黑龙江省佳木斯市第一中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）

佳一中2022-2023学年度第一学期高二期中考试

数学试题

时间：120分钟  总分：150分

一．单选题（共8道小题，每题5分，共40分）

1．已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（    ）

A． B． C． D．

2．平面内有两个定点、和一个动点，，（为常数）.若表示""，表示“点的轨迹是椭圆”．则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．两条平行直线与之间的距离（    ）

A． B． C． D．7

4．若椭圆与双曲线的焦点相同，则的值为（    ）

A．3 B．6 C．9 D．12

5．如图所示，在平行六面体中，为与的交点，则下列向量中与相等的向量是（    ）

A． B．

C． D．

6．一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降2米后，水面宽是（    ）

A．13米 B．14米 C．15米 D．16米

7．已知直线l的方向向量为，点在直线l上，则点到直线l的距离为（    ）

A． B． C． D．

8．已知斜率为且不经过原点的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，且在轴上，则（    ）

A． B．1 C．2 D．0

二．多选题（共4道小题，每题5分，共20分）

9．已知曲线（    ）

A．表示两条直线 B．表示圆

C．表示焦点在x轴上的双曲线 D．表示焦点在x轴上的椭圆10．下列说法中，正确的有（    ）

A．点斜式可以表示任何直线

B  直线在y轴上的截距为

C．点到直线的的最大距离为

D．直线关于对称的直线方程是

11．已知椭圆分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ）

A．离心率 B．的周长为15

C．若，则的面积为9 

D．直线与直线斜率乘积为定值

12．“脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体如图，“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C，其方程为．则下列说法正确的是（    ）

A．曲线C包含的封闭图形内部(不含边界)有11个整数点(横、纵坐标均为整数)

B．曲线C上任意一点到原点距离的最大值与最小值之和为5

C．若A(0，－)、B(0，)，P是曲线C下半部分中半椭圆上的一个动点，则cos∠APB的最小值为－

D．画法几何的创始人加斯帕尔·蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心的圆上，称该圆为椭圆的蒙日圆；那么曲线C中下半部分半椭圆扩充为整个椭圆C'：后，椭圆C'的蒙日圆方程为：

三．填空题（共 4 道小题，每题 5 分，共 20 分）

13.已知点关于直线的对称点为，则直线的一般式方程为______

14.若点和点到直线的距离依次为1和2，则这样的直线有______条。

15．已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别为的左，右顶点．为上一点，且轴．直线与轴交于点，若直线经过的中点，则的离心率为______

16．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两个定点，的距离之比为（，且），那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若平面内两定点，间的距离为，动点满足，则的最大值为­­­­­­­­­­______

四．解答题（共 6 道大题，共 70 分）

17．平面内，动点到点的距离与它到直线的距离之比为．求动点的轨迹方程。

18．已知的三顶点坐标为，求

(1)的外接圆的方程;

(2)过点作圆的切线，求切线方程.

19已知的顶点的坐标为，边上的中线所在的直线方程为，的角平分线所在的直线方程为．求顶点的坐标。

20已知椭圆的焦距为，短轴长为2，直线过点且与椭圆C交于A、B两点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线的斜率为1，求三角形的面积。

21.如图所示，在直三棱柱中，，，点分别为棱，的中点，点是线段上的点（不包括两个端点）.

(1)当为线段的中点时，求点到平面的距离；

(2)是否存在一点，使得二面角的余弦值为，如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由.

22 ．已知、分别是椭圆的左右顶点，为坐标原点，，点在椭圆上．过点，且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于、两个不同的点．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)当直线的倾斜角为锐角时，设直线、分别交轴于点、，记，，求的取值范围。