2023届安徽省马鞍山市高三二模数学试卷

2023年高三二模参考答案

数  学

本试卷4页，满分150分。考试时间120分钟。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．选D．

2．选C．

3．选B．

4．选B．

5．选A．

6．选D．

7．选B．

8．选C．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．【答案】选BCD 10．【答案】选ABC 11．【答案】选BD 12．【答案】选ABD．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．【答案】  14．【答案】  15．【答案】20  16．【答案】．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）

已知等差数列的前项和为，若，且成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

【解析】（1）设数列的公差为，由成等比数列，

得即，解得，

当时不合题意，所以，即；       （5分）

（2）由（1）得所以

所以．  （10分）

18．（12分）

在中，角所对的边分别为，且．

（1）求；

（2）已知，，求的面积．

【解析】（1）由题设得，

由余弦定理，，

整理得，所以．             （6分）

（2）由（1）知，由余弦定理得，解得，

故的面积为．         （12分）

19．（12分）

大气污染物（大气中直径小于或等于2.5的颗粒物）的浓度超过一定的限度会影响人的身体健康．为了研究的浓度是否受到汽车流量等因素的影响，研究人员选择了24个社会经济发展水平相近的城市，在每个城市选择一个交通点建立监测点，统计每个监测点24内过往的汽车流量（单位：千辆），同时在低空相同的高度测定每个监测点空气中的平均浓度（单位：），得到的数据如下表：

（1）根据上表，若24内过往的汽车流量大于等于1500辆属于车流量大，大于等于75属于空气污染．请结合表中的数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为车流量大小与空气污染有关联？

（2）设浓度为，汽车流量为．根据这些数据建立浓度关于汽车流量的线性回归模型，并求出对应的经验回归方程（系数精确到0.01）．

附：，

，，，，．

在经验回归方程中，．

【解析】（1）由题知，列二联表，如下图

，

依据小概率值的独立性检验，可以认为车流量大小与空气污染有关联．  （5分）

（2）由题知，，

，

故浓度关于汽车流量的经验回归方程为．     （12分）

20．（12分）

如图，已知四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，，．

（1）求证：；

（2）若平面平面，且中，边上的高为3，求的长．

【解析】（1）设线段中点为，连接，，

由及得且，又，所以平面，

又平面，所以．                                            （5分）

（2）过点作垂直直线于点，则，

因为平面平面，平面平面，及平面，所以平面，

连接，由，，易知，所以四边形是菱形，

因为，所以四边形是正方形，且两两互相垂直，

以为空间直角坐标系原点，分别以，，方向为轴正半轴，轴正半轴，轴正半轴，建立如图空间直角坐标系．

设，则，，，，

即，，，，

设平面的法向量为，则，，得，；不妨取，则，同理可得平面的一个法向量，

由平面平面得，所以，即．           （12分）

21．（12分）

已知双曲线的焦距为，离心率．

（1）求双曲线的方程；

（2）设为双曲线上异于点的两动点，记直线的斜率分别为，若，求证：直线过定点．

【解析】（1）由题意知，，，解得，

所以双曲线的方程为．            （4分）

（2）由题意可知直线斜率存在，设其方程为，与联立，

得，设，，

则，        （6分）

由得，

即，

即，

即，

将代入上式并整理得，   （9分）

即，故或．

当时，直线方程为过定点；

当时，直线方程为过点与题意矛盾．

综上，直线过定点．             （12分）

22．（12分）

已知函数．

（1）求函数的零点；

（2）证明：对于任意的正实数，存在，当时，恒有．

【解析】（1）由题，，定义域为，

因为，所以函数在区间上单调递减．  （3分）

又，故函数的零点为．           （5分）

（2）由（1）可知时，，即，

因此，进而．

注意到，当时，等价于，等价于，

于是，对于任意的正实数，取，则当时，有

，即证．       （12分）