2022年广东省深圳市27校联考中考数学模拟试卷（4月份）

这是一份2022年广东省深圳市27校联考中考数学模拟试卷（4月份），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年广东省深圳市27校联考中考数学模拟试卷（4月份）
一、选择题：（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣3的绝对值是（　　）
A．3 B． C． D．﹣3
2．（3分）如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方块搭成，其左视图是（　　）

A． B． C． D．
3．（3分）在数轴上表示不等式x＞﹣1的解集正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）数据2、5、6、7、x的平均数是5，则这组数据的中位数是（　　）
A．4 B．4.5 C．5 D．6
5．（3分）将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在一起，若∠1＝30°，则∠2的度数为（　　）

A．10° B．15° C．20° D．30°
6．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．6ab﹣3a＝3b B．（﹣3a2b）2＝6a4b2
C．（a﹣1）2＝a2﹣1 D．5a2b÷b＝5a2
7．（3分）下列尺规作图，能确定AD＝BD的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，点A到点C的距离为200米，要测量河对岸B点到河岸AD的距离．小明在A点测得B在北偏东60°的方向上，在C点测得B在北偏东30°的方向上，则B点到河岸AD的距离为（　　）

A．100米 B．200米 C．米 D．100米
9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为x＝﹣1，有下列结论：①abc＞0；②a+b＜﹣c；③4a﹣2b+c＞0；④3b+2c＜0；⑤a﹣b＜m（am+b）（其中m为任意实数），其中正确结论的个数有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．（3分）如图，正方形ABCD中，E、F分别为边AD、DC上的点，且AE＝FC，过F作FH⊥BE，交AB于G，过H作HM⊥AB于M，若AB＝9，AE＝3，则下列结论中：①∠BGF＝∠CFB；②DH＝EH+FH；③，其中结论正确的是（　　）

A．只有①② B．只有①③ C．只有②③ D．①②③
二、填空题：（本大题共有5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）因式分解：3y2﹣12＝　 　．
12．（3分）关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0的一个根是3，则另一个根是 　 　．
13．（3分）如图，点A、B、C是⊙O上的三个点，∠AOB＝40°，∠B＝50°，则∠A的度数为 　 　．

14．（3分）如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠BAC＝90°，∠B＝45°，A（﹣3，0），B（0，），将△ABC沿x轴的正方向平移t个单位，B、C两点的对应点B′、C′正好落在反比例函数y（x＞0）的图象上，则k＝　 　．

15．（3分）如图，正方形ABCD中，AD＝9，点E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，连接AF，交BD于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接AM，交EF于点N，若BFBC，则线段AM的长是 　 　．

三、解答题：（本大题共有7小题，其中第16题6分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）
16．（6分）先化简，再求值（1），其中x1．
17．（6分）为了解某校某年级学生一分钟跳绳情况，对该年级全部360名学生进行一分钟跳绳次数的测试，并把测得数据分成四组，绘制成如图所示的频数表和未完成的频数分布直方图（每一组不含前一个边界值，含后一个边界值）．
某校某年级360名学生一分钟跳绳次数的频数表
组别（次）
频数
100～130
48
130～160
96
160～190
a
190～220
72
（1）求a的值；
（2）把频数分布直方图补充完整；
（3）求该年级一分钟跳绳次数在190次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比．

18．（8分）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：
（1）利用网格找出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，写出D点的坐标为 　 　；
（2）连接AD、CD，若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥底面半径为 　 　；
（3）连接BC，将线段BC绕点D旋转一周，求线段BC扫过的面积．

19．（8分）如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连接AD．已知∠CAD＝∠B．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若BC＝12，tanB，求⊙O的半径．

