通关练19 等比数列基本量的计算-2023-2024学年学年高二数学高效讲与练(人教A版2019选择性必修第二册)

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一、单选题
1．（2023秋·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期末）设正项等比数列的前项和为，若，则公比为（ ）
A．2或B．3C．2D．
【答案】B
【分析】根据已知条件列方程求得.
【详解】依题意，
即，
，依题意，
所以，由于，故解得.
故选：B
2．（2023秋·天津河北·高二天津外国语大学附属外国语学校校考期末）已知等比数列的前n项和为，若，则的公比（ ）
A．B．C．或1D．或1
【答案】B
【分析】根据等比数列的前n项和公式运算求解，注意讨论公比是否为1.
【详解】当时，则，不合题意，舍去；
当时，则，解得；
综上所述：.
故选：B.
3．（2023秋·福建三明·高二统考期末）在各项均为正数的等比数列中，，，则（ ）
A．16B．C．24D．
【答案】C
【分析】根据，，利用等比数列的通项公式求解.
【详解】解：在各项均为正数的等比数列中，，，
所以，
解得或（舍去）或（舍去），
此时，
所以，
故选：C
4．（2023秋·河南商丘·高二校联考期末）已知在正项等比数列中，，则（ ）
A．10B．12C．14D．16
【答案】B
【分析】根据等比数列性质求解即可。
【详解】因为，解得
所以，所以
故选：B
5．（2023秋·江苏扬州·高三校联考期末）在等比数列中，若，，则的值为（ ）．
A．27B．9C．81D．3
【答案】C
【分析】利用等比数列的通项公式建立条件等式之间的关系计算即可.
【详解】设等比数列的公比为，
由已知得，
故选：C.
6．（2023春·江苏南京·高三校联考期末）设公比为的等比数列的前n项和为．若，，则（ ）
A．128B．64C．32D．16
【答案】A
【分析】由已知条件结合与的关系及等比数列的通项公式即可求解.
【详解】由，，两式相减得，
即，即，
因为，所以，解得或（舍去），
由得，则，解得，
则．
故选：A．
7．（2023秋·山东济南·高二济南市章丘区第四中学校考期末）等比数列中，，且，，则的值为（ ）
A．36B．27C．16D．8
【答案】D
【分析】根据等比数列的性质求出首项和公比，即可求出的结果.
【详解】设等比数列公比为，由，，
得，，两式相除，得，由，得，
.
故选：D
8．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）在等比数列中，，则（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出等比数列公比的平方即可计算作答.
【详解】设等比数列的公比，则，而，，
于是得，即，解得，所以.
故选：A
9．（2023秋·安徽淮北·高二淮北一中校考期末）已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14B．12C．6D．3
【答案】D
【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.
【详解】解：设等比数列的公比为，
若，则，与题意矛盾，
所以，
则，解得，
所以.
故选：D.
10．（2023秋·重庆北碚·高二统考期末）已知等比数列的前n项和为，且，，则（ ）
A．－20B．－15C．－10D．－5
【答案】B
【分析】利用，代入可得的值，再变形得到可得答案.
【详解】设等比数列的公比为，
则，
则，
故选：B.
11．（2023秋·山东滨州·高二校考期末）已知等比数列的前项和为，首项为，公比为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据求解即可.
【详解】因为等比数列，，
所以.
故选：D
12．（2023秋·天津和平·高二天津一中校考期末）设是等比数列的前项和，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设等比数列的公比为，求得的值，再利用等比数列的求和公式可求得结果.
【详解】设等比数列的公比为，若，则，矛盾.
所以，，故，则，
所以，，
，
因此，.
故选：B.
13．（2023秋·吉林长春·高二校考期末）设等比数列的前项和为，且满足，，则（ ）
A．32B．81C．162D．486
【答案】C
【分析】由得出，再讨论公比，结合求和公式以及通项公式求解即可.
【详解】因为，所以，，
当公比时，，故，
由可得，
即，故.
