2022年广东省深圳市光明区中考数学二模试卷

这是一份2022年广东省深圳市光明区中考数学二模试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年广东省深圳市光明区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）﹣2022的相反数是（　　）．
A． B． C．﹣2022 D．2022
2．（3分）第七次人口普查结果显示，光明区常住人口达到109万，成为深圳市最具人口活力的区域之一，其中109万用科学记数法表示为（　　）
A．1.09×102 B．1.09×106 C．10.9×102 D．10.9×105
3．（3分）观察下列图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列运算中，正确的是（　　）
A．a8÷a2＝a4 B．（a3）4＝a12 C．（﹣3a）2＝a6 D．3a2•a3＝3a6
5．（3分）学校课后延时服务项目为同学们提供了丰富多彩的课程，欢欢从国际象棋、玩转发明、美术欣赏、艺术体操四个社团中任选一个参加，则恰好选到艺术体操社团的概率为（　　）
A．1 B． C． D．
6．（3分）下列命题中，是真命题的是（　　）
A．三角形的外心是三角形三个内角的角平分线的交点
B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是矩形
D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
7．（3分）如图，在△AOB中，∠B＝30°，将△AOB绕点O逆时针旋转55°得到△MON，MN与OB交于点G，则∠BGN的度数为（　　）

A．55° B．75° C．85° D．95°
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，⊙O是△ABC的内切圆，半径为2，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．30﹣4π B．304π C．60﹣16π D．3016π
9．（3分）在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点O，则∠AOD的正弦值为（　　）

A． B． C． D．
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（m，0），B（n，0）两点，已知m+n＝4，且﹣4≤m≤﹣2．图象与y轴的正半轴交点在（0，3）与（0，4）之间（含端点）．给出以下结论：①6≤n≤8；②对称轴是直线x＝2；③当a时，抛物线的开口最大；④二次函数的最大值可取到6．其中正确结论的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：4a2﹣16＝　 　．
12．（3分）一组数据：5，6，5，3，7的中位数是 　 　．
13．（3分）估算在日常生活和数学学习中有着广泛的应用，例如估算数：容易发现，即12．于是的整数部分是1，小数部分是1．现记的整数部分是a，小数部分是b，计算（a﹣b）（b+9）的结果为 　 　．
14．（3分）如图，一次函数y＝x+k（k＞0）的图象与x轴和y轴分别交于点M，N，与反比例函数y的图象在第一象限内交于点B，过点B作BA⊥x轴，BC⊥y轴．垂足分别为点A，C．当矩形OABC与△OMN的面积相等时，点B的坐标为 　 　．

15．（3分）如图，在矩形ABCD中，E为AD上的一点，且BE＝BC＝10，作∠EBC的平分线交CD于点G，CG＝5，F为BC上的一点，H为CG上的一点，且EF⊥BH，给出以下结论，其中正确的结论有 　 　．（将你认为正确结论的序号都填上）
①GE＝GC；
②△ABE的面积为24；
③EF：BH＝3：4；
④连接FH，则FH的最小值为．

三、解答题（本题共7小题，共55分）
16．（5分）计算：（π﹣3）0cos45°﹣|﹣3|+（）﹣2．
17．（6分）先化简，再求值：（1），其中﹣2＜x＜2且x为整数．
18．（8分）4月23日是世界读书日，某学校为增进同学们对中国古诗词的热爱，举行“春季校园飞花令”专场比赛．在预选赛后，学校对参赛同学获奖情况进行统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合图中相关数据解答下列问题：
（1）请将条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，“三等奖”所对应的扇形圆心角的度数为 　 　；
（3）若获得一等奖的同学中有来自七年级，来自九年级，其余的来自八年级，学校决定从获得一等奖的同学中任选两名同学参加全市诗词大会比赛，请通过列表或树状图方法求所选两名同学中，恰好都来自九年级的概率．

19．（8分）如图，AB是⊙O的直径，N是⊙O上一点，M是的中点，连接AN，BM，交于点D．连接NM，OM，延长OM至点C，并使∠CAN＝2∠N．AN与OC交于点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若DM＝10，tanN，求⊙O的半径．