20．（8分）某地区以移动互联和大数据技术支持智慧课堂，实现学生的自主、个性和多元学习，全区学生逐步实现上课全部使用平板电脑．某公司根据市场需求代理甲、乙两种型号的平板，每台甲型平板比每台乙型平板进价多600元，用6万元购进甲型平板与用4.5万元购进乙型平板的数量相等．
（1）求每台甲型、乙型平板的进价各是多少元？
（2）该公司计划购进甲，乙两种型号的平板共80台进行试销，其中甲型平板为m台，购买资金不超过17.76万元，并且甲型平板不少于乙型平板的2倍，试销时甲型平板每台售价为2800元，乙型平板每台售价2400元，问该公司有几种进货方案？并求出这几种方案中，销售完后获得的利润w的最大值．
21．（9分）数学课上，有这样一道探究题．
如图，已知△ABC中，AB＝AC＝m，BC＝n，∠BAC＝α（0°＜α＜180°），点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，连接CP，将线段CP绕点P顺时针旋转α，得线段PD，连接CD、AP点E、F分别为BC、CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为β，探究的值和β的度数与m、n、α的关系．
请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：
（1）填空：
【问题发现】
小明研究了α＝60°时，如图1，求出了的值和β的度数分别为　 　，β＝　 　；
小红研究了α＝90°时，如图2，求出了的值和β的度数分别为　 　，β＝　 　；
【类比探究】
他们又共同研究了α＝120°时，如图3，也求出了的值和β的度数；
【归纳总结】
最后他们终于共同探究得出规律：　 　（用含m、n的式子表示）；β＝　 　（用含α的式子表示）．
（2）求出α＝120°时的值和β的度数．


22．（10分）如图，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣4），B（4，0）．
（1）求b，c的值；
（2）连结AB，交抛物线L的对称轴于点M．
①求点M的坐标；
②将抛物线L向左平移m（m＞0）个单位得到抛物线L1．过点M作MN∥y轴，交抛物线L1于点N．P是抛物线L1上一点，横坐标为﹣1，过点P作PE∥x轴，交抛物线L于点E，点E在抛物线L对称轴的右侧．若PE+MN，求m的值．


2022年广东省深圳市27校联考中考数学模拟试卷（4月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣3的绝对值是（　　）
A．3 B． C． D．﹣3
【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数即可求解．
【解答】解：﹣3的绝对值是3．
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值，如果用字母a表示有理数，则数a 的绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．
2．（3分）如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方块搭成，其左视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从左面看是一列2个正方形．
故选：D．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
3．（3分）在数轴上表示不等式x＞﹣1的解集正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据在数轴上表示不等式的解集的方法进行判断即可．
【解答】解：在数轴上表示不等式x＞﹣1的解集如下：

故选：A．

【点评】本题考查在数轴上表示不等式的解集，掌握在数轴上表示不等式解集的方法是正确判断的前提．
4．（3分）数据2、5、6、7、x的平均数是5，则这组数据的中位数是（　　）
A．4 B．4.5 C．5 D．6
【分析】根据平均数的计算公式先求出x的值，再根据中位数的定义即可得出答案．
【解答】解：∵数据2、5、6、7、x的平均数是5，
∴（2+5+6+7+x）÷5＝5，
解得：x＝5，
把这些数从小到大排列为：2、5、5、6、7，最中间的数是5，
∴这组数据的中位数是5；
故选：C．
【点评】此题考查了确定一组数据的中位数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据数据个数的奇偶性来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．
5．（3分）将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在一起，若∠1＝30°，则∠2的度数为（　　）

A．10° B．15° C．20° D．30°
【分析】根据平行线的性质，即可得出∠1＝∠ADC＝30°，再根据等腰直角三角形ADE中，∠ADE＝45°，即可得到∠2＝45°﹣30°＝15°．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠ADC＝30°，
又∵等腰直角三角形ADE中，∠ADE＝45°，
∴∠2＝45°﹣30°＝15°，
故选：B．

【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
6．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．6ab﹣3a＝3b B．（﹣3a2b）2＝6a4b2
C．（a﹣1）2＝a2﹣1 D．5a2b÷b＝5a2
【分析】根据同类项定义、积的乘方与幂的乘方法则，完全平方公式，单项式除以单项式法则逐项判断．
【解答】解：A、6ab与3a不是同类项，不能合并，故A错误，不符合题意；
B、（﹣3a2b）2＝9a4b2，故B错误，不符合题意；
C、（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故C错误，不符合题意；
D、5a2b÷b＝5a2，故D正确，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握同类项定义、积的乘方与幂的乘方法则，完全平方公式，单项式除以单项式法则等知识．
7．（3分）下列尺规作图，能确定AD＝BD的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】要确定AD＝BD，首先确定AB的垂直平分线即可．
【解答】解：根据作图方法可得B选项中AD＝BD，
故选：B．
【点评】此题主要考查了作图﹣基本作图，关键是掌握线段垂直平分线的作法．
8．（3分）如图，点A到点C的距离为200米，要测量河对岸B点到河岸AD的距离．小明在A点测得B在北偏东60°的方向上，在C点测得B在北偏东30°的方向上，则B点到河岸AD的距离为（　　）

