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04讲 力与曲线运动之万有引力解析版
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这是一份04讲 力与曲线运动之万有引力解析版，共15页。试卷主要包含了重力和万有引力的关系，人造卫星做匀速圆周运动，三类天体问题，5倍，C错误；等内容，欢迎下载使用。
力与运动的思维导图
重难点突破
1.重力和万有引力的关系
(1)不考虑地球自转，地球表面附近物体的重力等于物体与地球间的万有引力m即有:G=mg，化简得GM=gR2(黄金代换)
(2)在赤道：
在两极重力等于万有引力，重力加速度最大。
2.人造卫星做匀速圆周运动
(1)常用等式:人造卫星∶把人造卫星的运动看成是匀速圆周运动，卫星所需的向心力由万有引力提供，即
结论:卫星运行半径越大，向心加速度、线速度、角速度越小，周期越大万有引力、动能越小，引力势能越大。
3.三类天体问题
(1)近地卫星.(2)同步卫星.(3)双星.
注意天体运动的三个区别
(1)中心天体和环绕天体的区别；
(2)自转周期和公转周期的区别；
(3)星球半径和轨道半径的区别.
4．用万有引力定律计算天体的质量和密度
(1).已知天体表面的重力加速度g和天体半径R
由于，故天体质量。
天体密度。
(2).已知卫星绕天体做匀速圆周运动的周期及轨道半径
由万有引力提供向心力得，故中心天体质量。
若已知天体的半径R，则天体的密度
若卫星环绕天体表面运动，其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度。 此条件
下，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可求得中心天体的密度。
考点应用
1.解决天体运动问题的两条常用思路
(1)将天体的运动看做匀速圆周运动，中心天体对它的万有引力提供运动所需要的向心力
即G eq \f(Mm,r2)＝ma＝m eq \f(v2,r)＝mω2r＝m eq \f(4π2,T2)r。
(2)中心天体对其表面附近的物体的万有引力等于物体所受的重力，即 eq \f(GMm,R2)＝mg或GM＝gR2(R、g和M分别是中心天体的半径、表面重力加速度和质量)。公式GM＝gR2应用广泛，被称为“黄金代换式”。
例1：神舟十四号飞船已于2022年6月5日上午在酒泉卫星发射中心成功发射升空，飞船人轨后，按照预定程序，成功与空间站组合体进行自主快速交会对接。若新的组合体总质量为m，运行在离地高为的圆轨道上，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，则新的组合体在轨运动时的动能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】组合体在圆轨道时，万有引力提供向心力
在地球表面时，有
则新的组合体在轨运动时的动能为
故选C。
跟踪训练1：如图所示，银河航天首发星在距地面高度为h的圆轨道Ⅲ上做匀速圆周运动（h小于地球同步卫星距地面的高度），I是运行周期为T1的近地圆轨道（可视为轨道半径等于地球半径），Ⅱ为与轨道I、Ⅲ相切的椭圆轨道，切点分别为A、B。已知地球半径为R，地球自转周期为T0，第一宇宙速度大小为v0，则下列说法中正确的是（ ）
A．银河航天首发星运行的周期大于T0
B．银河航天首发星绕地球运行的速度大于v0
C．若卫星在轨道Ⅱ上运行则周期
D．若卫星在轨道Ⅱ上运行一周，其必定有两处位置的速度大小等于v0
【答案】D
【详解】A．由开普勒第三定律
由于同步卫星的周期为，且银河航天首发星距地面高度h小于地球同步卫星距地面的高度，则银河航天首发星周期小于同步卫星周期，故A错误；
B．第一宇宙速度v0为绕地表面速度，由公式解得
可知r越大，v越小，则银河航天首发星绕地球运行的速度小于v0，故B错误；
C．由开普勒第三定律可得解得
故C错误；
