2022-2023年北师大版数学八年级下册专项复习精讲精练：期中模拟预测卷01（测试范围：1.1等腰三角形~4.1因式分解）（原卷版+解析版）

2022-2023学年八年级数学下学期期中模拟预测卷01

（考试时间：100分钟  试卷满分：120分）

考生注意：

1． 本试卷26道试题，满分120分，考试时间100分钟．

2． 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．

3． 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．

一．选择题（共10小题每题3分，满分30分）

1．已知x＞y，则下列不等式不成立的是（　　）

A．x﹣6＞y﹣6 B．3x＞3y 

C．﹣2x＜﹣2y D．﹣3x+6＞﹣3y+6

【分析】分别根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．

【解答】解：A、∵x＞y，∴x﹣6＞y﹣6，故本选项错误；

B、∵x＞y，∴3x＞3y，故本选项错误；

C、∵x＞y，∴﹣x＜﹣y，∴﹣2x＜﹣2y，故选项错误；

D、∵x＞y，∴﹣3x＜﹣3y，∴﹣3x+6＜﹣3y+6，故本选项正确．

故选：D．

【点评】本题考查的是不等式的基本性质，解答此题的关键注意不等式的两边同时乘以或除以一个负数时，不等号的方向要改变．

2．我国冬奥会将于2022年2月4日在北京，张家口等地召开，并在此之前进行了冬奥会会标征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　）

A．①② B．①③ C．② D．②④

【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此进行判断即可．

【解答】解：图形①③④均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，

图形②能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，

故选：C．

【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

3．如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠BAC＝20°，D为线段AB的垂直平分线与直线BC的交点，连接AD，则∠CAD＝（　　）

A．40° B．30° C．20° D．10°

【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，则利用等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠ABC＝50°，然后计算∠DAB﹣∠BAC即可．

【解答】解：∵D为线段AB的垂直平分线与直线BC的交点，

∴DA＝DB，

∴∠DAB＝∠ABC＝50°，

∴∠CAD＝∠DAB﹣∠BAC＝50°﹣20°＝30°．

故选：B．

【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．

4．下列变形是因式分解的是（　　）

A．6x2y2＝3xy•2xy 

B．a2﹣4ab+4b2＝（a﹣2b）2 

C．（x+2）（x+1）＝x2+3x+2 

D．x2﹣9﹣6x＝（x+3）（x﹣3）﹣6x

【分析】分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．

【解答】解：C和D不是积的形式，应排除；

A中，不是对多项式的变形，应排除．

故选：B．

【点评】这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．

5．下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（　　）

A．斜边和一直角边分别对应相等 

B．两个锐角对应相等 

C．一条直角边相等且另一条直角边上的中线对应相等 

D．两条直角边分别对应相等

【分析】根据三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．逐条排除．

【解答】解：A、一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形，符合HL，能判定全等，

故不符合题意；

B、两锐角对应相等的两个直角三角形，是AAA，不能判定全等，

故符合题意；

C、一条直角边相等且另一条直角边上的中线对应相等，符合HL，再用SSS证明三角形全等，

故不符合题意；

D、两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合SAS，能判定全等，

故不符合题意，

故选：B．

【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．

6．点M（a，a+3）向右平移1个单位后与x轴上点N重合，则点N的坐标为（　　）

A．（﹣1，0） B．（﹣2，0） C．（﹣3，0） D．（﹣4，0）

【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得点N的坐标．

【解答】解：点M（a，a+3）向右平移1个单位，得到点N的坐标是（a+1，a+3），

∴a+3＝0，

∴a＝﹣3，

∴a+1＝﹣3+1＝﹣2，

∴N（﹣2，0），

故选：B．

【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握点的坐标的变化规律．

7．一次函数y＝﹣3x+b和y＝kx+1的图象如图所示，其交点为P（3，n），则不等式（3+k）x≥b﹣1的解集在数轴上表示正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】所求不等式移项整理后，结合图象及两直线的交点横坐标确定出解集，表示在数轴上即可．

【解答】解：不等式（3+k）x≥b﹣1，

去括号得：3x+kx≥b﹣1，

移项得：kx+1≥﹣3x+b，

∵一次函数y＝﹣3x+b和y＝kx+1的图象如图所示，其交点为P（3，n），

∴根据图象得：x≥3．

．

故选：B．

【点评】此题考查了一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，以及两条直线相交或平行问题，利用了数形结合的思想．

