初中数学人教版 (五四制)八年级上册第二十一章 整式的乘法与因式分解21.1 整式的乘法完美版课件ppt

21.2 乘法公式 第2课时

21.2.1完全平方公式

一、教学目标

（一）学习目标

1.会推导完全平方公式；

2.完全平方公式结构特征；

3.会用完全平方差公式进行计算.

（二）学习重点

完全平方公式的推导和应用.

（三）学习难点

  理解完全平方公式的结构特征，灵活运用完全平方公式.

二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

（1）阅读类任务：两数和（差）的平方等于这两个数的平方和再加（减）它们积的2倍.即           

（2）模仿类任务：①          ② 

例：①原式=         

=

=10404

②原式=

=-100-100+   

=9801

【设计意图】通过数的简便运算引起学生的兴趣，同时巩固多项式乘多项式的乘法运算.

（3）探索归纳类任务：计算下列各式.

① ；           ②

③  ；

观察上面的计算结果，你发现的规律是：两数和（差）的平方等于这两个数的平方和再加（减）它们积的2倍.结论：

【设计意图】由数的运算过度到式的运算，符合学生的认知规律，体现由特殊到一般的数学思想.

（4）探究类任务：多项式（）添一项就是完全平方式，则增添项为（ ）

【设计意图】深刻理解完全平方公式的结构特征. 

2.预习自测

（1）

【知识点】完全平方公式

【解题过程】

解：×3+32

【思路点拨】两个因式都是完全相同的二项式，，具备完全平方公式的结构特征，运用完全平方公式进行计算.

【答案】

（2）

【知识点】完全平方公式

【解题过程】

解：﹒ ﹒ + =

【思路点拨】 两数差的平方：具备完全平方公式的结构特征，因此运用公式进行计算．

【答案】

（3）下列多项式乘法中，能用完全平方公式计算的是（    ）

A.      B.

C.      D.

【知识点】理解完全平方公式的结构特征

【解题过程】A C. D.都符合平方差公式的结构特征，B可以变形为完全平方公式.

【思路点拨】相乘的两个两项式，两项都互为相反数，可以变形为两数和的平方，符合完全平方公式的结构，是否符合，不能只看表面，要看实质．

【答案】B

（4）（        ） 

【知识点】完全平方公式

【思路点拨】多项式的乘法积要得到三项式，且是完全平方积的形式就对式子进行变形，逆用完全平方公式

【答案】

（二）课堂设计

1.知识回顾

（1）单项式与单项式相乘，利用乘法交换律和结合律，把它们的系数、同底数的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，一起作为积的因式.

（2）多项式与多项式相乘，就是用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

（3）两数和乘以两数差等于两数的平方差.

2.问题探究

探究一  完全平方公式的推导

●活动1  回顾旧知

问题1  前面我们学习了整式的乘法，知道了多项式与多项式相乘的法则，根据所学知识，计算下列多项式的积，你能发现什么规律？

（1）

（2）

（3） 

师生活动：学生计算，师生共同分析结果

【设计意图】承前启后，为本节内容的引入作铺垫；让学生在计算过程中进一步巩固多项式的乘法法则，体会多项式乘法与本节内容的关系，从一般到特殊；三个算式既具有代表性也具有层次性，可以为抽象概括出一般的结论奠定基础.

●    活动2  整合旧知

追问1：上述问题中相乘的两个多项式有什么共同特点？

追问2：相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有什么关系？

追问3：你能将发现的规律用式子表示出来吗？

追问4：你能对发现的规律进行推导吗？

师生活动：学生观察并独立思考，尝试着进行概括，发现相乘的两个多项式均为相同的两数和（差）的形式，即两数和（差）的平方，积恰好是两数的平方和再加上（减去）两数乘积的2倍.用一般化的式子可以表示为，运用多项式的乘法法则便可以推导这公式.

【设计意图】让学生经历具体---抽象的过程，体会研究数学问题从具体到抽象的思想方法，体会从特殊到一般的数学思想.

探究二  理解完全平方公式   ★▲

●    活动1  理解完全平方公式

前面我们研究的式子称为完全平方公式，你能将完全平方公式用文字语言表述吗？

师生活动：学生回答问题，相互补充

【设计意图】让学生将符号语言转化成文字语言，发展学生的数学语言表达能力；学生在用文字语言表述公式内容时，可以加深对公式结构特征的理解.

●活动2  完全平方公式代数说理和几何验证

问题2  你能验证上面你猜想的结论吗？

方法一：计算

方法二：请从一个边长为a的正方形纸板上剪下一个边长为b的小正方形，如图所示，你能根据图中的面积说明你猜想的结论成立吗？

师生活动：教师提出问题，学生独立思考，然后小组交流，学生代表展示求解过程，师引导学生回答分解问题.

