2023年中考数学二轮复习二次函数压轴题专题16 存在性-菱形（教师版）

这是一份2023年中考数学二轮复习二次函数压轴题专题16 存在性-菱形（教师版），共45页。试卷主要包含了综合与探究等内容，欢迎下载使用。
中考数学压轴题--二次函数--存在性问题
第16节 菱形的存在性

方法点拨
菱形ABCD，M为对角线AC与BD的交点，则M的坐标为()或者()

解题方法：(在平行四边形的基础上增加对角线垂直或者邻边相等)
(1)选一定点，再将这一定点与另外点的连线作为对角线，分类讨论；
(2)利用中点坐标公式列方程：；
(3)对角线垂直：










例题演练
1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C．
(1)求B、C两点的坐标；
(2)点P为直线BC上方抛物线上的任意一点，过P作PF∥x轴交直线BC于点F，过P作PE∥y轴交直线BC于点E，求线段EF的最大值及此时P点坐标；
(3)将该抛物线沿着射线AC方向平移个单位得到新抛物线y′，N是新抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以点B、C、Q、N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：(1)令x＝0，则＝2，解得点C坐标为(0，2)，
令y＝0，即，解得：x＝4或﹣1，
∴点B坐标为(4，0)．
(2)设直线BC解析式为y＝kx+b，代入点B、点C坐标，得：
，解得：．
∴直线BC解析式为y＝x+2．
设P坐标为(m，)，则E坐标为(m，m+2)，其中0≤m≤4．
设点F横坐标为xF，纵坐标yF＝，
令•xF+2＝，解得：xF＝m2﹣3m．
∴PE＝﹣(m+2)＝，PF＝m﹣(m2﹣3m)＝﹣m2+4m．
∴EF＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝．
∵，则当m＝2时，EF有最大值，此时点P坐标为(2，3)．
(3)存在点Q，使以点B、C、Q、N为顶点的四边形为菱形．
点Q坐标为(2，6)或(2，﹣2)或(6，4)或(6，﹣4)，理由如下：
∵OA＝1，OC＝2，
∴AC＝．
又∵，
∴抛物线沿着射线AC方向平移个单位，实际上等同于将该抛物线向右移动个单位，向上移动1个单位．
∵原抛物线对称轴方程为x＝，
∴新抛物线对称轴方程为x＝+＝2．
设点N坐标为(2，n)、点Q坐标为(a，b)．
当BC为菱形的边时：
①以点B为圆心，BC为半径画圆交对称轴x＝2于点N1、N2.如图1．
此时，BC＝BN1＝BN2＝＝2．
∴，即，解得：MN1＝4．
故点N1坐标为(2，4)，同理可得点N2坐标为(2，﹣4)．
由菱形对角线性质和中点坐标公式可得：
，
即，解得：；
或，解得：．
∴点Q1坐标为(﹣2，6)，Q2(﹣2，﹣2)．
②以点C为圆心，CB为半径画圆交对称轴x＝2于点N3、N4，作N3P⊥y轴于点P，如图2．
此时CB＝CN3＝CN4＝，PN3＝2，PC＝＝＝4，
故点N3坐标为(2，6)，同理可得N4坐标为(2，﹣2)．
由菱形对角线性质和中点坐标公式可得：
，
即，解得：；
或，解得：．
∴点Q3坐标为(6，4)，Q4(6，﹣4)．
当BC为菱形的对角线时，则NQ为另一对角线，BC垂直平分NQ，
此时BC中点坐标为(2，1)，又N(2，n)且NC＝NB，
则N点必与BC中点重合，
∴此时不存在点Q，则不能构成菱形．
综上所述，点Q坐标为(2，6)或(2，﹣2)或(6，4)或(6，﹣4)．


