初中数学北师大版七年级上册5.3 应用一元一次方程——水箱变高了教学课件ppt

教学目标

1.让学生能够通过分析图形问题中的基本等量关系，建立方程解决问题.

2.使学生能利用一元一次方程解决简单的图形问题.

教学重难点

重点：分析图形问题中的数量关系，熟练地列方程解应用题.

难点：从实际问题中抽象出数学模型.

教学过程

复习巩固

（1）长方形的周长  2(a+b)   ，面积   ab   ；

     长方体的体积   abc    .

（2）正方形的周长    4a    ，面积    a2   ；

     正方体的体积   a3    .    

（3）圆的周长    2 πr     ，圆的面积    πr2     ；

     圆柱的体积      πr2h       .

导入新课

某居民楼顶有一个底面直径和高均为4 m的圆柱形储水箱.现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4 m减少为3.2 m.那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4 m变为多少米？

探究新知

（一）应用一元一次方程解决等积变形问题

对于引入问题的求解：

1.如果设水箱的高变为x m，填写下表：

2.根据表格中的数据，找出等量关系.

旧水箱的容积新水箱的容积.

3.列出方程并求解.

π×22×4π×1.62×x，

解得x6.25.

因此，水箱的高度变成了6.25 m.

总结：形积变化问题中的等量关系

形积变化问题分以下几种情况：

(1)  形状发生了变化，体积不变.

其相等关系是变化前物体的体积＝变化后物体的体积.

(2)  形状、面积发生了变化，周长不变.

其相等关系是变化前图形的周长＝变化后图形的周长.

(3)形状、体积不同.根据题意找出体积之间的关系，即为相等关系.

（二）应用一元一次方程解决图形的等长变化问题

例1  用一根长为10 m的铁丝围成一个长方形.

(1)若该长方形的长比宽多1.4 m，则此时长方形的长、宽各是多少米？

(2)若该长方形的长比宽多0.8 m，则此时长方形的长和宽各为多少米？它围成的长方形与(1)中所围成的长方形相比，面积有什么变化？

(3)若该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，则正方形的边长是多少？它围成的正方形的面积与(2)中相比，又有什么变化？

解：(1) 设此时长方形的宽为x m，则它的长为(x1.4)m.

根据题意，得

(x1.4 x) ×2 10，

解得         x 1.8.

             1.81.43.2.

此时长方形的长为3.2 m，宽为1.8 m.

(2)设此时长方形的宽为x m，则它的长为（x0.8）m.

根据题意，得

(x0.8x)×2 10，

解得   x2.1.

2.10.82.9.

此时长方形的长为2.9 m，宽为2.1 m，面积为2.9×2.16.09(m2).

(1)中长方形的面积为3.2×1.85.76(m2).

此时长方形的面积比(1)中长方形的面积增大6.09－5.760.33(m2).

（3）设正方形的边长为x m.

根据题意，得(x x)×210，

解得  x2.5.

正方形的边长为2.5 m.

正方形的面积为2.5×2.56.25(m2).

比(2)中面积增大 6.256.090.16（m2）.

例 2  用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长比圆的半径长2(π－2) m，求铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积大.

解：设圆的半径为r m，则正方形的边长为[r＋2(π－2)]m.

根据题意，得

2πr＝4(r＋2π－4)，解得r＝4.

所以铁丝的长为2πr＝8π(m)，

圆的面积是π×42＝16π(m 2)，

正方形的面积为[4＋2(π－2)]2＝4π2(m 2).

因为4π×4＞4π×π，所以16π＞4π2，

所以圆的面积大.

答：铁丝的长度为8π m，圆的面积较大.

总结：等长变形，是指用物体(一般用铁丝)围成不同的图形，图形的形状、面积发生了变化，但周长不变.

解答此类问题，可以利用周长不变设未知数，寻找相等关系列出方程.

面积问题中常常会用到特殊图形的周长和面积公式，如三角形、平行四边形、长方形、正方形、梯形、圆等.记住常见的几何图形的面积公式，抓住周长不变的特征是解决等长变形问题的关键.

（三）列一元一次方程解应用题的步骤

（1）审——通过审题找出等量关系.

（2）设——设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称.

（3）列——依据等量关系列出方程.

（4）解——解方程.

（5）检——检验求出的值是否为方程的解，并检验是否符合实际问题.

（6）答——写出答案，注意单位名称.

课堂练习

1.墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如图实线所示(单位：cm).小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这根彩绳钉成一个长方形，如图虚线所示.小颖所钉长方形的长、宽各为多少厘米？如果设长方形的长为x cm，根据题意，可列方程为(　　)

A.2(x＋10)＝10×4＋6×2

B.2(x＋10)＝10×3＋6×2

C.2x＋10＝10×4＋6×2

D.2(x＋10)＝10×2＋6×2

2.如图，小明从一个正方形的纸片上剪下一个宽为6 cm的长条后，再从剩下的纸片上剪下一个宽为8 cm的长条.如果两次剪下的长条面积正好相等，那么原正方形的边长是(　　)

A.20 cm                      B.24 cm 

C.48 cm                      D.144 cm

3.如图，一个装有半瓶多饮料的饮料瓶中，饮料的高度为20 cm；把饮料瓶倒过来放置，饮料瓶空余部分的高度为5 cm.已知饮料瓶的容积为30 cm3，则瓶内现有饮料________cm3.

4.车间70名工人承接了制作丝巾的任务，已知每人每天平均生产手上的丝巾1 800条或者脖子上的丝巾1 200条，一条脖子上的丝巾要配两条手上的丝巾.为了使每天生产的丝巾刚好配套，应分配多少名工人生产脖子上的丝巾，多少名工人生产手上的丝巾?

参考答案

1.A

2.B

3.24

4.解：设应分配x名工人生产脖子上的丝巾.

根据题意，得1 800(70x)2×1 200x，

解得x30，

70x703040.

答:应分配30名工人生产脖子上的丝巾，40名工人生产手上的丝巾.

课堂小结

布置作业

完成教材习题5.6.

板书设计

第五章  一元一次方程

3  应用一元一次方程——水箱变高了

（一）应用一元一次方程解决等积变形问题

（二）应用一元一次方程解决图形的等长变化问题

（三）列一元一次方程解应用题的步骤

（1）审——通过审题找出等量关系.

（2）设——设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称.

（3）列——依据等量关系列出方程.

（4）解——解方程.

（5）检——检验求出的值是否为方程的解，并检验是否符合实际问题.

（6）答——写出答案，注意单位名称.

教学反思

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