D．Ⅱ为轨道I到Ⅲ的过渡轨道，在I处速度为v0，要使卫星从I到Ⅱ轨道，则要在I轨道的A处加速做离心运动，则Ⅱ轨道A处速度大于v0，卫星从A到B减速，到B点时速度小于v0。所以从B到A加速，则必定有两处位置的速度大小等于v0，故D正确。
故选D。
2.卫(行)星做椭圆运动时常用的两条规律：
开普勒第三定律
卫星变轨问题应注意的四点
(1)若卫星由高轨道变轨到低轨道，即轨道半径(半长轴)减小时，需要在高轨道变轨处减速；反之，若卫星由低轨道变轨到高轨道，即轨道半径(半长轴)增大时，需要在低轨道变轨处加速。
(2)卫星变轨时速度的变化情况，可根据轨道半径(半长轴)的变化情况判断；稳定的新轨道上运行速度的变化情况可由开普勒第二定律判断。
(3)同一卫星在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径(半长轴)越大，机械能越大。
(4)卫星经过不同轨道相交的同一点时加速度相等。
例2：卫星的轨道与发射速度的关系如下图所示，假设质量为的同一颗卫星的四条轨道曲线相切于同一点P（紧贴地面）。已知地球半径为R，表面的重力加速度为g，规定质量为m的探测器与质量为M的星球的中心距离为r时，其重力势能的表达式为。则下列说法正确的是（ ）
A．卫星运动到P点，圆轨道对应的加速度最大
B．卫星在四条轨道的P点运行的速度大小均相等
C．卫星在圆轨道上的重力势能为0
D．卫星在圆轨道上的机械能为
【答案】D
【详解】A．同一颗卫星运动到四条轨道曲线的同一点P，万有引力相同，质量相同，根据牛顿第二定律，加速度相等，选项A错误；
B．从低轨道的P点进入高轨道的P点需要加速，即卫星在四条轨道的P点运行的速度大小不相等，选项B错误；
CD．对圆轨道由
可得
则卫星的机械能为
选项C错误，D正确。
故选D。
跟踪训练2：2022年4月16日，神舟十三号载人飞船顺利脱离“天和”核心舱返回地面。将神舟十三号的返回过程简化为如图所示轨道模型，神舟十三号载人飞船与“天和”核心舱一起在轨道I上绕地球做匀速圆周运动，神舟十三号载人飞船与“天和”核心舱在B点分离后进入椭圆轨道II，随后从A点进入近地圆轨道III。设地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，圆轨道I的半径为地球半径的k倍，不考虑地球自转和公转的影响。下列说法正确的是（ ）
A．宇航员在轨道III上的机械能小于在轨道I上的机械能
B．载人飞船在轨道II上B点的加速度大小为
C．由题目信息可得载人飞船在轨道II上的运行周期
D．载人飞船在A点由轨道II进入轨道III时需加速
【答案】AC
【详解】A．飞船从低轨道到高轨道需要加速离心，除了万有引力的其他力做正功，机械能变大，所以宇航员在轨道III上的机械能小于在轨道I上的机械能，故A正确；
B．设地球的质量为M，载人飞船的质量为m，载人飞船在轨道II上A点的加速度大小为 根据万有引力等于重力得在轨道II上B点，有
所以载人飞船在轨道II上B点的加速度大小为
故B错误；
C．载人飞船在轨道III上运行时，根据万有引力提供向心力得 得
根据开普勒第三定律得得载人飞船在轨道II上的运行周期为
故C正确；
D．载人飞船在A点由轨道II进入轨道III时做近心运动，需减速，故D错误。
故选AC。
3.用万有引力定律计算天体的质量和密度的注意事项与易错点：
(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。
(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近运动的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝eq \f(4,3)πR3中的R只能是中心天体的半径。
(3)在考虑中心天体自转问题时，只有在两极处才有eq \f(GMm,R2)＝mg。
例3：已知地球半径为R，月球半径为r，地球与月球之间的距离（两球中心之间的距离）为L。月球绕地球公转的周期为T1，地球自转的周期为T2，地球绕太阳公转周期为T3，假设公转运动都视为圆周运动，万有引力常量为G，由以上条件可知（ ）
A．地球的质量为 B．太阳的质量为