20．（8分）九（1）班同学在社会实践调研活动中发现，某服装店销售A，B两种款式的衬衫，进价和售价如表所示：
项目
进价（元/件）
售价（元/件）
A
100
120
B
150
200
已知该服装店购进A，B两种款式的衬衫共花费6000元，销售完成后共获得利润1600元．
（1）服装店购进A，B两种款式的衬衫各多少件？
（2）若服装店再次购进A，B两种款式的衬衫共30件，其中B款式的数量不多于A款式数量的2倍，且两种衬衫总利润不低于1140元．问共有几种购进方案？请写出利润最大的购进方案．
21．（10分）【问题提出】如图（1），每一个图形中的小圆圈都按一定的规律排列，设每条边上的小圆圈个数为a，每个图形中小圆圈的总数为S．
请观察思考并完成以下表格的填写：
a
1
2
3
4
5
…
8
…
S
1
3
6
　 　
　 　
…
　 　
…
【变式探究】请运用你在图（1）中获得的经验，结合图（2）中小圆圈的排列规律，写出第n个图形的小圆圈总数S与n之间的关系式 　 　．
【应用拓展】生物学家在研究时发现，某种细胞的分裂规律可用图（3）的模型来描述，请写出经过n轮分裂后细胞总数W与n的关系式．并计算经过若干轮分裂后，细胞总数能否达到1261个，若能，求出n的值；若不能，说明理由．

22．（10分）如图（1），在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AC＝8，BC＝6，点M、N分别在线段AC、BC上，将△ABC沿直线MN翻折，点C的对应点是C′．
（1）当M、N分别是所在边的中点时，求线段CC′的长度；
（2）若CN＝2，求点C′到线段AB的最短距离；
（3）如图（2），当点C′落在边AB上时，
①四边形CMC′N能否成为正方形？若能，求出CM的值；若不能，说明理由．
②请直接写出点C′运动的路程长度．



2022年广东省深圳市光明区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）﹣2022的相反数是（　　）．
A． B． C．﹣2022 D．2022
【分析】根据相反数的定义直接求解．
【解答】解：﹣2022的相反数是2022，
故选：D．
【点评】本题主要考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解答此题的关键．
2．（3分）第七次人口普查结果显示，光明区常住人口达到109万，成为深圳市最具人口活力的区域之一，其中109万用科学记数法表示为（　　）
A．1.09×102 B．1.09×106 C．10.9×102 D．10.9×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将109万用科学记数法表示为：1.09×106．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）观察下列图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
4．（3分）下列运算中，正确的是（　　）
A．a8÷a2＝a4 B．（a3）4＝a12 C．（﹣3a）2＝a6 D．3a2•a3＝3a6
【分析】根据同底数幂的除法判断A选项；根据幂的乘方判断B选项；根据积的乘方判断C选项；根据单项式乘单项式判断D选项．
【解答】解：A选项，原式＝a6，故该选项不符合题意；
B选项，原式＝a12，故该选项符合题意；
C选项，原式＝9a2，故该选项不符合题意；
D选项，原式＝3a5，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，掌握（am）n＝amn是解题的关键．
5．（3分）学校课后延时服务项目为同学们提供了丰富多彩的课程，欢欢从国际象棋、玩转发明、美术欣赏、艺术体操四个社团中任选一个参加，则恰好选到艺术体操社团的概率为（　　）
A．1 B． C． D．
【分析】利用概率公式求解即可．
【解答】解：共四个社团，
所以选择到艺术体操社团的概率为，
故选D．
【点评】本题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．
6．（3分）下列命题中，是真命题的是（　　）
A．三角形的外心是三角形三个内角的角平分线的交点
B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是矩形
D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
【分析】利用三角形的外心的定义、平行的判定、矩形的判定方法及平行四边形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、三角形的外心是三角形的三边的垂直平分线的交点，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、连接对角线相等的四边形的各边中点所得四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形的外心的定义、平行的判定、矩形的判定方法及平行四边形的判定方法，难度不大．
7．（3分）如图，在△AOB中，∠B＝30°，将△AOB绕点O逆时针旋转55°得到△MON，MN与OB交于点G，则∠BGN的度数为（　　）

