高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线综合训练题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线综合训练题，共15页。试卷主要包含了已知抛物线C，把x=ty+m代入y2=x,等内容，欢迎下载使用。

3.3.2　抛物线的简单几何性质
A级 必备知识基础练
　　　　　　　　　　　　　　
1.在同一平面直角坐标系中,方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0(a>b>0)的曲线大致为(　　)

2.若抛物线y2=4x上一点P(x0,y0)到点(5,0)的距离最小,则点P的横坐标x0为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
3.过点P(0,1)与抛物线y2=2x有且只有一个交点的直线有(　　)
A.4条 B.3条 C.2条 D.1条
4.已知正三角形的一个顶点位于坐标原点,另两个顶点在抛物线y2=2x上,则这个正三角形的边长是　　　　　. 
5.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,若|AB|=8,则p=　　　　　. 
6.已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为32的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.
(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;
(2)若AP=3PB,求|AB|.











B级 关键能力提升练
7.(2021山东枣庄检测)设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A是抛物线上一点,若OA·AF=-4,则点A的坐标是(　　)
A.(2,±22) B.(1,±2)
C.(1,2) D.(2,22)
8.已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,OA·OB=6(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(　　)
A.1728 B.3 C.338 D.3132
9.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,M为抛物线上一点,且|MF|=4|OF|,△MFO的面积为43,则抛物线方程为(　　)
A.y2=6x B.y2=8x
C.y2=16x D.y2=152x
10.已知点A是拋物线x2=4y的对称轴与准线的交点,点B为抛物线的焦点,点P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|,当m取最大值时,点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为(　　)
A.2+12 B.2+1
C.5+12 D.5-1
11.设抛物线y2=4x上一点P到y轴的距离为d1,到直线l:3x+4y+12=0的距离为d2,则d1+d2的最小值为(　　)
A.2 B.153 C.163 D.3
12.(多选题)已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线为l,过F的直线与E交于A,B两点,C,D分别为过点A,点B向l做垂线,得到的垂足,且|AF|=3|BF|,M为AB的中点,则下列结论正确的是(　　)
A.∠CFD=90°
B.△CMD为等腰直角三角形
C.直线AB的斜率为±3
D.△AOB的面积为4
13.已知抛物线的方程为y2=2px(p>0),O为坐标原点,A,B为抛物线上的点,若△OAB为等边三角形,且面积为483,则p的值为　　　　　. 
14.直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),且与C交于A,B两点,则p=,1|AF|+1|BF|=　　　　　. 
15.已知直线l与抛物线y2=8x交于A,B两点,且线段AB恰好被点P(2,2)平分.
(1)求直线l的方程;
(2)抛物线上是否存在点C和D,使得C,D关于直线l对称?若存在,求出直线CD的方程;若不存在,请说明理由.






















16.已知点A,B关于坐标原点O对称,|AB|=4,☉M过点A,B且与直线x+2=0相切.
(1)若A在直线x+y=0上,求☉M的半径.
(2)是否存在定点P,使得当A运动时,|MA|-|MP|为定值?并说明理由.















C级 学科素养创新练
17.

抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出.今有抛物线y2=2px(p>0),如图,一平行于x轴的光线射向抛物线上的点P,反射后又射向抛物线上的点Q,再反射后又沿平行于x轴的方向射出,且两平行光线间的最小距离为3,则抛物线的方程为　　　　　　　　　. 


