专题11 反比例函数与一次函数二次函数的综合运用-2023年中考数学二轮专题提升训练

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专题11 反比例函数与一次函数二次函数的综合运用
第一部分 典例剖析
类型一 反比例函数与一次函数的综合运用
（2021•蓬江区校级二模）
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y＝kx与反比例函数的图象交于A，B（-2，a）两点，过原点O的另一条直线l与双曲线y＝交于P，Q两点（Q点在第四象限），若以点A，B，P，Q为顶点的四边形面积为24，则点P的坐标是_______．


（2019•荆州中考）
2．边长为1的8个正方形如图摆放在直角坐标系中，直线平分这8个正方形所组成的图形的面积，交其中两个正方形的边于，两点，过点的双曲线的一支交其中两个正方形的边于，两点，连接，，，则__________．


类型二 反比例函数与二次函数的综合运用
（2021秋•赛罕区校级期中）
3．已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（    ）

A． B． C． D．

（遂宁中考）
4．如图，已知抛物线y=ax2-4x+c(a≠0)与反比例函数y=的图象相交于B点，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C(0,6)，A是抛物线y=ax2-4x+c的顶点，P点是x轴上一动点，当PA+PB最小时，P点的坐标为_______．


类型三 反比例函数与一次函数、二次函数的综合运用
（2021•枣庄模拟）
5．在平面直角坐标系xOy中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”给出下列函数①y＝﹣x；②y＝；③y＝x+2；④y＝x2﹣2x．其图象中不存在“好点”的函数个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

（2022•平原县模拟）
6．在下列函数图象上任取不同两点、，一定能使成立的是(   )
A．y＝－3x＋1 B．
C． D．

（宜昌中考）
7．如图，在平面直角坐标系中，矩形OADB的顶点A，B的坐标分别为A（﹣6，0），B（0，4）．过点C（﹣6，1）的双曲线y=（k≠0）与矩形OADB的边BD交于点E．
(1)填空：OA=　　　，k=　　　，点E的坐标为　　　；
(2)当1≤t≤6时，经过点M（t﹣1，﹣t2+5t﹣）与点N（﹣t﹣3，﹣t2+3t﹣）的直线交y轴于点F，点P是过M，N两点的抛物线y=﹣x2+bx+c的顶点．
①当点P在双曲线y=上时，求证：直线MN与双曲线y=没有公共点；
②当抛物线y=﹣x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点，求t的值；
③当点F和点P随着t的变化同时向上运动时，求t的取值范围，并求在运动过程中直线MN在四边形OAEB中扫过的面积．

第二部分 专题提优训练
（2021春•西乡塘区校级月考）
8．下列各曲线中不能表示y是x的函数是（　　）
A． B．
C． D．

（2019秋•萧山区期中）
9．已知点A（1，m），B（2，m﹣n）（n＞0）在同一个函数的图象上，则这个函数可能是（　　）
A．y＝x B．y＝﹣ C．y＝x2 D．y＝﹣x2

（2022秋•鸡西期末）
10．已知一次函数与反比例函数的图象交于点，则________．

（2022•成华区）
11．如图，直线x分别交x轴，y轴于点A和点B，点C是反比例函数(x>0）的图象上位于直线上方的一点，CD∥x轴交AB于D，CE⊥CD交AB于E，AD·BE=4，则k的值为_______．


（2022秋•兴义市期中）
12．已知的图象如图，则和的图象为（     ）

A． B． C． D．

（2019秋•龙湾区期中）
13．如图，抛物线y＝ax2+4x+c（a≠0）与反比例函数y＝的图象相交于点B，且点B的横坐标为5，抛物线与y轴交于点C（0，6），A是抛物线的顶点，P和Q分别是x轴和y轴上的两个动点，则AQ+QP+PB的最小值为_____．


（2022秋•沙坪坝区校级月考）
14．阅读材料：在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“星之点”，例如：点，，都是“星之点”，显然“星之点“有无数个，我们知道关于x的一元二次方程的求根公式x，故有x1，x2；两根之和x1+x2；两根之积 ；根据以上信息，回答下列的问题：
(1)若点是反比例函数的图象上的“星之点”，求这个反比例函数的解析式；
(2)函数为常数的图象上存在“星之点”吗？若存在，请求出“星之点”的坐标；若不存在，说明理由；
(3)若二次函数 是常数，且的图象上存在两个“星之点”，且满足，，令，试求的取值范围．