C．地球的密度为ρ= D．月球绕地球运动的加速度为a=
【答案】D
【详解】A．月球绕地球公转时，根据万有引力提供向心力可得
故A错误；
B．地球绕太阳公转时，地球中心到太阳中心的距离未知，无法求解太阳的质量，故B错误；
C．物体在地球表面绕地球运转时，设其周期为，根据万有引力提供向心力
可得根据密度公式可知地球的密度为
但是绕地球表面的物体的周期，故C错误；
D．月球绕地球公转时，根据牛顿第二定律
可得
故D正确。
跟踪训练3：2022年1月20日，中国国家航天局发布了由环绕火星运行的天问一号探测器及其正在火星表面行走的祝融号火星车发送回来的一组包含探测器与火星合影新图像引起了西方媒体的广泛关注。已知天问一号探测器绕火星运动的周期为T，火星的半径为R，“祝融号”火星车的质量为m，在火星表面的重力大小为G1，万有引力常量为G，忽略火星的自转，则下列不正确的是（ ）
A．火星表面的重力的加速度为 B．火星的质量为
C．火星的平均密度为 D．天问一号距火星地面的高度为
【答案】B
【详解】A．设“祝融号”火星车的质量为m，设火星表面的重力加速度为，“祝融号”质量不变，在火星表面 解得
选项A正确；
B．忽略火星的自转，设火星质量为M，在火星表面上则有解得
选项B错误；
C．火星的平均密度为
选项C正确；
D．天问一号绕火星运动过程有
解得天问一号距地面的高度为
选项D正确。
本题选不正确项，故选B。
基础训练
1．为研究太阳系内行星的运动，需要知道太阳的质量，已知地球半径为R，地球质量为m，太阳与地球中心间距为r，地球表面的重力加速度为g，地球绕太阳公转的周期为T。则太阳的质量为（忽略地球自转）（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】由万有引力定律和向心力公式得
假设地球表面有一个质量为的物体，根据地球表面的物体受到的万有引力近似等于重力，有
联立两式得
故选D。
2．Kepler452b行星是迄今为止天文学家发现的离地球最近的“孪生星球”，其围绕一颗恒星做匀速圆周运动，该行星公转周期与地球绕太阳公转周期相近，公转轨道半径与日、地距离相近，直径约为地球直径的1.5倍，表面重力加速度约为地球表面重力加速度的2倍，忽略行星和地球的自转，则（ ）
A．该恒星的质量与太阳的质量相近
B．该恒星的质量约为太阳质量的3倍
C．该行星的质量约为地球质量的3倍
D．该行星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的5倍
【答案】A
【详解】AB．由
解得
由于行星公转周期与地球绕太阳公转周期相近，行星与恒星之间的距离与日、地距离相近，因此恒星质量与太阳质量相近，A正确，B错误；
C．由解得
可知行星的质量约为地球质量的4.5倍，C错误；
D．由解得
可知行星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的倍，错误。
故选A。
3．我国未来将建立月球基地，并在绕月轨道上建造空间站。如图所示，关闭发动机的航天飞机A在月球引力作用下沿椭圆轨道向月球靠近，并将在椭圆的近月点B处与空间站对接、已知空间站绕月轨道半径为r，周期为T，引力常量为G，月球的半径为R。下列判断正确的是（ ）
A．航天飞机到达B处由椭圆轨道进入空间站轨道时必须加速
B．图中的航天飞机正在减速飞向B处
C．月球的第一宇宙速度
D．月球的质量
【答案】D
【详解】A．航天飞机到达B处由椭圆轨道进入空间站轨道时必须减速制动，选项A错误；
B．图中的航天飞机受月球引力，正在加速飞向B处，选项B错误；
C．空间站的线速度
因空间站轨道半径大于月球的半径，则月球的第一宇宙速度不等于，选项C错误；
D．根据
月球的质量
选项D正确。
故选D。
4．同步卫星距地面高度为h，地球表面重力加速度为g，地球半径为R，地球自转周期为，近地卫星周期为，万有引力常量为G，则下列关于地球质量及密度表达式正确的是（ ）
A．地球的质量为B．地球的质量为
C．地球的平均密度为D．地球的平均密度为
【答案】B
【详解】AC．同步卫星周期与地球自转周期相同，为T1，则有
解得地球质量
则地球的平均密度
