2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习3.3《函数的奇偶性及周期性》(含详解)

2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习

3.3《函数的奇偶性及周期性》

一              、选择题

1.奇函数f(x)在区间[3，6]上单调递增，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为﹣1，则f(6)＋f(﹣3)的值为(　　)

A.﹣10       B.15        C.10         D.9

2.若函数y＝g(x)的图象与y＝ln x的图象关于直线x＝2对称，则g(x)等于(　　)

A.ln(2+x)        B.ln(2-x)       C.ln(4-x)        D.ln(4+x)

3.已知f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，则不等式f(ln x)>f(1)的解集为(　　)

A.(,1)      B.(,e)       C.(0,1)∪(e,+)      D.(0,)∪(1，＋∞)

4.已知函数f(x)＝x3－3sin x＋2，若f(m)＝3，则f(－m)等于(　　)

A.－3          B.－1       C.1          D.2

5.设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x＜0时，f(x)等于(　　)

A.e－x－1          B.e－x＋1       C.－e－x－1          D.－e－x＋1

6.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)=,则g(f(－7))=(　 　)

A.3           B.－3         C.2           D.－2

7.已知定义在R上的函数f(x)=2|x＋m|－1(m为实数)为偶函数，记a=f()，b=f()，

c=f(m＋1)，则a，b，c的大小关系为(　 　)

A.a<b<c           B.a<c<b       C.c<a<b           D.b<c<a

8.已知定义域为R的奇函数f(x)满足f(2﹣x)＝f(x＋1)，f(1)＝﹣4，则f(2 023)等于(　　)

A.﹣4         B.4           C.8         D.16

9.若函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x﹣1，则不等式xf(x)＞0在(﹣1,3)上的解集为(　　)

A.(1,3)       B.(﹣1,1)    C.(﹣1,0)∪(1,3)       D.(﹣1,0)∪(0,1)

10.已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(x－1)＝－f(x＋3)，当x∈[－4,0)时，f(x)＝3－x，则f(985)等于(　　)

A.27          B.－27         C.9          D.－9

二              、多选题

11. (多选)已知定义在R上的函数f(x)，对任意的x1，x2∈R都有f(x1＋x2)﹣f(x1)＝f(x2)＋5，则下列命题错误的是(　　)

A.f(x)是奇函数            B.f(x)是偶函数

C.f(x)＋5是奇函数         D.f(x)＋5是偶函数

12. (多选)已知符号函数sgn(x)＝下列说法正确的是(　　)

A.函数y＝sgn(x)是奇函数

B.对任意的x>1，sgn(ln x)＝1

C.函数y＝ex·sgn(﹣x)的值域为(﹣∞，1)

D.对任意的x∈R，＝x·sgn(x)

三              、填空题

13.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(－x)＝f(x＋4)，当x∈(－2,0)时，f(x)＝2－x－1，则f(3)＝________.

14.已知函数f(3x)的图象仅关于点(2,0)对称，若f(3x＋m)为奇函数，则m的值为______.

15.若f(x)=ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a=       .

16.已知定义在R上的奇函数f(x)满足以下条件：①f(2﹣x)＝f(2＋x)，②f(x)在区间(0，2]内单调递增，③f(1)＝0，则以下判断正确的是________.(填序号)

①f(x)是周期函数，最小正周期是8；

②f(x)的图象关于直线x＝2对称；

③f(x)在区间[﹣5，5]上有9个零点；

④当x∈(﹣3，﹣1)时，f(x)>0.

0.答案详解

一              、选择题

1.答案为：D

解析：由题意，得f(6)＝8，f(3)＝﹣1，又f(x)为奇函数，所以f(﹣3)＝1，所以f(6)＋f(﹣3)＝9.

2.答案为：C

解析：在函数y＝g(x)的图象上任取一点(x,y)，则点(x,y)关于直线x＝2对称的点为(4-x,y)，

且点(4-x,y)在函数y＝ln x的图象上，所以y＝ln(4-x).

3.答案为：B.

解析：由题意，根据偶函数f(x)的性质知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，

又f(ln x)>f(1)，所以|ln x|＜1，解得－1＜ln x＜1，

因为y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以e－1＜x＜e.

4.答案为：C.

解析：因为y＝x3，y＝sin x是奇函数，又f(x)＝x3－3sin x＋2，

故可得f(m)＋f(－m)＝4，所以f(－m)＝4－f(m)＝1.