【设计意图】重视公式的几何背景，可以帮助学生运用几何直观理解、解决有关代数问题.从而让学生体会数形结合的思想.

探究三  完全平方公式的应用

例1   下列各式中，不可以用完全平方公式计算的是（    ）

A.     B.     

C.    D.

【知识点】平方差公式

【解题过程】A C都是一个数与它的相反数的乘积，能通过变形运用完全平方公式，D两个相同也能用完全平方公式，B有相同项有相反项不符合完全平方公式的结构特征.

【思路点拨】完全平方公式的特征，学生巩固法则，充分发挥学生主体性.

【答案】B

针对练习

下列各式相乘①②③④⑤ 不能用完全平方公式计算的有(    )

A. 3个          B. 4个          C. 5个         D. 6个

【知识点】完全平方公式的应用

【解题过程】①两个多项式两项都互为相反数，可以变形为完全相同项，符合完全平方公式的结构特征②③④⑤中既有相同项，也有互为相反数的项，不符合完全平方的结构特征，因此选B

【思路点拨】完全平方差公式的特点：两个因式完全相同，或者变形后完全相同.

【答案】B

例2  (1)(3x＋2 )2   (2) (x+2y)2

思考：你知道运用完全平方公式要做到哪几步吗？公式中的a和b分别是什么？

师生活动：师生共同分析解答，教师板书（1），学生板书（2），在解答（1）的过程中，教师要引导学生明确本题中哪一个数或式子相当于公式中的a,b,然后依照公式，写出完全平方后的积，再化简得出结果

【知识点】完全平方公式

【解题过程】解：(1) (3x＋2 )2 =

（2）(x+2y) 2=或者(x+2y) 2 =

【思路点拨】先观察式子，是否符合完全平方的结构特征，然后运用公式进行计算，注意乘积2倍的符号

【答案】见解题过程

【设计意图】及时应用巩固新知识点

针对练习  (b+2a)2

【知识点】完全平方公式

【解题过程】解：(b+2a)2 = =

【思路点拨】先观察式子，是否符合完全平方的结构特征，需要用加法交换律对式子进行变形，然后运用完全平方公式计算

【答案】

例3 （1） （2） 

【知识点】完全平方公式

【解题过程】解：（1）原式= =×200×1=40401

（2）原式= = = =

【思路点拨】辨析式子的结构特点，合理运用平方差公式和完全平方公式

【答案】见解题过程

【设计意图】及时应用巩固新知识点，同时引出公式的广泛性,揭示数学的转化思想.

针对练习（1） （2）    

【知识点】完全平方公式

【解题过程】（1）==×100×2=9604   

（2）= =

= 

【思路点拨】辨析式子的特点，合理进行变形，运用完全平方公式进行计算.

【答案】见解题过程

【设计意图】让学生熟练公式，感受整体意识.

例4  身边的数学

学校游泳池准备在暑期进行扩建，游泳池平面图原来是一个边长为20米的正方形，现在计划每边边长增加12米，请你算一算，扩修后的游泳池平面图的面积是多少平方米？

【知识点】完全平方公式，

【解题过程】==×30×2=1024m2

【思路点拨】辨析式子的特点，合理进行变形，利用完全平方公式计算.

【答案】扩修后的游泳池平面图的面积是1024平方米.

【设计意图】让学生在问题情境中探究，提高学习兴趣，增强合作意识，体会成功的喜悦.并且感知数学来源于生活，也服务于生活.

3.课堂总结 

知识梳理

（1）理解完全平方公式推导过程，理解完全平方公式的代数表示和几何意义,完全平方公式:两数和（差）的平方等于两数的平方和加上（减去）两数乘积的2倍.符号语言表示为：

（2）完全平方公式结构特征:左边是二项式和的平方，右边是二项式平方的和加上或减去积的二倍.

（3）会用完全平方差公式进行计算.

重难点归纳

（1）完全平方公式的推导和应用.

（2）理解完全平方公式的结构特征;

（3）灵活运用完全平方公式.注意事项：①公式中的a、b既可以代表数，也可以代表式；②要符合公式的结构特征才能运用完全平方公式；③有些多项式的乘法表面上不能运用公式，但经过变形后能运用公式.变形方法：一变符号，二变项数，三变顺序.