A．100米 B．200米 C．米 D．100米
【分析】过点B作BE⊥AD，垂足为E，根据题意可得∠BAD＝30°，∠BCD＝60°，再利用三角形的外角可得∠ABC＝30°，从而可得AC＝BC＝200米，然后在Rt△BCE中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：过点B作BE⊥AD，垂足为E，

由题意得：
∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∠BCD＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ABC＝∠BCD﹣∠BAD＝30°，
∴∠ABC＝∠BAD＝30°，
∴AC＝BC＝200米，
在Rt△BCE中，BE＝BC•sin60°＝200100（米），
∴B点到河岸AD的距离为100米，
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为x＝﹣1，有下列结论：①abc＞0；②a+b＜﹣c；③4a﹣2b+c＞0；④3b+2c＜0；⑤a﹣b＜m（am+b）（其中m为任意实数），其中正确结论的个数有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴以及与y轴的交点即可判断①；根据x＝1时，y＜0即可判断②；根据当x＝﹣2时，y＞0，即可判断③；由2a＝b，结合当x＝1时，a+b+c＜0即可判断④；根据x＝﹣1时，函数y＝a﹣b+c的值最大，即可判断⑤．
【解答】解：∵开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线和y轴的正半轴相交，
∴c＞0，
∵对称轴为x1，
∴b＝2a＜0，
∴abc＞0，故①正确；
当x＝1时，y＜0，则a+b+c＜0，
∴a+b＜﹣c，故②正确；
由图象可知，当x＝﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，故③正确；
∵当x＝1时，a+b+c＜0，b＝2a，
∴ab，
∴b+b+c＜0，
∴3b+2c＜0，故④正确；
∵当x＝﹣1时，二次函数有最大值，
所以当m为任意实数时，有a﹣b+c≥am2+bm+c，
所以a﹣b≥m（am+b），故⑤错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换的熟练运用．
10．（3分）如图，正方形ABCD中，E、F分别为边AD、DC上的点，且AE＝FC，过F作FH⊥BE，交AB于G，过H作HM⊥AB于M，若AB＝9，AE＝3，则下列结论中：①∠BGF＝∠CFB；②DH＝EH+FH；③，其中结论正确的是（　　）

A．只有①② B．只有①③ C．只有②③ D．①②③
【分析】①根据A、G、H、E四点共圆得出∠AEB＝∠BGF，证△AEB≌△CFB，推出∠AEB＝∠CFB，即可判断①；
②延长BE到Q，使EQ＝FH，连接DQ，证△DFH≌△DEQ，推出DQ＝DH，∠QDE＝∠FDH，求出∠QDH＝∠QDE+∠EDH＝∠ADC＝90°，得出△DQH是等腰直角三角形，由勾股定理得出QHDH，即可判断②；
③连接EF，证明EPDE＝6，BE＝BF＝3，根据FH2＝EF2﹣EH2＝BF2﹣BH2，求出BH，根据 sin∠ABE，求出HM，即可得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝9，DC∥AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠C＝90°，AB＝BC，
∵FH⊥BE，
∴∠EHG＝90°，
∴∠A+∠EHG＝180°，
∴A、E、H、G四点共圆，
∴∠BGF＝∠AEB，
在△EAB和△FCB中，
，
∴△EAB≌△FCB（SAS），
∴∠CFB＝∠AEB，
∵∠BGF＝∠AEB，
∴∠BGF＝∠CFB，
∴①正确．
延长BE到Q，使EQ＝FH，连接DQ，如图：
∵DC∥AB，
∴∠FGB＝∠DFH，
∵∠FGB＝∠AEB，∠AEB＝∠DEQ，
∴∠DFH＝∠DEQ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AD＝DC，
∵CF＝AE，
∴DF＝DE，
在△DFH和△DEQ中，
，
∴△DFH≌△DEQ（SAS），
∴DQ＝DH，∠QDE＝∠FDH，
∵∠ADC＝90°，
∴∠QDH＝∠QDE+∠EDH＝∠FDH+∠EDH＝∠ADC＝90°，
即△DQH是等腰直角三角形，
由勾股定理得：QHDH，
即EH+FHDH，
∴②正确．
③连接EF，