A．55° B．75° C．85° D．95°
【分析】根据旋转的性质和三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵将△AOB绕点O逆时针旋转55°得到△MON，
∴∠N＝∠B＝30°，∠BON＝55°，
∴∠BGN＝∠BON+∠N＝30°+55°＝85°，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，三角形外角的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，⊙O是△ABC的内切圆，半径为2，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．30﹣4π B．304π C．60﹣16π D．3016π
【分析】先由切线长定理及勾股定理计算出三角形的另外两边长，再根据图中阴影部分面积＝△ABC的面积﹣⊙O的面积计算即可．
【解答】解：如图，记三个切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，

则∠ODC＝∠OEC＝∠OFA＝90°，OD＝OE＝OF＝2，
∴四边形ODCE是正方形，
∴CE＝CD＝2，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴AE＝AF＝5﹣2＝3，BD＝BF，
设BD＝BF＝x，则BC＝x+2，AB＝x+3，
在Rt△ABC中，52+（x+2）2＝（x+3）2，
∴x＝10，
∴BC＝12，
∴S阴影＝S△ABC﹣S⊙O30﹣4π．
故选：A．
【点评】本题考查切线长定理及勾股定理，解题关键是熟练应用切线长定理．
9．（3分）在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点O，则∠AOD的正弦值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】过点C作CE∥AB，过点E作EF⊥CD于点F，则∠AOD＝∠DCE，∠EFC＝90°，先由图计算出CD、CE、△CDE的面积，再根据面积相等得到EF长，进而根据锐角三角函数计算出sin∠DCE＝sin∠AOD．
【解答】解：如图，过点C作CE∥AB，则∠AOD＝∠DCE，
过点E作EF⊥CD于点F，则∠EFC＝90°，

