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专题08 一次函数与反比例函数的实际应用-2023年中考数学二轮专题提升训练
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这是一份专题08 一次函数与反比例函数的实际应用-2023年中考数学二轮专题提升训练，共21页。试卷主要包含了一次函数的实际应用，反比例函数的实际应用，一次函数与反比例函数的综合运用等内容，欢迎下载使用。
专题08 一次函数与反比例函数的实际应用
类型一 一次函数的实际应用
（1）方案选择问题
（2022•内蒙古）
1．某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品．若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元．
(1)求购进A、B两种纪念品的单价；
(2)若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？
(3)若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？求出最大利润．
（2021•东莞市校级二模）
2．某移动通讯公司推出两种移动电话计费方式：
方式一：月租费60元，主叫150分钟内不再收费，超过限定时间的部分a元/分钟；被叫免费．
方式二：月租费100元，主叫380分钟内不再收费，超过限定时间的部分0.25元/分钟；被叫免费．
两种方式的月计费y（单位：元）关于主叫时间t（单位：分钟）的函数图象如图．
(1)求a的值；
(2)结合题意和函数图象，分别求出函数图象中，射线BC和射线EF对应的月计费y（单位：元）关于主叫时间t（单位：分钟）的函数关系式，并写出对应的t的取值范围；
(3)通过计算，写出当月主叫通话时间t（单位：分钟）满足什么条件时，选择方式一省钱．
最大利润问题
（2022•襄阳）
3．为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg．
(1)求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间的函数关系式；
(2)若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于1600kg，且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额一成本），请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案；
(3)为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不低于15000元，求a的最大值．
4．某农场的一个家电商场为了响应国家家电下乡的号召，准备用不超过万元购进台电脑，其中型电脑每台进价元，型电脑每台进价元，型每台售价元，型每台售价元，预计销售额不低于万元．设型电脑购进台、商场的总利润为（元）．
(1)请你设计出进货方案；
(2)求出总利润（元）与购进型电脑（台）的函数关系式，并利用关系式说明哪种方案的利润最大，最大利润是多少元？
（3）行程问题
（2022•牡丹江）
5．在一条平坦笔直的道路上依次有A，B，C三地，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，到达A地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速前往C地，结果乙比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是两人距B地路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象．
请解答下列问题：
(1)填空：甲的速度为______米/分钟，乙的速度为______米/分钟；
(2)求图象中线段FG所在直线表示的y（米）与时间x（分钟）之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(3)出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案．
（2022•长春）
6．已知A、B两地之间有一条长440千米的高速公路．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止．两车距A地的路程y（千米）与各自的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．
(1)_______，_______；
(2)求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式；
(3)当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程．
类型二 反比例函数的实际应用
（2022•广州）
7．某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：m2） 与其深度（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求储存室的容积V的值；
(2)受地形条件限制，储存室的深度需要满足16≤≤25，求储存室的底面积S的取值范围．
（2022•台州）
8．如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，．
(1)求关于的函数解析式；
(2)若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离．
类型三 一次函数与反比例函数的综合运用
（2022•卧龙区模拟）
9．通过心理专家实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标指标随上课时间的变化而变化，指标达到36为认真听讲，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段，当时是反比例函数的一部分．
(1)求点A对应的指标值.