参考答案：
1．（-4，2）或（-1，8）
【分析】根据题意先求出点B（﹣2，4），利用反比例函数的对称性求出A（2，﹣4），再把A代入代入正比例函数得出解析式，利用原点对称得出四边形AQBP是平行四边形，S△POB＝S平行四边形AQBP×＝×24＝6，设点P的横坐标为m（m＜0且m≠﹣2），得到P的坐标，根据双曲线的性质得到S△POM＝S△BON＝4，接着再分情况讨论：若m＜﹣2时，可得P的坐标为（﹣4，2）；若﹣2＜m＜0时，可得P的坐标为（﹣1，8）．
【详解】解：∵点B（﹣2，a）在反比例函数上，
∴把x＝﹣2代入反比例函数，
解得y＝4，
∴点B（﹣2， 4），
∵点A与B关于原点对称，
∴A点坐标为（2，﹣4），
把点A（2，﹣4）代入反比例函数 ，得k＝﹣2，
∴正比例函数为y＝﹣，
∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形，
∴OP＝OQ，OA＝OB，
∴四边形AQBP是平行四边形，
∴S△POB＝S平行四边形AQBP×＝×24＝6，
设点P的横坐标为m（m＜0且m≠﹣2），
得P（m，﹣），
过点P、B分别做x轴的垂线，垂足为M、N，
∵点P、B在双曲线上，
∴S△POM＝S△BON＝4，
若m＜﹣2，如图1，
∵S△POM+S梯形PMNB＝S△POB+S△POM，
∴S梯形PMNB＝S△POB＝6．
∴（4﹣）•（﹣2﹣m）＝6．
∴m1＝﹣4，m2＝1（舍去），
∴P（﹣4，2）；

若﹣2＜m＜0，如图2，
∵S△POM+S梯形BNMP＝S△BOP+S△BON，
∴S梯形BNMP＝S△POB＝6．
∴（4﹣）•（m+2）＝6，
解得m1＝﹣1，m2＝4（舍去），
∴P（﹣1，8）．
∴点P的坐标是P（﹣4，2）或P（﹣1，8），
答案为：（﹣4，2）或（﹣1，8）．

【点睛】此题考查一次函数和反比例函数的综合，解题关键在于做出辅助线，运用分类讨论的思想解决问题．
2．．
【分析】设，利用面积法得到，求出A点，再求出直线解析式，求出B点，再求出双曲线的解析式，求出D,C的两点，然后用矩形面积减去三个三角形面积即可.
【详解】解：设，
直线平分这8个正方形所组成的图形的面积，
，解得，
，
把代入直线得，解得，
直线解析式为，
当时，，则，
双曲线经过点，
，
双曲线的解析式为，
当时，，解得，则；
当时，，则，
．
故答案为．
【点睛】本题考查的是平面直角坐标系的综合运用，熟练掌握一次函数和反比例函数的性质是解题的关键.
3．C
【分析】首先根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案．
【详解】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得，
根据抛物线开口向下可得，
由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，
则反比例函数的图象在第二、四象限，
一次函数经过第一、二、四象限，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象；关键是根据二次函数图象确定出a、b、c的符号．
4．(，0)
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后求出点B的坐标，从而可以求得二次函数解析式，然后求出点A的坐标，进而求得A＇的坐标，从而可以求得直线A＇B的函数解析式，进而求得与x轴的交点，从而可以解答本题
【详解】解：作点A关于x轴的对称点A＇，连接A＇B，则A＇B与x轴的交点即为所求，
∵抛物线y=ax2-4x+c(a0)与反比例函数y= 的图象相交于点B，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C（0,6），
∴点B（3,3），
∴
解得，
∴y=x2-4x+6=（x-2）2+2
∴点A的坐标为（2,2），
∴点A＇的坐标为（2，-2），
设过点A＇（2，-2）和点B（3,3）的直线解析式为y=mx+n
∴
∴直线A＇B的函数解析式为y=5x-12,
令y=0,则0=5x-12得x=,
故答案为（）

【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
5．A
【分析】根据题意可得x=y，然后代入每一个解析式进行计算即可判断．
【详解】解：∵横、纵坐标相等的点称为“好点”，
∴x=y，
∴①x=−x，解得x=0，
所以y=−x图象中存在“好点”，
②，解得，
所以图象中存在“好点”，
③x=x+2，此方程无解，
所以y=x+2图象中不存在“好点”，
④x=x2−2x，解得x=0或x=3，
所以y=x2−2x图象中存在“好点”，
上述图象中不存在“好点”的函数个数为：1，
故选：A．
【点睛】本题考查了通过点的坐标特点判断各方程是否有解，即求自变量的值，根据题意得出x=y，然后代入每一个解析式进行计算是解题的关键．
6．C
【分析】根据各函数的增减性依次判断即可．
【详解】A．∵k=-3＜0，
∴y随x的增大而减小，y随x的减小而增大，
即当时，必有，当时，必有，
∴，故此项不满足题意；
B．∵a=-1，
∴二次函数图象开口向下，
∵图象对称轴为x=-1，
∴当时，y随x的增大而减小，此时当时，必有，
∴，故此项不满足题意；
C．∵a=-1，
∴二次函数图象开口向下，
∵图象对称轴为x=2，
∴当时，y随x的增大而增大，此时当时，必有，
∴，故此项满足题意；
D．∵，，
∴，
∴，
∴显然当和异号时，，故此项不满足题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数、二次函数、反比例函数的图象和性质，结合函数的增减性即可作答．
7．(1)6，﹣6，（﹣，4）
(2)①证明见解析；②t=或t=；③1≤t≤4，