8．△ABC中，∠B≠∠C，求证：AB≠AC用反证法证明时，第一步应先假设这个三角形中（　　）

A．∠B＝∠C B．∠A＝∠B C．AB＝BC D．AB＝AC

【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．

【解答】解：△ABC中，∠B≠∠C，求证：AB≠AC，

用反证法证明时，第一步应先假设这个三角形中AB＝AC，

故选：D．

【点评】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．

9．关于x的一元一次不等式组的解集为x≤4且关于y的分式方程有整数解，那么符合条件的所有整数m的积为（　　）

A．0 B．12 C．4 D．5

【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出m的范围，分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有整数解确定出整数m的值，进而求出之积即可．

【解答】解：，

解①得x≤2m+2，

解②得x≤4，

∵不等式组的解集为x≤4，

∴2m+2≥4，

∴m≥1．

，

两边都乘以y﹣2，得

my+y﹣2＝3y，

∴，

∵m≥1，分式方程有整数解，

∴m﹣2＝﹣2，﹣1，1，2，

∴m＝1，3，4，

∵y﹣2≠0，

∴y≠2，

∴，

∴m﹣2≠1，

∴m≠3，

∴m＝1，4，

∴1×4＝4，

故C正确．

故选：C．

【点评】本题主要考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．

10．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点P是△ABC内一点，且CP＝1，BP＝，AP＝2，以CP为直角边，点C为直角顶点，作等腰Rt△DCP，下列结论：①点A与点D的距离为；②AP⊥PC；③AB＝2；④S△APB＝2，其中正确结论有是（　　）

A．①②③ B．②④ C．①② D．②③④

【分析】如图，作辅助线；证明△ACD≌△BCP，得到AD＝PB＝，故①正确；由勾股定理的逆定理可证∠ADP＝90°，进而证明∠APD＝45°，结合∠DPC＝45°，得到②正确；运用三角形的面积公式可以判断③不正确、④不正确，即可解决问题．

