2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习8.6《立体几何中的向量方法》(含详解)

2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习8.6

《立体几何中的向量方法》

一              、选择题

1.若A(﹣1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　)

A.(1，2，3)           B.(1，3，2)     C.(2，1，3)           D.(3，2，1)

2.设l1的方向向量为a＝(1，2，﹣2)，l2的方向向量为b＝(﹣2，3，m)，若l1⊥l2，则m＝(　　)

A.1            B.2         C.0.5            D.3

3.若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,1,1)，则(　　)

A.l∥α       B.l⊥α       C.l⊂α或l∥α      D.l与α相交

4.若平面α，β的法向量分别为n1＝(2，﹣3，5)，n2＝(﹣3，1，﹣4)，则(　　)

A.α∥β       B.α⊥β   C.α，β相交但不垂直    D.以上均不正确

5.已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为(　　)

A.         B.         C.         D.

6.如图所示，在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，棱长为1，E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝CF＝a(0<a<1)，则D′E与B′F的位置关系是(　　)

A.平行         B.垂直       C.相交         D.与a值有关

7.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　　)

A.EF至多与A1D，AC之一垂直

B.EF⊥A1D，EF⊥AC

C.EF与BD1相交

D.EF与BD1异面

8.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B，AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　)

A.相交        B.平行      C.垂直        D.不能确定

9.在三棱柱ABC­A1B1C1中，底面是边长为1的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，点D在棱BB1上，且BD＝1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则sin α的值是(　　)

A.        B.      C.        D.

10.三棱锥A﹣BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若〈n1，n2〉＝，则二面角A﹣BD﹣C的大小为(　　)

A.         B.       C.或         D.或

11.如图，在三棱锥A­BCD中，平面ABC⊥平面BCD，△BAC与△BCD均为等腰直角三角形，且∠BAC＝∠BCD＝90°，BC＝2，点P是线段AB上的动点，若线段CD上存在点Q，使得异面直线PQ与AC成30°的角，则线段PA长的取值范围是(　 　)

A.(0，)       B.[0，]     C.(，)     D.(，)

12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为(　 　)

A.        B.        C.         D.

二              、填空题

13.直线l1方向向量v1＝(1，0，﹣1)，直线l2方向向量为v2＝(﹣2，0，2)，则直线l1与l2位置关系是_______.

14.若直线l的方向向量为(2，1，m)，平面α的法向量为(1，0.5，2)，且l⊥α，则m＝______.

15.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，﹣1，﹣4)，＝(4，2，0)，＝(﹣1，2，﹣1)．对于结论：

①AP⊥AB；

②AP⊥AD；

③是平面ABCD的法向量；

④∥.

其中正确的是________．

16.如图，已知四棱锥P­ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝PD＝，平面ABCD⊥平面PAD，M是PC的中点，O是AD的中点，则直线BM与平面PCO所成角的正弦值是________．

0.答案详解

一              、选择题

1.答案为：A；

解析：＝(2，4，6)，且(2，4，6)＝2(1，2，3)，∴直线l的一个方向向量是(1，2，3).

2.答案为：B；

解析：l1⊥l2⇒a·b＝﹣2＋6﹣2m＝0⇒m＝2.

3.答案为：C

解析：∵a＝(1,0,2)，n＝(－2,1,1)，∴a·n＝0，即a⊥n，∴l∥α或l⊂α.

4.答案为：C

解析：∵n1·n2＝2×(﹣3)＋(﹣3)×1＋5×(﹣4)＝﹣29≠0，∴n1与n2不垂直.

又n1，n2不共线，∴α与β相交但不垂直.

5.答案为：C

解析：如图，以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系.

设AA1＝2AB＝2，则B(1，1，0)，E(1，0，1)，C(0，1，0)，D1(0，0，2).

∴＝(0，﹣1，1)，＝(0，﹣1，2).∴cos〈，〉＝＝.故选C.

6.答案为：B

解析：建立如图所示空间直角坐标系.