故AC错误；
B．已知地表重力加速度g，则近地卫星的向心力为
可得地球质量
故B正确；
D．近地卫星的向心力为
地球的平均密度为
地球的体积为
联立解得地球平均密度为
故D错误。
故选B。
5．为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国于2021年发射“天问一号”火星探测器。假设“天问一号”被火星引力捕捉后先在离火星表面高度为h的圆轨道上运动，运行周期分别为；制动后在近火的圆轨道上运动，运行周期为，火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G。仅利用以上数据，下列说法正确的是（ ）
A．可以求得“天问一号”火星探测器的密度为
B．可以求得“天问一号”火星探测器的密度为
C．可以求得火星的密度为
D．由于没有火星的质量和半径，所以无法求得火星的密度
【答案】C
【详解】A．根据万有引力提供向心力
将“天问一号”的质量约掉，无法求得“天问一号”的密度，A错误；
B．有A项分析可知，B错误；
C．根据万有引力提供向心力
求得火星的密度
C正确；
D．由C项分析可知，D错误．
故选C。
能力提升
6．2020年11月24日，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭顺利将嫦娥五号探测器送入预定轨道。嫦娥五号飞到月球后，轨道舱会继续在近月轨道运行。若地球密度为月球密度的k倍，则近地卫星与近月轨道舱的周期之比为（ ）
A．B．
C．k：1D．1：k
【答案】B
【详解】近地卫星绕地球飞行，万有提供向心力，则有
可得 其中
则有
同理可得近月轨道舱的周期为
所以有
故B正确，ACD错误；
故选B。
7．某天文爱好者根据地球和木星的不同卫星做圆周运动的半径r与周期T，现作出如图所示的图象，图线①中c的左侧部分为虚线，图线②中b的左侧部分为虚线。已知引力常量为G，木星质量大于地球质量。下列说法正确的是（ ）
A．图线①是木星卫星运动的规律B．地球的质量为
C．木星的密度为D．木星与地球的密度之比为
【答案】AC
【详解】A．根据万有引力提供向心力有
中心天体质量越大，图象斜率越大，因木星质量大于地球质量，故图线①是木星卫星运动的规律，A项正确；
BCD．图线②是地球卫星运动的规律，故
解得
同理
c、b的左侧部分为虚线，故木星的半径的三次方，根据木星的密度
解得同理可得
故
C正确，BD项错误。
故选AC。
8．2007年10月24日，我国在西昌卫星发射中心成功发射了一颗绕月探测卫星“嫦娥一号”，2030年是中国计划载人登月的时间点。若在月球表面A点的正上方以初速度将一物块（可视为质点）竖直上抛，当物块上升到最高点B时，测得A、B两点间的距离为，月球可视为均匀球体且半径为（远小于），引力常量为G。求月球的平均密度。
【答案】
【详解】在月球表面物块竖直上抛，则有
在月球表面有
月球视为球体，其体积为
月球的平均密度为
联立解得
9．已知我国“天问一号”火星探测器绕火星做匀速圆周运动的周期为T，距火星表面的高度为h，火星的半径为R，引力常量为G。求：
（1）“天问一号”火星探测器的运行速度大小；
（2）火星的平均密度。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）根据圆周运动角速度与线速度的关系可得火星探测器的运行速度为
（2）设火星探测器的质量为m，火星探测器做圆周运动的向心力由万有引力提供，则有
解得
联合解得
力与运动的思维导图
重难点突破
1.重力和万有引力的关系
(1)不考虑地球自转，地球表面附近物体的重力等于物体与地球间的万有引力m即有:G=mg，化简得GM=gR2(黄金代换)
(2)在赤道：
在两极重力等于万有引力，重力加速度最大。
2.人造卫星做匀速圆周运动
(1)常用等式:人造卫星∶把人造卫星的运动看成是匀速圆周运动，卫星所需的向心力由万有引力提供，即
结论:卫星运行半径越大，向心加速度、线速度、角速度越小，周期越大万有引力、动能越小，引力势能越大。
3.三类天体问题
(1)近地卫星.(2)同步卫星.(3)双星.