(2)李老师在一节课上讲一道数学综合题需17分钟，他能否经过适当安排使学生在认真听讲时，进行讲解，请说明理由．
（2021秋•东平县校级月考）
10．教室里的饮水机通接电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到停止加热，水温开始下降，此时水温)与开机后用时)成反比例关系，直至水温降至，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为时接通电源，水温)与时间)的关系如图所示：
(1)分别写出水温上升和下降阶段与之间的函数关系式并注明自变量的取值范围；
(2)怡萱同学想喝高于的水，请问她最多需要等待 ？
专题提优训练
（2019•淮安）
11．当矩形面积一定时，下列图象中能表示它的长y和宽x之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
（2021•宜昌）
12．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（单位：）是气体体积（单位：）的反比例函数：，能够反映两个变量和函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
（2022•鄂州一模）
13．已知A、B两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地，乙车从B地沿此公路匀速开往A地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程y（千米）与甲车的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．
(1)______，_______．
(2)求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式．
(3)当甲车到达距B地90千米处时，求甲、乙两车之间的路程．
（2022春•孝感期末）
14．民生超市计划购进甲、乙两种商品共90件进行销售，有关信息如下表：
商品
甲
乙
进价（元/件）
60
50
售价（元/件）
100
100（其中一次性销售超过20件时，超出部分每件再让利20元）
设乙种商品有x（件），销售完两种商品的总销售额为y（元）．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)若购进乙种商品不超过45件，且该超市购进这两种商品的总进货费用不超过5000元．
①问共有多少种购进方案？
②直接写出总利润的最大值（总利润=总销售额-总进货费用）．
参考答案：
1．(1)购进A、B两种纪念品的单价分别为50元、100元
(2)共有6种进货方案
(3)当购进A种纪念品160件B种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元
【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组进行求解即可；
（2）根据题意列出一元一次不等式组进行求解即可；
（3）设总利润为W元，求出W和x之间的函数关系式，利用一次函数的性质进行求解即可．
【详解】（1）设A种纪念品单价为a元，B种纪念品单价为b元
根据题意，得 解得
∴购进A、B两种纪念品的单价分别为50元、100元.
（2）设该商店购进A种纪念品x个，购进B种纪念品y个
根据题意，得
变形得
由题意得：
由①得：
由②得：
∴
∵x，y均为正整数
∴x可取的正整数值是150，152，154，156，158，160
与x相对应的y可取的正整数值是25，24，23，22，21，20
∴共有6种进货方案.
（3）设总利润为W元
则
∵
∴W随x的增大而增大
∴当时，W有最大值：（元）
∴当购进A种纪念品160件，B种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元．
【点睛】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组和一次函数的实际应用．根据题意正确的列出二元一次方程组，一元一次不等式组，根据一次函数的性质进行求解，是解题的关键．
2．(1)0.2
(2)；
(3)通话时间或时，方式一省钱．
【分析】（1）利用待定系数法可求出的解析式，再根据“方式一”的计费方式，也可求得的解析式，比较系数即可．
（2）根据两种计费方式可求出射线和射线EF对应的月计费y（单位：元）关于主叫时间t（单位：分钟）的函数关系式．
（3）结合（2）的结果和图象分类讨论可得结论．
【详解】（1）由题图可知，，
设所在直线为，
把，代入，
得：，
解得：．
∴．
当时，，
∴．
（2）由（1）可知射线对应的月计费y关于主叫时间t的关系式为，
又∵方式二中超过限定时间的部分0.25元/分钟，
∴．
∴射线对应的月计费y关于主叫时间t的关系式为．
（3）当即时，解得；
当即时，解得；
当即时，解得；
所以①时，；
②时，；
③时，．
综上所述，通话时间或时，方式一省钱．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据数形结合的思想求解．
3．(1)．
(2)；当购进甲产品2000千克，乙产品4000千克时，利润最大为24000元．
(3)的最大值为．
【分析】（1）分当时，当时，利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意可知，分当时，当时，分别列出与的函数关系式，根据一次函数的性质可得出结论；
