2023年云南省昆明市中考数学诊断试卷（3月份）（含解析）

2023年云南省昆明市中考数学诊断试卷（3月份）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  徐志摩的泰山日出一文描写了“泰山佛光”壮丽景象，月份的泰山，山脚平均气温为零上，记作，山顶平均气温为零下，记作(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年月日，曲靖罗平花海马拉松鸣枪开跑，约有名海内外专业运动员和马拉松爱好者齐聚罗平，在奔跑中畅游最美花海赛道，共赴春日之约，数据用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在如图所示的几何体中，三视图都是正方形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，直线经过点，，，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若有意义，则实数的取值范围为(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

7.  若正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  丽江古城是一个闻名遐迩的历史文化名城，春节期间相关部门对游客到丽江观光的出行方式进行了随机抽样调查，根据调查情况绘制了如下两幅尚不完整的统计图，根据图中信息，下列结论错误的是(    )
 

A. 扇形统计图中的为
B. 本次抽样调查的样本容量是
C. 在扇形统计图中，“其他”对应的圆心角度数为
D. 在条形统计图中，选择自驾方式出行的人数为人

10.  已知，则代数式的值为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图，在矩形中，若，，，则(    )

A.
B.
C.
D.

12.  第届亚运会将于年月日至月日在杭州举行，在建设比赛场馆期间，某施工方使用，两种机器人来搬运建筑材料，其中型机器人每小时搬运的建筑材料是型机器人每小时搬运的建筑材料的倍，型机器人搬运所用时间比型机器人搬运所用时间少小时，设型机器人每小时搬运建筑材料，则下列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共8.0分）

13.  反比例函数的图象经过点，则 ______ ．

14.  如图，在中，，分别是，的中点，若平分，，则的长为        ．

15.  分解因式：______．

16.  如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是，其中水面高，则截面上有水部分即阴影部分的面积为        单位：，计算结果保留

三、解答题（本大题共8小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
如图，是上一点，与相交于点，是的中点，求证：≌．

19.  本小题分
月日是“世界读书日”，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，为确定合理的学生每周课余阅读时间的完成目标，学校随机抽取了名学生每周阅读时间单位：分钟的数据作为一个样本，并对这些数据进行了收集、整理和分析，过程如下：
【数据收集】

    
【数据整理】
将收集的个数据按以下四组进行整理阅读时间用表示：
，，，
并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图：
【数据分析】

请根据以上信息解答下列问题：
直接写出：        ，        ；并补全频数分布直方图；
如果学校将完成目标确定为每周不少于分钟，该校有名学生，那么估计有多少名学生能完成目标？若超过半数的人能达到目标即为合理，请从平均数，众数，中位数中选择合适的统计量，评判学校确定的这个目标合理吗？请说明理由．

20.  本小题分
中国古代的印刷术、造纸术、火药和指南针是对世界具有很大影响的“四大发明”，它是中国古代创新的智慧成果，为了增强学生对四大发明的了解，某兴趣小组收集到了四大发明的相关知识，并制作了编号为、、、的张卡片卡片除编号和内容外，其余完全相同，并将它们背面朝上洗匀后放在桌子上．

从这四张卡片中随机抽取一张恰好是“造纸术”的概率为        ；
从这四张卡片中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，请用列表法或画树状图法中的一种方法，求两次取出的卡片都相同的概率．

21.  本小题分
如图，在中，以为直径的交于点，点在上，连接，，．
求证：是的切线；
若，，求的长．

22.  本小题分
扎染文化是我国传统文化的重要组成部分，扎染文化的发展带动了旅游相关产业的发展，电视剧去有风的地方的热映不仅推动了云南大理旅游业的热潮，也增进了人们对扎染文化的了解，云南大理某扎染坊第一次用元购进甲、乙两种布料共件，其中两种布料的成本价和销售价如表：

该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？
因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价购进甲、乙两种布料共件若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料的数量的倍，且以相同的销售价全部售完这批布料，设第二次购进甲种布料件，第二次销售完后获得的利润为元，试问第二次以何种进货方案，才能使第二次销售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？

