2022年新高考数学二轮提升数列专题第5讲《通项公式的求解策略构造法》（2份打包，解析版+原卷版）

第5讲 通项公式的求解策略:构造法

参考答案与试题解析

一．填空题（共10小题）

1．已知数列中，，，求通项公式　　．

【解答】解：数列中，，，

，

数列是等比数列，首项为7，公比为3．

，

，

故答案为：，

2．已知数列中，，，则求的通项公式　　．

【解答】解：，

，

，

，

，

，

是以3为首项，以3为公比的等比数列，

，

，

故答案为：

3．（2021秋•殷都区校级月考）已知数列满足，求数列的通项公式　　．

【解答】解：数列满足，，

数列是以1为首项，为公差的等差数列；

，．

故答案为：．

4．（2021•岳麓区校级二模）已知数列中，，且，数列满足，则的通项公式是　　．

【解答】解：因为，所以，

因为，所以，所以数列是首项为，公差为1的等差数列，

所以．

故答案为：．

5．（2021秋•清远期中）若数列满足，，则数列的通项公式　　．

【解答】解：数列满足，，

可得，

是以2为首项，6为公比的等比数列，所以，

所以．

故答案为：．

6．已知，求通项公式　　．

【解答】解：因为，

所以，，

可得，所以是以25为首项，3为公差的等差数列，

．

可得．

故答案为：．

7．（2021•南关区校级四模）已知在数列中，，则数列的通项公式为　　．

【解答】解：在数列中，，，

，

，

，

由此猜想：．

下面用数学归纳法进行证明：

①当时，，成立．

②假设时，成立，即，

当时，，成立．

由①②得．

数列的通项公式为．

8．已知数列，满足，，且（其中，则数列的通项公式为　　．

【解答】解：，

又，

数列是首项为3、公差为2的等差数列，

，

又，

且，

数列是首项为1、公比为的等比数列，

，

，

故答案为：．

9．已知数列的首项为9，且，若，则数列的前项和　　．

【解答】解：数列的首项为9，且，

所以：，

所以两边取对数得：，

整理得：（常数），

所以：数列是以为首项，2为公比的等比数列．

所以：，

所以：，

由于，所以：，

故：两边取倒数得到：，

所以数列的前项和．

故答案为：

10．（2021•蚌埠三模）已知数列满足，若，则的最大值为　　．

【解答】解：数列满足，

．

，

，变形为：，

．

数列是等比数列，首项为，公比为．

．

则．

，只考虑为偶数时，

时，．

时，．

因此（4）取得最大值．最大值为．

故答案为：．

二．解答题（共22小题）

11．（2021秋•黄浦区期末）已知数列满足，．

（1）若数列是等差数列，求通项公式；

（2）已知，求证数列是等比数列，并求通项公式．

【解答】解：（1）数列是等差数列，，，

设数列的公差为，则．

，

即对成立，于是．

，且，解得．

；

证明：（2），，

．

，

数列是以3为首项，公比为2的等比数列．

．

．

12．已知数列中，，，且，求通项公式．

【解答】解：，两边同加，得，

又，，是首项为4，公比为2的等比数列，

①；

，两边同减，得，

是首项为1，公比为的等比数列，

②，

由①②得．

13．已知数列满足下列条件，求通项公式：

（1），，；

（2），，．

【解答】解：（1）由，得

，

，，，

则，即，

又，

数列是以3为首项，以2为公比的等比数列，

则；

（2）由，得，

，，，

，

则数列是以9为首项，以3为公比的等比数列，

．

．

则．

当为奇数时，

，，，，．

累加得：，

验证时上式成立；

当为偶数时，

，，，，．

累加得：．

综上，．

14．在数列中，，，当，，求通项公式．

【解答】解：，

，

即数列是以为首项，公比的等比数列，

则，

即，

即数列是以为首项，公比的等比数列，

则．

即．

故通项公式．

15．（2021•广东）设，数列满足，

（1）求数列的通项公式；

（2）证明：对于一切正整数，．

【解答】解：（1），

，

当时，，

数列是以为首项，以1为公差的等差数列，

，即，

当，且时，，

即数列是以为首项，公比为的等比数列，

，即，

数列的通项公式是

（2）证明：当时，不等式显然成立

当，且时，，要证对于一切正整数，，只需证，即证

所以不等式成立，

综上所述，对于一切正整数，有，

16．（2021春•襄阳期末）在数列中，已知，．

（1）求，，的值；

（2）若，证明：数列是等差数列；

（3）设数列的前项和为，比较与的大小．

【解答】解：（1），，

可得；

；

（2）证明：，

可得，

数列是首项和公差均为1的等差数列；

（3），

可得，

设，

则，

相减可得

，

化简可得，

则为，

，

当时，；

当时，；

当，，．

17．（2021•道里区校级模拟）已知数列满足，，数列满足．

（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式：

（2）数列的前项和为，设，求数列的前80项和．

【解答】解：（1）证明：，

可得，

则，即，

可得数列是首项为1，公差为2的等差数列；

则，即，

可得，；

（2），

，

．

18．（2021秋•东莞市校级月考）已知数列中，已知，，

（1）求证数列是等差数列；

（2）求数列的通项公式．

【解答】解：（1）数列中，已知，，

可得，

可得．