∵AD＝CD＝9，AE＝CF＝3，
∴DE＝DF＝6，
∴EFDE＝6．
∵BF3，
∴BE＝3．
设BH＝x，则EH＝BE﹣BH＝3x，
∵FH2＝EF2﹣EH2＝BF2﹣BH2，
∴（6）2﹣（3x）2＝（3）2﹣x2．
72﹣90+6x﹣x2＝90﹣x2，
∴x，即BH．
∵HM⊥AB，
∴sin∠ABE，
∴，
∴HM．
∴．
故．
∴③正确．
正确的结论为①②③．
故选D．

【点评】本题综合考查了正方形和三角形，解决问题的关键是添加辅助线，熟练掌握正方形的边角性质，三角形全等的定方理和性质定理，勾股定理，锐角三角函数定义．
二、填空题：（本大题共有5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）因式分解：3y2﹣12＝　3（y+2）（y﹣2）　．
【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：3y2﹣12，
＝3（y2﹣4），
＝3（y+2）（y﹣2）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12．（3分）关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0的一个根是3，则另一个根是 　﹣6　．
【分析】设方程的另一个根是x1，根据两根之和等于，即可得出关于x1的一元一次方程，解之即可得出x1，此题得解．
【解答】解：设方程的另一个根是x1，
依题意得：x1+3＝﹣3，
解得：x1＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及解一元一次方程，牢记两根之和等于是解题的关键．
13．（3分）如图，点A、B、C是⊙O上的三个点，∠AOB＝40°，∠B＝50°，则∠A的度数为 　30°　．

【分析】首先根据∠B的度数求得∠BOC的度数，然后求得∠AOC的度数，从而求得等腰三角形的底角即可．
【解答】解：∵OB＝OC，∠B＝50°，
∴∠B＝∠OCB＝50°，
∴∠BOC＝180°﹣2∠B＝80°，
∵∠AOB＝40°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝80°+40°＝120°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA（180°﹣120°）＝30°，
故答案为：30°．
【点评】考查了圆周角定理及等腰三角形的性质，解题的关键是求得∠AOC的度数，难度不大．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠BAC＝90°，∠B＝45°，A（﹣3，0），B（0，），将△ABC沿x轴的正方向平移t个单位，B、C两点的对应点B′、C′正好落在反比例函数y（x＞0）的图象上，则k＝　2.1　．

【分析】过C点作CH⊥x轴，构造△CAH≌△ABO，从而确定C点坐标，根据坐标平移规律沿x轴的正方向平移t个单位可得B′（t、）、C′（﹣3+t，3），根据反比例函数性质可求出t，然后可求出k．
【解答】解：如图，过C点作CH⊥x轴，垂足为H，

∵∠BAC＝∠AOB＝∠CHA＝90°，
∴∠CAH+∠BAO＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠CAH＝∠ABO，
∵∠BAC＝90°，∠B＝45°，
∴AC＝AB，
∴△CHA≌△AOB（AAS），
∴AH＝OB，OA＝CH，
∵A（﹣3，0），B（0，），
∴AH＝OB，OA＝CH＝3，
∴C（，3），
由题意C′（t，3），B′（t，），
∵B′，C′都在反比例函数y（x＞0）的图象上，
∴（t）×3＝t，
∴t，
∴B′（，），
∴k．
故答案为：2.1．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行解题的关键是表示出B′，C′的坐标．
15．（3分）如图，正方形ABCD中，AD＝9，点E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，连接AF，交BD于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接AM，交EF于点N，若BFBC，则线段AM的长是 　　．