2．如图，抛物线y＝与x轴交于A，B两点(点A在点B右侧)，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．
(1)如图1，连接AC，BC，判断△ABC的形状，说明理由；
(2)如图2，若点P是直线AC上方抛物线上一动点，过点P作PE∥BC交AC于点E，作PQ∥y轴交AC于点Q，求CE+AQ的最小值及此时E点坐标；
(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1(a1≠0)，平移后的抛物线与原抛物线相交于点P，点Q为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点M，使以点A，P，Q，M为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：(1)△ABC为直角三角形，理由如下：
当x＝0时，y＝2，
当y＝0时，0＝，
解得x1＝﹣2，x2＝6，
∴A(6，0)，B(﹣2，0)，C(0，2)，
∵BC2＝OB2+OC2＝16，AC2＝OA2+OC2＝48，AB2＝82＝64，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形；
(2)由(1)得，tan∠BCO＝＝，
故∠BCO＝30°，
∵A(6，0)，C(0，2)，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+2，
∵CE+AQ＝AC﹣EQ，
∴当EQ最大时，CE+AQ最小，
∵PE∥BC，PO∥y轴，
∴∠BCO＝∠QPE＝30°，
∴EQ＝PQ，
设P点的坐标为(m，﹣m2+m+2)，则Q点的坐标为(m，﹣m+2)，
∴EQ＝PQ＝[﹣m2+m+2﹣(﹣m+2)]＝﹣m2+m＝﹣(m﹣3)2+，
当m＝3时，EQ最大，最大值为，
此时P(3，)，
∵PE∥BC，
∴PE⊥AC，
设直线PE的解析式为y＝x+b，
把P点代入可得b＝﹣，
即直线PE的解析式为y＝x﹣，
联立直线AC、PE的解析式解得，
∴E点坐标为(，)，
CE+AQ最小值为CE+EQ＝AC﹣EQ＝4＝；
(3)存在，
由题知平移后的解析式为y＝﹣(x﹣2)2+(x﹣2)+2＝﹣x2+，
与原解析式联立解得，
∴P点的坐标为(1，)，
∵原抛物线对称轴为x＝﹣＝＝2，
∴设Q点的坐标为(2，n)，
①当AP2＝AQ2时，52+()2＝42+n2，
解得n＝±，
则Q点的坐标为(2，)或(2，﹣)，
∴M点的坐标为(﹣3，)或(﹣3，)，
②当AP2＝PQ2时，52+()2＝12+(n﹣)2，
解得n＝，
则Q点的坐标为(2，)或(2，)，
∴M点的坐标为(7，)或(7，﹣)，
③当QA2＝PQ2时，42+n2＝12+(n﹣)2，
解得n＝，
则Q点的坐标为(2，)，
∴M点的坐标为(5，)，
综上，M点的坐标可能为(5，)或(7，)或(7，﹣)或(﹣3，)或(﹣3，)．
3．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，交y轴与点C，点D为该抛物线的顶点，连接AC．
(1)如图1，连接DA、DC，求点D的坐标和△ACD的面积；
(2)如图2，点P是直线AC上方的抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴，交直线AC于点E，过点P作PF⊥AC，垂足为F，当△PEF周长最大时，在x轴上存在一点Q，使|QP﹣QD|的值最大，请求出这个最大值以及点P的坐标；
(3)当(2)题中|QP﹣QD|取得最大值时，点M为直线x＝﹣2上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使得点D、Q、M、N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：(1)如图1中，连接OD．

∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣(x+1)2+4，
∴点D(﹣1，4)，
令y＝0，得到x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或1，
∴A(﹣3，0)，B(1，0)，
令x＝0，得到y＝3，
∴C(0，3)，
∴S△ADC＝S△AOD+S△COD﹣S△AOC＝×3×4+×3×1﹣×3×3＝2．

(2)如图2中，延长PE交OA于H．

∵OA＝OC＝3∠AOC＝90°，
∴∠OAC＝∠ACO＝45°，
∵PE∥y轴，
∴∠AHE＝90°，
∴∠AEH＝∠PEF＝45°，
∵PF⊥AC，
∴∠AEF＝90°，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴PE的值最大时，△PEF的周长最大，
设P(m，﹣m2﹣2m+3)，
∵直线AC的解析式为y＝x+3，
∴E(m，m+3)，
∴PE＝﹣m2﹣2m+3﹣m﹣3＝﹣m2﹣3m＝﹣(m+)2+，
∵﹣1＜0，
∴m＝﹣时，△PEF的周长最大，此时P(﹣，)，
∵D(﹣1，4)，
∴PD＝＝，
∵|QP﹣QD|≤PD，
∴|QP﹣QD|≤，
∴|QP﹣QD|的最大值为，
此时P，D，Q共线，
∵直线PD的解析式y＝x+，
令y＝0，得到x＝﹣9，
∴Q(﹣9，0)．