由图可得：CD，CE，4，
∵，即4，
∴EF，
在Rt△CEF中，sin∠DCE，
∴sin∠AOD．
故选：D．
【点评】本题主要考查解直角三角形，解题关键是利用面积相等计算出EF和利用平行将∠AOD转化．
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（m，0），B（n，0）两点，已知m+n＝4，且﹣4≤m≤﹣2．图象与y轴的正半轴交点在（0，3）与（0，4）之间（含端点）．给出以下结论：①6≤n≤8；②对称轴是直线x＝2；③当a时，抛物线的开口最大；④二次函数的最大值可取到6．其中正确结论的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】先根据m+n＝4可得n＝4﹣m，再根据﹣4≤m≤﹣2即可判断①；根据二次函数的对称轴是直线x即可判断②；先求出的取值范围，再根据二次函数的图象与y轴的交点位置可得c的取值范围，从而可得出的取值范围，然后根据二次函数与一元二次方程的联系、一元二次方程的根与系数的关系可得mn，从而可得a的取值范围，最后根据抛物线的开口大小与a的值的关系即可判断③；先求出当x＝2时，二次函数取得最大值，最大值为﹣4a+c，再根据a，c的取值范围求出﹣4a+c的取值范围，由此即可判断④．
【解答】解：由m+n＝4得：n＝4﹣m，
∴﹣4≤m≤﹣2，
∴2≤﹣m≤4，
∴6≤4﹣m≤8，
∴6≤n≤8，
∴结论①正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（m，0），B（n，0）两点，且m+n＝4，
∴此二次函数的对称轴是直线x2，
∴结论②正确；
∵2≤﹣m≤4，6≤n≤8，
∴12≤﹣mn≤32，
∴，
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴的正半轴交点在（0，3）与（0，4）之间（含端点）．
∴3≤c≤4，
∴，
∴，
又∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（m，0），B（n，0）两点，
∴m，n是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，
∴mn，
∴a，
∴a，
由二次函数图象的开口向下得：a＜0，
则a的值越大，抛物线的开口越大，
所以当a时，抛物线的开口最小；当a时，抛物线的开口最大，
故结论③正确；
∵此二次函数的对称轴是直线x＝2，
∴当x＝2时，y＝4a+2b+c为最大值，且2，
∴最大值4a+2b+c＝4a﹣8a+c＝﹣4a+c，
由a得：4a，
又∵3≤c≤4，
∴34a+c≤5，
则二次函数的最大值﹣4a+c不可取到6，
∴结论④错误；
综上，正确结论的个数为3个，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系、一元二次方程的根与系数的关系等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：4a2﹣16＝　4（a+2）（a﹣2）　．
【分析】首先提取公因式4，进而利用平方差公式进行分解即可．
【解答】解：4a2﹣16＝4（a2﹣4）＝4（a+2）（a﹣2）．
故答案为：4（a+2）（a﹣2）．
【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握公式形式是解题关键．
12．（3分）一组数据：5，6，5，3，7的中位数是 　5　．
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．
【解答】解：把这些数据从小到大排列为3、5、5、6、7，排在最中间的数是5，
故中位数是5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了确定一组数据的中位数的能力．将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数，则找中间两位数的平均数．
13．（3分）估算在日常生活和数学学习中有着广泛的应用，例如估算数：容易发现，即12．于是的整数部分是1，小数部分是1．现记的整数部分是a，小数部分是b，计算（a﹣b）（b+9）的结果为 　21　．
【分析】先估算出的值，从而求出a，b的值，然后代入式子中，利用平方差公式进行计算即可解答．
【解答】解：∵9＜15＜16，
∴34，
∴的整数部分是3，小数部分是3，
∴a＝3，b3，
∴（a﹣b）（b+9）
＝（33）（3+9）
＝（6）（6）
＝36﹣15
＝21，
故答案为：21．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
14．（3分）如图，一次函数y＝x+k（k＞0）的图象与x轴和y轴分别交于点M，N，与反比例函数y的图象在第一象限内交于点B，过点B作BA⊥x轴，BC⊥y轴．垂足分别为点A，C．当矩形OABC与△OMN的面积相等时，点B的坐标为 　（﹣1，1）　．

【分析】先求S△MONk2，再求矩形OABC的面积是：k，根据矩形OABC与△OMN的面积相等，列等式，解出k，表示出一次函数、反比例函数的解析式，再求交点坐标即可．
【解答】解：令x＝0，y＝k，y＝0，x＝﹣k，
∴OM＝ON＝k，
∴S△MONk2，
∵矩形OABC的面积是：k，
∴kk2，
∴k＝0（舍去）或k＝2，
∴y＝x+2，
∵一次函数与反比例函数的图象在第一象限内交于点B，
∴x+2，
解得x1＝﹣1，x2＝﹣1（舍去），
把x1＝﹣1代入y＝x+2，
得y＝1，
∴B（﹣1，1）；
故答案为：（﹣1，1）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，掌握求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解是解题关键．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，E为AD上的一点，且BE＝BC＝10，作∠EBC的平分线交CD于点G，CG＝5，F为BC上的一点，H为CG上的一点，且EF⊥BH，给出以下结论，其中正确的结论有 　①②④　．（将你认为正确结论的序号都填上）
①GE＝GC；
②△ABE的面积为24；
③EF：BH＝3：4；
④连接FH，则FH的最小值为．

