2023年中考数学二轮复习二次函数压轴题专题09 存在性-直角三角形（教师版）

这是一份2023年中考数学二轮复习二次函数压轴题专题09 存在性-直角三角形（教师版），共30页。试卷主要包含了勾股定理及其逆定理，直线与斜率的关系等内容，欢迎下载使用。
中考数学压轴题--二次函数--存在性问题
第9节 直角三角形的存在性

方法点拨
一、勾股定理及其逆定理

（1） 若▲ABC为直角三角形，那么：。
(2)若，那么：▲ABC为直角三角形。
二、直线与斜率的关系

在平面直角坐标系中，若两直线垂直，()
三、 相似

（1） 三角形相似，对应边成比例；
▲ADB∽▲BEC，

例题演练
1．在平面直角坐标系中，直线x＝﹣2与x轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于x轴上方一点A，此抛物线与x轴的正半轴交于点B(1，0)，且AC＝2BC．
(Ⅰ)求抛物线的解析式；
(Ⅱ)点P是直线AB上方抛物线上的一点．过点P作PD垂直于x轴于点D，交线段AB于点E，使DE＝3PE；
①求点P的坐标；
②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为以AB为直角边的直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：(Ⅰ)∵直线x＝﹣2与x轴交于点C，
∴C(﹣2，0)．
∵B(1，0)，
∴BC＝3，
∵AC＝2BC，
∴AC＝6，
∵直线x＝﹣2与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于点A，
∴A(﹣2，6)，
把点A、B的坐标代入抛物线的解析式，得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣3x+4；
(Ⅱ)①∵点P是直线AB上方抛物线上的一点，
∴设点P的坐标为(a，﹣a2﹣3a+4)，设直线AB的解析式为y＝kx+b(k≠0)，
把点A、B的坐标代入，得：
，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+2．
∵PD⊥x轴于点D，交AB于点E，

∴点E的坐标为(a，﹣2a+2)，
∴DE＝﹣2a+2，PE＝﹣a2﹣3a+4﹣(﹣2a+2)＝﹣a2﹣a+2，
∵DE＝3PE，
∴﹣2a+2＝3(﹣a2﹣a+2)，
解得：a1＝1(舍去)，a2＝﹣，
∴当x＝﹣时，y＝﹣﹣3×(﹣)+4＝，
∴点P的坐标为(﹣，)；
②∵点M在直线PD上，
∴设点M的坐标为(﹣，m)，
∵A(﹣2，6)，B(1，0)，
∴AB＝＝，AM＝，BM＝，
∵△ABM为以AB为直角边的直角三角形，
当AB为斜边时，AB2+AM2＝BM2，
即45++(6﹣m)2＝+m2，
解得：m＝，
∴点M的坐标为(﹣，)；
当AM为斜边时，AB2+BM2＝AM2，
即45++m2＝+(6﹣m)2，
解得：m＝﹣，
∴点M的坐标为(﹣，﹣)．
综上所述，符合题意的点M的坐标为(﹣，)或(﹣，﹣)．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y＝kx+n(k≠0)经过B，C两点，已知A(1，0)，C(0，3)，且BC＝5．
(1)试求出点B的坐标．
(2)分别求出直线BC和抛物线的解析式．
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：(1)∵点C (0，3)，即OC＝3．
∵BC＝5，
在Rt△BOC中，根据勾股定理得OB＝，
即点B坐标为(4，0)．
(2)把B(4，0)、C(0，3)分别代入y＝kx+n中，
得，解得．
∴直线BC解析式为；
把A(1，0)、B(4，0)、C(0，3)分别代入y＝ax2+bx+c得
，解得．
∴抛物线的解析式是．
(3)在抛物线的对称轴上存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：
∵抛物线的解析式是，
∴抛物线对称轴为直线x＝．
设点P坐标为()．
①当∠PCB＝90°时，有BP2＝BC2+PC2．
∵，，BC2＝25．
即＝+25，
解得：m＝．
故点P1()；
②当∠PBC＝90°时，有PC2＝PB2+BC2．
∵，，BC2＝25．
即＝+25，
解得：m＝﹣2．
故点P2()；
③当∠BPC＝90°时，有BC2＝BP2+PC2．
即25＝+．
解得：m1＝，m2＝．
∴P3(，)，P4(，)．
综上所述，使得△BCP为直角三角形的点P的坐标为 ()或()或(，)或(，)．
3．已知抛物线L经过点A(﹣1，0)和B(3，0)与y轴交于点C(0，3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)平移抛物线L，使平移后的抛物线经过点B，与x轴的另一个交点为Q，与y轴交于点P，同时满足△BPQ是直角三角形，请你写出平移过程并说明理由．