(3)如图3中，由(2)可知，Q(﹣9，0)，D(﹣1，4)，则DQ＝＝4．

当DQ是菱形的边时，DM＝DQ＝4，
设M(﹣2，t)，则12+(4﹣t)2＝80，
解得t＝4±，
∴M1(﹣2，4+)，M2(﹣2，4﹣)，
∵DN与MQ互相平分，
∴N1(﹣10，)，N2(﹣10，﹣)，
当DQ是菱形的对角线时，设M(﹣2，n)，
∵MQ＝MD，
∴72+n2＝12+(4﹣n)2，
∴n＝﹣5，
∴M3(﹣2，﹣5)，
∵DQ与MN互相平分，
∴N3(﹣8，9)，
综上所述，满足条件的点N的坐标为(﹣10，)或(﹣10，﹣)或(﹣8，9)．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A的坐标为(0，8)，点B的坐标为(﹣4，0)，点D的坐标为(0，4)．
(1)求该二次函数的表达式及点C的坐标；
(2)若点F为该抛物线在第一象限内的一动点，求△FCD面积的最大值；
(3)如图2，将抛物线C1向右平移2个单位，向下平移5个单位得到抛物线C2，M为抛物线C2上一动点，N为平面内一动点，问是否存在这样的点M、N，使得四边形DMCN为菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：(1)把A(0，8)、B(﹣4，0)代入y＝﹣x2+bx+c，
得，解得，
∴该二次函数的表达式为y＝x2+x+8；
当y＝0时，由x2+x+8＝0，得x1＝﹣4，x2＝8，
∴C(8，0)．
(2)如图1，作FG⊥x轴于点G，交CD于点E.
设直线CD的函数表达式为y＝kx+4，则8k+4＝0，解得k＝，
∴y＝x+4．
设F(x，x2+x+8)(0＜x＜8)，则E(x，x+4)，
∴EF＝x2+x+8+x﹣4＝x2+x+4，
∵S△FCD＝OG•EF+CG•EF＝OC•EF，
∴S△FCD＝×8(x2+x+4)＝﹣x2+6x+16＝﹣(x﹣3)2+25，
∴当x＝3时，△FCD面积的最大值为25．
(3)存在．
由题意可知，点M、N在线段CD的垂直平分线上.
抛物线C1：y＝x2+x+8＝(x﹣2)2+9，
平移后得抛物线C2：y＝(x﹣4)2+4＝x2+2x．
如图2，设CD的中点为Q，则Q(4，2)，
过点Q作CD的垂线交抛物线C2于点M，交x轴于点H．
∵∠CQH＝∠COD＝90°，
∴．
∵OD＝4，CO＝8，
∴CD＝＝4，
∴CQ＝CD＝2，
∴CH＝＝5，
∴OH＝8﹣5＝3，H(3，0)，
设直线QH的函数表达式为y＝mx+n，
则，解得，
∴y＝2x﹣6．
由，得，，
∴M1(，)，M2(，)，
∵点N与点M关于点Q(4，2)成中心对称，
∴N1(8+2，10+4)，N2(8﹣2，10﹣4)．


5．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象经过点C(0，2)，交x轴于点A(﹣1，0)和B，连接BC，直线y＝kx+1与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F．
(1)求抛物线的表达式及点B的坐标；
(2)求的最大值及此时点E的坐标；
(3)在(2)的条件下，若点M为直线DE上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：(1)设B(xB，yB)，
将A(﹣1，0)，C(0，2)代入y＝﹣x2+bx+c中，
得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2，
∵点B在x轴上，
∴yB＝0，
将yB＝0代入y＝﹣x2+x+2中，得：﹣xB2+xB+2＝0，
解得：xB1＝4，xB2＝﹣1(不符合题意，舍去)，
∴B(4，0)；
(2)由题意知，点E位于y轴右侧，作EG∥y轴交BC于点G，
∴CD∥EG，
∴＝，
∵直线y＝kx+1与y轴交于点D，
∴D(0，1)，
∴CD＝2﹣1＝1，
∴＝EG，
设直线BC的解析式为y＝mx+n(m≠0)，
将B(4，0)，C(0，2)代入，得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
设点E(t，﹣t2+t+2)，则G(t，﹣t+2)，且0＜t＜4，
∴EG＝(﹣t2+t+2)﹣(﹣t+2)＝﹣t2+2t＝﹣(t﹣2)2+2，
∴＝﹣(t﹣2)2+2，
∵﹣＜0，
∴当t＝2时，的值最大，最大值为2，此时点E的坐标为(2，3)；
(3)存在点M和点N，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是菱形．
设直线DE的解析式为y＝kx+b，将D(0，1)，E(2，3)代入，
得：，
解得：，
∴直线DE的解析式为y＝x+1，
设M(n，n+1)，
∵B(4，0)，D(0，1)，
∴BM2＝(4﹣n)2+(0﹣n﹣1)2＝2n2﹣6n+17，
DM2＝(0﹣n)2+(1﹣n﹣1)2＝2n2，
BD2＝42+12＝17，
∵以点B、D、M、N为顶点的四边形是菱形，
∴分两种情况：BD为边时或BD为对角线，
①当BD为边时，MN＝DM＝BD(如图2)或MN＝BM＝BD(如图3)，
∴DM2＝BD2＝17或BM2＝BD2＝17，即2n2＝17或2n2﹣6n+17＝17，
解得：n＝±或n＝0(舍去)或n＝3，
∴M(，)或M(﹣，)或M(3，4)，
②如图4，当BD为对角线时，设BD的中点为Q，则Q(2，)，
∵四边形BMDN是菱形，
∴MN⊥BD，QB＝QD＝BD，
∴QD2+QM2＝DM2，
∴(2﹣0)2+(﹣1)2+(n﹣2)2+(n+1﹣)2＝2n2，
解得：n＝，
∴M(，)，
综上所述，点M的坐标为(，)或(﹣，)或(3，4)或(，)．




