2023年中考数学二轮复习二次函数压轴题专题08 存在性-等腰三角形（教师版）

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中考数学压轴题--二次函数--存在性问题
第1节 等腰三角形的存在性

方法点拨
“两圆一线”得坐标：
(1)以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；
(2)以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；
(3)作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．

几何法：
(1)两圆一线作出点；
(2)利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线 段长得点坐标．
代数法：
(1)表示出三个点坐标A、B、C；
(2)由点坐标表示出三条线段：AB、AC、BC；
(3)分类讨论①AB=AC、②AB=BC、③AC=BC；
(4)列出方程求解．


例题演练

例1．如图，抛物线y＝ax2﹣x+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，连接AC，已知B(﹣1，0)，且抛物线经过点D(2，﹣2)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点E是抛物线上位于x轴下方的一点，且S△ACE＝S△ABC，求E的坐标；
(3)若点P是y轴上一点，以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标．

【解答】解：(1)把B(﹣1，0)，D(2，﹣2)代入y＝ax2﹣x+c得，
解得：．
故抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；
(2)当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴A(3，0)，
∴AB＝4，
当x＝0时，y＝﹣2，
∴C(0，﹣2)，
∴OC＝2，
∴S△ABC＝×4×2＝4，
设AC的解析式为y＝kx+b，把A(3，0)，C(0，﹣2)代入y＝kx+b得，
解得．
∴y＝x﹣2，
如图1，过点E作x轴的垂线交直线AC于点F，
设点F(a，a﹣2)，点E(a，a2﹣a﹣2)，其中﹣1＜a＜3，
∴S△ACE＝EF＝|a2﹣a|＝，
∵S△ACE＝S△ABC，
∴a2﹣3a＝2或﹣a2+3a＝2，
解得a1＝(舍去)，a2＝，a3＝1，a4＝2，
∴E1(，)，E2(1，﹣)，E3(2，﹣2)；
(3)在y＝ax2+bx﹣2中，当x＝0时，y＝﹣2，
∴C(0，﹣2)，
∴OC＝2，
如图2，设P(0，m)，则PC＝m+2，OA＝3，AC＝＝，
①当PA＝CA时，则OP1＝OC＝2，
∴P1(0，2)；
②当PC＝CA＝时，即m+2＝，∴m＝﹣2，
∴P2(0，﹣2)；
③当PC＝PA时，点P在AC的垂直平分线上，
则△AOC∽△P3EC，
∴＝，
∴P3C＝，
∴m＝，
∴P3(0，)，
④当PC＝CA＝时，m＝﹣2﹣，
∴P4(0，﹣2﹣)．
综上所述，P点的坐标(0，2)或(0，﹣2)或(0，)或(0，﹣2﹣)．


例2．已知抛物线与x轴交于点A(﹣2，0)、B(3，0)，与y轴交于点C(0，4)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P是抛物线上位于第一象限内的一点，当四边形ABPC的面积最大时，求出四边形ABPC的面积最大值及此时点P的坐标．
(3)如图2，将抛物线向右平移个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为y'，若抛物线y'与原抛物线对称轴交于点Q．点E是新抛物线y'对称轴上一动点，在(2)的条件下，当△PQE是等腰三角形时，求点E的坐标．

【解答】解：(1)∵抛物线与x轴交于点A(﹣2，0)、B(3，0)，
∴可设抛物线的解析式为：y＝a(x+2)(x﹣3)(a≠0)，
把C(0，4)代入y＝a(x+2)(x﹣3)(a≠0)中，得
4＝﹣6a，
∴a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣，
即y＝﹣+；
(2)设P点的坐标为(t，)，过点P作PM⊥x轴，与BC交于点M，如图1，