（3）根据题意可知，降价后，与的关系式，并根据利润不低于15000，可得出的取值范围．
【详解】（1）当时，设，根据题意可得，，
解得，
；
当时，设，
根据题意可得，，
解得，
．
．
（2）根据题意可知，购进甲种产品千克，
，
当时，，
，
当时，的最大值为；
当时，，
，
当时，的最大值为（元，
综上，；当购进甲产品2000千克，乙产品4000千克时，利润最大为24000元．
（3）根据题意可知，降价后，，
当时，取得最大值，
，解得．
的最大值为．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出函数关系式．
4．(1)方案1：购A型电脑21台，B型电脑19台；方案2：购A型电脑22台，B型电脑18台；方案3：购A型电脑23台，B型电脑17台；方案4：购A型电脑24台，B型电脑16台；
(2)采用方案4，即购A型电脑24台，B型电脑16台的利润最大，最大利润是18400元．
【分析】（1）根据题意，列出不等式组进行求解即可．
（2）根据总利润等于单件利润乘以数量求出函数关系式，根据函数的的性质，求出最大利润即可．
【详解】（1）解：设型电脑购进台，则：型电脑购进台，由题意得：
，
解得：，
∵为整数，
∴
∴有4种购买方案：
方案1：购A型电脑21台，B型电脑19台；
方案2：购A型电脑22台，B型电脑18台；
方案3：购A型电脑23台，B型电脑17台；
方案4：购A型电脑24台，B型电脑16台；
（2）由题意，得：
，
．
∵，
∴随x的增大而增大，
∴时，元．
答：采用方案4，即购A型电脑24台，B型电脑16台的利润最大，最大利润是18400元．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用和一次函数的应用．根据题意，正确的列出不等式组，一次函数解析式，是解题的关键．
5．(1)300，800
(2)（）
(3)分钟，分钟，6分钟
【分析】（1）根据函数图象先求出乙的速度，然后分别求出乙到达C地的时间和甲到达C地的时间，进而可求甲的速度；
（2）利用待定系数法求出函数解析式，根据题意可得自变量x的取值范围；
（3）设出发t分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米，分两种情况：①乙从B地到A地时，两人相距600米，②乙从A地前往C时，两人相距600米， 分别列方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得：乙的速度为：（800+800）÷（3－1）＝800米/分钟，
∴乙到达C地的时间为：3＋2400÷800＝6分钟，
∴甲到达C地的时间为：6＋2＝8分钟，
∴甲的速度为：2400÷8＝300米/分钟，
故答案为：300，800；
（2）解：由（1）可知G（6，2 400），
设直线FG的解析式为，
∵过F（3，0），G（6，2 400）两点，
∴，
解得：，
∴直线FG的解析式为：，
自变量x的取值范围是；
（3）解：设出发t分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米，
①乙从B地到A地时，两人相距600米，
由题意得：300t＋800t＝600，
解得：；
②乙从A地前往C时，两人相距600米，
由题意得：300t－800（t－3）＝600或800（t－3）－300t＝600，
解得：或6，
答：出发分钟或分钟或6分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米．
【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次方程的应用，利用数形结合的思想是解答本题的关键．
6．(1)2.6
(2)甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式（2≤x≤6）
(3)300千米
【分析】（1）先根据甲乙两车相遇时甲车行驶的路程除以速度可求出m的值，再用m的值加4即可得n的值；
（2）由（1）得（2，200）和（6，440），再运用待定系数法求解即可；
（3）先求出乙车的行驶速度，从而可求出行驶时间，代入函数关系式可得结论．
【详解】（1）根据题意得，（时）
（时）
故答案为：2.6；
（2）由（1）得（2，200）和（6，440），
设相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式为
则有：，
解得，
甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式（2≤x≤6）
（3）甲乙两车相遇时，乙车行驶的路程为440-200=240千米，
∴乙车的速度为：240÷2=120（千米/时）
∴乙车行完全程用时为：440÷120=（时）
∵
∴当时，千米，
即：当乙车到达A地时，甲车距A地的路程为300千米
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，读懂图象是解答本题的关键．
7．(1)
(2)当16≤≤25时，400≤S≤625
【分析】（1）利用体积等于等面积乘以深度即可得到答案；
（2）先求解反比例函数的解析式为，再利用反比例函数的性质可得答案．
【详解】（1）解：由图知：当深度=20米时，底面积S=500米2，
∴=500米2×20米=10000米3；
（2）由（1）得：
，
则（），S随着的增大而减小，
当时，S=625； 当时，S=400；
