2021年高考理科数学一轮复习：专题8.6 立体几何中的向量方法 题型全归纳与高效训练突破

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc24327" 一、考点全归纳 PAGEREF _Tc24327 1
\l "_Tc12500" 二 题型全归纳 PAGEREF _Tc12500 2
\l "_Tc25726" 题型一 异面直线所成的角 PAGEREF _Tc25726 2
\l "_Tc29115" 题型二 直线与平面所成的角 PAGEREF _Tc29115 5
\l "_Tc9991" 题型三 二面角 PAGEREF _Tc9991 9
\l "_Tc12042" 题型四 利用空间向量求距离 PAGEREF _Tc12042 13
\l "_Tc23593" 三、高效训练突破 PAGEREF _Tc23593 17
一、考点全归纳
1．两条异面直线所成角的求法
设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
2.直线与平面所成角的求法
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，则sin θ＝|cs β|＝eq \f(|a·n|,|a||n|)．
3．求二面角的大小
(1)如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉．
(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cs θ|＝|cs〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．
【常用结论】
利用空间向量求距离
(1)两点间的距离
设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则|AB|＝|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2＋（z1－z2）2).
(2)
点到平面的距离
如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为|eq \(BO,\s\up6(→))|＝eq \f(|\(AB,\s\up6(→))·n|,|n|).
二 题型全归纳
题型一 异面直线所成的角
【题型要点】用向量法求异面直线所成角的一般步骤
(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系．
(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量．
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值．
(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值．
【易错提醒】注意向量的夹角与异面直线所成的角的区别：
当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角．
【例1】如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值．
【例2】.如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝4，AB＝2.
(1)求证：MN∥平面BDE；
(2)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为eq \f(\r(7),21)，求线段AH的长．
题型二 直线与平面所成的角
【题型要点】(1)利用向量求直线与平面所成的角有两个思路：①分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；②通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．
(2)若直线l与平面α的夹角为θ，直线l的方向向量l与平面α的法向量n的夹角为β，则θ＝eq \f(π,2)－β或θ＝β－eq \f(π,2).
【易错提醒】求解直线和平面所成角，要注意直线的方向向量与平面法向量的夹角和所求角之间的关系，线面角的正弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．
【例1】(2020·深圳模拟)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PD＝PB，H为PC上的点，过AH的平面分别交PB，PD于点M，N，且BD∥平面AMHN.
(1)证明：MN⊥PC；
(2)设H为PC的中点，PA＝PC＝eq \r(3)AB，PA与平面ABCD所成的角为60°，求AD与平面AMHN所成角的正弦值．
【例2】如图，在几何体ACD－A1B1C1D1中，四边形ADD1A1与四边形CDD1C1均为矩形，平面ADD1A1⊥平面CDD1C1，B1A1⊥平面ADD1A1，AD＝CD＝1，AA1＝A1B1＝2，E为棱AA1的中点．
(1)证明：B1C1⊥平面CC1E；
(2)求直线B1C1与平面B1CE所成角的正弦值．
题型三 二面角
【题型要点】利用向量计算二面角大小的常用方法
(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐(钝)二面角．
(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．
【易错提醒】：判断二面角的平面角是锐角还是钝角，可结合图形进行．
【例1】(2020·深圳模拟)已知四棱锥P­ABCD，底面ABCD为菱形，PD＝PB，H为PC上的点，过AH的平面分别交PB，PD于点M，N，且BD∥平面AMHN.
(1)证明：MN⊥PC；
(2)当H为PC的中点，PA＝PC＝eq \r(3)AB，PA与平面ABCD所成的角为60°，求AD与平面AMHN所成角的正弦值．
【例2】图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.
(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
(2)求图2中的二面角B－CG－A的大小．
题型四 利用空间向量求距离
【题型要点】求解点到平面的距离可直接转化为求向量在平面的法向量上的射影的长．如图，设点P在平面α外，n为平面α的法向量，在平面α内任取一点Q，则点P到平面α的距离d＝eq \f(|\(PQ,\s\up6(→))·n|,|n|).