注意天体运动的三个区别
(1)中心天体和环绕天体的区别；
(2)自转周期和公转周期的区别；
(3)星球半径和轨道半径的区别.
4．用万有引力定律计算天体的质量和密度
(1).已知天体表面的重力加速度g和天体半径R
由于，故天体质量。
天体密度。
(2).已知卫星绕天体做匀速圆周运动的周期及轨道半径
由万有引力提供向心力得，故中心天体质量。
若已知天体的半径R，则天体的密度
若卫星环绕天体表面运动，其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度。 此条件
下，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可求得中心天体的密度。
考点应用
1.解决天体运动问题的两条常用思路
(1)将天体的运动看做匀速圆周运动，中心天体对它的万有引力提供运动所需要的向心力
即G eq \f(Mm,r2)＝ma＝m eq \f(v2,r)＝mω2r＝m eq \f(4π2,T2)r。
(2)中心天体对其表面附近的物体的万有引力等于物体所受的重力，即 eq \f(GMm,R2)＝mg或GM＝gR2(R、g和M分别是中心天体的半径、表面重力加速度和质量)。公式GM＝gR2应用广泛，被称为“黄金代换式”。
例1：神舟十四号飞船已于2022年6月5日上午在酒泉卫星发射中心成功发射升空，飞船人轨后，按照预定程序，成功与空间站组合体进行自主快速交会对接。若新的组合体总质量为m，运行在离地高为的圆轨道上，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，则新的组合体在轨运动时的动能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】组合体在圆轨道时，万有引力提供向心力
在地球表面时，有
则新的组合体在轨运动时的动能为
故选C。
跟踪训练1：如图所示，银河航天首发星在距地面高度为h的圆轨道Ⅲ上做匀速圆周运动（h小于地球同步卫星距地面的高度），I是运行周期为T1的近地圆轨道（可视为轨道半径等于地球半径），Ⅱ为与轨道I、Ⅲ相切的椭圆轨道，切点分别为A、B。已知地球半径为R，地球自转周期为T0，第一宇宙速度大小为v0，则下列说法中正确的是（ ）
A．银河航天首发星运行的周期大于T0
B．银河航天首发星绕地球运行的速度大于v0
C．若卫星在轨道Ⅱ上运行则周期
D．若卫星在轨道Ⅱ上运行一周，其必定有两处位置的速度大小等于v0
【答案】D
【详解】A．由开普勒第三定律
由于同步卫星的周期为，且银河航天首发星距地面高度h小于地球同步卫星距地面的高度，则银河航天首发星周期小于同步卫星周期，故A错误；
B．第一宇宙速度v0为绕地表面速度，由公式解得
可知r越大，v越小，则银河航天首发星绕地球运行的速度小于v0，故B错误；
C．由开普勒第三定律可得解得
故C错误；
D．Ⅱ为轨道I到Ⅲ的过渡轨道，在I处速度为v0，要使卫星从I到Ⅱ轨道，则要在I轨道的A处加速做离心运动，则Ⅱ轨道A处速度大于v0，卫星从A到B减速，到B点时速度小于v0。所以从B到A加速，则必定有两处位置的速度大小等于v0，故D正确。
故选D。
2.卫(行)星做椭圆运动时常用的两条规律：
开普勒第三定律
卫星变轨问题应注意的四点
(1)若卫星由高轨道变轨到低轨道，即轨道半径(半长轴)减小时，需要在高轨道变轨处减速；反之，若卫星由低轨道变轨到高轨道，即轨道半径(半长轴)增大时，需要在低轨道变轨处加速。
(2)卫星变轨时速度的变化情况，可根据轨道半径(半长轴)的变化情况判断；稳定的新轨道上运行速度的变化情况可由开普勒第二定律判断。