∴当16≤≤25时，400≤S≤625．
【点睛】本题考查的是反比例函数的应用，反比例函数的性质，熟练的利用反比例函数的性质求解函数值的范围是解本题的关键．
8．(1)
(2)
【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）把代入反比例函数解析式，求出y的值即可．
【详解】（1）由题意设，
把，代入，得．
∴关于的函数解析式为．
（2）把代入，得．
∴小孔到蜡烛的距离为．
【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数关系式以及求函数值，能正确掌握待定系数法是解答本题的关键．
9．(1)A对应的指标值为20
(2)李老师能经过适当的安排，使学生在认真听讲时，进行讲解．
【分析】（1）设当时，反比例函数的解析式为，将点C代入，求出反比例函数解析式即可确定点D的坐标，进而可确定点A的坐标；
（2）利用待定系数法求出当时，直线的解析式，再据此解析式求出当时，x的值．由（1）所求反比例函数的解析式求出当时，x的值，即可确定当时，注意力指标都不低于36，最后由，即可确定李老师能经过适当的安排，使学生在认真听讲时，进行讲解．
【详解】（1）解：设当时，反比例函数的解析式为，
将代入得：
解得：，
∴反比例函数的解析式为．
当时，，
∴，
∴，即A对应的指标值为20；
（2）设当时，的解析式为，
将代入得：，
解得：
∴的解析式为，
当时，即，
解得：．
由（1）得反比例函数的解析式为，
当y=36时，即，
解得：，
∴当时，注意力指标都不低于36．
∵指标达到36为认真听讲，
而，
∴李老师能经过适当的安排，使学生在认真听讲时，进行讲解．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合问题，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质及图像是解题关键．
10．(1)y，与的函数关系式每分钟重复出现一次
(2)
【分析】（1）根据题意和函数图象可以求得的值；根据函数图象和题意可以求得关于的函数关系式，注意函数图象是循环出现的；
（2）根据（1）中的函数解析式可以解答本题．
【详解】（1）解：观察图象，可知：当时，水温，
当时，设关于的函数关系式为：，
，
解得，
即当时，关于的函数关系式为，
当时，设，
100，得，
即当时，关于的函数关系式为y，
当时，x，
与的函数关系式为：y，与的函数关系式每分钟重复出现一次；
（2）将代入，得，
将代入y，得，
，12，
∴怡萱同学想喝高于的水，她最多需要等待，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和函数的思想解答．
11．B
【分析】根据题意得到矩形面积（定值），故y与x之间的函数图象为反比例函数，且根据x、y实际意义x、y应，其图象在第一象限；于是得到结论．
【详解】∵根据题意矩形面积（定值），
∴y是x的反比例函数，．
故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
12．B
【分析】根据实际意义以及函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断．
【详解】解：当m一定时，与V之间成反比例函数，则函数图象是双曲线，同时自变量是正数．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
13．(1)3.6；4.5
(2)
(3)当甲车到达距B地90千米处时，求甲、乙两车之间的路程为135千米
【分析】（1）根据图象可知两车2小时后相遇，根据路程和为270千米即可求出乙车的速度；然后根据“路程、速度、时间”的关系确定a、b的值；
（2）运用待定系数法解得即可；
（3）求出甲车到达距B地70千米处时行驶的时间，代入（2）的结论解答即可．
【详解】（1）解：乙车的速度为：千米/时，
，．
故答案为：3.6；4.5；
（2）（千米），
当时，设，根据题意得：
，
解得，
∴；
当时，，
∴；
（3）甲车到达距B地90千米处时行驶的时间为：（小时），
此时甲、乙两车之间的路程为：（千米）．
答：当甲车到达距B地90千米处时，求甲、乙两车之间的路程为135千米．
【点睛】此题主要考查了一次函数的应用问题，解答此题的关键是要明确：分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．此题还考查了行程问题，要熟练掌握速度、时间和路程的关系：速度×时间=路程．
14．(1)
(2)①共有6种购进方案；②总利润的最大值为3600元
【分析】（1）根据乙商品超过20和不超过20两种情况分别进行计算即可得到y与x的函数关系式；
（2）①根据进价不超过5000元建立不等式，解不等式即可得到答案；
②根据总利润的公式得到总利润关于 的表达式，即可得到答案．
【详解】（1）当且为整数时，，
当且为整数时，，
综上所述： ；
（2）①∵购进乙种商品件数不超过商品总件数的一半，
∴，
由题意得：，
解得：，
∴，
又x为整数，
∴x可取40，41，42，43，44，45，故共有6种购进方案；
②∵总利润=总销售额-总进货费用，
∴总利润为：，
∴当时，总利润的最大，且最利润为3600元．
【点睛】本题考查一次函数和一元一次不等式，解题的关键是根据题意建立一次函数和不等式．
专题08 一次函数与反比例函数的实际应用
类型一 一次函数的实际应用
（1）方案选择问题
（2022•内蒙古）