【解答】解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
把A(﹣1，0)、B(3，0)、C(0，3)代入y＝ax2+bx+c，
得．解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
(2)设平移后的抛物线为K：y＝﹣x2+mx+n，
∵抛物线y＝﹣x2+mx+n经过点B(3，0)，
∴﹣9+3m+n＝0，
∴n＝9﹣3m，
∴y＝﹣x2+mx+9﹣3m，
∴P(0，9﹣3m)；
当y＝0时，由﹣x2+mx+9﹣3m＝0，得x＝，
∴x1＝3，x2＝m﹣3．
如图1，当m﹣3≥0，即m≥3时，△BPQ不能是直角三角形；
如图2，当m﹣3＜0，即m＜3时，存在△BPQ是直角三角形，且只有∠BPQ＝90°一种情况.
∵∠POQ＝∠BOP＝90°，∠QPO＝90°﹣∠BPO＝∠PBO，
∴△POQ∽△BOP，
∴，
∴OP2＝OQ•OB，
∴(9﹣3m)2＝3(3﹣m)，
∴m1＝，m2＝3(不符合题意，舍去)，
∴抛物线K：y＝﹣x2+x+1，
∵抛物线L：y＝﹣x2+2x+3＝﹣(x﹣1)2+4，
抛物线K：y＝﹣x2+x+1＝﹣(x﹣)2+，
∴﹣1＝，﹣4＝﹣，
∴抛物线L向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度．


4．抛物线C：y＝ax2+bx+c(a≠0)，过点A(﹣1，0)、B(5，0)，并交y轴于点C(0，﹣)．
(1)求抛物线C的表达式；
(2)已知抛物线y＝ax2+bx+c上的任意一点到定点Q(2，﹣)的距离与到直线y＝﹣的距离相等，若点M为抛物线C上的一动点，P(3，4)为平面内一点，求MP+MQ的最小值，并求出此时点M的坐标．
(3)在此抛物线对称轴上是否存在一点D，使以A、P、D三点构成的三角形为直角三角形？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：(1)∵抛物线C：y＝ax2+bx+c(a≠0)，过点A(﹣1，0)、B(5，0)，并交y轴于点C(0，﹣)，
∴，
解得：，
∴抛物线C的表达式为：y＝x2﹣x﹣；
(2)如图1，作PH⊥直线y＝﹣于点H，作MH′⊥直线y＝﹣于点H′，
∵抛物线y＝ax2+bx+c上的任意一点到定点Q(2，﹣)的距离与到直线y＝﹣的距离相等，
∴MQ＝MH′，
∴MP+MQ＝MP+MH′，当P，M，H′三点在同一条直线上，MP+MH′最小，
∴M与M′重合时，MP+MQ最小，
∵P(3，4)，
∴PH＝4﹣(﹣)＝，
∴MP+MQ的最小值为；
当x＝3时，y＝×32﹣3﹣＝﹣2，
∴M(3，﹣2)；
(3)∵y＝x2﹣x﹣＝y＝(x﹣2)2﹣；
∴抛物线对称轴为x＝2，
设点坐称为(2，m)，
∵A(﹣1，0)，P(3，4)，D(2，m)，
∴AP＝4，AD2＝9+m2，PD2＝1+(m﹣4)2，
∵以A、P、D三点构成的三角形为直角三角形，
∴分三种情况讨论：∠DAP＝90°或∠ADP＝90°或∠APD＝90°
①当∠DAP＝90°时，AP2+AD2＝PD2，
∴(4)2+9+m2＝1+(m﹣4)2，
解得：m＝﹣3，
∴D1(2，﹣3)；
②当∠ADP＝90°时，PD2+AD2＝AP2，
∴1+(m﹣4)2+9+m2＝(4)2，
解得：m1＝2+，m2＝2﹣，
∴D2(2，2+)；D3(2，2﹣)；
③当∠APD＝90°时，PD2+AP2＝AD2，
∴1+(m﹣4)2+(4)2＝9+m2，
解得：m＝5，
∴D4(2，5)；
综上所述，点D的坐标为(2，﹣3)或(2，2+)或(2，2﹣)或(2，5)．


