专题25 锐角三角函数的实际应用-2023年中考数学二轮专题提升训练

专题25 锐角三角函数的实际应用

第一部分 典例剖析

类型一 与学科间相关的实际应用问题

典例1（2022•泰州）

1．小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验.如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角∠MNB=118°，厂房高AB= 8 m，房顶AM与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD是多少?（结果精确到0.1 m，参考数据：sin34°≈0.56， tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）

类型二 与坡度、坡角相关的实际问题

典例2（2021秋•宁德期末）

2．自卸式货车可以实现自动卸货，其原理是通过液压臂的伸缩来改变货厢的倾斜角度，如图1、图2是某款自卸式货车卸货时的截面示意图，其液压臂底座A与车厢转轴O的距离AO＝2.4m，伸缩臂支点B与车厢转轴O的距离BO＝2m，当车厢底座与车架底座的夹角∠AOB＝37°时，求液压臂AB的长．（结果保留根号，参考数据sin37°，cos37°，tan37°）

类型三 与方向角相关的实际问题

典例3（2021秋•和平区校级月考）

3．如图，甲船以每小时海里的速度向正北方向航行．当甲船位于处时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，且乙船从处沿北偏东方向匀速直线航行．经过分钟后，甲船由处航行到处，乙船航行到甲船位置（即处）的南偏西方向的处，此时两船相距海里，求乙船每小时航行多少海里．

典例4（2022•丰润区二模）

4．如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为______海里；AB＝______海里（结果保留根号）．

类型四 与不易策略相关的实际问题

典例5（2022秋•靖江市期中）

5．如图，为了测量河对岸两点A、B之间的距离，在河岸这边取点C、D．测得米，，，，．设A、B、C、D在同一平面内．

(1)求的长；

(2)求A、B两点之间的距离．（参考数据：，．）

类型五 与可调节的滑动悬杆相关的问题

典例6（2022•岳阳模拟）

6．某种落地灯如图1所示，立杆AB垂直于地面，其高为120cm，BC为支杆，它可绕点B旋转，其中BC长为30cm，CD为悬杆，滑动悬杆可调节CD的长度，支杆BC与悬杆CD之间的夹角∠BCD为70°．

(1)如图2，当A、B、C三点共线且CD＝50cm时，求灯泡悬挂点D距离地面的高度；

(2)在图2所示的状态下，将支杆BC绕点B顺时针旋转50°，同时调节CD的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点D到地面的距离为160cm，求CD的长．（结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

典例7（2022•盐城）

7．2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，m，m，m，．机械臂端点到工作台的距离m．

(1)求、两点之间的距离；

(2)求长．

（结果精确到0.1m，参考数据：，，，）

类型六 “触礁甄别”类型试题

（2021春•海门市期中）

8．如图，海中有一小岛P，在以P为圆心、半径为16nmile的圆形海域内有暗礁、一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°的方向上，且A、P之间的距离为32nmile．若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明．如果有危险，轮船自A处开始沿南偏东至多多少度方向航行才能安全通过这一海域？

第二部分专题提优训练

（2022秋•宽城区校级期末）

9．如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，垂直地面，垂足为点D，，垂足为点C．设，下列关系式正确的是（    ）

A． B． C． D．

（2022秋•包头期末）

10．如图，坡角为的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树，当太阳光线与水平线成角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影长为m，则大树的高为______．（请用含m，的式子表示）

（2022•湖北）

11．如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物点处测得乙建筑物点的俯角为，点的俯角为，为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度为，则甲建筑物的高度为________．（，，，结果保留整数）．

（2022•连云港）

12．我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔——阿育王塔，是苏北地区现存最高和最古老的宝塔．小明与小亮要测量阿育王塔的高度，如图所示，小明在点处测得阿育王塔最高点的仰角，再沿正对阿育王塔方向前进至处测得最高点的仰角，；小亮在点处竖立标杆，小亮的所在位置点、标杆顶、最高点在一条直线上，，．（注：结果精确到，参考数据：，，）

(1)求阿育王塔的高度；

(2)求小亮与阿育王塔之间的距离．

（2021•徐州）

13．如图，斜坡的坡角，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点，过其另一端安装支架，所在的直线垂直于水平线，垂足为点为与的交点．已知，前排光伏板的坡角．

(1)求的长（结果取整数）；

(2)冬至日正午，经过点的太阳光线与所成的角．后排光伏板的前端在上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则的最小值为多少（结果取整数）？参考数据：

