甘肃省兰州第一中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试卷（含答案）

甘肃省兰州第一中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、设两个非零向量，不共线，且，，，则(   )

A.A，C，D三点共线 B.A，B，C三点共线

C.B，C，D三点共线 D.A，B，D三点共线

2、已知，，，则向量在方向上的投影为(   )

A.4 B. C. D.2

3、已知向量，，，若，则(   )

A.1 B. C. D.3

4、八卦是中国文化中的哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，给出下列结论：

①；

②；

③；

④.

其中正确的结论为(   )

A.①②④ B.①③④ C.②③④ D.①②③

5、如图，在中，点Q为线段上靠近点A的三等分点，点P为线段上靠近点B的三等分点，则(   )

A. B. C. D.

6、已知非零向量与满足，且，则为(   )

A.等腰非直角三角形 B.直角非等腰三角形

C.等腰直角三角形  D.等边三角形

7、设向量，满足，，与的夹角为，则(   )

A. B. C. D.3

8、已知O为坐标原点，点，点，点，，则(   )

A.  B.

C. D.

二、多项选择题

9、如果，是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中正确的是(   )

A.可以表示平面内的所有向量

B.对于平面内任一向量，使的实数对有无穷个

C.若向量与共线，则有且只有一个实数，使得

D.若存在实数，使得，则

10、已知，，是三个非零向量，则下列命题中真命题为(   )

A.

B.，反向

C.

D.

11、中，，，则下列叙述正确的是(   )

A.的外接圆的直径为4

B.若，则满足条件的有且只有1个

C.若满足条件的有且只有1个，则

D.若满足条件的有两个，则

12、已知为第一象限角，为第三象限角，且，，则可以为(   )

A. B. C. D.

三、填空题

13、已知向量、、在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则=___________.

14、如图，正方形中，E为的中点，若，则的值为________.

15、已知，，若与的夹角为钝角，求的取值范围为___________.

16、已知，，且，则_________；_______.

四、解答题

17、计算下列各式：

(1)；

(2).

18、已知，为平面向量，且.

(1)若，且，求向量的坐标；

(2)若，且向量与平行，求实数k的值.

19、在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，且的面积为.

(1)若，求的值；

(2)求的取值范围.

20、一艘从南京驶往重庆的客船“东方之星”在长江中游湖北监利水域遭遇龙卷风翻沉.如图所示，A，B是江面上位于东西方向相距千米的两个观测点.现位于A点北偏东，B点北偏西的客船东方之星(D点)发出求救信号，位于B点南偏西且与B点相距千米的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30千米每小时，该救援船到达D点需要多长时间？

21、已知在中，A，B，C所对边分别为a，b，c，且，.

(1)若，求的面积；

(2)若，求的周长.

22、在如图所示的平面图形中，已知，，，，求：

(1)设，求的值；

(2)若，且，求的最小值及此时的夹角.

参考答案

1、答案：D

解析：对于A，，，

不存在实数，使得成立，A，C，D三点不共线，A错误；

对于B，，，

不存在实数，使得成立，A，B，C三点不共线，B错误；

对于C，，，

不存在实数，使得成立，B，C，D三点不共线，C错误；

对于D，，，

，A，B，D三点共线，D正确.

故选：D.

2、答案：B

解析：由题意得：，

向量在方向上的投影为：，

本题正确选项：B.

3、答案：A

解析：解：由，所以，，解得，，所以，

故选：A.

4、答案：C

解析：对于①，，①错误；

对于②，由正八边形性质知：，，设，

，M为中点，，

，，，

又，，②正确；

对于③，，

由正八边形性质知：且，即，

，又，

，③正确；

对于④，，④正确.

故选：C.

5、答案：B

解析：

.

故选：B.

6、答案：C

解析：由，得，得，得，

所以，

因为，所以，

所以，

所以，即，

所以为等腰直角三角形.

故选：C.

7、答案：B

解析：，，

又，.

，整理得，，

.

故选：B.

8、答案：C

解析：对于A，，，

，，A错误；

对于B，，，

，，

，B错误；

对于C，，，，

又，

，C正确；

对于D，，，

，D错误.

故选：C.

9、答案：AD

解析：，是平面内两个不共线的向量，，可以作为平面的一组基底；

对于A，由平面向量基本定理可知：可以表示平面内的所有向量，A正确；

对于B，对于平面内任意向量，有且仅有一个实数对，使得，B错误；

对于C，当时，与均为零向量，满足两向量共线，此时使得成立的有无数个，C错误；

对于D，由得：，又，不共线，，即，D正确.

故选：AD.

10、答案：ABC

解析：A.(为与的夹角)，

由及，为非零向量可得，或，且以上各步均可逆.故命题A是真命题；

B.若，反向，则，的夹角为，且以上各步均可逆.故命题B是真命题；

C.当时，将向量，的起点移至同一点，则以向量，为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有.反过来，若，则以，为邻边的四边形为矩形，所以有.故命题C是真命题.

D.当但与的夹角和与的夹角不等时，就有，反过来由也推不出.故命题D是假命题.

故选：ABC.

11、答案：ABD

解析：解：由正弦定理得，故A正确；

对于B，C，D选项：如图：以A为圆心，为半径画圆弧，该圆弧与射线的交点个数，即为解得个数.

易知当，或即时，三角形为直角三角形，有唯一解；

当时，三角形等腰三角形，也是唯一解；

当，即，时，满足条件的三角形有两个.

故B，D正确，C错误.

故选：ABD.

12、答案：CD

解析：因为为第一象限角，

所以，，，，

因为，所以，

所以是第二象限角，所以，为第三象限角，

所以，，，，

因为，所以是第二象限角或第三象限角，

当是第二象限角时，，

此时

，

当是第三象限角时，，

此时

，

故选：CD.

13、答案：

解析：建立直角坐标系如图所示，将，平移至与相同起点O的位置，

由于每一小方格的边长为1，则，，，

所以，

故，

故答案为：.

14、答案：-3

解析：在中，E为的中点，所以，所以，又，故，，所以.答案：.

15、答案：

解析：解：与的夹角为钝角，所以且与不共线，

由得，由与不共线，得，，

所以的取值范围为：.

故答案为：.

16、答案：；

解析：，，；

，

，，，，，

，.

故答案为：；.

17、答案：(1)

(2)

解析：(1)

；

(2)

.

18、答案：(1)或

(2)

解析：(1)设，因为，所以①，

又因为，所，即②，

由①②联立得，解之得或，

则所求向量的坐标为或.

(2)因为，，

所以，，

又因为向量与平行，所以，

解之得.

19、答案：(1)

(2)

解析：(1)由，得①，

由，得②，

联立①②可解得，，，

，

又，则，.

(2)由(1)知，

则

，

因为，所以，

所以的取值范围是.

20、答案：1小时

解析：由题意知：，，，

，，

，

在中，由正弦定理得：，

在中，由余弦定理得：

，

解得：，

救援船到达D点需要的时间，即需要1小时.

21、答案：(1)

(2)或

解析：(1)，

.

(2)依题意，正弦定理：，

所以代入计算：，则.

当B为锐角时，

，

所以，

当B为钝角时，

，

所以，

综上：或.

22、答案：(1)0

(2)的最小值为，为

解析：(1)解：因为，，

所以，所以，，

即.

(2)解：记，

因为，所以，

设，则，

所以

，

当时，取最小值，即最小值为，

又，所以，

所以，

即，

所以的最小值为，此时为.