6．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．
(1)求A，B两点坐标及直线BC的解析式；
(2)点P是直线BC下方抛物线上一点，当△BPC面积最大时，在x轴下方找一点Q，使得AQ+BQ+2PQ最小，记这个最小值是d，请直接写出此时点P的坐标及d2．
(3)在(2)的条件下，连接AP交y轴于点R，将抛物线沿射线PA平移，平移后的抛物线记为y'，当y'经过点A时，将抛物线y'位于x轴下方部分沿x轴翻折，翻折后所得的曲线记为N，点D'为曲线N的顶点，将△AOP沿直线AP平移，得到△A'O'P'，在平面内是否存在点T，使以点D'，R'，O'，T为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出O'的横坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：(1)在二次函数y＝x2﹣x﹣2中，
令x＝0，则y＝﹣2，
令y＝0，则x＝﹣1或3，
故点A、B、C的坐标分别为(﹣1，0)、(3，0)、(0，﹣2)，
设直线BC的表达式为：y＝kx+b，
代入B(3，0)、C(0，﹣2)得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣2；
(2)如图1，

设点P(m，m2﹣m﹣2)，过点P作PE∥y轴交BC于点E，则点E(m，m﹣2)，

∴S△PBC＝×OB×PE＝(m﹣2﹣m2+m+2)＝﹣(m﹣)2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝时，S△PBC有最大值，此时点P(，﹣)，
在x轴下方任取点Q，连接PQ、BQ、AQ，将△PQB绕点P顺时针旋转90°到△PQ′B′位置，连接QQ′，
∴B′Q′＝BQ，QQ′＝PQ，
∴AQ+BQ+PQ＝AQ+B′Q+QQ′，
AQ+BQ+PQ最小，
则A、Q、Q′、B在同一直线上，
∠PQQ′＝45°，
∴此时B′坐标为(，﹣)，
∴d2＝(AQ+BQ+PQ)2＝(AB′)2＝(﹣1﹣)2+()2＝46+20；
(3)存在，
设直线AP解析式为y＝mx+n，
将A(﹣1，0)，P(，﹣)代入得
，
解得：，
∴直线AP解析式为y＝﹣x﹣，
令x＝0，得y＝﹣，
∴R(0，﹣)，
∵y＝x2﹣x﹣2＝(x﹣1)2﹣，
∴抛物线y的顶点为(1，﹣)，
分别过A、P作AH⊥x轴，PH⊥y轴，则AH＝，PH＝，

抛物线y沿射线PA平移且经过点A，即向左平移个单位，向上平移个单位；
∴平移后的抛物线解析式为y′＝(x+)2﹣，顶点为(﹣，﹣)，
∴D′(﹣，)，
由题意，△AOP沿直线AP平移，得到△A′O′P′，
∵＝，
∴设平移后的点O′(t，﹣t)，
以点D′、R、O′、T为顶点的四边形为菱形，可以分三种情况：
①O′D′＝D′R，
∴(t+)2+(﹣t﹣)2＝()2+(﹣﹣)2，
解得：t1＝，t2＝，
②O′R＝D′R，
∴t2+(﹣t+)2＝()2+(﹣﹣)2，
解得：t3＝，t4＝，
③O′D′＝O′R，
∴(t+)2+(﹣t﹣)2＝t2+(﹣t+)2，
解得：t5＝，
综上所述，O′的横坐标为：或或或或．
7．如图，抛物线y＝ax2﹣6ax﹣6与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接BC．已知抛物线顶点纵坐标为﹣8．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，M为线段OB的中点，过点M作MN∥BC，交y轴与点N，P是抛物线上位于直线BC下方的一个动点，连接PM，交BC于点Q，连接PN，NQ．当△PNQ的面积最大时，求出此时点P的坐标及△PNQ的面积最大值；
(3)当点P满足(2)问的条件时，在直线BC上是否存在一点E，在平面内是否存在一点F，使得以点P，E，C，F为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．