（三）课后作业

基础型 自主突破

1. 在下列多项式的乘法中，能用完全平方公式计算的是（    ）

 A.(2a+b)(2a－b)           B. (2a+b) (b－2a)

 C.(2a+b)(-2a－b)          D. (2a－b)(-2a－b)

【知识点】辨析平方差公式的结构特征

【解题过程】ABD的两个因式中都有相同项和互为相反数的项，不符合公式特征，而C只有相反项，但可以经过变形变成相同项，因此选C．

【思路点拨】完全平方公式的结构特征是完全相同的两项式或者互为相反数的两项式

【答案】C

2. 下列运算正确的是（     ）

A．（x+2）(x－2)=x2－2      B.(x+3y)=

C．(x+y)2=x2+y2              D.(3a－2)(3a－2)=4+9a2

【知识点】平方差公式，完全平方公式

【解题过程】A符合平方差公式的结构特征，但是积应该是两数的平方差，2没有平方 B符合完全平方公式结构特征，正确，C是（x+y) 一个整体的平方，D式子符合平方差公式特征，但积不是两数的平方差，因此选B．

【思路点拨】平方差公式是两数和乘以两数差等于两数的平方差，而完全平方是两数和或差的平方等于两数的平方和加或减两数乘积的两倍.

【答案】B

3.（2x+   ）=    +    +

【知识点】完全平方公式

【解题过程】∵=(±3y)2

∵

∴【答案】 ±3y，，±

【思路点拨】两数和的平方要得到三项式，直接运用完全平方公式

【答案】 ±3y，，±

4.下列各式计算结果是 的是（    ）

A．             B.

C．            D.  

【知识点】完全平方公式

【解题过程】= 

【思路点拨】观察式子的特征，灵活运用平方差公式.

【答案】C

5. 若(    )

【知识点】完全平方公式

【解题过程】∵ = ，

∴(-4xy)

【思路点拨】运用和的平方与差的平方进行计算.

【答案】-4xy

6.将面积为 的正方形边长均增加2，则正方形的面积增加（    ）

A．4            B. 2a+4       C．        D.   

【知识点】完全平方公式

【解题过程】 = 

【思路点拨】观察式子的结构特点，变形成完全平方公式的基本模型，运用公式计算即可.

【答案】C

能力型 师生共研

7.计算： 已知是完全平方式，则 m的值为（    ）

A．2           B.         C．-6           D.   

【知识点】完全平方公式

【数学思想】方程思想，分类思想

【解题过程】 ∵， ∴·x ·2x·6∴ 

【思路点拨】观察式子的结构特点，变形成完全平方公式的基本模型，运用公式计算即可

【答案】D 

8. 计算：(m+n+p)(m+np)=

【知识点】平方差公式，完全平方公式

【解题过程】(m+n+p)(m+n-p)=（m+n）2- p2= - p2

【思路点拨】相同项是（m+n），相反项是p,因此把（m+n）看成公式里的a,p看成公式里的b.=

【答案】 - p2

探究型 多维突破

9.如果多项式 ，则 的最小值是（    ）

A．2011        B.2012        C．2013       D.2014  

【知识点】完全平方公式，平方的非负性

【解题过程】=

 =

∵≥0， ≥0，

∴的最小值为2012.

【思路点拨】观察式子的特征，平方的非负性，灵活运用完全平方公式

【答案】B

10. 若实数x.y.z满足 则下列式子一定成立的是（    ）

A．               B.      

 C．             D.  

【知识点】平方差公式

【数学思想】方程思想

【解题过程】本题主要考查整式的运算.

根据完全平方公式和多项式的乘法法则可得：可化为- ，

即 =0，把 看作一个整体可得： ，

所以 ．

故本题正确答案为D．

【思路点拨】完全平方公式的逆用

【答案】D

自助餐

1.下列二次三项式是完全平方式的是（    ）

A．                B.    

C.               D.

【知识点】辨析完全平方公式的结构特征

【解题过程】AC的两个平方项不同号，不符合公式特征，而D没有乘积的2倍，因此选B．

【思路点拨】完全平方公式的结构特征：平方项同号；中间项乘积的2倍

【答案】B

2. 用完全平方式计算79.8的最佳选择是 （     ）

A..       B.        C.         D. 

【知识点】完全平方公式

【思路点拨】最接近于数的整十，整百

【解题过程】79.8=

【答案】A

3.若=,则a、b的值为（    ）

A.         B.   

  C.       D.

【知识点】完全平方公式的结构特征

【思路点拨】因为一次项系数为-8，所以ab异号，又因为b为正数.

【解题过程】

【答案】D

4. 已知 则  的值为（    ）

【知识点】完全平方公式

【解题过程】∵

∴ ×3=14

∴= =14

【思路点拨】由完全平方公式的展开式得出关系，然后整体代入．

【答案】14

5.已知 ，且 ，求 的值

【知识点】完全平方和与完全平方差的转化

【数学思想】转化思想,方程思想

【解题过程】 ∵ 又∵ ∴25+2ab=7

∴2ab=24∴ ∴ ∴ ∵ ∴

【答案】1

6.设实数a,b,c满足a+b+c=0，，求的值．

【知识点】完全平方公式的熟练运用

【解题过程】 ∵

 ∴

则 ，则=-2

∵

∴ 2×()=1

【思路点拨】观察式子，构建完全平方公式的结构．

【答案】1