精品解析：湖南省长沙市雅礼中学2023届高三下学期月考(七)数学试题

雅礼中学2023届高三月考试卷（七）

数学

时量：120分钟  满分：150分

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由集合运算法则计算.

【详解】因为，所以或，则．

故选：D．

2. 已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，以及复数的运算，即可求解．

【详解】解：复数与在复平面内对应点关于实轴对称，

，

故选：D．

3. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊名航天员开展实验，其中天和核心舱安排人，问天实验舱与梦天实验舱各安排人，则甲、乙两人安排在同一个舱内的穊率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】计算出安排人的方案总数，以及甲、乙两人安排在同一个舱内的方案种数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】安排甲、乙、丙、丁、戊名航天员开展实验，共有种不同方案，

甲、乙两人安排在同一个舱内共有种不同的方案，

故甲、乙两人安排在同一个舱内的概率为.

故选：A.

4. 已知，，，则与的夹角为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据已知求得，平方可得，继而求出，根据向量的夹角公式即可求得答案.

【详解】由可得，

则，即得，故，

则，

故，

由于，故，

故选：B.

5. 设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】通过，所以判断出；又对，进行化简，得到，，从而判断出a，b，c的大小关系.

【详解】，而，所以；

又，

令，

而函数在上递增

故选：A

6. 已知函数在区间上单调，且对任意实数均有成立，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，利用正弦函数的图象和性质，求出，由是函数的最大值点，即可求出.

【详解】由题意知，函数的最小正周期为，

因为函数在上单调，且恒成立，

所以，即，解得，

又是函数的最大值点，是函数的最小值点，

所以，又 ，解得.

故选：D.

7. 设是双曲线与圆在第一象限的交点，，分别是双曲线的左，右焦点，若，则双曲线的离心率为（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先由双曲线定义与题中条件得到，，求出，，再由题意得到，即可根据勾股定理求出结果.

【详解】解：根据双曲线定义：，，

∴，

∴，，，

∴是圆的直径，

∴，在中，，得．

故选．

【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.

8. 如图，已知四棱柱的体积为，四边形是平行四边形，点在平面内，且，则三棱锥与三棱锥的公共部分的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】作出辅助线，找到两三棱锥的公共部分，结合三角形相似知识得到边长比，从而得到体积比，求出答案.

【详解】先找两三棱锥的公共部分，由知：，故，

在上取点，使得，连接，

设，连接，

则三棱锥为三棱锥与三棱锥的公共部分，

∵∽，

，

点到平面的距离是点到平面的距离的，又，

.

故选：A.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 为了提升小学生的运算能力，某市举办了“小学生计算大赛”，并从中选出“计算小达人”．现从全市参加比赛的学生中随机抽取1000人的成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中成绩的分组区间为，，，，规定得分在90分及以上的被评为“计算小达人”．下列说法正确的是（    ）

A. m的值为0.015

B. 该市每个小学生被评为“计算小达人”的概率为0.01

C. 被抽取的1000名小学生的均分大约是85分

D. 学生成绩的中位数大约为75分

【答案】AD

【解析】

【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1，结合中位数的定义、平均数的定义逐一判断即可.

【详解】由，所以选项A正确；

因为得分在90分及以上的被评为“计算小达人”，

所以该市每个小学生被评为“计算小达人”的概率为，因此选项B不正确；

被抽取的1000名小学生的均分大约是

，因此选项C不正确；

设学生成绩的中位数为，

所以有，因此选项D正确，

故选：AD

10. 设A，B为两个随机事件，若，，下列命题中，正确的是（    ）

A. 若A，B为互斥事件，

B.

C. 若，则A，B为相互独立事件

D. 若A，B为相互独立事件，则

【答案】AC

【解析】

【分析】根据互斥事件的概率公式，结合相互独立事件的概率公式进行判断即可.

【详解】若A，B为互斥事件，，所以选项A正确；

若时，，所以选项B不正确；

因为，所以选项C正确；

若A，B为相互独立事件，，所以选项D不正确，

故选：AC

11. 已知，则函数的图象可能是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】令，先分析函数的奇偶性，再分情况讨论的奇偶性，然后逐项分析四个选项即可求解.

【详解】令，则，故为偶函数.

当时，函数为偶函数，且其图象过点，显然四个选项都不满足.

当为偶数且时，易知函数为偶函数，

所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，则选项，符合；

若为正偶数，因为，

则，当时，，所以函数在上单调递增，又因为函数为偶函数，所以函数在上单调递减，选项符合；若为负偶数，易知函数的定义域为，排除选项.

当为奇数时，易知函数为奇函数，

所以函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，则选项符合，

若为正奇数，因为，

则，当时，，所以函数在上单调递增，又因为函数为奇函数，所以函数在上单调递增，选项符合；

若为负奇数，函数的定义域为，

不妨取，则，当时，；

当时，；当时，；

当时，；当时，；

当趋向于正无穷时，因为指数函数的增长速率比幂函数的快，所以趋向于正无穷；

所以内先减后增，故选项符合.