【解答】解：(1)∵y＝ax2﹣6ax﹣6＝a(x﹣3)2﹣9a﹣6，
∴抛物线顶点坐标为(3，﹣9a﹣6)，
∵抛物线顶点纵坐标为﹣8，
∴﹣9a﹣6＝﹣8，
解得：a＝，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣x﹣6；
(2)在y＝x2﹣x﹣6中，令x＝0，得：y＝﹣6，
∴C(0，﹣6)，
令y＝0，得：x2﹣x﹣6＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝9，
∴A(﹣3，0)，B(9，0)，
∵M为线段OB的中点，
∴OM＝BM＝，
∴M(，0)，
∵MN∥BC，
∴＝＝，
∴ON＝OC＝3，
∴N(0，﹣3)，
∴ON＝3，
在Rt△MON中，MN＝＝＝，
设直线MN的解析式为y＝kx+b，
则：，
解得：，
∴直线MN的解析式为y＝x﹣3，
设P(m，m2﹣m﹣6)，如图1，过点P作PK∥y轴交直线MN于点K，作PH⊥MN于点H，过点B作BG⊥MN于点G，连接BN，
∴K(m，m﹣3)，∠PHK＝∠BGM＝∠MON＝90°，∠PKH＝∠MNO，BG∥PH，
∴PK＝m﹣3﹣(m2﹣m﹣6)＝﹣m2+2m+3，
∴S△PMN＝•OM•PK＝××(﹣m2+2m+3)＝﹣m2+m+，
∵MN∥BC，
∴S△MNQ＝S△MNB，
∵OM＝BM，
∴S△MNB＝S△MNO＝•OM•ON＝××3＝，
∴S△MNQ＝，
∴S△PNQ＝S△PMN﹣S△MNQ＝﹣m2+m+﹣＝﹣(m﹣)2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝时，S△PNQ的最大值为，
当m＝时，m2﹣m﹣6＝×()2﹣×﹣6＝﹣，
∴点P的坐标为(，﹣)；
(3)∵P(，﹣)，C(0，﹣6)，
∴PC＝＝；
设直线BC的解析式为y＝k1x+b1，
∵B(9，0)，C(0，﹣6)，
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣6，
设E(t，t﹣6)，则PE2＝(t﹣)2+[t﹣6﹣(﹣)]2，CE2＝(t﹣0)2+[t﹣6﹣(﹣6)]2，
∵以点P，E，C，F为顶点的四边形为菱形，
∴分三种情况：CP＝CE或CP＝PE或CE＝PE，
①当CP＝CE，以CP、CE为边时，如图2，
∴CE2＝CP2，即：(t﹣0)2+[t﹣6﹣(﹣6)]2＝()2，
解得：t＝﹣或，
∴点E的坐标为(﹣，﹣3﹣6)或(，3﹣6)，
∴点F的坐标为(﹣+，﹣3﹣)或(+，3﹣)，
②当CP＝PE，以CP、PE为边时，如图3，
∴PE2＝CP2，即：(t﹣)2+[t﹣6﹣(﹣)]2＝()2，
解得：t＝或t＝0(舍去)，
∴E(，)，
∴F(，)，
③当CE＝PE，以CE、PE为边时，如图4，
∴CE2＝PE2，即：(t﹣)2+[t﹣6﹣(﹣)]2＝(t﹣0)2+[t﹣6﹣(﹣6)]2，
解得：t＝，
∴E(，﹣)，
∴F(，﹣)，
综上所述，点F的坐标为(﹣+，﹣3﹣)或(+，3﹣)或(，)或(，﹣)．