【分析】利用勾股定理求出AF＝3，再证明△AGD∽△FGB，得出3，进而求得FG，再根据∠ABC+∠AEF＝180°，判断出点A，B，F，E四点共圆，进而得出∠EFG＝∠ABD＝45°，由翻折得出：FG＝FM，∠EFM＝∠EFG，可得∠AFM＝90°，再运用勾股定理即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB＝BC＝AD＝9，
∴BFBC＝3，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得：
AF3，
∵AD∥BC，
∴△AGD∽△FGB，
∴，
∴3，
∴AG＝3FG，
∵AG+FG＝AF，
∴3FG+FG＝3，
∴FG，
∴AF＝4FG＝3，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABD＝45°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°＝∠ABC，
∴∠ABC+∠AEF＝180°，
∴点A，B，F，E四点共圆，
∴∠EFG＝∠ABD＝45°，
∵将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，
∴FG＝FM，∠EFM＝∠EFG，
∴FM＝FG，∠EFM＝∠EFG＝45°，
∴∠AFM＝∠EFM+∠EFG＝45°+45°＝90°，
∴AM．
故答案为：．
【点评】本题是常见的中考数学填空压轴题，有一定难度，主要考查了正方形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，四点共圆，构造出相似三角形是解本题的关键．
三、解答题：（本大题共有7小题，其中第16题6分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）
16．（6分）先化简，再求值（1），其中x1．
【分析】先算括号内的加法，再算括号外的除法，然后将x的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：（1）


，
当x1时，原式．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式加法和除法的运算法则．
17．（6分）为了解某校某年级学生一分钟跳绳情况，对该年级全部360名学生进行一分钟跳绳次数的测试，并把测得数据分成四组，绘制成如图所示的频数表和未完成的频数分布直方图（每一组不含前一个边界值，含后一个边界值）．
某校某年级360名学生一分钟跳绳次数的频数表
组别（次）
频数
100～130
48
130～160
96
160～190
a
190～220
72
（1）求a的值；
（2）把频数分布直方图补充完整；
（3）求该年级一分钟跳绳次数在190次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比．

【分析】（1）用360减去第1、2、4组的频数和即可；
（2）根据以上所求结果即可补全图形；
（3）用第4组的频数除以该年级的总人数即可得出答案．
【解答】解：（1）a＝360﹣（48+96+72）＝144；
（2）补全频数分布直方图如下：

（3）100%＝20%，
答：该年级一分钟跳绳次数在190次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比为20%．
【点评】本题考查频数（率）分布直方图，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
18．（8分）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：
（1）利用网格找出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，写出D点的坐标为 　（2，0）　；
（2）连接AD、CD，若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥底面半径为 　　；
（3）连接BC，将线段BC绕点D旋转一周，求线段BC扫过的面积．

【分析】（1）线段AB与BC的垂直平分线的交点为D；
（2）连接AC，先判断∠ADC＝90°，则可求的弧长，该弧长即为圆锥底面圆的周长，由此可求底面圆的半径；
（3）设BC的中点为E，线段BC的运动轨迹是以D为圆心DC、DE分别为半径的圆环面积．
【解答】解：（1）过点（2，0）作x轴垂线，过点（5，3）作与BC垂直的线，
两线的交点即为D点坐标，
∴D（2，0），
故答案为：（2，0）；
（2）连接AC，
∵A（0，4），B（4，4），C（6，2），
∴AD＝2，CD＝2，AC＝2，
∵AC2＝AD2+CD2，
∴∠ADC＝90°，
∴的长2π×2π，
∵扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，
∴π＝2πr，
∴r，
故答案为：；
（3）设BC的中点为E，
∴E（5，3），
∴DE＝3，
∴S＝π×（CD2﹣DE2）＝2π，
∴线段BC扫过的面积是2π．

【点评】本题考查圆锥的展开图，垂径定理，能够由三点确定圆的圆心位置，理解圆锥展开图与圆锥各部位的对应关系是解题的关键．
19．（8分）如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连接AD．已知∠CAD＝∠B．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若BC＝12，tanB，求⊙O的半径．

【分析】（1）连接OD，由OD＝OB，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到∠1＝∠3，求出∠4为90°，即可得证；
（2）设圆的半径为r，利用锐角三角函数定义求出AB的长，再利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠3＝∠B，
∵∠B＝∠1，
∴∠1＝∠3，
在Rt△ACD中，∠1+∠2＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠4＝180°﹣（∠2+∠3）＝90°，
∴OD⊥AD，
∵OD是⊙O的半径，
∴AD为圆O的切线；