故选：.

12. 在如图所示试验装置中，两个长方形框架与全等，，，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子分别在长方形对角线与上移动，且，则下列说法正确的是（    ）

A.

B. 的长最小等于

C. 当的长最小时，平面与平面所成夹角的余弦值为

D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，利用空间向量数量积的运算即可判断选项；利用空间两点间距离公式即可判断选项；根据二面角的余弦值推导即可判断选项；根据棱锥的体积计算公式即可判断选项.

【详解】由题意可知：两两互相垂直，以点为坐标原点，为轴正方向，建立空间直角坐标系，

建系可得，

，故选项正确；

又，

当时，，故选项正确；

当最小时，分别是的中点，

取中点，连接和，

，

，

是二面角的平面角.

中，，

可得，同理可得，

由余弦定理可得，故选项正确；

，故选项错误.

故选：.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 在甲，乙，丙三个地区爆发了流感，这三个地区分别有8%，6%，4%的人患了流感.若这三个地区的人口数的比为5：3：2，现从这三个地区中任意选取一个人，这个人患流感的概率是______.

【答案】##0.066

【解析】

【分析】患流感的人可能来自三个地方，利用条件概率公式求解.

【详解】设事件B为此人患流感，，，分别代表此人来自甲，乙，丙三个地区，根据题意可知：

，，，

，，，

.

故答案为：

14. 已知，写出满足条件①②的一个的值__________.

①；②.

【答案】或11.（答案不唯一）

【解析】

【分析】令，得到，再由求解.

【详解】解：令，得，

，

由条件②知.

又的值可以为或11.（答案不唯一）

故答案为：或11.（答案不唯一）

15. 已知直线与抛物线交于两点，且交于点，点的坐标为，则的面积__________.

【答案】

【解析】

【分析】求出直线的方程，与抛物线联立，得到两根之和，两根之积，由得到方程，然后求出的值，再求出，最后求出面积即可.

【详解】点的坐标为，则，

又，且直线过点，

则直线方程为，整理得，

设点的坐标为，点的坐标为，

由，得，即，

直线的方程为，

，

①，

联立与，消去得，

则②，

把②代入①，解得，

故，

又直线与轴的交点为，

所以.

故答案为：.

16. 已知函数，若恒成立，则实数的取值范围__________.

【答案】

【解析】

【分析】令，分， ， ，利用导数法讨论求解.

【详解】解：令，

则，

①当时，，不符合题意；

②时，在区间上恒为负，在区间上恒为正，

则需在区间上恒为负，在区间上恒为正，

因为在区间上单调递增，则需，此时，符合题意；

③当时，在区间上恒为负，在区间上单调递增，

在区间上单调递减，故在时取得极大值也是最大值，，解得.

所以实数的取值范围是.

故答案为：

四､解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步聚.

17. 各项不为0的数列满足，且.

（1）求证：数列等差数列；

（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据递推公式得到，进而证明数列为等差数列；

（2）结合（1）可得，代入对任意恒成立，利用数列的单调性即可得出实数的取值范围.

【小问1详解】

因为各项不为0的数列满足，

两边同时取倒数，可得，所以，

，，解得.

数列为等差数列，且公差为3，首项为.

【小问2详解】

由（1）可得，，

对任意恒成立，对任意恒成立，

令，

当时，；

当时，；

当时，单调递增，,

所以，

实数的取值范围为.

18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求A；

（2）若，求的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用同角三角函数的商数关系及两角和的正弦公式的逆用，结合三角形的内角和定理及三角函数的特殊值对应特殊角注意角的范围即可；

（2）利用同角三角函数的商数关系及正弦定理的边化角，根据（1）的结论得出角的范围及余弦函数的性质即可求解.

【小问1详解】

由题意知，，

所以，

则，

又，所以，所以，

又，所以．

【小问2详解】

由（1）得，由正弦定理得，

又，，所以．

因为，所以，所以，

故，即的取值范围为．

19. 如图，在多面体中，梯形与平行四边形所在平面互相垂直，，，，，.

（1）求证：平面；

（2）判断线段上是否存在点Q，使得平面平面？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.