5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(﹣1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C(0，﹣3)，点P为直线BC下方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当△PBC的面积最大时，求点P的坐标，并求这个最大面积；
(3)试探究：是否存在点P，使△PBC为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

【解答】解：(1)将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3①；

(2)过点P作y轴的平行线交BC于点H，

由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝x﹣3，
设点P的坐标为(t，t2﹣2t﹣3)，则点H(t，t﹣3)，
则△PBC的面积＝S△PHC+S△PHB＝×PH×OB＝×3×(t﹣3﹣t2+2t+3)＝﹣(t﹣)2+≤，
∴当t＝时，△PBC的面积最大值为，
此时点P的坐标为(，﹣)；

(3)∵点P为直线BC下方抛物线上一动点，故∠PBC≠90°，
①当∠PCB为直角时，
由直线BC的表达式知，直线BC和x轴负半轴的夹角为45°，
∴当∠PCB为直角时，则直线PC与x轴的夹角为45°，
故直线PC的表达式为y＝﹣x﹣3②，
联立①②得：x2﹣2x﹣3＝﹣x﹣3，解得x＝0(舍去)或1，
即t＝1，
②当∠BPC为直角时，如图2，
过点P作y轴的垂线交y轴于点N，交过点B与y轴的平行线于点M，

设点P的坐标为(t，t2﹣2t﹣3)，
∵∠BPM+∠PBM＝90°，∠BPM+∠CPN＝90°，
∴∠PBM＝∠CPN，
∴tan∠PBM＝tan∠CPN，即，
∴，解得t＝(不合题意的值已舍去)；
综上，t的值为1或．
6．如图①，已知抛物线y＝ax2+bx+c顶点坐标为(﹣1，)，交y轴于点A(0，3)，交直线l：x＝﹣2于点B，点C(0，2)在y轴上，连接BC并延长，交抛物线于点D．
(1)求抛物线解析式；
(2)如图①，E为直线l上位于点B下方一动点，连DE、BD、AD，若S△BDE＝4S△ABD，求E点坐标；
(3)如图②，在(2)的条件下，P为射线EB上一点，作PQ⊥直线DE于点Q，若△APQ为直角三角形，请求出P点坐标．

