2023年高考数学(理数)一轮复习课时06《函数的奇偶性与周期性》达标练习（含详解）

2023年高考数学(理数)一轮复习课时06

《函数的奇偶性与周期性》达标练习

一 、选择题

1.下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　)

A.y=         B.y=|x|－1        C.y=lg x         D.y=()ln|x|

【答案解析】答案为：B

解析：A项，y=是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，故A错误；易知B正确；

C项，y=lg x是非奇非偶函数，故C错误；D项，y=()ln|x|是递减的.

2.定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(3-x)=f(x),则f(2019)= (　　)

A.-3          B.0             C.1            D.3

【答案解析】答案为：B；

解析：由已知得f(x+3)=f(-x)=-f(x),所以函数f(x)是周期为6的周期函数,

所以f(2019)=f(336×6+3)=f(3).因为f(-x)=-f(x),所以f(0)=0,

又因为f(3-x)=f(x),所以f(3)=f(0)=0.故选B.

3.下列函数中，既是定义域内的偶函数又在(－∞，0)上单调递增的函数是(　　)

A.f(x)＝x2          B.f(x)＝2|x|         C.f(x)＝log2      D.f(x)＝sinx

【答案解析】答案为：C

解析：函数f(x)＝x2在(－∞，0)上单调递减，排除A；当x∈(－∞，0)时，

函数f(x)＝2|x|＝()x在(－∞，0)上单调递减，排除B；当x∈(－∞，0)时，

函数f(x)＝log2＝－log2(－x)在(－∞，0)上单调递增，

且函数f(x)在其定义域内是偶函数，C正确；函数f(x)＝sinx是奇函数，排除D.故选C.

4.f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x3＋ln(1＋x)，则当x＜0时，f(x)=(　　)

A.－x3－ln(1－x)         B.x3＋ln(1－x)

C.x3－ln(1－x)           D.－x3＋ln(1－x)

【答案解析】答案为：C

解析：当x＜0时，－x＞0，f(－x)=(－x)3＋ln(1－x)，

∵f(x)是R上的奇函数，

∴当x＜0时，f(x)=－f(－x)=－[(－x)3＋ln(1－x)]=x3－ln(1－x).

5.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)=,则g(f(－7))=(　 　)

A.3           B.－3         C.2           D.－2

【答案解析】答案为：D.

解析：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)=

所以f(－7)=－f(7)=－log2(7＋1)=－3，

所以g(f(－7))=g(－3)=f(－3)=－f(3)=－log2(3＋1)=－2，故选D.

6.若函数y=f(2x-1)是偶函数,则函数y=f(2x+1)的图像的对称轴方程是 (　　)

A.x=-1          B.x=0        C.x=          D.x=-

【答案解析】答案为：A；

解析：因为函数y=f(2x-1)是偶函数,所以函数y=f(2x-1)的图像关于y轴对称.

因为函数y=f(2x+1)的图像是由函数y=f(2x-1)的图像向左平移1个单位长度得到的,

所以函数y=f(2x+1)的图像的对称轴是直线x=-1,故选A.

7.已知函数f(x)=则下列结论正确的是(　 　)

A.f(x)是偶函数

B.f(x)是增函数

C.f(x)是周期函数

D.f(x)的值域为[－1，＋∞)

【答案解析】答案为：D.

解析：因为f(－x)==－f(x)，所以f(x)是奇函数；

x≤0时f(x)=sinx有增有减，所以B错；x>0，f(x)=x3＋x不为周期函数，C错；

x>0，f(x)=x3＋x>0；x≤0时f(x)=sinx∈[－1,1]，所以f(x)的值域为[－1，＋∞)，

故选D.

8.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点所构成的集合为(　　)

A.{1,3}       B.{－3，－1,1,3}     C.{2－，1,3}    D.{－2－，1,3}

【答案解析】答案为：D

解析：当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋3x]＝－x2－3x，易求得g(x)＝当x2－4x＋3＝0时，可求得x1＝1，x2＝3；

当－x2－4x＋3＝0时，可求得x3＝－2－，x4＝－2＋(舍去).

故g(x)的零点为1,3，－2－.故选D.

9.对于函数f(x)=asin x＋bx3＋cx＋1(a，b，c∈R)，选取a，b，c的一组值计算f(1)，

f(－1)，所得出的正确结果可能是(　　)

A.2和1          B.2和0      C.2和－1          D.2和－2

【答案解析】答案为：B；

解析：设g(x)=asin x＋bx3＋cx，显然g(x)为定义域上的奇函数，

所以g(1)＋g(－1)=0，所以f(1)＋f(－1)=g(1)＋g(－1)＋2=2，

只有B选项中两个值的和为2.

10.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2＋2x，若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是(　　)

A.(－∞，－1)∪(2，＋∞)  

B.(－1，2)

C.(－2，1)

D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)

【答案解析】答案为：C.