3.3.2　抛物线的简单几何性质
1.D　(方法1)将方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0转化为x21a2+y21b2=1与y2=-abx.
因为a>b>0,所以1b>1a>0,所以椭圆的焦点在y轴上,抛物线的焦点在x轴上,且开口向左.故选D.
(方法2)在方程ax+by2=0(a>b>0)中,将y换成-y,其结果不变,即ax+by2=0的曲线关于x轴对称,排除B,C;由方法1知椭圆的焦点在y轴上,排除A.故选D.
2.C　∵P(x0,y0)在抛物线y2=4x上,
∴y02=4x0,则点P与点(5,0)的距离
d=(x0-5)2+y02=x02-10x0+25+4x0=(x0-3)2+16.
∵x0≥0,∴当x0=3时,点P与点(5,0)的距离最小,此时x0=3.
3.B　(1)当过点P(0,1)的直线存在斜率时,设其方程为y=kx+1,由方程组y=kx+1,y2=2x,
消y得k2x2+(2k-2)x+1=0,
①若k=0,则-2x+1=0,解得x=12,此时直线与抛物线只有一个交点12,1;
②若k≠0,令Δ=(2k-2)2-4k2=0,解得k=12,此时直线与抛物线相切,只有一个交点.
(2)当过点P(0,1)的直线不存在斜率时,
该直线方程为x=0,与抛物线相切,只有一个交点.
综上,过点P(0,1)与抛物线y2=2x有且只有一个交点的直线有3条.
4.43　根据抛物线的对称性可知,正三角形另外两个顶点关于x轴对称,设一个顶点坐标为y022,y0,边长为a,则有tan π6=2y0y02,
解得y0=23,
故边长a=43.
5.2　∵Fp2,0,∴直线AB的方程为y=x-p2,将其与y2=2px联立,消去y,得x2-3px+p24=0.
设A(xA,yA),B(xB,yB),由根与系数的关系知
xA+xB=3p,xAxB=p24.
|AB|=2(xA+xB)2-4xAxB=4p=8,解得p=2.
6.解设直线l:y=32x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)由题设得F34,0,故|AF|+|BF|=x1+x2+32,由题设可得x1+x2=52.
由y=32x+t,y2=3x可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,
则x1+x2=-12(t-1)9.
从而-12(t-1)9=52,得t=-78.
所以l的方程为y=32x-78.
(2)由AP=3PB可得y1=-3y2.
由y=32x+t,y2=3x可得y2-2y+2t=0.
所以y1+y2=2.
从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.
代入C的方程得x1=3,x2=13.
故|AB|=4133.
7.B　由题意知F(1,0),设Ay024,y0,则OA=y024,y0,AF=1-y024,-y0,由OA·AF=-4得y0=±2,∴点A的坐标为(1,±2).
8.D　设直线AB的方程为x=ty+m,则直线AB与x轴的交点为M(m,0),则m>0.
设点A(x1,y1),B(x2,y2).把x=ty+m代入y2=x,
可得y2-ty-m=0,满足Δ>0,则y1y2=-m.
∵OA·OB=6,∴x1x2+y1y2=6,
从而(y1y2)2+y1y2-6=0.
∵点A,B位于x轴的两侧,∴y1y2=-3,
故m=3.不妨设点A在x轴上方,则y1>0,
又F14,0,y2=-3y1,
∴S△ABO+S△AFO=12×3×(y1-y2)+12×14y1=138y1+92y1≥29×1316=3132,
当且仅当138y1=92y1,即y1=61313时,等号成立.
∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3132.
9.B　设M(x1,y1),
则由|MF|=4|OF|得x1+p2=4×p2,
即x1=32p,则y12=3p2,
则|y1|=3p,则S△OMF=12×p2×3p=43,解得p=4,即抛物线的方程为y2=8x.
10. B　由x2=4y,得p=2,∴焦点B(0,1),准线l:y=-1,


