山西省朔州市怀仁市第一中学2023届高三三模数学试题

怀仁一中高三年级第三次模拟考试

数学试题

全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。

4.本卷主要考查内容：高考范围。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知复数满足：，则（    ）

A. B. C. D.

2.集合，，则中的元素个数为（    ）

A.2 B.3 C.4 D.5

3.已知双曲线的焦距为，且实轴长为2，则双曲线的渐近线方程为（    ）

A. B. C. D.

4.已知为锐角，且，则（    ）

A. B. C. D.

5.共有5名同学参加演讲比赛，在安排出场顺序时，甲、乙排在一起，且丙与甲、乙都不相邻的概率为（    ）

A. B. C. D.

6.已知某圆台的高为，上底面半径为，下底面半径为，则其侧面展开图的面积为（    ）

A. B. C. D.

7.已知，，，则（    ）

A. B. C. D.

8.在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，点满足，则点到点的距离的最大值为（    ）

A.3 B. C.4 D.5

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知等差数列的前项和为，公差为，则（    ）

A.  B.

C.  D.

10.在某独立重复实验中，事件，相互独立，且在一次实验中，事件发生的概率为，事件发生的概率为，其中.若进行次实验，记事件发生的次数为，事件发生的次数为，事件发生的次数为.则下列说法正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

11.已知三棱锥外接球的球心为，外接球的半径为4，，，（为正数），则下列命题是真命题的是（    ）

A.若，则三棱锥的体积的最大值为

B.若，，不共线，则平面平面

C.存在唯一一点，使得平面

D.的最大值为

12.已知函数，若函数的图象在区间上的最高点和最低点共有6个，下列说法正确的是（    ）

A.在上有且仅有5个零点 B.在上有且仅有3个极大值点

C.的取值范围是 D.的取值范围是

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量，，若，则实数______.

14.已知奇函数在上单调递增，在上单调递减，且有且仅有一个零点，则的函数解析式可以是______.

15.已知抛物线与抛物线在第一象限内的交点为，若点在圆上，且直线与圆相切，则______.

16.在处理多元不等式的最值时，我们常用构造切线的方法来求解，例如：曲线在处的切线方程为，且，若已知，则，取等条件为，所以的最小值为3.已知函数，若数列满足，且，则数列的前10项和的最大值为______；若数列满足，且，则数列的前100项和的最小值为______.（本题第一空2分，第二空3分）

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

17.（本小题满分10分）

已知数列中，，.

（1）记，证明：数列为等比数列；

（2）求数列的通项公式；

（3）记，求数列的前项和.

18.（本小题满分12分）

在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足.

（1）求角的大小；

（2）如图，若，为的中点，的面积为，的周长为6，求边的长度.

19.（本小题满分12分）

通过核酸检测可以初步判定被检测者是否感染新冠病毒，检测方式分为单检和混检.单检是将一个人的采集拭子放入一个采样管中单独检测；混检是将多个人的采集拭子放入一个采样管中合为一个样本进行检测，若检测结果呈阳性，再对这多个人重新采集单管拭子，逐一进行检测，以确定当中的阳性样本.混检按一个采样管中放入的采集拭子个数可具体分为“3合1”混检，“5合1”混检，“10合1”混检等.调查研究显示，在群体总阳性率较低（低于0.1%）时，混检能较大幅度地提高检测效力、降低检测成本.根据流行病学调查结果显示，某城市每位居民感染新冠病毒的概率为.若对该城市全体居民进行一轮核酸检测，记每一组位居民采用“合1”混检方式共需检测次.

（1）求随机变量的分布列和数学期望；

（2）已知当时，.若，采用“合1”混检时，请估计当为何值时，这一轮核酸检测中每位居民检测的次数最少？

20.（本小题满分12分）

如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是边长为2的菱形，为等边三角形，，为的中点，为的中点，为线段上的动点，平面.

（1）请确定点在线段上的位置；

（2）求平面和平面所成二面角的正弦值.

21.（本小题满分12分）

已知椭圆的短轴长为，且点在椭圆上.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）椭圆的左、右顶点分别为、，点、是椭圆上异于、的不同两点，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：直线过定点.

22.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）若曲线在点处的切线过点，求实数的值；

（2）当时，若函数有且仅有3个零点，求实数的取值范围.

怀仁一中高三年级第三次模拟考试·数学

参考答案、提示及评分细则

1.C  设，则，，∴.

2.A  集合的元素中，满足除以4余1的整数有5，9两个.

3.B  由题意可知，，，所以，，所以，则.

4.C  因为，所以，所以

，所以.

5.B  把甲、乙捆绑在一起，然后与余下的两个排列，再把捆绑的甲、乙和丙一起插空，所求概率为.