解析：∵f(x)是奇函数，∴当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)=(－x)2－2x，

∴－f(x)=x2－2x，∴f(x)=－x2＋2x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示，

结合图象可知f(x)是R上的增函数，

由f(2－a2)＞f(a)，得2－a2＞a，解得－2＜a＜1.

11.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=ex(x＋1)，给出下列命题：

①当x>0时，f(x)=e－x(x－1)；

②函数f(x)有3个零点；

③f(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)；

④∀x1，x2∈R，都有|f(x1)－f(x2)|<2.

正确个数为(　 　)

A.4        B.3            C.2        D.1

【答案解析】答案为：B.

解析：由题意得，当x>0时，则－x<0，因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，

所以f(x)=－f(－x)=－e－x(－x＋1)=e－x(x－1)，所以①是正确的；

令ex(x＋1)=0，可解得x=－1，当e－x(x－1)=0时，可解得x=1，

又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以有f(0)=0，故函数的零点有3个，

所以②是正确的；

因为当x<0时，由f(x)=ex(x＋1)>0，解得－1<x<0；当x>0时，由f(x)=e－x(x－1)>0，

解得x>1，故f(x)>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)，所以③是不正确的；

因为当x>0时，由f(x)=e－x(x－1)，图象过点(1,0)，

又f′(x)=e－x(2－x)，可知当0<x<2时，f′(x)>0，当x>2时，f′(x)<0，所以函数在x=2处取得极大值f(2)=，且当x→0时，函数值趋向于－1，当x→＋∞时，函数值趋向于0，由奇函数的图象关于原点对称可作函数f(x)的图象，可得－1<f(x)<1，所以|f(x1)－f(x2)|<2成立，所以④是正确的.综上所述正确的个数为3，故选B.

12.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－3)=－f(x)，在区间[0,1.5]上是增函数，且函数y=f(x－3)为奇函数，则(　　)

A.f(－31)＜f(84)＜f(13)

B.f(84)＜f(13)＜f(－31)

C.f(13)＜f(84)＜f(－31)

D.f(－31)＜f(13)＜f(84)

【答案解析】答案为：A；

解析：根据题意，函数f(x)满足f(x－3)=－f(x)，则有f(x－6)=－f(x－3)=f(x)，

则函数f(x)为周期为6的周期函数.

若函数y=f(x－3)为奇函数，则f(x)的图象关于点(－3，0)成中心对称，

则有f(x)=－f(－6－x)，又由函数的周期为6，则有f(x)=－f(－x)，

函数f(x)为奇函数.又由函数在区间[0,1.5]上是增函数，

则函数f(x)在[-1.5,1.5]上为增函数，f(84)=f(14×6＋0)=f(0)，

f(－31)=f(－1－5×6)=f(－1)，f(13)=f(1＋2×6)=f(1)，

则有f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－31)＜f(84)＜f(13)，故选A.

二 、填空题

13.已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，且当0<x<1时，f(x)=9x，

则f(-)＋f(2)=________.

【答案解析】答案为：－3

解析：∵函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，

∴f(-)=f(--2)=f(-)=－f().

又当0<x<1时，f(x)=9x，∴f(-)=－9=－3.又f(2)=f(0)=0，∴f(-)＋f(2)=－3.

14.已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x(x＋1)，若f(a)=－2，则实数a=____.

【答案解析】答案为：－1.

解析：x≥0时，f(x)=x(x＋1)=(x+ )2－的最小值为0，所以f(a)=－2时，a＜0，

因为f(x)为R上的奇函数，当x＜0时，－x＞0，f(－x)=－x(－x＋1)=x2－x=－f(x)，

所以x＜0时，f(x)=－x2＋x，则f(a)=－a2＋a=－2，所以a=－1.

15.设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：

①f(x)＋f(－x)=0；

②f(x)=f(x＋2)；

③当0≤x＜1时，f(x)=2x－1.

则f（）＋f(1)＋f（）＋f(2)＋f（）=________.

【答案解析】答案为：－1.

解析：[依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，

则f(1)＋f(－1)=0，f(－1)=f(1)，即f(1)=0.

∴f（）＋f(1)＋f（）＋f(2)＋f（）=f（）＋0＋f（- ）＋f(0)＋f（）

=f（）－f（）＋f(0)＋f（）=f（）＋f(0)=2－1＋20－1=－1.]

16.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f(x)＝其中a∈R.若f(- )＝f()，则f(5a)的值是________.

【答案解析】答案为：－.

解析：∵f(x)是周期为2的函数，

∴f(- )＝f(-2－)＝f(－)，f()＝f(4+)＝f()，

又∵f(- )＝f()，∴f(－)＝f()，即－＋a＝，解得a＝，

则f(5a)＝f(3)＝f(4－1)＝f(－1)＝－1＋＝－.