设直线BC的解析式为y＝kx+b(k≠0)，则
，
解得，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣，
∴M(t，)，
∴，
∴＝﹣t2+3t，
，
，
∴S四边形ABPC＝S△AOC+S△BOC+S△BPC＝，
∴当t＝时，S四边形ABPC的最大值为，
∴此时P点的坐标为(，)；
(3)∵将抛物线向右平移个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为y'，
∴y′的解析式为y′＝﹣(x﹣)2+(x﹣)+4﹣2，即y′＝﹣x2+x+，
∴抛物线y′的对称轴为x＝1，
∵抛物线y＝﹣+＝﹣(x﹣)2+，
∴抛物线y＝﹣+的对称轴为直线x＝，
把x＝代入y′＝﹣x2+x+，中，得y′＝2，
∴Q点的坐标为(，2)，
设E的坐标为(1，n)
①当PE＝QE时，则PE2＝QE2，
即，
解得，n＝，
∴E(1，)(不合题意舍弃，此时P，E，Q共线)，
②当PQ＝QE时，则PQ2＝QE2，
即，
解得，n＝2±，
∴E点的坐标为(1，2+)或(1，2﹣)；
③当PQ＝PE时，则PQ2＝PE2，
即，
解得，n＝，
∴点E的坐标为(1，)或(1，)．
综上，当△PQE是等腰三角形时，点E的坐标为(1，2+)或(1，2﹣)或(1，)或(1，)．
例3．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+x+c与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，其中A(﹣，0)，tan∠ACO＝．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点D为直线BC上方抛物线上一点，连接AD、BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求的最大值；
(3)如图2，将抛物线沿射线CB方向平移，点C平移至C′处，且OC′＝OC，动点M在平移后抛物线的对称轴上，当△C′BM为以C′B为腰的等腰三角形时，请直接写出点M的坐标．

【解答】解：(1)∵A(﹣，0)，
∴AO＝|﹣|＝，
∵tan∠ACO＝，
∴CO＝3，
∴C(0，3)，
将A、C的坐标代入y＝ax2+x+c得，
，
∴，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+3；
(2)如答图1，过D作DG⊥x轴于点G，交BC于F，过A作AK⊥x轴交BC延长线于K，

设直线BC解析式为：y＝kx+b，
由(1)y＝﹣x2+x+3得B( 3，0)，
将B( 3，0)、C(0，3)分别代入y＝kx+b得：
，解得，
∴直线BC解析式为：y＝﹣x+3，
∵A(﹣，0)，故K的横坐标xk＝﹣，代入y＝﹣x+3得yk＝4，
∴K(﹣，4)，
∴AK＝4，
设D(m，﹣m2+m+3)，则F(m，﹣m+3)，
∴DF＝﹣m2+m，
∵DG⊥x轴于点G，AK⊥x轴，
∴AK∥DG，
∴△AKE～△DFE，
∴＝，
将△BDE、△ABE分别看作DE、AE为底边，则它们的高相同，
∴，
∴＝﹣m2+m＝﹣(m﹣)2+，
∴m＝时，有最大值，最大值为；
(3)如答图2，连接OC′，过C′作C′F⊥y轴于F，
由抛物线的解析式y＝﹣x2+x+3知其顶点为(，4)，
∵OC＝3，OB＝3，
∴tan∠BCO＝＝，BC＝6，
∴∠BCO＝60°，
∵OC′＝OC，
∴△COC′是等边三角形，
∴CC′＝3，BC′＝3，
Rt△CFC′中可得CF＝，C′F＝，
∴原抛物线的平移是相当于向右平移个单位再向下平移个单位，且FO＝，
∴平移后抛物线顶点为(，)，对称轴是x＝，C′(，)，
∵M在平移后抛物线的对称轴上，
∴设M(，m)，
又△C′BM为以C′B为腰的等腰三角形，可分两种情况：
①C′M＝，C′B＝3，则＝3，
解得m＝或m＝，
∴M(，)或M(，)，
②BM＝C′B＝3，则，
解得m＝或m＝﹣，
∴M(，)或M(，﹣)，
综上所述，△C′BM为以C′B为腰的等腰三角形，则M(，)或M(，)或M(，)或M(，﹣)，
故答案为：M(，)或M(，)或M(，)或M(，﹣)．