6.D  易知母线长为，且上底面圆周为，下底面圆周为，易知展开图为圆环的一部分，圆环所在的小圆半径为3.则大圆半径为6，所以面积.

7.C  设函数，则为偶函数，且当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，因为，，所以

，又，，，所以.

8.C  由题意可知点在以线段为直径的圆上，设的中点坐标为，有，可得，由，，.当且仅当，，三点共线时取等号.

9.ABD  取，则，解得，即A正确；

由A可知，，则，即B正确；

因为，即C错误；

因为，且，即D正确.

10.BC  因为，，即A错误；

因为，，即B正确；

因为，独立，所以，所以，即C正确；

因为，，即D错误.

11.AB  若，则，则外接圆的半径，所以球心到平面的距离，所以三棱锥高的最大值为，所以体积的最大值为，即A正确；

设的中点为，易知，，所以平面，所以平面平面，即B正确；设直线与球的另一交点为，若平面，则平面，即C错误；

当最大时，，，，共面，因为，所以，所以，即D错误.

12.BC  在上有且仅有6个极值点，借助图象可知在上有5或6个零点，有且仅有3个极大值点.故A错误，B正确；当时，，因为在上有且仅有6个最高点或最低点，所以，解得.故C正确，D错误.

13.  易知，，所以，解得.由，可得.

14.或（答案不唯一）  由题意可知，仅有一个零点，结合单调

性，可知或

15.  因为，所以，因为，，所以，当与圆相切时，，所以，所以，所以.

16.70  540  ，则，，所以曲线在处的切线方程为，且易知，所以，所以

，当且仅当时，等号成立；曲线在处的切线为，因为，则令此切线过原点，解得或，所以曲线在处的切线方程为，且，所以

，当且仅当或时，等号成立，取，，即的前100项中有60项为3，40项为0时，等号成立.

17.解：（1）证明：由……3分

故数列是公比为2的等比数列……4分

（2）由及（1）有……5分可得，可得……6分

（3）由……8分

.……10分

18.解：（1）由余弦定理有，……2分

可得，……3分

可得，……4分有，

有，……5分又由，可得；……6分

（2）设，，由的面积为，有，可得，……7分

由余弦定理有，……8分

由的周长为6，有，解得，……10分

联立方程解得，……11分

又由，为的中点，可得，，

由余弦定理可得.……12分

19.解：（1）的取值为1和，……1分，……2分

，……3分随机变量的分布列为：

……4分

可得；……6分

（2）由（1）可知每位居民检测的次数约为，

……9分又由，……10分

当且仅当，即时等号成立.……11分

故当时，采用“100合1”，这一轮核酸检测中每位居民检测的次数最少. ……12分

20.解：（1）如图，连接与相交于，连接，……1分

∵平面，平面平面，平面，∴，……2分

∵，，∴，，……3分

∵，，∴，……4分

∴点是线段上靠近点的四等分点；……5分

（2）如图，取的中点，连接，，∵四边形为边长为2的菱形，，

∴，为等边三角形，∵，为等边三角形，∴，

∵平面平面，平面平面，，平面，

∴平面，

∵为等边三角形，，∴，可得，，两两垂直，……7分

建立如图所示的空间直角坐标系，可得，，，，，，，，，，……8分

设平面的法向量为，由，，

有取，，，可得，……9分

设平面的法向量为，由，，

有取，，，可得，……10分

可得，，，有，

可得平面和平面所成二面角的正弦值为.……12分

21.（1）解：由题意有解得，，……2分

故椭圆的标准方程为.……3分

（2）证明：设点、的坐标分别为，.

由（1）知，点的坐标为，点的坐标为，……4分

直线的方程为.

联立方程消去后整理为，

有，可得，.……7分

联立方程消去后整理为，

有，可得，.……9分

由对称性知，直线过的定点在轴上，设定点的坐标为.

由题意有，有，化简为，

得，故直线过定点.……12分

22.解：（1）由，有，，…2分

可得切线的方程为，整理为，……3分

代入点，有，解得，故实数的值为1. ……4分

（2）由，……5分

①当时，由，有，可得；……6分

②当时，令，有，可得函数为增函数，又由，，故存在，使得，即，……7分

可知，当时，，此时；时，，此时.……8分

由上知，函数的增区间为，，减区间为.……9分

令，有，可得函数单调递增，有，

又由，可得，有，

又由，故函数在区间有且仅有一个零点.……10分

由上知，若函数有且仅有3个零点，必有

.

令，有，可得函数为减函数，

又由，可得当时，，有，

当且时，有，，

.

故当时，若函数有且仅有3个零点，则实数的取值范围为.……12分