2023宿迁泗阳县实验高级中学高一下学期第一次质量调研数学试题含解析

2022-2023学年第二学期泗阳县实验高级中学高一年级第一次质量调研数学试卷

分值：150分； 时长：120分钟

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知向量，，若与方向相反，则等于（    ）

A. 1 B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据向量共线可求出，再根据方向相反判断即可得出答案.

【详解】因为向量，，

若与共线，则，

解得；

当时，，，，两向量同向，不合题意；

当时，，，，两向量反向，满足题意.

故选：C.

2. 在中，，，，则此三角形（    ）

A. 无解 B. 一解

C. 两解 D. 解的个数不确定

【答案】C

【解析】

【分析】利用正弦定理求出的值，再根据所求值及a与b的大小关系即可判断作答.

【详解】在中，，，，

由正弦定理得，而为锐角，且，

则或，

所以有两解．

故选：C

3. 设为所在平面内一点，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由，结合得出.

【详解】由题意可知，为所在平面内一点，，如下图所示

①；②

因为，代入①中可得③

由②③可得，

故选：B

4. 已知函数的部分函数值如下表所示：

那么函数的一个零点的近似值（精确度为0.01）为（    ）

A. 0.55 B. 0.57 C. 0.65 D. 0.7

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件直接判断函数的单调性，再结合零点存在性定理判断作答.

【详解】函数在R上单调递增，

由数表知：，

由零点存在性定义知，函数零点在区间内，

所以函数的一个零点的近似值为.

故选：B

5. 求值：（    ）

A.  B.  C.  D. 1

【答案】C

【解析】

【分析】由为特殊角，

根据和差化积代入原式即可求解．

【详解】

.

故选C

【点睛】本题考查了三角函数化简求值，要掌握住和差化积公式．

6. 设为锐角，若，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据二倍角的正弦公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.

【详解】因为为锐角，所以，因此，

所以，于是有：

.

故选：B

7. 在中，，则此三角形的形状是（    ）

A. 等边三角形 B. 钝角三角形

C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形

【答案】C

【解析】

【分析】利用三角恒等变换公式将公式变形，转化方向是变成简单的三角方程求角的值，通过角的值来确定的形状．

【详解】，

，

，

，即，

，.

故此三角形为直角三角形.

故选C

【点睛】考查利用三角恒等变换公式进行灵活变形的能力，此题训练掌握相关公式的熟练程度以及选择变形方向的能力，属于基础题．

8. 已知是定义在上的偶函数，且满足，当时，，若函数（其中且）恰有个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由函数（其中且）恰有个不同的零点，得，即，恰有个不同的解，，又得函数是周期函数，且最小正周期，函数为偶函数，图象关于直线对称，根据数形结合及即可.

【详解】由题知，

因为函数（其中且）恰有个不同的零点，

所以，即，恰有个不同的解，

令

因为由函数是偶函数知，函数的图象关于轴对称，

由，

所以函数是周期函数，且最小正周期，

因为易知函数为偶函数，图象关于直线对称，

当时，由函数的图象与函数的图象知，

函数的图象与函数的图象有且只有2个交点，

即方程有且只有2个不相等的实数根，不符合题意，舍去；

当时，在同一坐标系中作出函数图象与函数的图象，

如图所示，由图知，函数图象与函数的图象有6个不同交点，

即方程有6个不相等的实数根，

所以，解得，

故选：B.

二、选择题：本题共4小题.每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列等式成立的是（　　）

A.

B.

C.

D.

【答案】AD

【解析】

【详解】利用两角和差公式和二倍角公式依次判断各个选项即可．

【解答过程】对于A，，A正确；

对于B，，B错误；

对于C，，C错误；

对于D，，D正确.

故选：AD.

10. 已知是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（    ）

A.

B. 若，则；

C. 非零向量和，满足，则与的夹角为；

D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】对A，根据数量积的运算推导即可；

对B，举反例推导即可；

对C，根据画图分析即可；

对D，根据平面向量满足的运算律求解判断即可

【详解】对A，，因为，故成立，A正确；

对B，当为零向量时，可以不为相等向量，故B错误；

对C，因为，易得可构成正三角形，由平行四边形法则可知与的夹角为，故C正确；

对D，，故D正确

故选：ACD

【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的理解与运算律、数形结合解决平面向量的问题，属于基础题

11. 对于，有如下命题，其中正确的有（    ）

A. 若，则是等腰三角形

B. 若，则一定为直角三角形

C. 若，则为锐角三角形

D. 若，则一定是等边三角形

【答案】BCD

【解析】

【分析】直接利用三角函数关系式恒等变换，正弦定理的应用，三角形形状判定的应用判断选项即可.

【详解】A：由，得或，得或，

所以是等腰三角形或直角三角形，故A错误；

B：由得，

整理得，有，

又，所以，故，得，

所以一定是直角三角形，故B正确；

C：由于，整理得，

有，又，

所以，所以，

所以是锐角三角形，故C正确；

D：，根据三角形的内角的范围和函数余弦值的取值，

当且仅当时关系式成立，所以一定等边三角形，故D正确.

故选：BCD

12. 已知，若存在，使得，则下列结论错误的有（    ）

A. 实数的取值范围为

B.

C.

D. 的最大值为1

【答案】AD

【解析】

【分析】根据分段函数解析式画出函数图象，再利用方程的根的个数即为函数图象的交点个数，即可求得实数的取值范围，再利用图象判断出根的分布情况即可做出判断.