例4．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为(2，0)，与y轴交于点C，抛物线对称轴为直线x＝﹣．连接AC，BC，点P是抛物线上在第二象限内的一个动点．过点P作x轴的垂线PH，垂足为点H，交AC于点Q．过点P作PG⊥AC于点G．
(1)求抛物线的解析式．
(2)求△PQG周长的最大值及此时点P的坐标．
(3)在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：(1)∵抛物线y＝ax2+bx+3过点B(2，0)，对称轴为直线x＝﹣，
∴，解得，
∴y＝﹣x2﹣x+3．
(2)令y＝0，即﹣x2﹣x+3＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝2，
∴A(﹣3，0)，
令x＝0，得C(0，3)，
∵直线AC经过A(﹣3，0)，C(0，3)，设直线AC的解析式为：y＝kx+b，
则，
∴，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
∴∠BAO＝45°，
∵PH⊥AO，PG⊥AB，
∴∠AQH＝∠PQG＝∠QPG＝45°，
∴△PQG是等腰直角三角形，
设P(m，﹣m2﹣m+3)，
∴Q(m，m+3)，
∴PQ＝﹣m2﹣m+3﹣m﹣3＝﹣m2﹣m＝，
∴当m＝时，PQmax＝，此时P(﹣，)，
∵△PQG是等腰直角三角，
∴△PQG周长＝﹣m2﹣m+(﹣m2﹣m)，
＝(+1)(﹣m2﹣m)，
＝(+1)PQ，
∴△PFG周长的最大值为：(+1)．
(3)∵B(2，0)，C(0，3)，Q(m，m+3)，
由两点间距离公式可求得：CQ2＝2m2，CB2＝13，BQ2＝2m2+2m+13，
①当CQ＝CB时，
∴2m2＝13，
∴m1＝(舍去)，m2＝﹣，
∴Q1(﹣，﹣+3)；
②当BQ＝CB时，
∴2m2+2m+13＝13，
∴m1＝0(舍去)，m2＝﹣1，
∴Q2(﹣1，2)；
③当CQ＝BQ时，
∴2m2+2m+13＝2m2，
∴2m+13＝0，
∴m＝，
∴Q3(﹣，﹣)(不合题意舍去)，
综上所述，当Q1(﹣，﹣+3)，Q2(﹣1，2)时，以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．
练1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点(点B在点A的左侧)，直线BC的解析式为y＝x+3．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；
(3)在(2)中，当四边形BECD的面积最大时，将抛物线向左平移1个单位，记平移后C、E的对应点分别为C′、E′，在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使以C′、E′、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：(1)将x＝0，y＝0分别代入y＝x+3，
得：B(﹣3，0)，C(0，3)，
∵抛物线过点B、点C，
将其分别代入抛物线y＝﹣x2+bx+c，
得：，
解得：，
∴该抛物线得解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；①
(2)如图，设DC交x轴于点F，过点E作EG∥y轴交BC于点G，
将y＝0代入抛物线y＝﹣x2﹣2x+3得：A (1，0)，
因为AD∥BC，可得直线AD的表达式为：y＝x﹣1，②
联立①②可得D (﹣4，﹣5)，
由C(0，3)D(﹣4，﹣5)得直线CD的表达式为：y＝2x+3，
∴F(﹣)，
则BF＝，
设E(x，﹣x2﹣2x+3)，
则G(x，x+3)EG＝(﹣x2﹣2x+3)﹣(x+3)＝﹣x2﹣3x，
四边形BECD的面积 S＝S△EBC+S△BCD＝EG＝＝，
∵，
∴S有最大值，
当时，S的最大值为，
此时点E的坐标为()；
(3)存在，由题知平移后E'(﹣，)，C'(﹣1，3)，
设M点的坐标为(﹣2，y)，
①当ME'＝MC'时，
∴ME'2＝MC'2，
即(﹣2+)2+(y﹣)2＝(﹣2+1)2+(y﹣3)2，
解得y＝，
∴M1()，
②当C'E'＝E'M时，
∴C'E'2＝E'M2，
即(﹣+1)2+(﹣3)2＝(﹣2+)2+(y﹣)2，
解得y1＝，y2＝，
∴M2(﹣2，)，，
③当C'E'＝MC'时，
同理得(﹣+1)2+(﹣3)2＝(﹣2+1)2+(y﹣3)2，
解得y3＝3+，y4＝3﹣，
∴，，
综上M1()，M2(﹣2，)，，，．