5.答案为：D.

解析：∵f(x)是奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1.

∴当x＜0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1，得f(x)＝－e－x＋1.

6.答案为：D.

解析：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)=

所以f(－7)=－f(7)=－log2(7＋1)=－3，

所以g(f(－7))=g(－3)=f(－3)=－f(3)=－log2(3＋1)=－2，故选D.

7.答案为：D.

解析：由函数f(x)为偶函数，可知m=0，即f(x)=2|x|－1，

显然f(x)在[0，＋∞)上单调递增，又||>1，||=|log32|<1，m＋1=1，

∴a=f()>c=f(m＋1)>b=f()，故选D.

8.答案为：A

解析：由f(2﹣x)＝f(x＋1)得f(3﹣x)＝f(x)，即f(3＋x)＝f(﹣x)＝﹣f(x)，从而f(6＋x)＝f(x)，所以f(x)为周期函数，且一个周期为6，所以f(2 023)＝f(1)＝﹣4.

9.答案为：C

解析：作出函数f(x)的图象如图所示.

当x∈(﹣1,0)时，由xf(x)＞0得x∈(﹣1,0)；当x∈(0,1)时，由xf(x)＞0得x∈∅；当x∈(1,3)时，由xf(x)＞0得x∈(1,3).故x∈(﹣1,0)∪(1,3).

10.答案为：B.

解析：由f(x－1)＝－f(x＋3)知，y＝f(x)为周期为8的周期函数，

所以f(985)＝f(1)，f(1)＝f(-3+4)＝－f(－3)＝－33＝－27.

二              、多选题

11.答案为：ABD

12.答案为：ABD

解析：A项，由函数sgn(x)的图象可知函数y＝sgn(x)是奇函数，所以该选项正确；

B项，因为x>1，所以ln x>0，所以对任意的x>1，sgn(ln x)＝1，所以该选项正确；

C项，当x>0时，sgn(﹣x)＝﹣1，因为此时ex>1，所以y＝ex·sgn(﹣x)的值域为(﹣∞，﹣1)；当x＝0时，sgn(﹣x)＝0，因为此时ex＝1，所以y＝ex·sgn(﹣x)的值域为；当x<0时，sgn(﹣x)＝1，因为此时0<ex<1，所以y＝ex·sgn(﹣x)的值域为(0,1)；所以函数y＝ex·sgn(﹣x)的值域为(﹣∞，﹣1)∪[0,1)，所以该选项错误；

D项，当x>0时，x·sgn(x)＝x·1＝x＝|x|；当x＝0时，x·sgn(x)＝0×0＝0＝|x|；当x<0时，x·sgn(x)＝x·(﹣1)＝﹣x＝|x|，所以对任意的x∈R，＝x·sgn(x).所以该选项正确.

三              、填空题

13.答案为：－1.

解析：∵f(－x)＝f(x＋4)，∴f(x)的图象关于x＝2对称，∴f(3)＝f(1)，又f(x)为奇函数，∴f(1)＝－f(－1)＝－(21－1)＝－1.即f(3)＝－1.

14.答案为：6.

解析：将函数f(3x)的图象向左平移2个单位长度，得到函数y＝f(3(x＋2))的图象.因为函数f(3x)的图象仅关于点(2,0)对称，所以y＝f(3(x＋2))为奇函数，又f(3x＋m)＝f(3(x+))为奇函数，所以＝2，解得m＝6.

15.答案为：－.

解析：由于f(－x)=f(x)，∴ln(e－3x＋1)－ax=ln(e3x＋1)＋ax，

化简得2ax＋3x=0(x∈R)，则2a＋3=0，∴a=－.

16.答案为：①②③.

解析：由f(2﹣x)＝f(2＋x)知函数图象关于直线x＝2对称，②正确；由f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)＝0，对称中心为(0，0)，且f(﹣x)＝﹣f(x).由于f(x)满足f(x＋8)＝f[2＋(x＋6)]＝f[2﹣(x＋6)]＝f(﹣x﹣4)＝﹣f(x＋4)＝﹣f[2＋(x＋2)]＝﹣f[2﹣(x＋2)]＝﹣f(﹣x)＝f(x)，所以f(x)是周期为8的周期函数，①正确；画出函数f(x)的大致图象如图所示，由图可知f(x)在区间[﹣5，5]内零点有9个，③正确；当x∈(﹣3，﹣1)时，f(x)＜0，④错.