专题09 存在性-直角三角形-中考数学压轴题满分突破之二次函数篇（全国通用）

中考数学压轴题--二次函数--存在性问题

第9节  直角三角形的存在性

方法点拨

一、勾股定理及其逆定理

（1）若▲ABC为直角三角形，那么：。

（2）若，那么：▲ABC为直角三角形。

二、直线与斜率的关系

在平面直角坐标系中，若两直线垂直，（）

三、相似

（1）三角形相似，对应边成比例；

▲ADB∽▲BEC，

       例题演练

1．在平面直角坐标系中，直线x＝﹣2与x轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于x轴上方一点A，此抛物线与x轴的正半轴交于点B（1，0），且AC＝2BC．

（Ⅰ）求抛物线的解析式；

（Ⅱ）点P是直线AB上方抛物线上的一点．过点P作PD垂直于x轴于点D，交线段AB于点E，使DE＝3PE；

①求点P的坐标；

②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为以AB为直角边的直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由．

2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y＝kx+n（k≠0）经过B，C两点，已知A（1，0），C（0，3），且BC＝5．

（1）试求出点B的坐标．

（2）分别求出直线BC和抛物线的解析式．

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

3．已知抛物线L经过点A（﹣1，0）和B（3，0）与y轴交于点C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）平移抛物线L，使平移后的抛物线经过点B，与x轴的另一个交点为Q，与y轴交于点P，同时满足△BPQ是直角三角形，请你写出平移过程并说明理由．

4．抛物线C：y＝ax2+bx+c（a≠0），过点A（﹣1，0）、B（5，0），并交y轴于点C（0，﹣）．

（1）求抛物线C的表达式；

（2）已知抛物线y＝ax2+bx+c上的任意一点到定点Q（2，﹣）的距离与到直线y＝﹣的距离相等，若点M为抛物线C上的一动点，P（3，4）为平面内一点，求MP+MQ的最小值，并求出此时点M的坐标．

（3）在此抛物线对称轴上是否存在一点D，使以A、P、D三点构成的三角形为直角三角形？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由．

5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P为直线BC下方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当△PBC的面积最大时，求点P的坐标，并求这个最大面积；

（3）试探究：是否存在点P，使△PBC为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

6．如图①，已知抛物线y＝ax2+bx+c顶点坐标为（﹣1，），交y轴于点A（0，3），交直线l：x＝﹣2于点B，点C（0，2）在y轴上，连接BC并延长，交抛物线于点D．

（1）求抛物线解析式；

（2）如图①，E为直线l上位于点B下方一动点，连DE、BD、AD，若S△BDE＝4S△ABD，求E点坐标；

（3）如图②，在（2）的条件下，P为射线EB上一点，作PQ⊥直线DE于点Q，若△APQ为直角三角形，请求出P点坐标．

7．如图，直线y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，设运动时间为t秒．以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F．

（1）求点A，点B的坐标．

（2）用含t的代数式分别表示EF和AF的长．

（3）是否存在t的值，使△AGF是直角三角形？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

8．已知抛物线与x轴交于点A、B（A在B的右侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，过点A作BC的平行线交抛物线于点D．

（1）如图1，若点P为直线BC下方抛物线上任意一点，直线AD上有一动点E，当△BCP面积最大时，求PE﹣AE的最小值；

（2）如图2，将△BOC绕点O顺时针旋转得到△B'OC'，点B，C的对应点分别是B'，C'，且C'恰好落在∠BCO的平分线上（C'与C不重合），点M是抛物线对称轴上的一个动点，则△B'OM能否为直角三角形？若能，请直接写出点M的坐标，若不能，请说明理由．

9．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），对称轴l与x轴交于点D，点E在y轴上，且OE＝OB．P是该抛物线上的动点，连接PA、PE，PD与AE交于点F．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）设点P的横坐标为t（﹣3＜t＜0）

①求△PAE的面积的最大值；

②在对称轴l上找一点M，使四边形PAME是平行四边形，求点M的坐标；

③抛物线上存在点P，使得△PEF是以EF为直角边的直角三角形，求点P的坐标，并判断此时△PAE的形状．

10．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（3，0）和点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）作直线BC，点G是线段BC上一个动点，过点G作y轴的平行线交x轴于点E，交抛物线于点F，过点F作直线BC的垂线，垂足为点D，若设△BEG的周长为C1，△GDF的周长为C2，C＝C1+C2，点G的横坐标为m（0＜m＜3），请用含m的代数式表示C，并计算当m取何值时，C取得最大值；

（3）点P是抛物线对称轴上的一点，若以点P，C，B为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出点P的坐标．

11．已知抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与直线y＝﹣x+3交于点B和点C，M为抛物线的顶点，直线ME是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的解析式及点M的坐标；

（2）直线ME与BC交于点N，点P为直线BC上方抛物线上一点，在直线BC上是否存在一点Q，使得以点M、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点Q的坐标；

（3）点F为直线BC上一点，作点A关于y轴的对称点A'，连接A'C，A'F，当△FA'C是直角三角形时，直接写出点F的坐标．