（2）解：设圆O的半径为r，
在Rt△ABC中，AC＝BC•tanB＝4，
根据勾股定理得：AB4，
∴OA＝4r，
在Rt△ACD中，tan∠1＝tanB，
∴CD＝AC•tan∠1，
根据勾股定理得：AD2＝AC2+CD2＝16，
在Rt△ADO中，OA2＝OD2+AD2，即（4r）2＝r2，
解得：r，
∴⊙O的半径为．

【点评】此题考查了切线的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．
20．（8分）某地区以移动互联和大数据技术支持智慧课堂，实现学生的自主、个性和多元学习，全区学生逐步实现上课全部使用平板电脑．某公司根据市场需求代理甲、乙两种型号的平板，每台甲型平板比每台乙型平板进价多600元，用6万元购进甲型平板与用4.5万元购进乙型平板的数量相等．
（1）求每台甲型、乙型平板的进价各是多少元？
（2）该公司计划购进甲，乙两种型号的平板共80台进行试销，其中甲型平板为m台，购买资金不超过17.76万元，并且甲型平板不少于乙型平板的2倍，试销时甲型平板每台售价为2800元，乙型平板每台售价2400元，问该公司有几种进货方案？并求出这几种方案中，销售完后获得的利润w的最大值．
【分析】（1）设每台乙型平板进价是x元，则每台甲型平板的进价是（x+600）元，由题意：用6万元购进甲型平板与用4.5万元购进乙型平板的数量相等．列出分式方程，解方程即可；
（2）由题意：购买资金不超过17.76万元，并且甲型平板不少于乙型平板的2倍，列出一元一次不等式组，解得m≤56，再由m为整数得该公司有3种进货方案，然后由一次函数的性质即可得出w的最大值．
【解答】解：（1）设每台乙型平板进价是x元，则每台甲型平板的进价是（x+600）元，
依题意，得：，
解得：x＝1800，
经检验，x＝1800是原分式方程的解，且符合题意，
则x+600＝2400．
答：每台甲型平板的进价是2400元，每台乙型的进价是1800元．
（2）∵该公司计划购进甲，乙两种型号的平板共80台进行试销，其中甲型平板为m台，
则购进乙种型号的平板（80﹣m）台，
∵购买资金不超过17.76万元，并且甲型平板不少于乙型平板的2倍，
∴，
解得：m≤56，
∵m为整数，
∴m的值为54或55或56，
∴该公司有3种进货方案：
①购进甲型平板54台，乙型平板26台；
②购进甲型平板55台，乙型平板25台；
③购进甲型平板56台，乙型平板24台；
依题意，得：w＝（2800﹣2400）m+（2400﹣1800）（80﹣m）＝﹣200m+48000，
∵﹣200＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴方案①购进甲型平板54台，乙型平板26台时的利润最大＝﹣200×54+48000＝37200（元），
答：该公司有3种进货方案，在这几种方案中，销售完后获得的利润w的最大值为37200元．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
21．（9分）数学课上，有这样一道探究题．
如图，已知△ABC中，AB＝AC＝m，BC＝n，∠BAC＝α（0°＜α＜180°），点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，连接CP，将线段CP绕点P顺时针旋转α，得线段PD，连接CD、AP点E、F分别为BC、CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为β，探究的值和β的度数与m、n、α的关系．
请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：
（1）填空：
【问题发现】
小明研究了α＝60°时，如图1，求出了的值和β的度数分别为　　，β＝　60°　；
小红研究了α＝90°时，如图2，求出了的值和β的度数分别为　　，β＝　45°　；
【类比探究】
他们又共同研究了α＝120°时，如图3，也求出了的值和β的度数；
【归纳总结】
最后他们终于共同探究得出规律：　　（用含m、n的式子表示）；β＝　　（用含α的式子表示）．
（2）求出α＝120°时的值和β的度数．


【分析】（1）当α＝60°时，△ABC和△PDC都是等边三角形，可证△ACP∽△ECF，从而有，∠Q＝β＝∠ACB＝60°；
当α＝90°时，△ABC和△PDC都是等腰直角三角形，同理可证△ACP∽△ECF即可解决，依此可得出规律；
（2）当α＝120°，可证，，从而有，由∠ECF＝∠ACP，可得△PCA∽△FCE即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1，连接AE，PF，延长EF、AP交于点Q，