参考答案：

1．

【分析】过M点作ME⊥MN交CD于E点，证明四边形ABCM为矩形得到CM=AB=8，∠NMC=180°-∠BNM=62°，利用物理学入射光线与反射光线之间的关系得到∠EMD=∠EMC，且∠CME=90°-∠CMN=28°，进而求出∠CMD=56°，最后在Rt△CMD中由tan∠CMD即可求解．

【详解】解：过M点作ME⊥MN交CD于E点，如下图所示：

∵C点在M点正下方，

∴CM⊥CD，即∠MCD=90°，

∵房顶AM与水平地面平行，AB为墙面，

∴四边形AMCB为矩形，

∴MC=AB=8m，AB∥CM，

∴∠NMC=180°-∠BNM=180°-118°=62°，

∵地面上的点D经过平面镜MN反射后落在点C，结合物理学知识可知：

∴∠NME=90°，

∴∠EMD=∠EMC=90°-∠NMC=90°-62°=28°，

∴∠CMD=56°，

在Rt△CMD中，，代入数据：，

∴，

即水平地面上最远处D到小强的距离CD是．

【点睛】本题借助平面镜入射光线与反射光线相关的物理学知识考查了解直角三角形，解题的关键是读懂题意，利用数形结合的思想解答．

2．m

【分析】过点B作BC⊥OA于C，先在Rt△OBC中求出BC，OC，再求出AC，然后在Rt△ABC中求出AB即可解决问题．

【详解】解：过点B作BC⊥OA于C，如图．

在Rt△OBC中，∠OCB＝90°，∠BOC＝37°，BO＝2，

∴BC＝OB•sin∠BOC＝2，

OC＝OB•cos∠BOC＝2，

∴AC＝OA﹣OC＝2.4，

在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，

∴AB．

故液压臂AB的长为m．

【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．

3．乙船每小时航行海里

【分析】根据甲船的速度和行驶时间求出，可得是等边三角形，作于，根据题意求出，，根据正弦的定义求出，计算即可．

【详解】解：∵甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，航行分钟到达，

∴（海里），

∵（海里），

∴，又，

∴是等边三角形；

如图，过点作于，

根据题意可知：，，

∴．

∵是等边三角形，

∴，

∴（海里），

∴．

在中，（海里），，，

∴（海里），

∴（海里），

∴乙船每小时航行（海里）．

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题、等边三角形的判定，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

4．          ##

【分析】设点C在P点正东方且在AB上，解Rt△PAC可得AC，PC，解Rt△PCB可得BC，BP，便可解答；

【详解】解：如图，设点C在P点正东方且在AB上，

Rt△PAC中，PA=50海里，∠APC=90°-60°=30°，则AC=25海里，

PC=PA•cos∠APC=50×=海里，

Rt△PCB中，∠BPC=90°-45°=45°，则∠B=45°，

BC=PC=海里，

PB=PC÷cos∠BPC=÷=海里，

∴AB=AC+BC=（海里），

故答案为：，；

【点睛】本题考查了方位角，解直角三角形的实际应用，掌握余弦三角函数的计算方法是解题关键．

5．(1)35米

(2)65米

【分析】（1）在中利用直角三角形的边角间关系直接求出；

（2）过点B作，过点A作，构造矩形和直角三角形．先说明是等腰直角三角形，再利用等腰三角形的性质得到、间关系，在中，利用直角三角形的边角间关系求出、，再利用线段的和差关系求出，最后在中利用勾股定理求出．

【详解】（1）解：在中，

∵，米，，

∴（米）．

答：的长约是35米；

（2）解：如图，过点B作，垂足为点E，过点A作，垂足为点F．

∵，

∴四边形是矩形．

∴米，．

∵，，

∴是等腰直角三角形．

设米，则米，米，

在中，

∵，，

∴，即，

∴，

∴米，

∴（米）．

在中，

（米）．

答：A、B两点之间的距离约是65米．

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角间关系、等腰三角形的性质和判定、矩形的性质和判定及勾股定理是解决本题的关键．

6．(1)133cm

(2)42cm

【分析】（1）过D作于E，在中，根据，得出CE，即可得出答案；

（2）过D作于E，过C作于F，过B作于G，在中，根据，得出cm，从而求出EF=139.2cm，得出cm，最后在中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出最后结果即可．

【详解】（1）解：过D作于E，如图所示：

∵在中，，，

，

∴cm，

∴（cm）

答：灯泡悬挂点D距离地面的高度133cm．

（2）过D作于E，过C作于F，过B作于G，如图所示：

由题，，，

在中，，

解得：cm，

∴（cm），

∴（cm），

∵在中，，

∴（cm），

答：CD的长约为42cm．

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，直角三角形的性质，熟练掌握三角函数的定义，是解题的关键．