故选：C
14．（2023秋·重庆·高二校联考期末）已知正项等比数列的前n项和为，前n项积为，满足，则取最小值时（ ）
A．4B．3或4C．4或5D．5
【答案】B
【分析】由题意求得等比数列的公比，确定等比数列的通项公式，即可得的表达式，结合二次函数性质，可得答案.
【详解】正项等比数列中，设公比为，,
即 ，
整理得，解得或（舍），
故，故，
函数的图象的对称轴为，
故当或时，取得最小值，
由于函数是单调增函数，则也取得最小值，
故选：B．
15．（2023秋·山东青岛·高二山东省青岛第五十八中学校考期末）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了六天后到达目的地，求每天走的路程.”在这个问题中，此人前三天一共走的路程为（ ）
A．192里B．288里C．336里D．360里
【答案】C
【分析】利用等比数列的求和公式即可得到结果.
【详解】记每天走的路程里数为，由题意可得是公比为的等比数列，
由等比数列的求和公式可得，解得
所以里
故选:C
16．（2023秋·安徽阜阳·高二阜阳市红旗中学校考期末）中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里路，则该马第六天走的里程数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】依题意可得该马第天走的里程数构成公比为的等比数列，根据等比数列求和公式求出，再根据等比数列通项公式计算可得.
【详解】解：由题意得，该马第天走的里程数构成公比为的等比数列，
则，解得，故该马第六天走里路．
故选：C．
17．（2023秋·广东广州·高二秀全中学校考期末）我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家程大位（1533-1606年）所著.该书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”.其意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且下一层灯数是上一层的2倍，则可得塔的最顶层共有灯几盏？”.若改为 “求塔的最底层几盏灯？”，则最底层有（ ）盏.
A．192B．128C．3D．1
【答案】A
【分析】根据题意，转化为等比数列，利用通项公式和求和公式进行求解.
【详解】设这个塔顶层有盏灯，则问题等价于一个首项为，公比为2的等比数列的前7项和为381，
所以，解得，
所以这个塔的最底层有盏灯.
故选：A.
多选题
18．（2023秋·山东临沂·高二校考期末）（多选）我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题；今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗；禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应分别偿还a升、b升、c升粟，1斗为10升，则下列判断正确的是（ ）
A．a，b，c依次成公比为2的等比数列B．a，b，c依次成公比为的等比数列
C．D．
【答案】BD
【分析】根据已知条件判断的关系，结合等比数列的知识求得，从而确定正确选项.
【详解】依题意，所以依次成公比为的等比数列，
，即.
所以BD选项正确.
故选：BD
19．（2023秋·新疆巴音郭楞·高二校考期末）已知等比数列，，，则下列正确的是（ ）
A． B．C．D．
【答案】BC
【分析】结合等比数列通项公式可求得公比，进而得到.
【详解】设等比数列的公比为，则，即，解得：，B正确，D错误；
，A错误，C正确.
故选：BC.
20．（2023·高二单元测试）已知等比数列的前n项和为，若，，则数列的公比可能是（ ）
A．－3B．－2C．2D．3
【答案】AC
【分析】利用等比数列前n项和有求公比即可.
【详解】设数列的公比为q，则，
所以，解得或.
故选：AC
21．（2023秋·安徽安庆·高二安徽省怀宁县新安中学校考期末）已知单调递增的正项等比数列中，，，其公比为q，前n项和，则下列选项中正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】由已知条件解得等比数列首项与公比后，即可得到数列的通项公式及前n项和公式，代入验证各选项即可解决.
【详解】单调递增的正项等比数列中，公比为
由，可得或（舍），
则数列的通项公式为，前n项和
选项A：.判断正确；
选项B：.判断错误；
选项C：.判断错误；
选项D：.判断正确.
故选：AD
三、填空题
22．（2023秋·吉林·高二吉林一中校考期末）在等比数列中，为其前项和，，，则公比______.
【答案】
【分析】将题干中的等式作差，可求得的值.
【详解】由，两个等式作差可得，则，所以，.
故答案为：.
23．（2023秋·江苏南通·高二校考期末）已知等比数列中，前n项和为，若，则_______.