8．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C(0，6)，其中AB＝8，tan∠CAB＝3．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是直线BC上方抛物线上一点，过点P作PD∥AC交x轴于点D，交BC于点E，求BE的最大值及点P的坐标．
(3)将该抛物线沿射线CA方向平移2个单位长度得到抛物线y1，平移后的抛物线与原抛物线相交于点F，点G为抛物线y1的顶点，点M为直线FG上一点，点N为平面上一点．在(2)中，当BE的值最大时，是否存在以P、E、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：(1)∵C(0，6)，＝tan∠CAB＝3，
∴AO＝＝2，A(﹣2，0)，B(6，0)，
∴，解得，
∴该抛物线的表达式为y＝x2+2x+6．
(2)如图1，作PH⊥x轴于点H，交BC于点J，作EI⊥PH于点I、EK⊥x轴于点K．
设直线BC的函数表达式为y＝kx+6，则6k+6＝0，解得k＝﹣1，
∴y＝﹣x+6；
设直线AC的函数表达式为y＝px+6，则﹣2p+6＝0，解得p＝3，
∴y＝3x+6．
设P(m，m2+2m+6)，由PD∥AC，设直线PD的函数表达式为y＝3x+n，
则m2+2m+6＝3m+n，解得n＝m2﹣m+6，
∴y＝3xm2﹣m+6．
由，得，
∴E(，)．
∵AC＝＝2，BC＝＝6，且△PEI∽△CAO，△BEK∽△BCO，
∴EI：PI：PE＝OA：OC：AC＝1：3：，EK：BK：BE＝CO：BO：BC＝1：1：，
∴PE＝EI，
∴PE＝10EI＝10(m﹣﹣)＝m﹣m2，
∵BE＝BK，
∴BE＝2BK＝2(6﹣﹣)＝12﹣﹣，
∴BE＝m﹣m2﹣(12﹣﹣)＝﹣m2+8m﹣12＝﹣(m﹣4)2+4，
∴当m＝4时，BE的最大值，最大值为4，此时P(4，6)．

(3)存在．
如图2，由(2)得，AC＝2，将△AOC沿射线CA方向平移2个单位，相当于将△AOC向左平移2个单位，再向下平移6个单位，
∴该抛物线也向左平移2个单位，再向下平移6个单位，
∵原抛物线为y＝x2+2x+6＝(x﹣2)2+8，
∴y1＝x2+2，抛物线y1与坐标轴的交点分别为F(﹣2，0)、D'(2，)、(0，2)，且顶点为G(0，2)，点F(﹣2，0)为抛物线y1与原抛物线的交点．
∵P(4，6)，C(0，6)，且PD∥AC，
∴D(2，0)，点D'与点D重合．
设直线FG的函数表达式为y＝qx+2，则﹣2q+2＝0，解得q＝1，
∴y＝x+2．
①如图2，点M1在点P左侧，PE、EM1为菱形的邻边．
连接PC，则CG＝PC，可得BC垂直平分PG，设垂足为点Q，
则点N1与点E关于点Q对称；
∵△PCE≌△BDE，
∴PE＝DE，E(3，3)，
∵(2，4)，
∴N1(1，5)；

②如图3，PE为菱形的对角线，M2N2垂直平分PE，设垂足为点R，
∵R为PE的中点，
∴R(，)，
连接并延长BG交AC于点H，则△BGO≌△CAO，
∴∠GBO＝∠ACO，
∴∠GBO+∠CAO＝∠ACO+∠CAO＝90°，
∴BH⊥AC，
∴BH∥M2N2；
设直线BH的函数表达式为y＝rx+2，则6r+2＝0，解得r＝﹣，
∴y＝﹣x+2，
设直线M2N2的函数表达式为y＝﹣x+t，则﹣×+t＝，解得t＝，
∴y＝﹣x+；
由，得，
∴M2(，)，
∵点N2与点M2(，)关于点R(，)对称，
∴N2(，)；

③如图4，点M3在点P右侧，PE、PM3为菱形的邻边．
由EN3∥FG，设直线的函数表达式为y＝x+s，则3+s＝3，解得s＝0，
∴点N3在直线y＝x上，
连接OE，则点O、E、N3在同一直线上．
设N3(d，d)，
∵OE＝＝3，EN3＝PE＝＝，
∴d＝×(3+)＝3+，
∴N3(3+，3+)

④点M4在点P左侧，PE、PM4为菱形的邻边．
设N4(e，e)，
则e＝×(3﹣)＝3﹣，
∴N4(3﹣，3﹣)．

综上所述，点N的坐标为(1，5)或(，)或(3+，3+)或(3﹣，3﹣)．
故答案为：(1，5)或(，)或(3+，3+)或(3﹣，3﹣)．
9．综合与探究：
如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；
(3)若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：(1)∵OA＝2，OC＝6，
∴A(﹣2，0)，C(0，﹣6)，
将A(﹣2，0)，C(0，﹣6)，代入y＝x2+bx+c，
得，
解得：b＝﹣1，c＝﹣6，
∴抛物线得解析式为：y＝x2﹣x﹣6．
(2)在函数y＝x2﹣x﹣6中，令y＝0得：
x2﹣x﹣6＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝3，
∴B(3，0)．
如图1，连接OE，