【解答】解：(1)设抛物线的解析式为y＝a(x+1)2+，
将A(0，3)代入y＝a(x+1)2+，得a+＝3，解得a＝，
∴抛物线的解析式为y＝(x+1)2+，
即y＝x2x+3．
(2)当x＝﹣2时，y＝×4+3+3＝3，
∴B(﹣2，3)．
由C(0，2)，设直线BC的解析式为y＝kx+2，
则﹣2k+2＝3，解得k＝，
∴y＝x+2，
由，得，，
∴D(，)；
∵AB∥x轴，且AB＝2，
∴S△ABD＝×2×(3﹣)＝，
∴S△BDE＝4S△ABD＝4×＝；
设E(﹣2，m)，
∵BE∥y轴，
∴S△BDE＝×(+2)(3﹣m)，
∴×(+2)(3﹣m)＝，
解得m＝﹣1，
∴E(﹣2，﹣1)．
(3)设直线DE的解析式为y＝px+q，
则，解得，
∴y＝x+1．
如图2，设DE交x轴于点F，交y轴于点H，直线x＝﹣2交x轴于点M，
则F(﹣1，0)，H(0，1)，M(﹣2，0)，
在BM上取点G(﹣2，1)，连接FG、AG、BH，
∵OF＝OH＝1，∠FOH＝90°，
∴∠OFH＝∠OHF＝45°，
∴∠MFE＝∠MEF＝45°，∠EPQ＝45°，
∵MF＝MG＝1，AB＝AH＝BG＝2，
∴△ABG、△BAH、△FMG、△FOH、△PEQ都是等腰直角三角形，
∵∠HBE＝∠HEB＝45°，
∴∠BHE＝90°；
∵∠GFM＝∠HFO＝45°，
∴∠GFH＝90°，
∴PQ∥GF∥BH．
∵∠AGB＝∠MGF＝45°，
∴∠AGF＝90°，
当PQ与GF重合时，则∠APQ＝∠AGF＝90°，此时P(﹣2，1)；
当PQ与BH重合时，则∠PAQ＝∠BAH＝90°，此时P(﹣2，3)；
如图3，∠PAQ＝90°，作QT⊥PE于点T，QR⊥BA交BA的延长线于点R，
设P(﹣2，n)，则PB＝n﹣3，PE＝n+1，
∴ET＝PT＝QT＝(n+1)，AR＝(n+1)﹣2，QR＝(n+1)﹣4，
∵∠PBA＝∠ARQ＝90°，∠BPA＝90°﹣∠PAB＝∠RAQ，
∴△ABP∽△QRA，
∴，
∴，
解得n＝9，
∴P(﹣2，9)．
综上所述，点P的坐标为(﹣2，1)或(﹣2，3)或(﹣2，9)．



7．如图，直线y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动(运动到点O停止)，运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，设运动时间为t秒．以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F．
(1)求点A，点B的坐标．
(2)用含t的代数式分别表示EF和AF的长．
(3)是否存在t的值，使△AGF是直角三角形？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

【解答】解：(1)在直线y＝﹣x+2中，
令y＝0，得：﹣x+2＝0，
解得：x＝2，
令x＝0，得：y＝2，
∴A(2，0)，B(0，2)；
(2)由(1)可知OA＝2，OB＝2，
∴tan∠ABO＝＝，
∴∠ABO＝30°，
∵运动时间为t秒，
∴BE＝t，
∵EF∥x轴，
∴在Rt△BEF中，EF＝BE•tan∠ABO＝BE＝t，BF＝2EF＝2t，
在Rt△ABO中，OA＝2，OB＝2，
∴AB＝4，
∴AF＝AB﹣BF＝4﹣2t；
(3)存在．
∵EG∥x轴，
∴∠GFA＝∠BAO＝60°，
∵G点不能在抛物线的对称轴上，
∴∠FGA≠90°，
∴当△AGF为直角三角形时，则有∠FAG＝90°，
又∠FGA＝30°，
∴FG＝2AF，
∵EF＝t，EG＝4，
∴FG＝4﹣t，且AF＝4﹣2t，
∴4﹣t＝2(4﹣2t)，
解得：t＝，
即当t的值为秒时，△AGF为直角三角形，
此时OE＝OB﹣BE＝2﹣t＝2﹣×＝，
∴E点坐标为(0，)，
∵抛物线的顶点为A，
∴可设抛物线解析式为y＝a(x﹣2)2，
把E点坐标代入可得：＝4a，
解得：a＝，
∴抛物线解析式为y＝(x﹣2)2，
即y＝x2﹣x+．