【分析】利用角平分线的定义及三角形全等的判定可判断①；再通过矩形的性质及相似三角形的性质判断②；利用平行四边形的判定与性质及相似三角形的性质可判断③；建立平面直角坐标系，分别表示出各点的坐标，根据两点间距离公式及二次函数的最值可判断④．
【解答】解：∵BG平分∠EBC，
∴∠EBG＝∠CBG，
在△EBG和△CBG中，
，
∴△EBG≌△CBG（SAS），
∴GE＝GC，故①正确；
∴∠BEG＝∠C，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°＝∠A＝∠D，AD＝BC＝10，AB＝CD，
∴∠BEG＝90°＝∠AEB+∠DEG，∠AEB+∠ABE＝90°，
∴△ABE∽△DEG，
∴，
∵BE＝10，CG＝EG＝5，
设DE＝x，
∴，
∴AB＝2x，DG，
∴DG＝CD﹣CG＝2x﹣5，
∴AB＝8，AE＝6，
∴S△ABE24，故②正确；
过点A作AM∥EF，交BC于M，交NH于N，

∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴四边形AMFE为平行四边形，
∴EF＝AM，
∵EF⊥BH，
∴AM⊥BH，
∴∠ANB＝90°，
∴∠BAN+∠ABN＝90°，
∵∠ABM＝90°＝∠ABN+∠CBH，
∴∠BAM＝∠CBH，
∵∠ABM＝90°＝∠C，
∴△ABM∽△BCH，
∴，即　，故③错误；
分别以、为轴、轴建立坐标系，

∴E（6，8），B（0，0），
设F（m，0），H（0，n），
∴，
整理得10，
∵FH，
即FH，
∴FH的最小值为，故④正确，
综上正确有①②④．
故答案为：①②④．
【点评】此题考查的是角平分线的定义，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，建立平面直角坐标系，两点间距离公式及二次函数的最值问题，熟练掌握知识点是解决此题的关键．
三、解答题（本题共7小题，共55分）
16．（5分）计算：（π﹣3）0cos45°﹣|﹣3|+（）﹣2．
【分析】利用零指数幂的意义，特殊角的三角函数值，绝对值的意义和负整数指数幂的意义解答即可．
【解答】解：原式＝13+4
＝1+1﹣3+4
＝3．
【点评】本题主要考查了实数的运算，零指数幂的意义，特殊角的三角函数值，绝对值的意义和负整数指数幂的意义，正确使用上述法则进行计算是解题的关键．
17．（6分）先化简，再求值：（1），其中﹣2＜x＜2且x为整数．
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式•
•
，
由分式有意义的条件可知：x不能取±1，
当x＝0时，
原式2．
【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．
18．（8分）4月23日是世界读书日，某学校为增进同学们对中国古诗词的热爱，举行“春季校园飞花令”专场比赛．在预选赛后，学校对参赛同学获奖情况进行统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合图中相关数据解答下列问题：
（1）请将条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，“三等奖”所对应的扇形圆心角的度数为 　90°　；
（3）若获得一等奖的同学中有来自七年级，来自九年级，其余的来自八年级，学校决定从获得一等奖的同学中任选两名同学参加全市诗词大会比赛，请通过列表或树状图方法求所选两名同学中，恰好都来自九年级的概率．

【分析】（1）利用鼓励奖的人数除以它所占的百分比得到的总人数，计算出一等奖和二等奖的人数，然后补全条形统计图；
（2）用360°乘以三等奖人数占被调查人数的比例即可得；
（3）画树状图（用A、B、C分别表示七年级、八年级和九年级的学生）展示所有12种等可能的结果数，再找出所选两名同学中恰好都来自九年级的结果数，然后利用概率公式求解．
【解答】解：（1）参加此次诗词大会预选赛的同学共有18÷45%＝40（人），
获二等奖的人数＝40×20%＝8，一等奖的人数为40﹣8﹣10﹣18＝4（人），
条形统计图为：



（2）扇形统计图中获三等奖的圆心角为360°90°，
故答案为：90°．

（3）由题意知，获一等奖的学生中，七年级有1人，八年级有1人，九年级有2人，
画树状图为：（用A、B、C分别表示七年级、八年级和九年级的学生）

共有12种等可能的结果数，其中所选两名同学中恰好都来自九年级的结果数为2，
所以所选两名同学中恰好都来自九年级的概率为．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果数目n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了统计图．
19．（8分）如图，AB是⊙O的直径，N是⊙O上一点，M是的中点，连接AN，BM，交于点D．连接NM，OM，延长OM至点C，并使∠CAN＝2∠N．AN与OC交于点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若DM＝10，tanN，求⊙O的半径．