(3)同一卫星在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径(半长轴)越大，机械能越大。
(4)卫星经过不同轨道相交的同一点时加速度相等。
例2：卫星的轨道与发射速度的关系如下图所示，假设质量为的同一颗卫星的四条轨道曲线相切于同一点P（紧贴地面）。已知地球半径为R，表面的重力加速度为g，规定质量为m的探测器与质量为M的星球的中心距离为r时，其重力势能的表达式为。则下列说法正确的是（ ）
A．卫星运动到P点，圆轨道对应的加速度最大
B．卫星在四条轨道的P点运行的速度大小均相等
C．卫星在圆轨道上的重力势能为0
D．卫星在圆轨道上的机械能为
【答案】D
【详解】A．同一颗卫星运动到四条轨道曲线的同一点P，万有引力相同，质量相同，根据牛顿第二定律，加速度相等，选项A错误；
B．从低轨道的P点进入高轨道的P点需要加速，即卫星在四条轨道的P点运行的速度大小不相等，选项B错误；
CD．对圆轨道由
可得
则卫星的机械能为
选项C错误，D正确。
故选D。
跟踪训练2：2022年4月16日，神舟十三号载人飞船顺利脱离“天和”核心舱返回地面。将神舟十三号的返回过程简化为如图所示轨道模型，神舟十三号载人飞船与“天和”核心舱一起在轨道I上绕地球做匀速圆周运动，神舟十三号载人飞船与“天和”核心舱在B点分离后进入椭圆轨道II，随后从A点进入近地圆轨道III。设地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，圆轨道I的半径为地球半径的k倍，不考虑地球自转和公转的影响。下列说法正确的是（ ）
A．宇航员在轨道III上的机械能小于在轨道I上的机械能
B．载人飞船在轨道II上B点的加速度大小为
C．由题目信息可得载人飞船在轨道II上的运行周期
D．载人飞船在A点由轨道II进入轨道III时需加速
【答案】AC
【详解】A．飞船从低轨道到高轨道需要加速离心，除了万有引力的其他力做正功，机械能变大，所以宇航员在轨道III上的机械能小于在轨道I上的机械能，故A正确；
B．设地球的质量为M，载人飞船的质量为m，载人飞船在轨道II上A点的加速度大小为 根据万有引力等于重力得在轨道II上B点，有
所以载人飞船在轨道II上B点的加速度大小为
故B错误；
C．载人飞船在轨道III上运行时，根据万有引力提供向心力得 得
根据开普勒第三定律得得载人飞船在轨道II上的运行周期为
故C正确；
D．载人飞船在A点由轨道II进入轨道III时做近心运动，需减速，故D错误。
故选AC。
3.用万有引力定律计算天体的质量和密度的注意事项与易错点：
(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。
(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近运动的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝eq \f(4,3)πR3中的R只能是中心天体的半径。
(3)在考虑中心天体自转问题时，只有在两极处才有eq \f(GMm,R2)＝mg。
例3：已知地球半径为R，月球半径为r，地球与月球之间的距离（两球中心之间的距离）为L。月球绕地球公转的周期为T1，地球自转的周期为T2，地球绕太阳公转周期为T3，假设公转运动都视为圆周运动，万有引力常量为G，由以上条件可知（ ）
A．地球的质量为 B．太阳的质量为
C．地球的密度为ρ= D．月球绕地球运动的加速度为a=
【答案】D
【详解】A．月球绕地球公转时，根据万有引力提供向心力可得
故A错误；
B．地球绕太阳公转时，地球中心到太阳中心的距离未知，无法求解太阳的质量，故B错误；
C．物体在地球表面绕地球运转时，设其周期为，根据万有引力提供向心力