23.  本小题分
综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，杨老师出示了教材上的一个问题：
如图，四边形是正方形，是上的任意一点，于点，，交于点，求证：．
数学兴趣小组的小明同学做出了回答，解题思路如下：
由正方形的性质得到，，
再由垂直和平行可知，
再利用同角的余角相等得到，
则可根据“”判定≌，
得到，所以．
【建立模型】
该数学小组小芳同学受此问题启发，对上面的问题进行了改编，并提出了如下问题：
如图，四边形是正方形，，是对角线上的点，，连接，．
求证：四边形是菱形；
【模型拓展】
该兴趣小组的同学们在杨老师的指导下大胆尝试，改变图形模型，发现并提出新的探究点；
如图，若正方形的边长为，是对角线上的一点，过点作，交边于点，连接，交对角线于点，：：，求的值．
 

24.  本小题分
已知二次函数解析式为．
当抛物线经过点和点时，等式是否成立？并说明理由；
已知点和点，且线段与抛物线只有一个交点，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：“正”和“负”相对，
如果零上记作，
那么零下记作．
故选：．
在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
本题考查正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：三视图均为正方形的几何体是正方体．
故选：．
依题意，一个几何体的三视图都是正方形，则只有正方体符合条件．
本题考查了简单几何体的三视图，主要考查学生空间想象能力及对几何体的认识．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，
．
，
．
故选：．
根据平角的定义和平行线的性质解答即可．
本题重点考查了平行线的性质及平角的定义，熟练掌握平行线的性质：两直线平行内错角相等是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、原式，故选项A不符合题意；
B、原式，故选项B符合题意；
C、，故选项C不符合题意；
D、，故选项D不符合题意．
故选：．
根据立方根的定义判断；
根据绝对值的性质判断；
根据同底数幂的除法，底数不变指数相减判断；
根据积的乘方，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘判断．
本题考查立方根绝对值，同底数幂的除法，积的乘方，很容易混淆，一定要记准法则才能做题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意得，且，
解得且．
故选：．
根据二次根式及分式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设所求正边形边数为，
则，
解得．
故正多边形的边数是．
故选：．
多边形的外角和等于，因为正多边形的每个外角均相等，故多边形的外角和又可表示成，列方程可求解．
本题考查了多边形的外角和求正多边形的边数．解题的关键是能够根据多边形的外角和求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，，，，，，
第个为：；
故选：．
分别从系数，字母的指数两个方面进行找规律．
本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：扇形统计图中的为：，故本选项不符合题意；
B.本次抽样调查的样本容量是：，故本选项不符合题意；
C.在扇形统计图中，“其他”对应的圆心角度数为：，故本选项不符合题意；
D.在条形统计图中，选择自驾方式出行的人数为：人，故选项D符合题意．
故选：．
根据各部分百分比之和等于可得的值；根据“其他”人数及其对应的百分比可得样本容量；用乘可得“其他”对应的圆心角度数；用总人数乘以对应的百分比可得选择自驾方式出行的人数．
本题考查了条形统计图和扇形统计图．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
．
．
故选：．
由，得，再代入．
本题主要考查整体的思想，熟练掌握单项式乘多项式的乘法法则解决此题．
 

11.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
，，
，
，
∽，
，
故选：．
由勾股定理可求的长，通过证明∽，可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：设型机器人每小时搬运建筑材料，则型机器人每小时搬运的建筑材料，根据题意可得：
．
故选：．
根据型机器人搬运所用时间比型机器人搬运所用时间少小时得出等式，进而得出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确得出等量关系是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象经过点，
，
解得．
故答案为：．
把点的坐标代入求解即可．
本题考查了待定系数法求函数解析式，把点的坐标代入函数表达式进行计算即可，比较简单．
 

14.【答案】 

【解析】解：，分别是，的中点，，
，，
，
平分，
，
，
，
故答案为：．
根据三角形中位线定理得到，，根据平行线的性质得到，进而得出，得到．
本题考查的是三角形中位线定理、平行线的性质，熟记三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
首先提取公因式，再利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接、，过作，交于点，