则D′(0，0，1)，E(1﹣a，1，0)，B′(1，1，1)，F(0，1﹣a，0)，

∴＝(1﹣a，1，﹣1)，＝(﹣1，﹣a，﹣1).

∴·＝(1﹣a)×(﹣1)＋1×(﹣a)＋(﹣1)×(﹣1)＝a﹣1﹣a＋1＝0.

∴⊥，即D′E⊥B′F.故选B.

7.答案为：B

解析：以D点为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.

设正方体棱长为1，则A1(1，0，1)，D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E(，0，)，

F(，，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，＝(﹣1，0，﹣1)，＝(﹣1，1，0)，

＝(，，﹣ )，＝(﹣1，﹣1，1)，＝﹣，·＝·＝0，

从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC.故选B.

8.答案为：B；

解析：因为正方体的棱长为a，A1M＝AN＝，

所以＝，＝，所以＝＋＋＝＋＋

＝(＋)＋＋(＋)＝＋，

又是平面B1BCC1的一个法向量，且·＝·＝0，

所以⊥，又MN⊄平面B1BCC1，所以MN∥平面B1BCC1.

9.答案为：D；

解析：如图，建立空间直角坐标系A­xyz，

易求点D(，，1)，平面AA1C1C的一个法向量是n＝(1，0，0)，

所以cos〈n，〉＝＝，即sin α＝.

10.答案为：C

解析：∵二面角的范围是[0，π]，且〈n1，n2〉＝，

∴二面角A﹣BD﹣C的大小为或.故选C.

11.答案为：B.

解析：以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A(0，1，1)，B(0，2，0)，C(0，0，0)，

设Q(q，0，0)，＝λ＝(0，λ，﹣λ)，则＝﹣＝﹣(＋)

＝(q，0，0)﹣(0，1，1)﹣(0，λ，﹣λ)＝(q，﹣1﹣λ，λ﹣1)，

∵异面直线PQ与AC成30°的角，

∴cos30°＝＝＝＝，

∴q2＋2λ2＋2＝，∴q2＝﹣2λ2∈[0，4].

∴解得0≤λ≤，∴||＝λ∈[0，]，

∴线段PA长的取值范围是[0，].故选B.

12.答案为：A；

解析：由正方体的性质及题意可得，正方体共顶点的三条棱所在直线与平面α所成的角均相等.如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，

易知棱AB，AD，AA1所在直线与平面A1BD所成的角均相等，所以α∥平面A1BD，当平面α趋近点A时，截面图形的面积趋近于0；当平面α经过正方体的中心O时，截面图形为正六边形，其边长为，截面图形的面积为6××()2＝；当平面α趋近于C1时，截面图形的面积趋近于0，所以截面图形面积的最大值为，故选A.

二              、填空题

13.答案为：平行或重合；

解析：∵v1＝(1，0，﹣1)，v2＝(﹣2，0，2)，∴v2＝﹣2v1，∴v1∥v2，∴l1与l2平行或重合.

14.答案为：4.

解析：∵l⊥α，∴直线l的方向向量平行于平面α的法向量.∴＝＝，∴m＝4.

15.答案为：①②③.

解析：∵·＝﹣2﹣2＋4＝0，∴AP⊥AB，故①正确；

·＝﹣4＋4＋0＝0，∴AP⊥AD，故②正确；

由①②知AP⊥平面ABCD，故③正确，④不正确．

16.答案为：.

解析：以O为原点，OA所在直线为x轴，过O且平行于AB的直线为y轴，OP所在直线为z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系O­xyz，

则B(1，2，0)，P(0，0，2)，C(﹣1，2，0)，M(﹣,1,1)，O(0，0，0)，

＝(0，0，2)，＝(﹣1，2，0)，＝(﹣,﹣1,1).

设平面PCO的法向量为m＝(x，y，z)，

则可取m＝(2，1，0)，

设直线BM与平面PCO所成的角为θ，

则sin θ＝|cos〈m，〉|＝＝＝.