【分析】（1）根据题意将相关数据代入求解即可．
（2）①用t表示直线MN解析式，及b，c，得到P点坐标代入双曲线y=解析式，证明关于t的方程无解即可；
②根据抛物线开口和对称轴，分别讨论抛物线过点B和在BD上时的情况；
③由②中部分结果，用t表示F、P点的纵坐标，求出t的取值范围及直线MN在四边形OAEB中所过的面积．
【详解】（1）∵A点坐标为（﹣6，0），
∴OA=6，
∵过点C（﹣6，1）的双曲线y=，
∴k=﹣6，
y=4时，x=，
∴点E的坐标为（﹣，4），
故答案为6，﹣6，（﹣，4）．
（2）①设直线MN解析式为：y1=k1x+b1，
由题意得：，
解得，
∵抛物线y=﹣过点M、N，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为：y=﹣x2﹣x+5t﹣2，
∴顶点P坐标为（﹣1，5t﹣），
∵P在双曲线y=﹣上，
∴（5t﹣）×（﹣1）=﹣6，
∴t=，
此时直线MN解析式为：，
联立，
∴8x2+35x+49=0，
∵△=352﹣4×8×48=1225﹣1536＜0，
∴直线MN与双曲线y=﹣没有公共点．
②当抛物线过点B，此时抛物线y=﹣x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点，
∴4=5t﹣2，得t=，
当抛物线在线段DB上，此时抛物线与矩形OADB有且只有三个公共点，
∴，得t=，
∴t=或t=．
③∵点P的坐标为（﹣1，5t﹣），
∴yP=5t﹣，
当1≤t≤6时，yP随t的增大而增大，
此时，点P在直线x=﹣1上向上运动，
∵点F的坐标为（0，﹣），
∴﹣，
∴当1≤t≤4时，随t的增大而增大，
此时，随着t的增大，点F在y轴上向上运动，
∴1≤t≤4，
当t=1时，直线MN：y=x+3与x轴交于点G（﹣3，0），与y轴交于点H（0，3），
当t=4﹣时，直线MN过点A，
当1≤t≤4时，直线MN在四边形AEBO中扫过的面积为，
S=．
【点睛】本题为二次函数与反比例函数综合题，考查了数形结合思想和分类讨论的数学思想．解题过程中，应注意充分利用字母t表示相关点坐标．
8．C
【分析】根据函数是一一对应的关系，给自变量一个值，有且只有一个函数值与其对应，就是函数，如果不是，则不是函数．
【详解】根据题图可知，A、B、D三选项中，对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，y是x的函数；
C、对于x>0的任何值，y都有两个值与之相对应，则y不是x的函数；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了函数的定义，在定义中特别要注意，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应．
9．D
【分析】由B(1，m)，C(2，m﹣n)可知，在y轴的右侧，y随x的增大而减小，据此判断即可．
【详解】∵n＞0，
∴m﹣n＜m．
∵点A(1，m)，B(2，m﹣n)(n＞0)在同一个函数的图象上，
∴在y轴的右侧，y随x的增大而减小，
A．对于函数y=x，y随x的增大而增大，故不可能；
B．对于函数y，图象位于二、四象限，每个象限内y随x的增大而增大，故不可能；
C．对于函数y=x2，当x＞0时，y随x的增大而增大，故不可能；
D．对于函数y=﹣x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，故有可能．
故选：D．
【点睛】本题考查了正比例函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，可以采用排除法，直接法得出答案．
10．9
【分析】先把P（a−2，3）代入y＝2x−3，求得P的坐标，然后根据待定系数法即可求得．
【详解】∵一次函数y＝2x−3经过点P（a−2，3），
∴3＝2（a−2）−3，
解得a＝5，
∴P（3，3），
∵点P在反比例函数的图象上，
∴k＝3×3＝9，
故答案为9．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，求得交点坐标是解题的关键．
11．
【分析】过点E作EM⊥y轴于点M，过点D作DF⊥x轴于点F，然后求出OA与OB的长度，即可求出∠OAB的正弦值与余弦值，再设C(x，y)，从而可表示出AD与BE的长度，根据AD·BE=4列出即可求出k的值．
【详解】解：过点E作EM⊥y轴于点M，过点D作DF⊥x轴于点F，
∴点B的坐标为(0，-8)，点A的坐标为()，
∴OB=8，OA=，
由勾股定理可知：AB=，
∴sin∠OAB=，cos∠OAB=，
设C(x，y)，
∴DF=-y，ME=x， sin∠OAB=，
∴AD=，
∵cos∠OAB=cos∠MEB=，
∴BE=2x，∵AD·BE=4，
∴×2x=4，
∴xy=，
即k=