【解答】解：如图，连接AD，

∵∠DCP＝∠ACB＝90°，

∴∠ACD＝∠BCP，

在△ACD与△BCP中，

，

∴△ACD≌△BCP（SAS），

∴AD＝PB＝，故①正确；

∵∠DCP＝90°，DC＝PC＝1，

∴DP2＝2，

∴DP＝AD＝，

∵AP2＝4＝AD2+DP2，

∴∠ADP＝90°，

∴△ADP为等腰直角三角形，

∴∠APD＝45°，而∠DPC＝45°，

∴∠APC＝90°，即AP⊥CP，故②正确；

∵∠ADC＝∠ADP+∠CDP＝135°＝∠CPB，

∴∠CPB+∠DPC＝180°，

∴点P，点B，点D共线，

∵BD＝BP+PD＝2，AD＝，

∴AB＝＝，

∴③不正确，

∵S△ADB＝×2×＝2，

∴S△ABP＝1，故④不正确，

故选：C．

【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积公式等知识；作辅助线，构造直角三角形是解题的关键．

二．填空题（共8小题，每题3分，满分24分）

11．若a＜b，那么﹣a+5 　＞　﹣b+5（填“＞”“＜”或“＝”）．

【分析】根据不等式的基本性质不等式两边都乘﹣1，不等号的方向改变，都加5，不等号的方向不变即可解答．

【解答】解：∵a＜b，

∴﹣a＞﹣b，

∴﹣a+5＞﹣b+5．

故答案为：＞．

【点评】本题主要考查了不等式的基本性质．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

12．分解因式：（2x﹣y）2+2x﹣y＝　（2x﹣y）（2x﹣y+1）　．

【分析】直接提取公因式（2x﹣y）即可得到答案．

【解答】解：原式＝（2x﹣y）（2x﹣y+1）．

故答案为：（2x﹣y）（2x﹣y+1）．

【点评】此题考查的是提公因式法分解因式，如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．

13．已知关于x的不等式组的解集是﹣1＜x＜3，则（m+n）2022＝　1　．

【分析】分别解两个不等式，根据解集为﹣1＜x＜3确定m和n的值，再代入求值即可．

【解答】解：，

由①得：x＜3m，

由②得：x＞，

∵不等式组的解集是解集是﹣1＜x＜3，

∴，3m＝3，

∴n＝﹣2，m＝1．

∴（m+n）2022＝（1﹣2）2022＝（﹣1）2022＝1．

故答案为：1．

【点评】本题考查解一元一次不等式组，根据解集确定参数的值是解题的关键．

14．已知线段AB＝6cm，将线段AB以点A为旋转中心，顺时针旋转60°得到线段AB'，连接点B、点B'，则△AB'B的面积 　9cm2　．

【分析】先根据旋转的性质得到AB＝AB′，再根据旋转角为60°得到△AB'B的形状，最后算出其面积即可．

【解答】解：如图，过点B作BC⊥AB′于点C，

由旋转的性质可知，AB＝AB′，∠BAB′＝60°，

∴△AB'B是等边三角形，

∴AC＝AB＝6cm，AC＝＝3cm，

在Rt△ABC中，由勾股定理得（cm），

∴（cm2）．

故答案为：9cm2．

【点评】本题主要考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质，掌握旋转的性质以及等边三角形的特点是解答本题的关键．!

15．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝15cm2，AB＝8cm，BC＝12cm，则DE＝　1.5　cm．

【分析】首先过点D作DF⊥BC于点F，由BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，根据角平分线的性质，可得DE＝DF，然后由S△ABC＝S△ABD+S△BCD＝AB•DE+BC•DF，求得答案．

【解答】解：过点D作DF⊥BC于点F，

∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，

∴DE＝DF，

∵AB＝8cm，BC＝12cm，

∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD＝AB•DE+BC•DF＝DE•（AB+BC）＝15cm2，