所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列．

（2）由（1）可得，

数列的通项公式：．

19．（2021秋•七星区校级月考）在数列中，已知；．

（Ⅰ）求，及；

（Ⅱ）求证：．

【解答】解：（Ⅰ），，

，，

，

，

于是是以为首项，2为公比的等比数列，

故，即；

（Ⅱ），

当时，，

；

时，成立，

．

20．（2021•沙坪坝区校级二模）在数列中，已知．

（1）求，的值；

（2）证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；

（3）求证：．

【解答】解：（1）（2分）

（2）由得：

所以数列为等比数列，其首项为，公比为（6分）

所以即为数列的通项公式．（9分）

（3）证明：

当时，

所以原不等式成立．（12分）

21．（2021春•浦东新区校级期末）已知数列中，，．

（1）求证：是等差数列，并求数列的通项公式．

（2）设，且恒成立，求整数的最小值．

【解答】（1）证明：，

，

又，

是以为首项，为公差的等差数列，

，则；

（2）解：由（1）知，，

，

恒成立，，

故整数的最小值为0．

22．（2021春•洛阳期末）已知数列首项，且满足，令．

（1）求证：数列为等差数列；

（2）求数列中的最小项．

【解答】解：（1）证明：，，即．又，

是首项为，公差为1的等差数列．

（2）由，得．

又，，，当时，．

数列中的最小项为．

23．（2021春•九龙坡区校级期中）已知在数列中，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

【解答】解：（1）因为，

所以，

所以，

所以，

所以．

（2）记，

所以，①

，②

①②得：，

所以．

24．已知数列满足：，且．证明：为一个等比数列，求数列的通项公式．

【解答】证明：，两边取倒数得，

，两边乘以，并裂项得，

，两边减1得，

，

因此，，

故数列是以为首项，以为公比的等比数列，

所以，，其中，

解得，．

25．（2021•全国模拟）已知各项都为正数的数列满足．

（1）证明：数列为等比数列；

（2）若，，求的通项公式．

【解答】证明：（1）各项都为正数的数列满足，

得，，

所以数列是公比为3的等比数列；

（2）因为，，

所以，

由（1）知数列是首项为2，公比为3的等比数列，

所以，

于是，，

所以，即，也符合．

故．

26．（2021•全国）在数列中，，，，2，3，，

（Ⅰ）求，，．

（Ⅱ）求数列的通项公式．

【解答】解：（Ⅰ）在数列中，，，，2，3，，

可得，

，

；

（Ⅱ），

可得，

两边除以，可得

即为，

则

，

则．

27．（2021•香坊区校级二模）已知数列中，，．

（1）求证：是等差数列；

（2）若，且数列，数列的前项和为，求的取值范围．

【解答】（1）证明：，，，，是以1为首项，2为公差的等差数列．；

（2）解：，，，

．

，

是递增数列，的最小值为，又，

．

28．（2021春•碑林区校级期中）已知数列中，，

（1）求、的值；

（2）是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；

（3）求通项公式．

【解答】解：（1）数列中，，

根据递推关系式求出：

（2）假设存在实数，使得数列为等差数列，

则：，

则：

解得：

（3）由（2）的结论：

数列是以为首项，公差为1的等差数列．

解得：

当时，

数列的通项公式为：

29．（2015春•禅城区校级月考）定义：若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点，在函数的图象上．其中为正整数．

（1）求，，，并求证：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；

（2）设．求数列的通项公式及关于的表达式；

（3）记，的前项和为．求证：对恒成立．

【解答】解：（1），点，在函数的图象上．其中为正整数．

，，同理可得，．

，

数列是“平方递推数列”，

，．

数列为等比数列，公比为2，首项为．

（2）由（1）可得：，

．

．

．

（3）证明：，

时，，故．

．

时，．

故对恒成立．

30．（2021•虹口区一模）（1）定义：若数列满足，则称为“平方递推数列”．已知：数列中，，．

①求证：数列是“平方递推数列”；

②求证：数列是等比数列；

③求数列的通项公式．

（2）已知：数列中，，，求：数列的通项．

【解答】解：（1）①由条件，得．

数列是“平方递推数列”；

②令，．则．

，．

数列是等比数列；

③由②知，，，

（2）两边同乘以得，，

，

两边取对数得：

数列是以为首项，3为公比的等比数列

31．已知数列是首项为1的正项数列，且，求数列的通项公式．

【解答】解：，

，

化为：，，

，

化为：，．

数列是等比数列，首项为4，公比为2．

，

可得．

32．（2021秋•凌源市期末）已知首项为1的正项数列，．

（1）求数列的通项公式；

（2）记，求数列的前项和．

【解答】解： ，

即，

即，所以，所以数列为以1为首项，2为公差的等差数列，

所以，

所以．

（2）因为，所以，，

所以．