8．已知抛物线与x轴交于点A、B(A在B的右侧)，与y轴交于点C，连接AC、BC，过点A作BC的平行线交抛物线于点D．
(1)如图1，若点P为直线BC下方抛物线上任意一点，直线AD上有一动点E，当△BCP面积最大时，求PE﹣AE的最小值；
(2)如图2，将△BOC绕点O顺时针旋转得到△B'OC'，点B，C的对应点分别是B'，C'，且C'恰好落在∠BCO的平分线上(C'与C不重合)，点M是抛物线对称轴上的一个动点，则△B'OM能否为直角三角形？若能，请直接写出点M的坐标，若不能，请说明理由．

【解答】解：(1)对于，令＝0，解得x＝1或﹣3，令x＝0，则y＝﹣，
故点A、B、C的坐标分别为(1，0)、(﹣3，0)、(0，﹣)，
过点P作PH∥y轴交x轴于点H，交AD于点E，则点E为所求点，

理由：由点B、C的坐标知，直线BC的表达式为y＝﹣x﹣，
则tan∠OBC＝，
∴∠OBC＝30°，∠OCB＝60°，
由AD∥BC知，∠DAB＝∠OBC＝30°，
∴EH＝AE，则PE﹣AE＝PE﹣EN＝PN＝﹣yP为最小，
由△BCP面积＝S△PHB+S△PHC＝PH×OB，
故△BCP面积最大，即PH的长度最大即可．
设点P的坐标为(x，x2+x﹣)，则点H的坐标为(x，﹣x﹣)，
则PH＝(﹣x﹣)﹣(x2+x﹣)＝﹣(x2+3x)，
∵＜0，故PH有最大值，
当x＝﹣时，PH取得最大值，此时点P的坐标为(﹣，﹣)，
∴PE﹣AE的最小值为﹣yP＝；

(2)连接CC′，∵C'恰好落在∠BCO的平分线上，∠OCB＝60°，OC＝OC′，

则∠OC′C＝∠OC′C＝30°，则∠C′OC＝120°，即△BCO顺时针旋了120°，
则∠BOB′＝120°，∠B′OA＝60°，
过点B′分别作x、y轴的垂线，垂足分别为M、N，
则OM＝OB′cos60°＝OBcos60°＝，MB＝，
故点B′的坐标为(，)，
由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝﹣1，
故设点M的坐标为(﹣1，m)，
由点O、M、B′的坐标知，B′M2＝(+1)2+(m﹣)2，
同理可得：OM2＝m2+1，OB′2＝9，
当BM是斜边时，则m2+1+9＝(+1)2+(m﹣)2，解得m＝；
当OM是斜边时，则m2+1＝9+(+1)2+(m﹣)2，解得m＝；
当OB′是斜边时，则(+1)2+(m﹣)2+m2+1＝9，方程无解，
故点M的坐标为(﹣1，)或(﹣1，)．
9．如图，已知抛物线与x轴交于A(﹣3，0)、B(1，0)两点，与y轴交于点C(0，3)，对称轴l与x轴交于点D，点E在y轴上，且OE＝OB．P是该抛物线上的动点，连接PA、PE，PD与AE交于点F．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)设点P的横坐标为t(﹣3＜t＜0)
①求△PAE的面积的最大值；
②在对称轴l上找一点M，使四边形PAME是平行四边形，求点M的坐标；
③抛物线上存在点P，使得△PEF是以EF为直角边的直角三角形，求点P的坐标，并判断此时△PAE的形状．