【易错提醒】该题中的第(2)问求解点到平面的距离时，利用了两种不同的方法——等体积法与向量法，显然向量法直接简单，不必经过过多的逻辑推理，只需代入坐标准确求解即可．
【例1】(2020·云南师范大学附属中学3月月考)如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，△ABC是边长为2的正三角形，AA1＝2eq \r(6)，D是CC1的中点，E是A1B1的中点．
(1)证明：DE∥平面A1BC;
(2)求点A到平面A1BC的距离．
【例2】如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2eq \r(3)，求点A到平面MBC的距离．
三、高效训练突破
一、选择题
1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于( )
A．120° B．60°
C．30° D．60°或30°
2．在正方体A1B1C1D1­ABCD中，AC与B1D所成角大小为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4)
C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,2)
3.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC­A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( )
A.eq \f(\r(5),5) B.eq \f(\r(5),3)
C.eq \f(2\r(5),5) D.eq \f(3,5)
4.将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，eq \(AC,\s\up8(︵))长为eq \f(2π,3)，eq \(A1B1,\s\up8(︵))长为eq \f(π,3)，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．则异面直线B1C与AA1所成的角的大小为( )
A.eq \f(π,6) B．eq \f(π,4)
C.eq \f(π,3) D．eq \f(π,2)
5.如图，已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，E为线段AB上一点，且AE＝eq \f(1,3)AB，则DC1与平面D1EC所成的角的正弦值为( )
A.eq \f(3\r(35),35) B．eq \f(2\r(7),7)
C.eq \f(\r(3),3) D．eq \f(\r(2),4)
6．二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2eq \r(17).则该二面角的大小为( )
A．150° B．45° C．60° D．120°
7．已知斜四棱柱ABCD­A1B1C1D1的各棱长均为2，∠A1AD＝60°，∠BAD＝90°，平面A1ADD1⊥平面ABCD，则直线BD1与平面ABCD所成的角的正切值为( )
A.eq \f(\r(3),4) B.eq \f(\r(13),4)
C.eq \f(\r(39),13) D.eq \f(\r(39),3)
8.如图，在四棱锥P­ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，且BC⊥平面PAB，PA⊥AB，M为PB的中点，PA＝AD＝2.若AB＝1，则二面角B­AC­M的余弦值为( )
A.eq \f(\r(6),6) B.eq \f(\r(3),6)
C.eq \f(\r(2),6) D.eq \f(1,6)
9．设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),2)
C.eq \f(2\r(2),3) D.eq \f(2\r(3),3)
二、填空题
1.如图，正三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长都相等，E，F，G分别为AB，AA1，A1C1的中点，则B1F与平面GEF所成角的正弦值为________．
2.如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF＝eq \f(1,2)AD＝a，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为________．
已知正四棱锥S­ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE与SD所成角的余弦值为________．
4．在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于________．
5．(2020·汕头模拟)在底面是直角梯形的四棱锥S­ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝eq \f(1,2)，则平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值是________．
6.(2020·北京模拟)如图所示，四棱锥P­ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PD＝2，E是棱PB的中点，M是棱PC上的动点，当直线PA与直线EM所成的角为60°时，那么线段PM的长度是________．
三 解答题
1．如图所示，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝AE＝2.
(1)求证：BD⊥平面ACFE；
(2)当直线FO与平面BED所成的角为45°时，求异面直线OF与BE所成角的余弦值的大小．
2．(2020·湖北十堰4月调研)如图，在三棱锥P－ABC中，M为AC的中点，PA⊥PC，AB⊥BC，AB＝BC，PB＝eq \r(2)，AC＝2，∠PAC＝30°.
(1)证明：BM⊥平面PAC；
(2)求二面角B－PA－C的余弦值．
3．(2020·合肥模拟)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M为棱AE的中点．
(1)求证：平面BDM∥平面EFC；
(2)若DE＝2AB，求直线AE与平面BDM所成角的正弦值．
l1与l2所成的角θ
a与b的夹角β
范围
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
[0，π]
求法
cs θ＝eq \f(|a·b|,|a||b|)
cs β＝eq \f(a·b,|a||b|)