1．某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品．若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元．
(1)求购进A、B两种纪念品的单价；
(2)若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？
(3)若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？求出最大利润．
（2021•东莞市校级二模）
2．某移动通讯公司推出两种移动电话计费方式：
方式一：月租费60元，主叫150分钟内不再收费，超过限定时间的部分a元/分钟；被叫免费．
方式二：月租费100元，主叫380分钟内不再收费，超过限定时间的部分0.25元/分钟；被叫免费．
两种方式的月计费y（单位：元）关于主叫时间t（单位：分钟）的函数图象如图．
(1)求a的值；
(2)结合题意和函数图象，分别求出函数图象中，射线BC和射线EF对应的月计费y（单位：元）关于主叫时间t（单位：分钟）的函数关系式，并写出对应的t的取值范围；
(3)通过计算，写出当月主叫通话时间t（单位：分钟）满足什么条件时，选择方式一省钱．
最大利润问题
（2022•襄阳）
3．为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg．
(1)求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间的函数关系式；
(2)若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于1600kg，且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额一成本），请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案；
(3)为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不低于15000元，求a的最大值．
4．某农场的一个家电商场为了响应国家家电下乡的号召，准备用不超过万元购进台电脑，其中型电脑每台进价元，型电脑每台进价元，型每台售价元，型每台售价元，预计销售额不低于万元．设型电脑购进台、商场的总利润为（元）．
(1)请你设计出进货方案；
(2)求出总利润（元）与购进型电脑（台）的函数关系式，并利用关系式说明哪种方案的利润最大，最大利润是多少元？
（3）行程问题
（2022•牡丹江）
5．在一条平坦笔直的道路上依次有A，B，C三地，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，到达A地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速前往C地，结果乙比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是两人距B地路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象．
请解答下列问题：
(1)填空：甲的速度为______米/分钟，乙的速度为______米/分钟；
(2)求图象中线段FG所在直线表示的y（米）与时间x（分钟）之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(3)出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案．
（2022•长春）
6．已知A、B两地之间有一条长440千米的高速公路．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止．两车距A地的路程y（千米）与各自的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．
(1)_______，_______；
(2)求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式；
(3)当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程．
类型二 反比例函数的实际应用
（2022•广州）
7．某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：m2） 与其深度（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求储存室的容积V的值；
(2)受地形条件限制，储存室的深度需要满足16≤≤25，求储存室的底面积S的取值范围．
（2022•台州）
8．如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，．
(1)求关于的函数解析式；
(2)若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离．
类型三 一次函数与反比例函数的综合运用
（2022•卧龙区模拟）
9．通过心理专家实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标指标随上课时间的变化而变化，指标达到36为认真听讲，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段，当时是反比例函数的一部分．
(1)求点A对应的指标值.