【分析】（1）连接BN，根据圆周角定理得到∠ANB＝90°，求得∠ABN+∠BAN＝90°，求得AC⊥AB，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接AM，根据圆周角定理得到∠AMB＝90°，解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接BN，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ANB＝90°，
∴∠ABN+∠BAN＝90°，
∵M是的中点，
∴∠MBN＝∠ABM＝∠ANM＝∠MAN，
∴∠ABN＝2∠ANM，
∵∠CAN＝2∠ANM，
∴∠CAN＝∠ABN，
∴∠CAN+∠BAN＝90°，
∴AC⊥AB，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：连接AM，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AMB＝90°，
在RtADM中，
DM＝10，tan∠ANM＝tan∠MAE，
∴，
∴AM，
∵∠ABM＝∠ANM，
∴tan∠ABM，
∴设AM＝3k，BM＝4k，
∴AB＝5k，
∵AM3k，
∴k，
∴AB＝5k．
∴⊙O的半径为．

【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．
20．（8分）九（1）班同学在社会实践调研活动中发现，某服装店销售A，B两种款式的衬衫，进价和售价如表所示：
项目
进价（元/件）
售价（元/件）
A
100
120
B
150
200
已知该服装店购进A，B两种款式的衬衫共花费6000元，销售完成后共获得利润1600元．
（1）服装店购进A，B两种款式的衬衫各多少件？
（2）若服装店再次购进A，B两种款式的衬衫共30件，其中B款式的数量不多于A款式数量的2倍，且两种衬衫总利润不低于1140元．问共有几种购进方案？请写出利润最大的购进方案．
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的方程组，然后求解即可；
（2）根据题意，可以写出利润和购进A种款式衬衫数量的函数关系式，然后根据B款式的数量不多于A款式数量的2倍，且两种衬衫总利润不低于1140元，可以得到相应的不等式组，求出购进A种款式衬衫数量的取值范围，从而可以得到有几种购进方案，然后根据一次函数的性质，可以求得利润最大的购进方案．
【解答】解：（1）设服装店购进A种款式的衬衫a件，购进B种款式的衬衫b件，
由题意可得：，
解得，
答：服装店购进A种款式的衬衫30件，购进B种款式的衬衫20件；
（2）设服装店购进A种款式的衬衫x件，购进B种款式的衬衫（30﹣x）件，获得总利润为w元，
由题意可得：w＝（120﹣100）x+（200﹣150）（30﹣x）＝﹣30x+1500，
∴w随x的增大而减小，
∵B款式的数量不多于A款式数量的2倍，且两种衬衫总利润不低于1140元，
∴，
解得10≤x≤12，
∵x为整数，
∴x＝10，11，12，
∴共有三种方案，
∴当x＝10时，w取得最大值，此时w＝1200，30﹣x＝20，
答：共有三种购进方案，利润最大的购进方案是服装店购进A种款式的衬衫10件，购进B种款式的衬衫20件．
【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程和不等式组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
21．（10分）【问题提出】如图（1），每一个图形中的小圆圈都按一定的规律排列，设每条边上的小圆圈个数为a，每个图形中小圆圈的总数为S．
请观察思考并完成以下表格的填写：
a
1
2
3
4
5
…
8
…
S
1
3
6
　10　
　15　
…
　36　
…
【变式探究】请运用你在图（1）中获得的经验，结合图（2）中小圆圈的排列规律，写出第n个图形的小圆圈总数S与n之间的关系式 　3n（n+1）　．
【应用拓展】生物学家在研究时发现，某种细胞的分裂规律可用图（3）的模型来描述，请写出经过n轮分裂后细胞总数W与n的关系式．并计算经过若干轮分裂后，细胞总数能否达到1261个，若能，求出n的值；若不能，说明理由．

