D，可得k=1×2=2，
∴反比例函数解析式为y=；
（2）∵在函数y=mx+3﹣4m中，当x=4时，y=4m+3﹣4m=3，
∴函数y=mx+3﹣4m的图象一定过点C（4，3）；
（3）点P的横坐标的取值范围：＜x＜4．
如图所示，过C（4，3）作y轴的垂线，交双曲线于E，作x轴的垂线，交双曲线于F，
当y=3时，3=，即x=，
∴点E的横坐标为；
由点C的横坐标为4，可得F的横坐标为4；
∵函数y=mx+3﹣4m的图象一定过点C（4，3），且y随x的增大而增大，
∴直线y=mx+3﹣4m与双曲线的交点P落在EF之间的双曲线上，
∴点P的横坐标的取值范围是＜x＜4．
24. 某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，可售出100件．后来市场，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．
（1）求商场经营该商品原来可获利润多少元？
（2）设后来该商品每件降价x元，商场可获利润y元．
①若商场经营该商品要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？
②求出y与x之间函数关系式，并通过画该函数图象的草图，观察其图象的变化趋势，题意写出当x取何值时，商场获利润没有少于2160元．
【正确答案】（1）可获利润2000元；（2）①每件商品应降价2元或8元；②当2≤x≤8时，商店所获利润没有少于2160元．
【详解】：（1）原来可获利：20×100=2000元；
（2）①y=（20-x）（100+10x）=-10（x2-10x-200），
由-10（x2-10x-200）=2160，
解得：x1=2，x2=8，
∴每件商品应降价2或8元；
②观察图像可得
25. 如图，在平面直角坐标系中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经
过点A、C、B的抛物线的一部分C1与点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封
闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C2：（＜0）的顶点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC面积？若存在，求出△PBC面积的值；若没有存在，请说明理由；
（3）当△BDM为直角三角形时，求的值．
【正确答案】（1）A（，0）、B（3，0）．
（2）存在．S△PBC值为
（3）或时，△BDM为直角三角形．
【分析】（1）在中令y=0，即可得到A、B两点的坐标．
（2）先用待定系数法得到抛物线C1的解析式，由S△PBC = S△POC+ S△BOP–S△BOC得到△PBC面积的表达式，根据二次函数最值原理求出值．
（3）先表示出DM2，BD2，MB2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m的值．
【详解】解：（1）令y=0，则，
∵m＜0，∴，解得：，．
∴A（，0）、B（3，0）．
（2）存在．理由如下：
∵设抛物线C1的表达式为（），
把C（0，）代入可得，．
∴Ｃ1的表达式为：，即．
设P（p，），
∴ S△PBC = S△POC+ S△BOP–S△BOC=．
∵<0，∴当时,S△PBC值为．
（3）由C2可知： B（3，0），D（0，），M（1，），
∴BD2=，BM2=，DM2=．
∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：
当∠BMD=90°时，BM2+ DM2= BD2，即＋=，
解得：,(舍去)．
当∠BDM=90°时，BD2+ DM2= BM2，即＋=，
解得：，(舍去) ．
综上所述，或时，△BDM为直角三角形．
26. 如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题：
（1）求证：△BEF∽△DCB；
（2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，求t的值；
（3）如图2过点Q作QG⊥AB，垂足为G，当t为何值时，四边形EPQG为矩形，请说明理由；
（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由．
【正确答案】（1）证明见解析（2）2；（3）；（4）t=1或3或或秒时，△PQF是等腰三角形
【详解】解：（1）∵四边形是矩形，
在中，
分别是的中点，
（2）如图1，过点作于，
（舍）或秒；
四边形为矩形时,如图所示：
解得：
当点在上时，如图2，
当点在上时， 如图3，
时，如图4，
时，如图5，
综上所述，或或或秒时，是等腰三角形．
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