(2)李老师在一节课上讲一道数学综合题需17分钟，他能否经过适当安排使学生在认真听讲时，进行讲解，请说明理由．
（2021秋•东平县校级月考）
10．教室里的饮水机通接电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到停止加热，水温开始下降，此时水温)与开机后用时)成反比例关系，直至水温降至，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为时接通电源，水温)与时间)的关系如图所示：
(1)分别写出水温上升和下降阶段与之间的函数关系式并注明自变量的取值范围；
(2)怡萱同学想喝高于的水，请问她最多需要等待 ？
专题提优训练
（2019•淮安）
11．当矩形面积一定时，下列图象中能表示它的长y和宽x之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
（2021•宜昌）
12．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（单位：）是气体体积（单位：）的反比例函数：，能够反映两个变量和函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
（2022•鄂州一模）
13．已知A、B两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地，乙车从B地沿此公路匀速开往A地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程y（千米）与甲车的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．
(1)______，_______．
(2)求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式．
(3)当甲车到达距B地90千米处时，求甲、乙两车之间的路程．
（2022春•孝感期末）
14．民生超市计划购进甲、乙两种商品共90件进行销售，有关信息如下表：
商品
甲
乙
进价（元/件）
60
50
售价（元/件）
100
100（其中一次性销售超过20件时，超出部分每件再让利20元）
设乙种商品有x（件），销售完两种商品的总销售额为y（元）．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)若购进乙种商品不超过45件，且该超市购进这两种商品的总进货费用不超过5000元．
①问共有多少种购进方案？
②直接写出总利润的最大值（总利润=总销售额-总进货费用）．
参考答案：
1．(1)购进A、B两种纪念品的单价分别为50元、100元
(2)共有6种进货方案
(3)当购进A种纪念品160件B种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元
【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组进行求解即可；
（2）根据题意列出一元一次不等式组进行求解即可；
（3）设总利润为W元，求出W和x之间的函数关系式，利用一次函数的性质进行求解即可．
【详解】（1）设A种纪念品单价为a元，B种纪念品单价为b元
根据题意，得 解得
∴购进A、B两种纪念品的单价分别为50元、100元.
（2）设该商店购进A种纪念品x个，购进B种纪念品y个
根据题意，得
变形得
由题意得：
由①得：
由②得：
∴
∵x，y均为正整数
∴x可取的正整数值是150，152，154，156，158，160
与x相对应的y可取的正整数值是25，24，23，22，21，20
∴共有6种进货方案.
（3）设总利润为W元
则
∵
∴W随x的增大而增大
∴当时，W有最大值：（元）
∴当购进A种纪念品160件，B种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元．
【点睛】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组和一次函数的实际应用．根据题意正确的列出二元一次方程组，一元一次不等式组，根据一次函数的性质进行求解，是解题的关键．
2．(1)0.2
(2)；
(3)通话时间或时，方式一省钱．
【分析】（1）利用待定系数法可求出的解析式，再根据“方式一”的计费方式，也可求得的解析式，比较系数即可．
（2）根据两种计费方式可求出射线和射线EF对应的月计费y（单位：元）关于主叫时间t（单位：分钟）的函数关系式．
（3）结合（2）的结果和图象分类讨论可得结论．
【详解】（1）由题图可知，，
设所在直线为，
把，代入，
得：，
解得：．
∴．
当时，，
∴．
（2）由（1）可知射线对应的月计费y关于主叫时间t的关系式为，
又∵方式二中超过限定时间的部分0.25元/分钟，
∴．
∴射线对应的月计费y关于主叫时间t的关系式为．
（3）当即时，解得；
当即时，解得；
当即时，解得；
所以①时，；
②时，；
③时，．
综上所述，通话时间或时，方式一省钱．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据数形结合的思想求解．
3．(1)．
(2)；当购进甲产品2000千克，乙产品4000千克时，利润最大为24000元．
(3)的最大值为．
【分析】（1）分当时，当时，利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意可知，分当时，当时，分别列出与的函数关系式，根据一次函数的性质可得出结论；