【答案】（1）证明见解析（2）存在；

【解析】

【分析】（1）由题意，则平面，同理平面，从而平面平面，从而平面；

（2）连接，可证得，，两两垂直，以，，所在的直线分别为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系，利用平面的法向量即可求出答案．

【详解】（1）证：由底面为平行四边形，知，

又平面，平面，

平面，同理平面，

又，∴平面平面，

又平面，平面；

（2）解：连接，

∵平面平面，平面平面，，

平面，则，又，，

，平面，则，

故，，两两垂直，

∴以，，所在的直线分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系，

则，，，，，，

，，设平面的一个法向量为，

由，，得，令，得，

设线段上存在点Q，使得平面平面，

设，（），

.设平面的法向量为，

又，，，即，

令，得，

若平面平面，则，即，解得，

∴线段上存在点Q，使得平面平面，且此时．

【点睛】本题主要考查线面平行的判定，考查利用空间向量判断面面垂直，属于中档题．

20. 雅礼中学是三湘名校，学校每年一届的社团节是雅礼很有特色的学生活动，几十个社团在一个月内先后开展丰富多彩的社团活动，充分体现了雅礼中学为学生终身发展奠基的育人理念.2022年雅礼文学社举办了诗词大会，在选拔赛阶段，共设两轮比赛.第一轮是诗词接龙，第二轮是飞花令.第一轮给每位选手提供5个诗词接龙的题目，选手从中抽取2个题目，主持人说出诗词的上句，若选手正确回答出下句可得10分，若不能正确回答出下可得0分.

（1）已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望；

（2）已知恰有甲､乙､丙､丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每一次由四个团队中的一个回答问题，无论答题对错，该团队回答后由其他团队抢答下一问题，且其他团体有相同的机会抢答下一问题.记第次回答的是甲的概率是，若.

①求和；

②证明：数列为等比数列，并比较第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小.

【答案】（1）12    （2）①；

②证明见解析，第7次回答的是甲的可能性比第8次回答的是甲的可能性大

【解析】

【分析】（1）设该选手答对的题目个数为，该选手在第一轮的得分为，根据题意得出的所有可能取值，然后求出每一个变量对应的概率，列出分布列，进而求解；

（2）①由题意可知，第一次是甲回答，第二次甲不回答，进而求解；

②由第次回答的是甲的概率为，得当时，第次回答的是甲的概率为，第次回答的不是甲的概率为，得到，利用递推公式得到是以为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式求出则，进而计算即可求解.

【小问1详解】

设该选手答对的题目个数为，该选手在第一轮的得分为，则，易知的所有可能取值为，

则，

，

，

故的分布列为

，则.

【小问2详解】

①由题意可知，第一次是甲回答，第二次甲不回答，

，则.

②由第次回答的是甲的概率为，得当时，第次回答的是甲的概率为，第次回答的不是甲的概率为，

则，即，又，

是以为首项，为公比的等比数列，则

，

第7次回答的是甲的可能性比第8次回答的是甲的可能性大..

21. 定义：一般地，当且时，我们把方程表示的椭圆称为椭圆的相似椭圆.

（1）如图，已知为上的动点，延长至点，使得的垂直平分线与交于点，记点的轨迹为曲线，求的方程；

（2）在条件（1）下，已知椭圆是椭圆的相似椭圆，是椭圆的左､右顶点.点是上异于四个顶点的任意一点，当（为曲线的离心率）时，设直线与椭圆交于点，直线与椭圆交于点，求的值.

【答案】（1）   

（2）5

【解析】

【分析】（1）由图可知是的中位线，由此可得长为定值，因为点在的垂直平分线上，所以，根据椭圆定义求解析式即可；

（2）假设出点坐标，表示直线与直线的斜率，并找出两斜率关系，最后表示出两直线方程，分别与椭圆C联立方程，利用弦长公式和韦达定理求出的值.

【小问1详解】

连接，易知且，

，又点在的垂直平分线上，

，

，满足椭圆定义，

，

曲线的方程为.

【小问2详解】

由（1）知椭圆方程为，

则离心率，

楄圆的标准方程为，

设为椭圆异于四个顶点的任意一点，直线斜率，

则，

又，

.

设直线的斜率为，则直线的斜率为.

直线为，

由得，

设，则，

，

同理可得，

.

22. 已知函数，.

（1）已知，若时，恒成立，求的取值范围；

（2）当时，求证：.

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）求出时，在区间上的最小值，使即可；

（2）设，证明即可.

【小问1详解】

∵，，

设，，则

∴在区间上单调递增，

∵，∴，，

∴在区间上单调递增，，

∴若恒成立，则，

综上所述，若时，恒成立，则的取值范围是.

【小问2详解】

当时，，，

则，易知在区间上单调递增，

又∵，，

∴，使，

当时，，在区间上单调递减，

当时，，在区间上单调递增，

∴在处取得极小值，也是最小值，，

∵，∴，两边同时取对数，又有，

∴，

设，，

则，易知在区间上单调递减，

又∵，，

∴，使，

当时，，在区间上单调递增，

当时，，在区间上单调递减，

∴在处取得极大值，也是最大值，，

∵，∴，

∴，

设，，

∵，∴，

∵，∴，

易知在区间上单调递增，

∴至多有一个零点，∴，∴，

∴，

即.

【点睛】方法点睛：证明不等式恒成立问题，可以先通过导数求出的最小值和的最大值，再证明即可.