【答案】
【分析】根据等比数列的前n项和公式求解即可.
【详解】若等比数列的公比，则，不满足，
所以，
由可得，即，
所以，解得，
又因为，
故答案为:.
24．（2023秋·上海奉贤·高二校考期末）在各项均不相等的等比数列中，，则公比的值为___________．
【答案】－2
【分析】利用等比数列通项公式的性质代入求解即可.
【详解】因为，
所以，即，解得：q=1或.
因为数列的各项均不相等，所以，所以.
故答案为：－2.
25．（2023秋·北京·高一北京市十一学校校考期末）在等比数列中，，，则______.
【答案】
【分析】利用等比数列的性质求出，继而算出，即可得到答案
【详解】因为数列是等比数列，设其公比为，
所以
又，所以，所以，，
所以
故答案为：
26．（2023秋·天津河西·高二天津市第四十二中学校考期末）已知等比数列{}的前n项和为，若，，则____________．
【答案】63
【分析】利用等比数列的通项公式和前项和公式即可求解.
【详解】由已知条件得
，解得，
∴；
故答案为：.
27．（2023秋·山东济宁·高二嘉祥县第一中学校考期末）记为等比数列的前项和.若，则__________.
【答案】
【分析】利用等比数列求和公式列方程求解即可.
【详解】设等比数列公比为，
当时，，无解；
当时，，得，
.
故答案为：
28．（2023秋·山西大同·高二大同一中校考期末）等比数列{}的各项均为实数，其前项为，已知= ，=，则=_____．
【答案】32
【详解】由题意可得，所以两式相除得代入得，填32．
29．（2023秋·天津红桥·高二统考期末）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_____________
【答案】3
【详解】分析：设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式能求出结果．
详解: 设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}公比为2的等比数列，
∴S7==381，解得a1=3．故答案为3.
点睛：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力.
四、解答题
30．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）在等比数列中
(1)求的通项公式；
(2)设，求的前n项和．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据等比数列的通项公式列式运算求解；
（2）根据题意可得：，利用并项求和运算求解.
【详解】（1）由题意可得：，
∵，则，解得或（舍去），
∴的通项公式；
（2）由（1）可得：，
若为奇数，可得，则有：
当为奇数时，则；
当为偶数时，则；
综上所述：.
31．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考期末）已知正项等比数列前项和为，且成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，其前项和为，求数列的前项和．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）设的公比为，列方程求得后可得通项公式；
（2）由题可得，，然后利用裂项相消法即得．
【详解】（1）设的公比为()，
因为，且成等差数列,
所以，
所以，即，又，
所以，
所以；
（2）由题可知，
所以，
，
所以.
32．（2023秋·广东东莞·高二东莞市东莞中学校考期末）已知递增等比数列的前项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和为．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等比数列下标和性质可求得，代入中可构造方程求得满足题意的公比，由等比数列通项公式可得结果；
（2）由（1）可得，采用错位相减法可求得.
【详解】（1）设等比数列的公比为，
，，，
，，解得：或，
为递增等比数列，，.
（2）由（1）得：，
，
，
，
.
33．（2023秋·湖北武汉·高二武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，.
(1)求，的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）设公差为，公比为，根据已知列出方程可求出，，代入通项公式，即可求出结果；
（2）分组求和，分别求出和的前项和，加起来即可求出结果.
【详解】（1）设公差为，公比为，因为，
则由可得，，即，
由可得，，解得，则.
所以有，整理可得，
解得或（舍去）.
所以，则，解得（舍去负值），所以.
所以有，.
（2）由（1）知，，，则.
.
34．（2023秋·吉林·高二吉林一中校考期末）在正项等比数列中，已知，.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前100项和.
【答案】(1).
(2)5050.
【分析】（1）由题意根据等比数列通项公式列方程组，即可求得答案；
（2）由（1）可得的表达式，利用并项求和法求得答案.
【详解】（1）正项等比数列中，，,
设公比为 ,所以 ，
解得 ；
所以数列的通项公式为．
（2）由，
所以数列的前100项的和为：



.