【解答】解：(1)∵抛物线与x轴交于A(﹣3，0)、B(1，0)两点，
∴设所求抛物线的函数表达式为y＝a(x+3)(x﹣1)，
把点C(0，3)代入，得：3＝a(x+3)(x﹣1)，
解得：a＝﹣1，
∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣(x+3)(x﹣1)，
即：y＝﹣x2﹣2x+3；
(2)①【解法一】如图1，过点P作PH⊥x轴于点H，交AE于点I，
∵OE＝OB，
∴E(0，1)，
设直线AE的函数表达式为y＝kx+b，将A(﹣3，0)，E(0，1)分别代入，
得：，
解得：，
∴直线AE的表达式为，
由题意，点P的坐标为(t，﹣t2﹣2t+3)，则点I的坐标为，
∴，
∴．
∵，且﹣3＜t＜0，
∴当时，△PAE的面积最大值为．
【解法二】如图1，连接PO，
由题意，点P的坐标为(t，﹣t2﹣2t+3)，
∴S△PAE＝S△PAO+S△PEO﹣S△AOE
＝AO•|yP|+EO•|xP|﹣AO•EO
＝(﹣t2﹣2t+3)+(﹣t)﹣
＝﹣t2﹣t+3
＝﹣(t+)2+，
∵a＝﹣＜0，且﹣3＜t＜0，
∴当时，△PAE的面积最大值为．
②∵点M在抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的对称轴x＝﹣1上，
∴设点M的坐标为(﹣1，m)，
由题意，点P的坐标为(t，﹣t2﹣2t+3)，
∵四边形PAME是平行四边形，AE、PM为对角线，
∴xP+xM＝xA+xE，即t﹣1＝﹣3+0，
解得：t＝﹣2，
∴点P的坐标为(﹣2，3)，
∴yP+yM＝yA+yE，得3+m＝0+1，
∴m＝﹣2．
∴点M的坐标为(﹣1，﹣2)．
③△PEF是以EF为直角边的直角三角形分两种情况：
(Ⅰ)若∠PEF＝90°，如图2，过点P作PG⊥y轴于点G，
∴∠PGE＝∠AOE＝90°，
∵∠PEG+∠AEO＝90°，∠AEO+∠EAO＝90°，
∴∠PEG＝∠EAO，
∴△EPG∽△AEO，
∴，即，
整理得t2﹣t﹣2＝0，
解得t1＝﹣1，t2＝2(舍去)，
∴点P的坐标为(﹣1，4)，
∴PG＝OE＝1，
∴＝＝1，
∴PE＝AE，
∴△PAE是等腰直角三角形．
(Ⅱ)若∠PFE＝90°，如图3，过点P作PH⊥x轴于点H，
∴∠PHD＝∠AOE＝90°，
∴∠DPH+∠PDH＝90°，
∵∠AFD＝∠PFE＝90°，
∴∠PDH+∠EAO＝90°，
∴∠DPH＝∠EAO，
∴△PHD∽△AOE，
∴，即，
整理得t2﹣t﹣6＝0，
解得t1＝﹣2，t2＝3(舍去)，
∴点P的坐标为(﹣2，3)，
∴H(﹣2，0)，
∴PH＝3，AH＝OA﹣OH＝3﹣2＝1，
∴PH＝OA，AH＝OE，∠PHA＝∠AOE＝90°，
∴△PHA≌△AOE(SAS)，
∴△PAE是等腰三角形．
综上所述，P的坐标为(﹣1，4)，△PAE是等腰直角三角形；或P的坐标为(﹣2，3)，△PAE是等腰三角形．



10．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4(a≠0)经过点A(﹣1，0)，B(3，0)和点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)作直线BC，点G是线段BC上一个动点，过点G作y轴的平行线交x轴于点E，交抛物线于点F，过点F作直线BC的垂线，垂足为点D，若设△BEG的周长为C1，△GDF的周长为C2，C＝C1+C2，点G的横坐标为m(0＜m＜3)，请用含m的代数式表示C，并计算当m取何值时，C取得最大值；
(3)点P是抛物线对称轴上的一点，若以点P，C，B为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出点P的坐标．
【解答】解：(1)将点A(﹣1，0)，B(3，0)分别代入抛物线的关系式中得，解得，
∴抛物线的关系式为；