从而A(0,-1),如图所示.设∠PAQ=θ.
∵|PA|=m|PB|,|PB|=|PQ|,
∴m=|PA||PB|=|PA||PQ|=1sinθ.
结合图形知,当AP与抛物线相切时,sin θ最小,从而m最大.
设直线AP的方程为y=kx-1(k≠0),
由x2=4y,y=kx-1,得x2-4kx+4=0,
令Δ=16k2-16=0,解得k=±1,
不妨取k=1,得点P坐标为(2,1).
设双曲线的方程为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0).
在双曲线y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)中,2c=2,
即c=1,
2a=|PA|-|PB|=22-2,即a=2-1,
∴离心率e=ca=12-1=2+1.故选B.
11.A　由y2=4x,3x+4y+12=0,
得3y2+16y+48=0,Δ=256-12×48<0,故方程无解,∴直线3x+4y+12=0与抛物线相离.
又d1+d2=d1+1+d2-1,
而d1+1为P到准线x=-1的距离,
故d1+1为P到焦点F(1,0)的距离,
从而d1+1+d2的最小值为F到直线3x+4y+12=0的距离,
即|1×3+0×4+12|32+42=3,
故d1+d2的最小值为2.
12.AC　由y2=4x,得2p=4,即p=2,
∴焦点F(1,0),准线l:x=-1.
设直线AB的方程为x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2).
由y2=4x,x=my+1,得y2-4my-4=0,
∴y1+y2=4m,y1·y2=-4.
从而x1+x2=4m2+2,①
x1·x2=1.②
又|AF|=3|BF|,∴x1+p2=3x2+p2,即x1=3x2+2.③
将③代入①得,x2=m2.将③代入②得3x22+2x2-1=0,解得x2=13或x2=-1(舍去).
∴m2=13,∴m=±33,即直线AB的斜率为±3,故C正确;
C(-1,y1),D(-1,y2),
∴FC·FD=4+y1y2=4-4=0,从而∠CFD=90°,故A正确;
M(2m2+1,2m),
∴CM·DM=4(m2+1)2+4m2-2m(y1+y2)+y1y2=4m4+4m2=169,结合图形知△CMD不是直角三角形,故B错误;
S△AOB=12|OF||y1-y2|=1216m2+16=433,故D错误.故选AC.
13.2　设A(x1,y1),B(x2,y2).∵|OA|=|OB|,∴x12+y12=x22+y22.又y12=2px1,y22=2px2,
∴x22-x12+2p(x2-x1)=0,
即(x2-x1)(x1+x2+2p)=0.
又x1,x2与p同号,∴x1+x2+2p≠0.
∴x2-x1=0,即x1=x2.
根据抛物线对称性可知点A,B关于x轴对称,
由△OAB为等边三角形,
不妨设直线OB的方程为y=33x,
由y=33x,y2=2px,解得B(6p,23p),
∴|OB|=(6p)2+(23p)2=43p.
∵△OAB的面积为483,
∴34(43p)2=483,解得p2=4,∴p=2.
14.2　1　由题意知p2=1,从而p=2,
所以抛物线方程为y2=4x.
当直线AB斜率不存在时,x=1代入y2=4x,解得y1=2,y2=-2,即|AF|=|BF|=2,
从而1|AF|+1|BF|=1.
当直线AB斜率存在时,设AB的方程为
y=k(x-1),显然k≠0,联立y=k(x-1),y2=4x,消去y,整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2k2+4k2,x1x2=1,
从而1|AF|+1|BF|=1x1+1+1x2+1=x1+x2+2x1+x2+x1x2+1=x1+x2+2x1+x2+2=1.
15.解(1)由题意可得直线AB的斜率存在,且不为0.
设直线AB:x-2=m(y-2),m≠0,与抛物线方程联立消去x,可得y2-8my+16m-16=0.
判别式Δ=(-8m)2-4(16m-16)=64m-122+34>0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则有y1+y2=8m,
由8m=4,得m=12,
所以直线l的方程为2x-y-2=0.
(2)不存在.理由如下,假设C,D两点存在,
则可设lCD:y=-12x+n,与抛物线方程y2=8x联立,
消去y,得14x2-(n+8)x+n2=0,
其中Δ=(n+8)2-n2=16n+64>0,
则n>-4.(*)
又因为xC+xD=4(n+8),
所以CD的中点为(2(n+8),-8),代入直线l的方程,
得n=-192,不满足(*)式.
所以满足题意的C,D两点不存在.
16.解(1)因为☉M过点A,B,所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x+y=0上,且A,B关于坐标原点O对称,所以M在直线y=x上,故可设M(a,a).
因为☉M与直线x+2=0相切,所以☉M的半径为r=|a+2|.
由已知得|AO|=2,又MO⊥AO,故可得2a2+4=(a+2)2,解得a=0或a=4.
故☉M的半径r=2或r=6.
(2)存在定点P(1,0),使得|MA|-|MP|为定值.
理由如下:
设M(x,y),由已知得☉M的半径为r=|x+2|,|AO|=2.
由于MO⊥AO,故可得x2+y2+4=(x+2)2,化简得M的轨迹方程为y2=4x.
因为曲线C:y2=4x是以点P(1,0)为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线,所以|MP|=x+1.
因为|MA|-|MP|=r-|MP|=x+2-(x+1)=1,所以存在满足条件的定点P.
17.y2=3x　由抛物线的光学性质可得,PQ必过抛物线的焦点Fp2,0.
当直线PQ的斜率不存在时,易得|PQ|=2p;
当直线PQ的斜率存在时,
设PQ的方程为y=kx-p2,P(x1,y1),Q(x2,y2),
联立y=kx-p2,y2=2px,
得k2x2-px+p24=2px,
整理得4k2x2-(4k2p+8p)x+k2p2=0,
所以x1+x2=p+2pk2,x1x2=p24.
所以|PQ|=x1+x2+p=2p1+1k2>2p.
综上,当直线PQ与x轴垂直时,弦长最短,
又因为两平行光线间的最小距离为3,故2p=3,
所以抛物线的方程为y2=3x.