设点E(m，m2﹣m﹣6)，
S△BCE＝S△OCE+S△OBE﹣S△OBC
＝×6m+×3(﹣m2+m+6)﹣×3×6
＝
＝，
根据二次函数的图象及性质可知，当时，△BCE的面积有最大值，
此时点E的坐标为．
(3)存在；点N坐标为，，(2，0)，．
∵A(﹣2，0)，C(0，﹣6)，
∴AC＝．
①若AC为菱形的边长，如图2，

则MN∥AC，且MN＝AC＝．
N1()，N2()，N3(2，0)．
②若AC为菱形的对角线，如图3，

则AN4∥CM4，AN4＝CN4，
设N4(﹣2，n)，
则﹣n＝，
解得：n＝．
∴N4(﹣2，)．
综上所述，点N坐标为，，(2，0)，．
10．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4(a，b为常数，且a≠0)与x轴交于点A(，0)，B(4，0)，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P是射线CB上方抛物线上的一动点，过点P作PH∥x轴于点H，当线段PH长度最大时，求出线段PH的最大值及此时点P的坐标；
(3)若点D是OC的中点，将抛物线y＝ax2+bx﹣4沿射线AD方向平移个单位得到新抛物线y′，C′是抛物线y′上与C对应的点，抛物线y′的对称轴上有一动点N，在平面直角坐标系中是否存在一点S，使得C′，N，B，S为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点S的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：(1)∵点A(，0)，B(，0)在抛物线y＝ax2+bx﹣4上，
∴．
解得：．
∴抛物线解析式为．
(2)如答图，过点P作PK∥y轴交BC于点K．

∵B(，0)，
∴OB＝．
当x＝0时，y＝﹣4．
∴点C(0，﹣4)．
∴OC＝4．
∵PH∥x轴，
∴∠PHK＝∠OBC．
∵∠HPK＝∠BOC＝90°
∴△BOC∽△HPK．
∴．
即PH＝PK．
设直线BC的解析式为y＝mx+n(m≠0)．
将点B(，0)，C(0，﹣4)分别代入上式得：
．
解得：．
所以直线BC的解析式为．
设点P(x，)，则点K(x，)．
∴PK＝．
∴PH＝PK＝．
∵PH＝＝．
∴当x＝时，PH最大＝．
此时点P(，2)．
(3)存在．如下图

∵D(0，﹣2)，
∴AD＝．
∴抛物线y＝﹣x2+x﹣4沿射线AD方向平移个单位实际是向左平移个单位，向下平移2个单位，
∴C′(﹣，﹣6)．
∵抛物线y＝﹣x2+x﹣4＝﹣+，
∴新抛物线的解析式为y′＝．
∴新抛物线y′的对称轴为直线．
设N(，t)，
则有，
，
．
若BC'＝BN．
则有．
∴．
当时，，．
当时，，．
若NB＝NC′．
则有．
∴t＝﹣3，(与N点重合，舍去)．
若C′N＝C′B．
则有．
∴
当时，，．
当时，，．
综上，点S的坐标为：或或或．
11．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D的坐标为(﹣2，9)，抛物线与坐标轴分别交于A、B、C三点，且B的坐标为(0，5)，连接DB、DC，作直线BC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)P是x轴上的一点，过点P作x轴的垂线，与CD交于H，与CB交于G，若线段HG把△CBD的面积分成相等的两部分，求P点的坐标；
(3)若点M在直线CB上，点N在平面上，直线CB上是否存在点M，使以点C、点D、点M、点N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：(1)∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D的坐标为(﹣2，9)，
∴可设y＝a(x+2)2+9，
又∵抛物线过点B(0，5)，代入得：
5＝4a+9，
∴a＝﹣1，
∴y＝﹣(x+2)2+9
＝﹣x2﹣4x+5，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣4x+5；
(2)∵抛物线y＝﹣x2﹣4x+5与坐标轴分别交于A、B、C三点，且B的坐标为(0，5)，
∴当y＝0时，﹣x2﹣4x+5＝0，
解得x1＝﹣5，x2＝1，
∴A(1，0)，C(﹣5，0)，
又∵D(﹣2，9)，
∴直线BC的解析式为y＝x+5；
设直线CD的解析式为y＝kx+b，将C(﹣5，0)，D(﹣2，9)代入，得：
，
解得：，
∴直线CD的解析式为y＝3x+15．
设点P的坐标为(x，0)，则G(x，x+5)，H(x，3x+15)．
∴S△CGH＝HG×CP
＝(5+x)(3x+15﹣x﹣5)
＝(5+x)(2x+10)
＝(5+x)(x+5)
＝(x+5)2，
设抛物线的对称轴交直线BC于点K，如图：