（3）根据题意可知，降价后，与的关系式，并根据利润不低于15000，可得出的取值范围．
【详解】（1）当时，设，根据题意可得，，
解得，
；
当时，设，
根据题意可得，，
解得，
．
．
（2）根据题意可知，购进甲种产品千克，
，
当时，，
，
当时，的最大值为；
当时，，
，
当时，的最大值为（元，
综上，；当购进甲产品2000千克，乙产品4000千克时，利润最大为24000元．
（3）根据题意可知，降价后，，
当时，取得最大值，
，解得．
的最大值为．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出函数关系式．
4．(1)方案1：购A型电脑21台，B型电脑19台；方案2：购A型电脑22台，B型电脑18台；方案3：购A型电脑23台，B型电脑17台；方案4：购A型电脑24台，B型电脑16台；
(2)采用方案4，即购A型电脑24台，B型电脑16台的利润最大，最大利润是18400元．
【分析】（1）根据题意，列出不等式组进行求解即可．
（2）根据总利润等于单件利润乘以数量求出函数关系式，根据函数的的性质，求出最大利润即可．
【详解】（1）解：设型电脑购进台，则：型电脑购进台，由题意得：
，
解得：，
∵为整数，
∴
∴有4种购买方案：
方案1：购A型电脑21台，B型电脑19台；
方案2：购A型电脑22台，B型电脑18台；
方案3：购A型电脑23台，B型电脑17台；
方案4：购A型电脑24台，B型电脑16台；
（2）由题意，得：
，
．
∵，
∴随x的增大而增大，
∴时，元．
答：采用方案4，即购A型电脑24台，B型电脑16台的利润最大，最大利润是18400元．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用和一次函数的应用．根据题意，正确的列出不等式组，一次函数解析式，是解题的关键．
5．(1)300，800
(2)（）
(3)分钟，分钟，6分钟
【分析】（1）根据函数图象先求出乙的速度，然后分别求出乙到达C地的时间和甲到达C地的时间，进而可求甲的速度；
（2）利用待定系数法求出函数解析式，根据题意可得自变量x的取值范围；
（3）设出发t分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米，分两种情况：①乙从B地到A地时，两人相距600米，②乙从A地前往C时，两人相距600米， 分别列方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得：乙的速度为：（800+800）÷（3－1）＝800米/分钟，
∴乙到达C地的时间为：3＋2400÷800＝6分钟，
∴甲到达C地的时间为：6＋2＝8分钟，
∴甲的速度为：2400÷8＝300米/分钟，
故答案为：300，800；
（2）解：由（1）可知G（6，2 400），
设直线FG的解析式为，
∵过F（3，0），G（6，2 400）两点，
∴，
解得：，
∴直线FG的解析式为：，
自变量x的取值范围是；
（3）解：设出发t分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米，
①乙从B地到A地时，两人相距600米，
由题意得：300t＋800t＝600，
解得：；
②乙从A地前往C时，两人相距600米，
由题意得：300t－800（t－3）＝600或800（t－3）－300t＝600，
解得：或6，
答：出发分钟或分钟或6分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米．
【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次方程的应用，利用数形结合的思想是解答本题的关键．
6．(1)2.6
(2)甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式（2≤x≤6）
(3)300千米
【分析】（1）先根据甲乙两车相遇时甲车行驶的路程除以速度可求出m的值，再用m的值加4即可得n的值；
（2）由（1）得（2，200）和（6，440），再运用待定系数法求解即可；
（3）先求出乙车的行驶速度，从而可求出行驶时间，代入函数关系式可得结论．
【详解】（1）根据题意得，（时）
（时）
故答案为：2.6；
（2）由（1）得（2，200）和（6，440），
设相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式为
则有：，
解得，
甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式（2≤x≤6）
（3）甲乙两车相遇时，乙车行驶的路程为440-200=240千米，
∴乙车的速度为：240÷2=120（千米/时）
∴乙车行完全程用时为：440÷120=（时）
∵
∴当时，千米，
即：当乙车到达A地时，甲车距A地的路程为300千米
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，读懂图象是解答本题的关键．
7．(1)
(2)当16≤≤25时，400≤S≤625
【分析】（1）利用体积等于等面积乘以深度即可得到答案；
（2）先求解反比例函数的解析式为，再利用反比例函数的性质可得答案．
【详解】（1）解：由图知：当深度=20米时，底面积S=500米2，
∴=500米2×20米=10000米3；
（2）由（1）得：
，
则（），S随着的增大而减小，