【点睛】本题主要考查的是三角函数的应用以及反比例函数的性质，综合性比较强，难度较大．解决这个问题的关键就是将AD和BE用点C的坐标表示出来．
12．C
【分析】根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可以得到a＜0，b＞0，c＜0，由此可以判定y=ax+b经过一、二、四象限，双曲线在二、四象限．
【详解】根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，
可得a＜0，b＞0，c＜0，
∴y=ax+b过一、二、四象限，
双曲线在二、四象限，
∴C是正确的．
故选C．
【点睛】此题考查一次函数，二次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．
13．
【分析】根据题意求得B的坐标，然后根据待定系数法求得抛物线的解析式，从而求得顶点A的坐标，求得A关于y轴的对称点A′（-2，10），B点关于x轴的对称点B′为（5，-1），根据两点之间线段最短，即可判断AQ+QP+PB=A′B′是AQ+QP+PB的最小值，利用勾股定理求得即可．
【详解】∵点B在反比例函数y＝的图象，且点B的横坐标为5，
∴点B的纵坐标为：y＝＝1，
∴B（5，1），
∵抛物线y＝ax2+4x+c（a≠0）与反比例函数y＝的图象相交于点B，与y轴交于点C（0，6），
∴，解得，
∴抛物线为y＝﹣x2+4x+6，
∵y＝﹣x2+4x+6＝﹣（x﹣2）2+10，
∴A（2，10），
∴A关于y轴的对称点A′（﹣2，10），
∵B（5，1），
∴B点关于x轴的对称点B′为（5，﹣1），
连接A′B′交x轴于P，交y轴于Q，此时AQ+QP+PB的值最小，即AQ+QP+PB＝A′B′，
A′B′＝＝，
故AQ+QP+PB的最小值为．

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，明确AQ+QP+PB=A′B′是AQ+QP+PB的最小值是解题的关键．
14．(1)
(2)存在，“星之点”坐标为()或无数个
(3)

【分析】（1）由“星之点”定义得到点坐标为(，)，用待定系数法即求得反比例函数解析式．
（2）把“星之点”代入函数解析式，化简得到关于的一元一次方程．讨论的一次项系数：①若一次项系数和常数项都为，则方程有无数解，故有无数个“星之点”；②若一次项系数为而常数项不为，则方程无解，不存在“星之点”；③若一次项系数和常数项均不为，方程有唯一解，则求得“星之点”坐标．
（3）把点、坐标代入二次函数并化简，可得即为方程的两个不相等实数根．根据根与系数的关系可得，，利用和完全平方公式变形可得与的关系式，化简；分类讨论得出，根据抛物线性质可求得的取值范围，代入即求得的取值范围．
【详解】（1）解：∵点是“星之点”
∴，
∵点是反比例函数y的图象上的点
∴   
解得：
∴这个反比例函数的解析式为y
（2）函数(，为常数)的图象上存在“星之点”．
设“星之点”在函数(，为常数)的图象上
∴
整理得：
①当，即k时，若，即，方程有无数解，此时有无数个“星之点”
②当，即k时，，则方程无解，没有“星之点”
③当，即时，x=
∴“星之点”坐标为
综上所述，函数 (，为常数)的图象上存在“星之点”，坐标为(，)或无数个．
（3）依题意得：，，
整理得：，，
∴是方程的两个不相等实数根，
∴，，
∵，
∴0，即同号，
∵，
i)当时，，
∴，即，
∴
∴
当时，
∴，即，
∴，
∴8，
综上，，
∵4，
∴，
∴，
∵当时，的值随的增大而增大
∴当时，
∴+
∴t的取值范围为t．
【点睛】本题考查了新定义的理解和应用，反比例函数的性质，一次函数的性质，二次函数的图象与性质，一元二次方程根与系数的关系，不等式的性质．第(3)题的解题关键是由点、代入二次函数后得到以为根的方程，利用根与系数的关系列得关于、的等式，进而根据的范围确定含的二次项式子取值范围，最终求得的取值范围．