练2.如图①，抛物线y＝ax2+bx+与x轴交于点A、B(点A在点B左侧)，与直线交于点A，C，其中A(﹣7，0)，C(﹣1，6)．
(1)求抛物线与直线的解析式；
(2)如图②，P为直线AC上方抛物线上的动点，过P作PQ⊥AC于Q，当PQ的长度最大时，在x轴上取两个动点M、N，使MN＝2，连接PM、CN，求PM+MN+NC的最小值；
(3)如图③，抛物线的对称轴与x轴交于点D，将直线AC向下平移一个单位得到直线A'C'，直线A'C'与抛物线的对称轴交于点G，将△ADG绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜180°)，旋转过程中的△ADG记为△AD'G'，设直线D'G'交直线AC于点T，当△AG'T为等腰三角形时，直接写出T的坐标．

【解答】解：(1)∵抛物线y＝ax2+bx+经过A(﹣7，0)，C(﹣1，6)，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣3x+；
设直线AC的解析式为y＝mx+n，将A(﹣7，0)，C(﹣1，6)代入，
得：，
解得：，
∴直线AC的解析式为：y＝x+7；
(2)设P(t，﹣t2﹣3t+)，如图②，作PE∥y轴交直线AC于E，设直线AC与y轴交于D(0，7)，
∴E(t，t+7)，
∴PE＝﹣t2﹣3t+﹣(t+7)＝﹣t2﹣4t﹣，
∵A(﹣7，0)，D(0，7)，
∴OA＝7，OD＝7，AC＝7，
∵PE∥y轴，
∴∠PEQ＝∠ADO，
∵PQ⊥AC，
∴∠PQE＝∠AOC＝90°，
∴△PQE∽△AOC，
∴＝，即＝，
∴PQ＝(﹣t2﹣4t﹣)＝t2﹣2t﹣＝(t+4)2+，
∵＜0，﹣7＜t＜﹣1，
∴当t＝﹣4时，PQ有最大值，此时P(﹣4，)；
作点C关于x的对称点C′，则C′(﹣1，﹣6)，
将C′点向左平移2个单位得C″，则C″(﹣3，﹣6)，连接PC″．
则PC″与x轴交于点M．则PM+MN+CN≥PC″+2，
∵PC″＝＝，
∴PM+MN+NC的最小值为+2；
(3)∵y＝﹣x2﹣3x+＝﹣(x+3)2+8，
∴抛物线对称轴为x＝﹣3，
∴G(﹣3，3)，D(﹣3，0)，
∴AD＝4，DG＝3，
∴AG＝＝＝5，
由旋转知：AD′＝AD＝4，D′G′＝DG＝3，A′G′＝AG＝5，
∵△AG'T为等腰三角形，
∴AG′＝G′T或AG′＝AT或G′T＝AT，
①当AG′＝G′T时，如图③，过点T1作T1K⊥x轴于K，过T2作T2L⊥x轴于L，G′T1＝AG′＝5，G′T2＝AG′＝5，
∴AT1＝＝＝4，
∵∠T1AK＝45°，
∴AK＝T1K＝4×＝2，
∴T1(﹣7+2，2)，
同理可得：AT＝2，
∴AL＝T2L＝2×＝，
∴T2(﹣7﹣，)；
②当AG′＝AT时，如图④，AT＝AG′＝5，作TK⊥x轴于K，
∵∠TAK＝45°，
∴AK＝TK＝5×＝，
∴T(﹣7﹣，﹣)；
③当G′T＝AT时，如图⑤，过点T作作TK⊥x轴于K，
设AT＝x，则D′T＝x﹣3，
∵AD′2+D′T2＝AT2，
∴42+(x﹣3)2＝x2，
解得：x＝，
∴AT＝，
∴AK＝TK＝×＝，
∴T(﹣7﹣，﹣)；
综上所述，点T的坐标为(﹣7+2，2)，(﹣7﹣，)，(﹣7﹣，﹣)，(﹣7﹣，﹣)．





练3.如图，二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(﹣)，与y轴交于点B(0，﹣2)，若该函数与x轴的另一个交点C满足OC＝3OA，抛物线顶点为D．
(1)求二次函数的解析式；
(2)如图1，连接BC，若点Q是直线BC下方抛物线上的动点，过点Q作QE⊥BC于点E，作QF⊥x轴交BC于点F，求线段EF长度的最大值；
(3)如图2，将抛物线沿直线DO平移，点D平移后的对应点为D′，直线x＝与x轴相交于点M，与平移中的抛物线相交于点N，当△D′MN是以MN为底边的等腰三角形时，请直接写出D′的坐标．