当时，S=625； 当时，S=400；
∴当16≤≤25时，400≤S≤625．
【点睛】本题考查的是反比例函数的应用，反比例函数的性质，熟练的利用反比例函数的性质求解函数值的范围是解本题的关键．
8．(1)
(2)
【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）把代入反比例函数解析式，求出y的值即可．
【详解】（1）由题意设，
把，代入，得．
∴关于的函数解析式为．
（2）把代入，得．
∴小孔到蜡烛的距离为．
【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数关系式以及求函数值，能正确掌握待定系数法是解答本题的关键．
9．(1)A对应的指标值为20
(2)李老师能经过适当的安排，使学生在认真听讲时，进行讲解．
【分析】（1）设当时，反比例函数的解析式为，将点C代入，求出反比例函数解析式即可确定点D的坐标，进而可确定点A的坐标；
（2）利用待定系数法求出当时，直线的解析式，再据此解析式求出当时，x的值．由（1）所求反比例函数的解析式求出当时，x的值，即可确定当时，注意力指标都不低于36，最后由，即可确定李老师能经过适当的安排，使学生在认真听讲时，进行讲解．
【详解】（1）解：设当时，反比例函数的解析式为，
将代入得：
解得：，
∴反比例函数的解析式为．
当时，，
∴，
∴，即A对应的指标值为20；
（2）设当时，的解析式为，
将代入得：，
解得：
∴的解析式为，
当时，即，
解得：．
由（1）得反比例函数的解析式为，
当y=36时，即，
解得：，
∴当时，注意力指标都不低于36．
∵指标达到36为认真听讲，
而，
∴李老师能经过适当的安排，使学生在认真听讲时，进行讲解．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合问题，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质及图像是解题关键．
10．(1)y，与的函数关系式每分钟重复出现一次
(2)
【分析】（1）根据题意和函数图象可以求得的值；根据函数图象和题意可以求得关于的函数关系式，注意函数图象是循环出现的；
（2）根据（1）中的函数解析式可以解答本题．
【详解】（1）解：观察图象，可知：当时，水温，
当时，设关于的函数关系式为：，
，
解得，
即当时，关于的函数关系式为，
当时，设，
100，得，
即当时，关于的函数关系式为y，
当时，x，
与的函数关系式为：y，与的函数关系式每分钟重复出现一次；
（2）将代入，得，
将代入y，得，
，12，
∴怡萱同学想喝高于的水，她最多需要等待，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和函数的思想解答．
11．B
【分析】根据题意得到矩形面积（定值），故y与x之间的函数图象为反比例函数，且根据x、y实际意义x、y应，其图象在第一象限；于是得到结论．
【详解】∵根据题意矩形面积（定值），
∴y是x的反比例函数，．
故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
12．B
【分析】根据实际意义以及函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断．
【详解】解：当m一定时，与V之间成反比例函数，则函数图象是双曲线，同时自变量是正数．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
13．(1)3.6；4.5
(2)
(3)当甲车到达距B地90千米处时，求甲、乙两车之间的路程为135千米
【分析】（1）根据图象可知两车2小时后相遇，根据路程和为270千米即可求出乙车的速度；然后根据“路程、速度、时间”的关系确定a、b的值；
（2）运用待定系数法解得即可；
（3）求出甲车到达距B地70千米处时行驶的时间，代入（2）的结论解答即可．
【详解】（1）解：乙车的速度为：千米/时，
，．
故答案为：3.6；4.5；
（2）（千米），
当时，设，根据题意得：
，
解得，
∴；
当时，，
∴；
（3）甲车到达距B地90千米处时行驶的时间为：（小时），
此时甲、乙两车之间的路程为：（千米）．
答：当甲车到达距B地90千米处时，求甲、乙两车之间的路程为135千米．
【点睛】此题主要考查了一次函数的应用问题，解答此题的关键是要明确：分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．此题还考查了行程问题，要熟练掌握速度、时间和路程的关系：速度×时间=路程．
14．(1)
(2)①共有6种购进方案；②总利润的最大值为3600元
【分析】（1）根据乙商品超过20和不超过20两种情况分别进行计算即可得到y与x的函数关系式；
（2）①根据进价不超过5000元建立不等式，解不等式即可得到答案；
②根据总利润的公式得到总利润关于 的表达式，即可得到答案．
【详解】（1）当且为整数时，，
当且为整数时，，
综上所述： ；
（2）①∵购进乙种商品件数不超过商品总件数的一半，
∴，
由题意得：，
解得：，
∴，
又x为整数，
∴x可取40，41，42，43，44，45，故共有6种购进方案；
②∵总利润=总销售额-总进货费用，
∴总利润为：，
∴当时，总利润的最大，且最利润为3600元．
【点睛】本题考查一次函数和一元一次不等式，解题的关键是根据题意建立一次函数和不等式．
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