【分析】【问题提出】由表中数字可知，第n个图形中小圆圈的总数为S＝1+2+3+…+n；
【变式探究】由题意得，第n个图形的小圆圈总数S＝6+6×3+6×6+…＝3n（n+1）；
【应用拓展】由题意得，第n个图形的小圆圈总数W＝6n﹣5，再将S＝1261代入计算即可．
【解答】解：【问题提出】由表中数字可知，第n个图形中小圆圈的总数为S＝1+2+3+…+n，
当n＝4时，S10，
当n＝5时，S15，
当n＝8时，S36，
故答案为：10，15，36；
【变式探究】由题意得，第n个图形的小圆圈总数S＝6+6×（1+2）+6×（1+2+3）+…+6×（1+2+3+…n）
＝6
＝3n（n+1），
故答案为：3n（n+1）；
【应用拓展】经过若干轮分裂后，细胞总数能达到1261个，
由题意得，第n个图形的小圆圈总数W＝1+6+6×3+6×6+…
＝1+6
＝3n（n﹣1）+1，
可得3n（n﹣1）+1＝1261，
解得n＝21，或n＝﹣20（舍去），
∴经过n轮分裂后细胞总数W与n的关系式为W＝3n（n﹣1）+1，经过若干轮分裂后，细胞总数能达到1261个，此时n的值为21
【点评】此题考查了图形规律问题的解决能力，关键是能根据图形归纳、运用相关规律．
22．（10分）如图（1），在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AC＝8，BC＝6，点M、N分别在线段AC、BC上，将△ABC沿直线MN翻折，点C的对应点是C′．
（1）当M、N分别是所在边的中点时，求线段CC′的长度；
（2）若CN＝2，求点C′到线段AB的最短距离；
（3）如图（2），当点C′落在边AB上时，
①四边形CMC′N能否成为正方形？若能，求出CM的值；若不能，说明理由．
②请直接写出点C′运动的路程长度．


【分析】（1）设MN交CC′于O．证明CC′⊥AB，且点C′落在AB上，利用面积法求解即可．
（2）过点N作NH⊥AB于H．求出NH，当点C′落在线段NH上时，点C′到线段AB的距离最短，由此可得结论．
（3）①根据正方形的性质以及锐角三角函数，得出四边形CMC′N为正方形时CM的值即可；
②当点N与B重合时，BC′的值最大，最大值＝BC＝6．当点M与A重合时，BC′的值最小，最小值＝AB﹣AC′＝AB﹣AC＝2，观察图形可知，当点C′在落在边AB上时，点C′运动的路程长度＝4．
【解答】解：（1）如图，设MN交CC′于O．

∵AM＝CM，CN＝BN，
∴MN∥AB，
∵MC＝MC′，NC＝NC′，
∴MN垂直平分线段CC′，
∴CC′⊥AB，且点C′落在AB上，
在Rt△ABC中，AB10，
∵•AB•CC′•AC•BC，
∴CC′；

（2）如图，过点N作NH⊥AB于H．

∵NC＝NC′＝2，BC＝6，
∴BN＝BC﹣CN＝6﹣2＝4，
∵sin∠B，
∴，
∴NH，
∴当点C′落在线段NH上时，点C′到线段AB的距离最短，最短距离2．
故点C′到线段AB的最短距离为；

（3）①如图，

若四边形CMC′N为正方形，则MC＝CN＝C′N＝C′M，C′N⊥CB，
设MC＝CN＝C′N＝C′M＝x，
∵tan∠B，
∴，解得x，
∴CM，
∴四边形CMC′N能成为正方形，CM的值为；
②如图，当点N与B重合时，BC′的值最大，最大值＝BC＝6．

如图，当点M与A重合时，BC′的值最小，最小值＝AB﹣AC′＝AB﹣AC＝10﹣8＝2，

观察图形可知，当点C′在落在边AB上时，点C′运动的路程长度＝6﹣2＝4，
∴点C′运动的路程长度为4．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了翻折变换，解直角三角形，勾股定理，正方形的性质等知识，解题的关键是利用解直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
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