可得根据密度公式可知地球的密度为
但是绕地球表面的物体的周期，故C错误；
D．月球绕地球公转时，根据牛顿第二定律
可得
故D正确。
跟踪训练3：2022年1月20日，中国国家航天局发布了由环绕火星运行的天问一号探测器及其正在火星表面行走的祝融号火星车发送回来的一组包含探测器与火星合影新图像引起了西方媒体的广泛关注。已知天问一号探测器绕火星运动的周期为T，火星的半径为R，“祝融号”火星车的质量为m，在火星表面的重力大小为G1，万有引力常量为G，忽略火星的自转，则下列不正确的是（ ）
A．火星表面的重力的加速度为 B．火星的质量为
C．火星的平均密度为 D．天问一号距火星地面的高度为
【答案】B
【详解】A．设“祝融号”火星车的质量为m，设火星表面的重力加速度为，“祝融号”质量不变，在火星表面 解得
选项A正确；
B．忽略火星的自转，设火星质量为M，在火星表面上则有解得
选项B错误；
C．火星的平均密度为
选项C正确；
D．天问一号绕火星运动过程有
解得天问一号距地面的高度为
选项D正确。
本题选不正确项，故选B。
基础训练
1．为研究太阳系内行星的运动，需要知道太阳的质量，已知地球半径为R，地球质量为m，太阳与地球中心间距为r，地球表面的重力加速度为g，地球绕太阳公转的周期为T。则太阳的质量为（忽略地球自转）（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】由万有引力定律和向心力公式得
假设地球表面有一个质量为的物体，根据地球表面的物体受到的万有引力近似等于重力，有
联立两式得
故选D。
2．Kepler452b行星是迄今为止天文学家发现的离地球最近的“孪生星球”，其围绕一颗恒星做匀速圆周运动，该行星公转周期与地球绕太阳公转周期相近，公转轨道半径与日、地距离相近，直径约为地球直径的1.5倍，表面重力加速度约为地球表面重力加速度的2倍，忽略行星和地球的自转，则（ ）
A．该恒星的质量与太阳的质量相近
B．该恒星的质量约为太阳质量的3倍
C．该行星的质量约为地球质量的3倍
D．该行星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的5倍
【答案】A
【详解】AB．由
解得
由于行星公转周期与地球绕太阳公转周期相近，行星与恒星之间的距离与日、地距离相近，因此恒星质量与太阳质量相近，A正确，B错误；
C．由解得
可知行星的质量约为地球质量的4.5倍，C错误；
D．由解得
可知行星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的倍，错误。
故选A。
3．我国未来将建立月球基地，并在绕月轨道上建造空间站。如图所示，关闭发动机的航天飞机A在月球引力作用下沿椭圆轨道向月球靠近，并将在椭圆的近月点B处与空间站对接、已知空间站绕月轨道半径为r，周期为T，引力常量为G，月球的半径为R。下列判断正确的是（ ）
A．航天飞机到达B处由椭圆轨道进入空间站轨道时必须加速
B．图中的航天飞机正在减速飞向B处
C．月球的第一宇宙速度
D．月球的质量
【答案】D
【详解】A．航天飞机到达B处由椭圆轨道进入空间站轨道时必须减速制动，选项A错误；
B．图中的航天飞机受月球引力，正在加速飞向B处，选项B错误；
C．空间站的线速度
因空间站轨道半径大于月球的半径，则月球的第一宇宙速度不等于，选项C错误；
D．根据
月球的质量
选项D正确。
故选D。
4．同步卫星距地面高度为h，地球表面重力加速度为g，地球半径为R，地球自转周期为，近地卫星周期为，万有引力常量为G，则下列关于地球质量及密度表达式正确的是（ ）
A．地球的质量为B．地球的质量为
C．地球的平均密度为D．地球的平均密度为
【答案】B