(2)由题意得，点C(0，﹣4)，则BC＝5，
∴△OBC的周长为3+4+5＝12，
由点B、C的坐标得，直线BC的关系式为．
∵GE∥y轴，
∴△BEG∽△BOC，
∴．
∵FD⊥BC，∠DGF＝∠OCB，
∴△FDG～△BOC，
∴．
∵点G的横坐标为m(0＜m＜3)，
∴，，
∴，，
∴C1＝12﹣4m，，
即．
当时，C取得最大值；

(3)由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝1，
①当∠BPC为直角时，

过点P作x轴的平行线交过点B与y轴的平行线于点M，交y轴于点N，
设点P的坐标为(1，m)，
则MB＝m，PM＝3﹣1＝2，NP＝1，CN＝m+4，
∵∠MPB+∠NPC＝90°，∠NPC+∠PCN＝90°，
∴∠MPB＝∠PCN，
∴tan∠MPB＝tan∠PCN，则，
∴，解得m＝﹣2±，
故点P的坐标为或；
②∠BCP为直角时，
∵直线BC的表达式为y＝x﹣4，
∵PC⊥BC，故设直线PC的表达式为y＝﹣x+t，
将点C的坐标代入上式并解得y＝﹣4，
故直线PC的表达式为y＝﹣x﹣4，
当x＝1时，y＝﹣x﹣4＝﹣，
故点P的坐标为(1，﹣)；
③当∠CBP为直角时，
同理可得，直线PB的表达式为y＝﹣(x﹣3)，
当x＝1时，y＝﹣(x﹣3)＝，
则点P的坐标为(1，)；
综上，点P的坐标为，，或．
11．已知抛物线y＝ax2+2x+c(a≠0)与x轴交于点A(﹣1，0)和点B，与直线y＝﹣x+3交于点B和点C，M为抛物线的顶点，直线ME是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的解析式及点M的坐标；
(2)直线ME与BC交于点N，点P为直线BC上方抛物线上一点，在直线BC上是否存在一点Q，使得以点M、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点Q的坐标；
(3)点F为直线BC上一点，作点A关于y轴的对称点A'，连接A'C，A'F，当△FA'C是直角三角形时，直接写出点F的坐标．

【解答】解：(1)∵直线y＝﹣x+3过点B和点C，
∴B(3，0)、C(0，3)，OB＝OC＝3，
把A(1，0)、B(3，0)代入y＝ax2+2x+c，得，解得，
∴y＝﹣x2+2x+3；
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣(x﹣1)2+4，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，顶点M的坐标为(1，4)．
(2)对于直线y＝﹣x+3，当x＝1时，y＝2，
∴N(1，2)．
设P(m，﹣m2+2m+3)．
若MN是平行四边形的一边，如图1，则PQ∥MN且MN＝PQ＝2，Q(m，﹣m+3)，
∴﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)＝2，
解得：m1＝2，m2＝1(不符合题意，舍去)，
∴Q(2，1)

若MN是平行四边形的对角线，如图2，
∵线段MN的中点为坐标为(1，3)，且点Q与点P关于点(1，3)成中心对称，
∴Q(2﹣m，m2﹣2m+3)，
∵点Q在直线y＝﹣x+3上，
∴m2﹣2m+3＝﹣(2﹣m)+3，
解得m1＝0，m2＝2(不符合题意，舍去)，
∴Q(0，3)．

综上所述，点Q的坐标为(2，1)或(0，3)．
(3)如图3，∠A'FC＝90°，作FG⊥x轴于点G，则FG＝A'G，
设F(m，﹣m+3)，
则﹣m+3＝m﹣1，解得m＝2，
∴F(2，1)；

如图4，∠CA'F＝90°，作FG⊥x轴于点G，则∠FA'G＝90°﹣∠OAC＝∠A'CO，
∴＝＝tan＝∠A'CO＝，
∴FG＝A'G，
∴﹣m+3＝(m﹣1)，
解得m＝，
∴F(，)．

综上所述，点F的坐标为(2，1)或(，)．
故答案为：(2，1)，(，)．