当α＝60°时，△ABC和△PDC都是等边三角形，
∴∠PCD＝∠ACB＝60°，PC＝CD，AC＝CB，
∵F、E分别是CD、BC的中点，
∴，，
∴，
又∵∠ACP＝∠ECF，
∴△ACP∽△ECF，
∴，∠CEF＝∠CAP，
∴∠Q＝β＝∠ACB＝60°，
当α＝90°时，△ABC和△PDC都是等腰直角三角形，

∴∠PCD＝∠ACB＝45°，PCCD，ACCB，
∵F、E分别是CD、BC的中点，
∴，，
∴，
又∵∠ACP＝∠ECF，
∴△ACP∽△ECF，
∴，∠CEF＝∠CAP，
∴∠Q＝β＝∠ACB＝45°，
由此，可归纳出，β＝∠ACB；
（2）当α＝120°，连接AE，PF，延长EF、AP交于点Q，

∵AB＝AC，E为BC的中点，
∴AE⊥BC，∠CAE＝60°
∴sin60°，
同理可得：，
∴，
∴，
又∵∠ECF＝∠ACP，
∴△PCA∽△FCE，
∴，∠CEF＝∠CAP，
∴∠Q＝β＝∠ACB＝30°．
【点评】本题主要考查了三角形相似的判定与性质，通过解决本题感受到：图形在变化但解决问题的方法不变，体会“变中不变”的思想．
22．（10分）如图，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣4），B（4，0）．
（1）求b，c的值；
（2）连结AB，交抛物线L的对称轴于点M．
①求点M的坐标；
②将抛物线L向左平移m（m＞0）个单位得到抛物线L1．过点M作MN∥y轴，交抛物线L1于点N．P是抛物线L1上一点，横坐标为﹣1，过点P作PE∥x轴，交抛物线L于点E，点E在抛物线L对称轴的右侧．若PE+MN，求m的值．

【分析】（1）用待定系数法可求出答案；
（2）①设直线AB的解析式为y＝kx+n（k≠0），由A点及B点坐标可求出直线AB的解析式，由（1）得，抛物线L的对称轴是直线x＝2，则可求出答案；
②由题意可得点N的坐标是（，m2），P点的坐标是（﹣1，m2﹣5m），分三种情况，（Ⅰ）如图1，当点N在点M及下方时，（Ⅱ）如图2，当点N在点M的上方，点Q在点P及右侧，（Ⅲ）如图3，当点N在M上方，点Q在点P左侧，由平移的性质求出PE及MN的长，根据PE+MN列出方程可得出答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣4）和点B（4，0），
∴，
解得：，
∴b，c的值分别为﹣3，﹣4．
（2）①设直线AB的解析式为y＝kx+n（k≠0），
把A（0，﹣4），B（4，0）的坐标分别代入表达式，得，
解得，
∴直线AB的函数表达式为y＝x﹣4．
由（1）得，抛物线L的对称轴是直线x，
当x时，y＝x﹣4，
∴点M的坐标是（，）；
②设抛物线L1的表达式为y＝（xm）2，
∵MN∥y轴，
∴点N的坐标是（，m2），
∵点P的横坐标为﹣1，
∴P点的坐标是（﹣1，m2﹣5m），
设PE交抛物线L1于另一点Q，
∵抛物线L1的对称轴是直线xm，PE∥x轴，
∴根据抛物线的对称性，点Q的坐标是（4﹣2m，m2﹣5m），
（Ⅰ）如图1，当点N在点M及下方，即0＜m2且m＞0时，

∴PQ＝4﹣2m﹣（﹣1）＝5﹣2m，MN（m2）m2，
由平移的性质得，QE＝m，
∴PE＝5﹣2m+m＝5﹣m，
∵PE+MN，
∴5﹣mm2，
解得，m1＝﹣2（舍去），m2＝1，
（Ⅱ）如图2，当点N在点M的上方，点Q在点P的右侧，即m2且m＞0时，

PE＝5﹣m，MN＝m2，
∵PE+MN，
∴5﹣m+m2，
解得，m1（舍去），m2（舍去）．
（Ⅲ）如图3，当点N在M上方，点Q在点P左侧，

即m时，PE＝m，MN＝m2，
∵PE+MN，
∴m+m2，
解得，m1（舍去），m2，
综上可得，m的值是1或．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数与x轴的交点，待定系数法，两点的距离，平移的性质，解一元二次方程等知识，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键．
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