【解答】解：(1)∵A(﹣)，OC＝3OA，
故点C的坐标为(3，0)，
设抛物线的表达式为y＝a(x+)(x﹣3)，
将点B的坐标代入上式得：﹣2＝a××(﹣3)，解得a＝，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣2；

(2)由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝x﹣2，
则tan∠OCB＝＝，则sin∠OCB＝，
设QF交x轴于点H，

∵∠EQF＝90°﹣∠EFQ＝90°﹣∠HFC＝∠HCF＝∠OCB，
∵sin∠EQF＝sin∠OCB＝，
设点Q的坐标为(t，t2﹣t﹣2)，点F(t，t﹣2)，
则EF＝FQsin∠EQF＝[(t﹣2)﹣(t2﹣t﹣2)]＝(﹣t2+t)，
∵﹣＜0，故EF有最大值，
当t＝时，EF的最大值为；

(3)对于y＝x2﹣x﹣2，
则函数的对称轴为x＝﹣＝，当x＝时，y＝x2﹣x﹣2＝﹣，
故点D的坐标为(，﹣)，
由点O、D的坐标得，直线OD的表达式为y＝﹣x，
则抛物线沿直线OD运动时，向上平移8m个单位，向左平移3m个单位，
故点D′的坐标为(﹣3m，8m﹣)，
则平移后的抛物线表达式为y＝(x﹣+3m)2﹣+8m，
当x＝时，y＝(x﹣+3m)2﹣+8m＝6m2+8m﹣，故点N的坐标为(，6m2+8m﹣)，
由图(2)知，△D′MN是以MN为底边的等腰三角形时，点D′在MN的中垂线上，
即(6m2+8m﹣)＝8m﹣，解得m＝，
故点D′的坐标为(﹣，)．
练5.抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A(﹣1，0)，C(0，2)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点P是线段BC上的一个动点，过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点Q，当点P运动到什么位置时，四边形CDBQ的面积最大？求出四边形CDBQ的最大面积及此时P点的坐标；
(3)如图2，设抛物线的顶点为M，将抛物线沿射线CB方向以每秒个单位的速度平移t秒，平移后的抛物线的顶点为M′，当△CBM′是等腰三角形时，求t的值．

【解答】解：(1)将点A、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+2；

(2)对于y＝﹣x2+x+2，令y＝﹣x2+x+2＝0，解得x＝﹣1或4，
故点B的坐标为(4，0)，抛物线的对称轴为直线x＝，故点D的坐标为(，0)，
则BD＝4﹣＝，
由点B、C的坐标得：直线BC的表达式为y＝﹣x+2，
设点Q的坐标为(x，﹣x2+x+2)，则点P的坐标为(x，﹣x+2)，
设四边形CDBQ的面积为S，
则S＝S△BCD+S△BCQ＝×BD×CO+×PQ×OB＝××2+×4×(﹣x2+x+2+x﹣1)＝﹣x2+4x+，
∵﹣1＜0，故S有最大值，
当x＝2时，S即四边形CDBQ的面积取得最大值为，
此时，点P的坐标为(2，3)；

(3)由抛物线的表达式知，点M的坐标为(，)，
∵抛物线沿射线CB方向以每秒个单位的速度平移t秒，即运动了t个单位，
由直线BC的表达式知，此时点M向右平移了2t个单位向下平移了t个单位，则点M′(+2t，﹣t)，
由点M′、B、C的坐标知，M′B2＝(+2t﹣4)2+(﹣t)2，
同理可得，BC2＝20，CM′2＝(+2t)2+(﹣t﹣4)2，
当M′B＝BC时，则(+2t﹣4)2+(﹣t)2＝20，解得t＝(不合题意的值已舍去)；
当M′B＝CM′时，(+2t﹣4)2+(﹣t)2＝(+2t)2+(﹣t﹣4)2，解得t＝0.625；
当BC＝CM′时，20＝(+2t)2+(﹣t﹣4)2，解得t＝(不合题意的值已舍去)；
故t＝或0.625或．