∴DE＝1.5cm．

故答案为：1.5．

【点评】此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

16．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为11，AB＝5，则△ABC的周长为 　15　．

【分析】利用基本作图得到MN垂直平分AB，则DA＝DB，利用等线段代换得到BC+AC＝11，然后计算△ABC的周长．

【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，

∴DA＝DB，

∵△ADC的周长为11，

∴DA+CD+AC＝11，

∴DB+CD+AC＝11，即BC+AC＝11，

∴△ABC的周长＝BC+AC+AB＝10+5＝15．

故答案为：15．

【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．

17．如图，平面直角坐标系中，经过点B（﹣4，0）的直线y＝kx+b与直线y＝mx+2相交于点，则不等式mx+2＜kx+b＜0的解集为　﹣4＜x＜﹣　．

【分析】根据点A、B的坐标写出x的取值范围即可．

【解答】解：∵经过点B（﹣4，0）的直线y＝kx+b与直线y＝mx+2相交于点A（﹣，﹣1），

∴不等式mx+2＜kx+b＜0的解集是﹣4＜x＜﹣．

故答案是：﹣4＜x＜﹣．

【点评】本题考查了一次函数的图象与一元一次不等式，正确理解不等式的解集与对应的函数图象的关系是关键．

18．如图，BD是等边△ABC的高，BC＝4，在BD上截取BG＝2，以GD为边作等边△GDF，AB分别与GF、DF相交于点M、N，则NF的值为 　1　．

【分析】根据等边三角形的性质求BD的长，从而可得DG的长，由三角形DGF是等边三角形，可得GF的长，证明MG＝BG＝2，根据直角三角形30度角的性质可得结论．

【解答】解：∵△ABC是等边三角形，

∴∠CBD＝∠ABD＝30°，

∵BC＝4，

∴DC＝2，BD＝6，

∵BG＝2，

∴DG＝6﹣2＝4，

∵△DFG是等边三角形，

∴FG＝DG＝4，

∵∠MBG＝30°，∠MGD＝60°，

∴∠BMG＝30°＝∠MBG＝∠FMN，

∴BG＝MG＝2，

∴FM＝FG﹣MG＝4﹣2＝2，

∵∠FNM＝∠FDG+∠ABD＝60°+30°＝90°，

Rt△FMN中，FN＝FM＝1，

故答案为：1．

【点评】本题考查了等边三角形的性质，利用了等边三角形的性质，直角三角形的判定和30°角的性质是求线段长的关键．

三．解答题（共8小题，满分66分）

19．解不等式．

（1）﹣5x+1＜2（4+x）．

（2）．

【分析】（1）按照解一元一次不等式的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答；

（2）按照解一元一次不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答．

【解答】解：（1）﹣5x+1＜2（4+x），

﹣5x+1＜8+2x，

﹣5x﹣2x＜8﹣1，

﹣7x＜7，

x＞﹣1；

（2），

30﹣3（3x﹣1）＜2（﹣2x﹣1），

30﹣9x+3＜﹣4x﹣2，

﹣9x+4x＜﹣2﹣30﹣3，

﹣5x＜﹣35，

x＞7．

【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．

20．解不等式组，并将解集表示在数轴上．

【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．

【解答】解：，

由①得x≤1，

由②解得x＞，

所以不等式组的解集为＜x≤1，

解集在数轴上表示如下：

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

21．如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2．

（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；

（2）若DE＝2，求DC的长．

【分析】（1）由∠1＝∠2，可得DE＝CE，根据证明直角三角形全等的“HL”定理，证明即可；

（2）先证明∠DEC＝90°，根据勾股定理直接计算．

【解答】解：（1）结论：Rt△ADE≌Rt△BEC；理由如下：

∵∠1＝∠2，

∴DE＝CE，

而∠A＝∠B＝90°，AE＝BC

∴在Rt△ADE和Rt△BEC中，

∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）；

（2）∵Rt△ADE≌Rt△BEC，

∴∠AED＝∠BCE，∠ADE＝∠BEC，

又∵∠AED+∠ADE＝90°，∠BEC+∠BCE＝90°，

∴2（∠AED+∠BEC）＝180°，

∴∠AED+∠BEC＝90°，

∴∠DEC＝90°，

∵DE＝EC，DE＝2，

∴CD＝DE＝2．

【点评】本题主要考查了直角三角形的判定与性质，证明三角形全等时，关键是根据题意选取适当的条件．

22．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，1），B（0，4），C（0，1）．

（1）请画出将△ABC平移后得到A1（1，﹣1）的图形△A1B1C1，并求出平移距离．

（2）请画出将△A1B1C1绕点A1旋转180°得到△A2B2C2，并写出B2、C2的坐标．

【分析】（1）根据平移的性质作图，即可得出答案．

（2）根据旋转的性质作图，即可得出答案．

【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．

∵AA1＝＝，

∴平移距离为．

（2）如图，△A2B2C2即为所求．

B2（﹣1，﹣4），C2（﹣1，﹣1）．

【点评】本题考查作图﹣平移变换、旋转变换，熟练掌握平移和旋转的性质是解答本题的关键．

23．如图，在△ADB中，∠ADB＝60°，DC平分∠ADB，交AB于点C，且DC⊥AB，过C作CE∥DA交DB于点E，连接AE．

（1）求证：△ADB是等边三角形．

（2）求证：AE⊥DB．

【分析】（1）直接根据等边三角形的判定定理可得结论；

（2）由平行线的性质可得∠BEC＝∠ADB＝60，根据等边三角形的判定与性质可得CE＝BE＝CB，再由直角三角形的性质可得AE是边BD的中线，最后再由等边三角形的性质可得答案．

【解答】证明：（1）∵DC平分∠ADB，

∴∠ADC＝∠BDC，

∵∠ADB＝60°，

∴∠ADC＝∠BCD＝30°，

∵DC⊥AB，

∴∠DCB＝∠DCA＝90°，

∴∠B＝∠A＝90°﹣30°＝60°，

∴∠AOB＝∠B＝∠DAB＝60°，

∴△ADB是等边三角形；

（2）∵CE∥DA，

∴∠BEC＝∠ADB＝60，

∴∠CEB＝∠CBE＝∠ECB＝60°，

∴△CEB是等边三角形，

∴CE＝BE＝CB，

∵∠BDC＝30°，∠DCB＝90°，

∴BC＝BD，

∴CE＝BD，

∴E是BD的中点，

∴AE是边BD的中线，

∵△ADB是等边三角形，

∴AE⊥BD．

【点评】此题考查的是等边三角形的判定与性质、平行线的性质、直角三角形的性质等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键．