7．(1)6.7m

(2)4.5m

【分析】（1）连接，过点作，交的延长线于，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．

（2）过点作，垂足为，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．

【详解】（1）解：如图2，连接，过点作，交的延长线于．

在中，，

，所以，

，所以，

在中，m，m，

根据勾股定理得m，

答：、两点之间的距离约6.7m．

（2）如图2，过点作，垂足为，

则四边形为矩形，m，，

所以m，

在中，m，m，

根据勾股定理得m．

m．

答：的长为4.5m．

【点睛】求角的三角画数值或者求线段的长时，我们经常通过观察图形将所求的角成者线段转化到直角三角形中（如果没有直角三角形，设法构造直角三角形），再利用锐角三角画数求解

8．有危险，60度

【分析】过点P作PB⊥AE，垂足为B，求出PB的长和16比较即可，作以点P为圆心，nmile为半径的⊙P，过点A作⊙P的切线AQ，切点为Q，连接PQ，利用特殊角的三角函数值可求．

【详解】解：过点P作PB⊥AE，垂足为B，

由题意得：∠PAB＝30°，

在Rt△PBA中∠PBA＝90°，AP＝32，

∴PB＝＝16，     

∵16＜，

∴轮船继续向正东方向航行，轮船有触礁危险．

作以点P为圆心，nmile为半径的⊙P，

过点A作⊙P的切线AQ，切点为Q，连接PQ，

∵AQ切⊙P于点Q

∴∠AQP＝90°

∵PQ＝，AP＝32

∴sin∠PAQ＝

∴∠PAQ＝60°                     

∴∠SAQ＝180°－60°－60°＝60°

∴轮船自A处开始沿南偏东至多60度方向航行才能安全通过这一海域．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，切线的性质等知识，解题关键是作出恰当辅助线，利用三角函数知识进行计算推理．

9．C

【分析】由锐角三角函数的定义即可得出结论．

【详解】解：在中，，，

∴，，，

故选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意，

故选：C．

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键．

10．

【分析】延长交水平地面于点D，过点C作于点E，设的延长线与水平地面交于点O，由题意可得，再根据锐角三角函数可求出，．又可证，即得出．

【详解】如图，延长交水平地面于点D，过点C作于点E，设的延长线与水平地面交于点O，

结合题意可知，，

∴．

∵，

∴，．

∵，

∴，

∴．

故答案为：．

【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用．利用数形结合的思想是解题关键．

11．

【分析】过点作于点，则，，，在中，，设，则，，，在中，，解得，进而可得出答案．

【详解】解：如图，过点作于点，设，

根据题意可得：，，

∴，

∴四边形是矩形，

∵从甲建筑物点处测得乙建筑物点的俯角为，点的俯角为，为两座建筑物的水平距离，乙建筑物的高度为，

∴，，，

在中，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

在中，

即，

∴

解得，

经检验是原分式方程的解且符合题意，

∴．

故答案为：．

【点睛】本题考查解直角三角形的应用一仰角俯角问题，涉及到锐角三角函数，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，分式方程等知识．熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．

12．(1)

(2)

【分析】（1）在中，由，解方程即可求解．

（2）证明，根据相似三角形的性质即可求解．

【详解】（1）在中，∵，

∴．

∵，

∴．

在中，由，

得，

解得．

经检验是方程的解

答：阿育王塔的高度约为．

（2）由题意知，

∴，

即，

∴．

经检验是方程的解

答：小亮与阿育王塔之间的距离约为．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的应用，掌握以上知识是解题的关键．

13．(1)91cm

(2)32cm

【分析】（1）在Rt△ADF中，由锐角三角函数定义求出AF的长，再在Rt△AEF中，由锐角三角函数定义求出AE的长即可；

（2）设DG交AB于M，过点A作AN⊥DG于N，由锐角三角函数定义求出DF、FG的长，得出AG的长，再由锐角三角函数定义求出AN的长，然后证△AMN为等腰直角三角形，得AM＝（cm），由EM＝AM−AE，即可得出答案．

【详解】（1）解：（1）在Rt△ADF中，，

∴

=

=

=88cm，

在Rt△AEF中，，

∴．

（2）设DG交AB一直在点M，作AN⊥GD延长线于点N，如图所示：

则，

∴，

在Rt△ADF中，，

在Rt△DFG中，，

∴（cm），

∴AG=AF+FG=88+75.8=（cm），

∵AN⊥GD，

∴∠ANG=90°，

∴，

在Rt△ANM中，，

∴，

∴，

∴的最小值为．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握锐角三角函数定义，求出AE、AM的长是解题的关键．