【详解】由函数可知其图象如下图所示，

又因为存在，使得，

所以函数与有三个不同的交点，

根据图象可知，故A错误；

根据函数图像可知，所以

得，即，故B正确；

显然，且关于对称，所以，故C正确；

因为，且，所以，

，当且仅当时，等号成立；

又因为，所以，故D错误；

故选：AD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知函数的零点在区间内，则_______．

【答案】2

【解析】

【详解】 ， ，且函数在定义域内递增，所以函数零点所在的区间为 ，所以 ，故答案为 .

14. 已知向量，，，则在上的投影向量的坐标为__________

【答案】

【解析】

【分析】利用向量的投影向量公式即可直接求出结果.

【详解】因为，，所以，又，

所以在上的投影向量的坐标为，

故答案为：.

15. 若，则实数的值为_________

【答案】2

【解析】

【分析】由已知解得，然后分子分母同乘以，再由两角差的正弦公式、诱导公式、二倍角公式变形后可得．

【详解】由已知

，

故答案为：2.

16. 在斜三角形△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，的最小值为____________

【答案】##

【解析】

【分析】利用正弦定理，同角三角函数的基本关系和基本不等式即可求解.

【详解】因为，由正弦定理可得，

又因为，所以，

整理可得，因为，

所以，且，

，

则

，

当且仅当，即时取等号，此时取得最小值，

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知都是锐角，且，.

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【详解】试题分析：（1）因为都是锐角，而，可得 ，由同角三角函数基本关系式得 ；（2）凑角可得 ，由两角差的余弦公式展开，代值即可得解.

试题解析：（1）因为，所以，

又因为，所以.

利用同角三角函数的基本关系可得，且，

解得.

（2）由（1）可得，.

因为为锐角，，所以.

所以

.

18. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．

（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；

（2）若，求的值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】(1)由题意结合余弦定理得到关于c的方程，解方程可得边长c的值；

(2)由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得的值，然后由诱导公式可得的值.

【详解】（1）因为，

由余弦定理，得，即.

所以.

（2）因为，

由正弦定理，得，所以.

从而，即，故.

因为，所以，从而.

因此.

【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.

19. 已知向量.

（1）求向量与夹角的余弦值；

（2）若，求的值.

【答案】（1），（2）

【解析】

【分析】（1）先求出，然后由化简可求出，再利用两向量的夹角公式可求得结果；

（2）由，得，化简后可求出的值.

【详解】解：（1）由，得，

由，得，，所以，

设向量与夹角为，则；

（2）因为，

所以，即，

所以，解得.

20. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.

问题：在中，角A、、对应的边分别为、、，若，___________，

（1）求角的值；

（2）求的最小值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）选择①，由诱导公式，两角和的余弦公式展开后求得，从而得角；

选择②，由二倍角公式、诱导公式变形求得，从而得角；

选择③，由正弦定理化边为角，然后由诱导公式、两角和的正弦公式化简后求得，从而得角；

（2）由余弦定理交代入已知条件，利用二次函数知识得最小值．

【小问1详解】

若选择①：（1）在中，有，

则由题可得：，

， 

，，

又，所以，，则.  

又，所以；

若选择②：（1）在中，有，

则由题可得，

解得或（舍去），

又，所以；

若选择③：（1）由正弦定理可将已知条件转化为，

，

代入上式得，       

又，所以，，，

又，所以．

【小问2详解】

因为，所以，.

由余弦定理可得：

，

，又，

所以，当时，，即的最小值为；

21. 北京冬奥会已于月日开幕，“冬奥热”在国民中迅速升温，与冬奥会相关的周边产品也销量上涨.因可爱而闻名的冰墩墩更是成为世界顶流，在国内外深受大家追捧.对某商户所售的冰墩墩在过去的一个月内（以天计）的销售情况进行调查发现：冰墩墩的日销售单价（元/套）与时间（被调查的一个月内的第天）的函数关系近似满足（常数），冰墩墩的日销量（套）与时间的部分数据如表所示：

已知第天该商品日销售收入为元，现有以下三种函数模型供选择：

①，②，③

（1）选出你认为最合适的一种函数模型，来描述销售量与时间的关系，并说明理由；

（2）根据你选择的模型，预估该商品的日销售收入（，）在哪天达到最低．

【答案】（1）模型③最合适，理由见解析；   

（2）第天达到最低.

【解析】

【分析】（1）结合表中数据及其增速较慢的特点，分别对指数型、二次函数型、幂函数型三种函数模型进行分析，即可选出最合适的一种函数模型；

（2）由表中数据和第天日销售收入，分别求出第（1）问中选择的模型和中的参数，代入，化简后使用基本不等式求解.

【小问1详解】

模型③最合适，理由如下：

对于模型①，为指数型函数模型，表格中对应数据递增的速度较慢，故模型①不合适；

对于模型②，为二次函数模型，其图象关于直线对称，有，与表中数据不符，故模型②不合适；

对于模型③，幂函数型增长模型满足表格中对应数据较慢的递增速度，将表中数据，代入模型③，有

，解得，

∴，

经验证，均满足表中数据，

因此，使用模型③来描述销售量与时间的关系最合适.

【小问2详解】

∵第天冰墩墩的日销售单价（元/套），

∴第天的日销售收入为（元），

∴，

∴，

由（1）所选模型③，当且时，

（元）

当且仅当，即时，等号成立，

∴在第天时，该商品的日销售收入达到最低元.

22. 在△中，满足：，M是的中点.

（1）若O是线段上任意一点，且，求的最小值；

（2）若点P是内一点，且，，，求的最小值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）根据分配律化简，结合二次函数的性质求得最小值.

（2）设，求得、，进而求得的表达式，结合基本不等式求得最小值.

【详解】（1），，

设，则，而，

，

当且仅当时，的最小值是.

（2）设，

，，，

，

同理：，

当且仅当时，

所以.

【点睛】求向量的模时，可考虑使用来进行求解.