，，
，
，
，
，，
，

故答案为：．
连接、，过作，交于点，根据水面的高为可求出的长，在中利用三角函数的定义可求出的度数，由垂径定理可知，，进而可求出的度数，根据扇形及三角形的面积可求出弓形的面积．
本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
 

17.【答案】解：

． 

【解析】首先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂、开平方和特殊角的三角函数值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

18.【答案】证明：是的中点，
，
在和中，
，
≌． 

【解析】利用即可证明≌．
此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
 

19.【答案】   

【解析】解：将这组数据重新排列为
、、、、、、、、、、
、、、、、、、、、，
所以这组数据的众数，中位数为，
补全频数分布直方图如下：
；
故答案为：，；
估计完成这个目标的人数为人，
学校确定的这个目标合理，
从中位数和众数看，超过一半的学生超过分，
所以学校确定的这个目标合理．
先将数据重新排列，再根据众数和中位数的概念求解可得；
用总人数乘以样本中每周阅读时间不少于分钟的学生数所占比例即可得，根据中位数的意义可得答案．
本题考查频数分布直方图、用样本估计总体，从收集的数据中获取必要的信息是解决问题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：从这四张卡片中随机抽取一张恰好是“造纸术”的概率为，
故答案为：；
列表如下：

由表知，共有种等可能结果，其中两次取出的卡片都相同的有种结果，
所以两次取出的卡片都相同的概率为．
直接根据概率公式求解即可；
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】证明：是的直径，
，
，，
，
，
是的半径，且，
是的切线．
解：，，
，
设，则，
，
，解得，
，
，
，
，
，
，
或不符合题意，舍去，
的长是． 

【解析】由是的直径，得，由，得，即可证明是的切线．
由，，得，设，则，，所以，则，所以，由，得，则，即可求得．
此题重点考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，证明是解题的关键．
 

22.【答案】解：设该扎染坊第一次购进甲布料件，乙布料件，
根据题意得：，
解得，
件，
答：该扎染坊第一次购进甲布料件，乙布料件；
设第二次购进甲种布料件，乙布料件，
根据题意得：，
甲种布料的数量不超过乙种布料的数量的倍，
，
解得，
，
当时，最大，最大值为，
此时件．
答：第二次购进甲布料件，乙布料件，才能使第二次销售完后获得的利润最大，最大利润是元． 

【解析】设该扎染坊第一次购进甲布料件，乙布料件，根据甲、乙布料的费用之和列出方程，解方程即可；
根据销售甲、乙两种布料的利润之和总利润列出函数解析式，再根据甲种布料的数量不超过乙种布料的数量的倍求出的取值范围，由函数的性质求最值．
本题考查一次函数的应用和一元一次方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式．
 

23.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
≌，
，
四边形是平行四边形，
，，，
≌，
，
▱是菱形；
解：如图，把绕点逆时针旋转点得到，连接，

四边形是正方形，
，，
，
，
，
以为直径作圆，则点，，，均在此圆上，
，
，
由旋转得，，，，
，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，，
，
由：：，
设，则，
在中，，则，
正方形的边长为，
由勾股定理得，
即，
，
，，
，，
∽，
，
． 

【解析】利用证明≌，得，从而得出四边形是平行四边形，再利用证明≌，得，则▱是菱形；
把绕点逆时针旋转点得到，连接，根据，知以为直径作圆，则点，，，均在此圆上，则，根据半角模型知≌，得，设，则，则，进而解决问题．
本题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，证明∽是解决问题的关键．
 

24.【答案】解：成立，理由如下：
将代入得，
解得，
二次函数解析式为，
将代入得，
．
设所在直线解析式为，
将，代入得，
解得，
直线解析式为．
令，整理得，
抛物线与直线交点横坐标为，，
当时，抛物线与直线只有个交点，
，
抛物线与直线交点在线段上，符合题意．
将代入得，
抛物线与线段有一个交点为，
抛物线与直线的另一交点不在线段上，
或符合题意，
综上所述，或或． 

【解析】通过待定系数法求出函数解析式，再将代入解析式求解．
通过待定系数法求出直线解析式，联立抛物线与直线方程可得交点横坐标，进而求解．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．