24．如图，函数y＝﹣2x+3与的图象交于点P（n，﹣2）．

（1）求出m，n的值．

（2）直接写出的解集．

（3）求出△ABP的面积．

【分析】（1）根据凡是函数图象经过的点必能满足解析式把P点坐标代入y＝﹣2x+3可得n的值，进而可得P点坐标，再把P点坐标代入y＝﹣x+m可得m的值；

（2）根据函数图象可直接得到答案；

（3）首先求出A、B两点坐标，进而可得△ABP的面积．

【解答】解：（1）∵y＝﹣2x+3过P（n，﹣2）．

∴﹣2＝﹣2n+3，

解得：n＝，

∴P（，﹣2），

∵y＝﹣x+m的图象过P（，﹣2）．

∴﹣2＝﹣×+m，

解得：m＝﹣；

（2）不等式﹣x+m≤﹣2x+3的解集为x≤；

（3）∵当y＝﹣2x+3中，x＝0时，y＝3，

∴A（0，3），

∵当y＝﹣x﹣中，x＝0时，y＝﹣，

∴B（0，﹣），

∴AB＝3；

∴△ABP的面积：AB×＝×＝．

【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．

25．如图，将Rt△ABC绕直角顶点B逆时针旋转90°得到△DBE，DE的延长线恰好经过AC的中点F，连接AD，CE．

（1）求证：AE＝CE．

（2）若BC＝2，求AB的长．

【分析】（1）由旋转的性质可得∠BAC＝∠CDF，可证DF垂直平分AC，可得AE＝CE；

（2）由全等三角形的性质可得BE＝CB＝2，由勾股定理可求CE＝AE＝2，即可求AB的长．

【解答】（1）证明：∵将Rt△ABC绕直角顶点B逆时针旋转90°得到△DBE，

∴△ABC≌△DBE，

∴∠BAC＝∠CDF，

∵∠BAC+∠ACB＝90°，

∴∠CDF+∠ACB＝90°，

∴DF⊥AC，

∵点F是AC中点，

∴DF垂直平分AC，

∴AE＝CE；

（2）解：∵△ABC≌△DBE，

∴BE＝CB＝2，

∴CE＝AE＝2，

∴AB＝AE+BE＝2+2．

【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练运用旋转的性质是本题的关键．

26．已知：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△AED，点B、C的对应点分别是E、D．

（1）如图1，若α＝60°时，连接BE，求证：AB＝BE；

（2）如图2，当点E恰好在AC上时，求∠CDE的度数；

（3）如图3，BC＝1，点Q是线段AC上的一个动点，点M是线段AB上的一个动点，是否存在这样的点Q、M使得△CQM为等腰三角形且△AQM为直角三角形？若存在，请求出满足条件的BM的长；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由旋转的性质可得：∠BAE＝α＝60°，BA＝BE，可证△ABE是等边三角形，可得AB＝BE；

（2）由旋转的性质可得CA＝AD，∠EAD＝∠BAC＝30°，由等腰三角形的性质可得∠ACD＝75°，即可求解；

（3）分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求AM，AQ的长，即可求解．

【解答】（1）证明：由旋转的性质可知：∠BAE＝α＝60°，BA＝BE，

∴△ABE是等边三角形，

∴AB＝BE；

（2）解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，

∴∠ACB＝60°，

∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△AED，点E恰好在AC上，

∴CA＝AD，∠EAD＝∠BAC＝30°，

∴∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣30°）＝75°，

∵∠EDA＝∠ACB＝60°，

∴∠CDE＝∠ADC﹣∠EDA＝15°；

（3）存在，理由如下：

∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1

∴AC＝2BC＝2，AB＝，

若∠QMA＝90°，CQ＝MQ时，如图3，

设CQ＝QM＝x，∠CAB＝30°，

∴AQ＝2x，AM＝x，

∴AC＝x+2x＝3x＝2，

∴x＝，

∴AM＝，

∴BM＝AB﹣AM＝﹣＝．

若∠AQM＝90°，CQ＝QM时，如图4，

设CQ＝QM＝x，∠CAB＝30°，

∴AQ＝x，AM＝2x，

∴AC＝x+x＝2，

∴x＝﹣1，

∴AM＝2﹣2，

∴BM＝﹣（2﹣2）＝2﹣．

综上所述：BM＝或2﹣．

【点评】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．