【详解】AC．同步卫星周期与地球自转周期相同，为T1，则有
解得地球质量
则地球的平均密度
故AC错误；
B．已知地表重力加速度g，则近地卫星的向心力为
可得地球质量
故B正确；
D．近地卫星的向心力为
地球的平均密度为
地球的体积为
联立解得地球平均密度为
故D错误。
故选B。
5．为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国于2021年发射“天问一号”火星探测器。假设“天问一号”被火星引力捕捉后先在离火星表面高度为h的圆轨道上运动，运行周期分别为；制动后在近火的圆轨道上运动，运行周期为，火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G。仅利用以上数据，下列说法正确的是（ ）
A．可以求得“天问一号”火星探测器的密度为
B．可以求得“天问一号”火星探测器的密度为
C．可以求得火星的密度为
D．由于没有火星的质量和半径，所以无法求得火星的密度
【答案】C
【详解】A．根据万有引力提供向心力
将“天问一号”的质量约掉，无法求得“天问一号”的密度，A错误；
B．有A项分析可知，B错误；
C．根据万有引力提供向心力
求得火星的密度
C正确；
D．由C项分析可知，D错误．
故选C。
能力提升
6．2020年11月24日，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭顺利将嫦娥五号探测器送入预定轨道。嫦娥五号飞到月球后，轨道舱会继续在近月轨道运行。若地球密度为月球密度的k倍，则近地卫星与近月轨道舱的周期之比为（ ）
A．B．
C．k：1D．1：k
【答案】B
【详解】近地卫星绕地球飞行，万有提供向心力，则有
可得 其中
则有
同理可得近月轨道舱的周期为
所以有
故B正确，ACD错误；
故选B。
7．某天文爱好者根据地球和木星的不同卫星做圆周运动的半径r与周期T，现作出如图所示的图象，图线①中c的左侧部分为虚线，图线②中b的左侧部分为虚线。已知引力常量为G，木星质量大于地球质量。下列说法正确的是（ ）
A．图线①是木星卫星运动的规律B．地球的质量为
C．木星的密度为D．木星与地球的密度之比为
【答案】AC
【详解】A．根据万有引力提供向心力有
中心天体质量越大，图象斜率越大，因木星质量大于地球质量，故图线①是木星卫星运动的规律，A项正确；
BCD．图线②是地球卫星运动的规律，故
解得
同理
c、b的左侧部分为虚线，故木星的半径的三次方，根据木星的密度
解得同理可得
故
C正确，BD项错误。
故选AC。
8．2007年10月24日，我国在西昌卫星发射中心成功发射了一颗绕月探测卫星“嫦娥一号”，2030年是中国计划载人登月的时间点。若在月球表面A点的正上方以初速度将一物块（可视为质点）竖直上抛，当物块上升到最高点B时，测得A、B两点间的距离为，月球可视为均匀球体且半径为（远小于），引力常量为G。求月球的平均密度。
【答案】
【详解】在月球表面物块竖直上抛，则有
在月球表面有
月球视为球体，其体积为
月球的平均密度为
联立解得
9．已知我国“天问一号”火星探测器绕火星做匀速圆周运动的周期为T，距火星表面的高度为h，火星的半径为R，引力常量为G。求：
（1）“天问一号”火星探测器的运行速度大小；
（2）火星的平均密度。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）根据圆周运动角速度与线速度的关系可得火星探测器的运行速度为
（2）设火星探测器的质量为m，火星探测器做圆周运动的向心力由万有引力提供，则有
解得
联合解得
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