∵顶点D的坐标为(﹣2，9)，
∴对称轴为直线x＝﹣2，
∴K(﹣2，3)，
∴DK＝9﹣3＝6，
∴S△BCD＝S△DKC+S△DKB
＝×6×3+×6×2
＝15，
∴若线段HG把△CBD的面积分成相等的两部分，则(x+5)2＝×15，
解得：x1＝，x2＝(舍)，
∴P(，0)；
(3)如图，设点M的坐标为(m，m+5)，

∵C(﹣5，0)，D(﹣2，9)，
∴CD＝＝3，
当CD与DM是菱形的两边时，则CD＝DM，
∴3＝，
解得m1＝﹣5(不合题意，舍去)，m2＝7，
∴点M(7，12)；
当CD与CM''是菱形的两边时，则CD＝CM''，
∴3＝，
解得m＝±3﹣5，
∴点M(3﹣5，3)或点M(﹣3﹣5，﹣3)；
当DM'与CM'是菱形的两边时，则CM'＝DM'，
∴＝，
解得m＝﹣，
∴点M(﹣，)．
综上所述，点M的坐标为(7，12)或(3﹣5，3)或(﹣3﹣5，﹣3)或(﹣，)．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣2x+c(c为常数)与一次函数y＝﹣x+b(b为常数)交于A、B两点，其中A点坐标为(﹣3，0)．
(1)求B点坐标；
(2)点P为直线AB上方抛物线上一点，连接PA，PB，当S△PAB＝时，求点P的坐标；
(3)将抛物线y＝﹣x2﹣2x+c(c为常数)沿射线AB平移5个单位，平移后的抛物线y1与原抛物线y＝﹣x2﹣2x+c相交于点E，点F为抛物线y1的顶点，点M为y轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：(1)把A(﹣3，0)代入，得﹣9+6+c＝0，
∴c＝3，
∴y＝﹣x2﹣2x+3．
把A(﹣3，0)代入一次函数，得3+b＝0，
∴b＝﹣3．
∴y＝﹣x+3．
联立方程：，
解得：或．
∴B(2，﹣5)．
(2)割补法表示三角形面积：铅垂高×水平宽，过P作PH∥y轴，交AB于点H．

设P(t，﹣t2﹣2t+3)，则H(t，﹣t﹣3)，
S△PAB＝(yP﹣yH)×(xB﹣xA)＝(﹣t2﹣2t+3+t+3)×(2+3)＝，
即4t2+4t+1＝0，
∴t＝﹣，
∴P(﹣，)．
(3)由(1)直线AB：y＝﹣x﹣3．
∴∠BAO＝45°，
∵沿AB平移5个单位，
∴y＝﹣x2﹣2x+5向右平移5个，向下平移5个单位，
∴平移后表达式为：y1＝﹣(x﹣5)2﹣2(x﹣5)+3﹣5＝﹣x2+8x﹣17．
联立：，
∴，
∴E(2，﹣5)．
∵F为y1顶点，则F(4，﹣1)，
设M(0，m)，N(x，y)，分类讨论：
①当EF为菱形对角线时，
，，
，
∴N(6，﹣6﹣m)
∴EM2＝(0﹣2)2+(m+5)2＝m2+10m+29，
∴FM2＝(0﹣4)2+(m+1)2＝m2+2m+17，
∴EM2＝FM2，即m2+10m+29＝m2+2m+17，
∴m＝﹣，
∴N1(6，﹣)
②当EM为菱形对角线时，
，，
∴，
∴N(﹣2，m﹣4)，
∴EN2＝(﹣2﹣2)2+(m﹣4+5)2＝m2+2m+17，
∴EF2＝(4﹣2)2+(﹣1+5)2＝20，
∴m2+2m+17＝20，
∴m1＝﹣3，m2＝1，
∴N2(﹣2，﹣7)，N3(﹣2，﹣3)，
③当EN为菱形对角线时，
，
∴，
∴，
∴N(2，m+4)，
∴EM2＝(0﹣2)2+(m+5)2＝m2+10m+29，
∴EF2＝(4﹣2)2+(﹣1+5)2＝20，
∴m2+10m+29＝20，
∴m3＝﹣1，m4＝﹣9，
∴N4(2，3)，N5(2，﹣5)，
综上可得，N的坐标为：N1(6，﹣)，N2(﹣2，﹣7)，N3(﹣2，﹣3)，N4(2，3)，N5(2，﹣5)．