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解密16 抛物线方程（分层训练）-高考数学二轮复习讲义+分层训练（新高考专用）
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这是一份解密16 抛物线方程（分层训练）-高考数学二轮复习讲义+分层训练（新高考专用），文件包含解密16抛物线方程分层训练解析版docx、解密16抛物线方程分层训练原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共38页， 欢迎下载使用。
解密16 抛物线方程
A组 基础练
1．（2020·全国·高三专题练习（理））已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则（ ）
A．2 B．2或4 C．1或2 D．1
【答案】B
【分析】因为抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，
所以，即，代入抛物线方程可得，
整理得，解得或.
故选：B.
2．（2021·全国·高三专题练习（理））已知双曲线与抛物线（其中）交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】根据对称性，设A在第一象限，B在第四象限，由，知，
代入到抛物线方程中，即，解得，
则将代入双曲线方程得，化简得，
解得离心率为或（舍）
故选：D
3．（2022·全国·高三专题练习（理））设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为.设，与相交于点.若，且的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】：如图所示，，．
所以．
轴，，，所以四边形为平行四边形，
，．
，解得，代入可取，
，
解得．
故选：．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，抛物线上的两点，均在第一象限，且，，，则直线的斜率为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】如图：作垂直准线于，垂直准线于，作于，
因为，，，
由抛物线的定义可知：，，，所以，
直线的斜率为：.
故选：C.
5．（2021·上海市控江中学高三阶段练习）已知点的坐标为，点是抛物线上的点，则使得是等腰三角形的点的个数是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】，则P为OA垂直平分线与抛物线的交点，下图中的、；
，则P为以O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的交点，下图中的、；
，则P为以A为圆心，AO为半径的圆与抛物线的交点，下图中的、．
故选：C.
6．（2021·广东茂名·高三阶段练习）已知圆与抛物线交于，两点，与抛物线的准线交于，两点，若四边形是矩形，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】：因为四边形是矩形，
所以由抛物线与圆的对称性知：弦为抛物线的通径，
因为圆的半径为，抛物线的通径为，
所以有：，解得
故选：D
7．（2021·全国·高三阶段练习）如图，抛物线的焦点为F，直线l与C相交于A，B两点，l与y轴相交于E点．已知，记的面积为的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】：抛物线C的准线方程为，分别过点A，B作y轴的垂线，垂足为，
则，
所以.
故选：C．
8．（2021·全国·高三专题练习（理））设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q.则线段FQ的垂直平分线（ ）
A．经过点O B．经过点P
C．平行于直线OP D．垂直于直线OP
【答案】B
【分析】不妨设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，
如图所示，连接PF，
则|PF|＝|PQ|，则△QPF为等腰三角形，∴QF的垂直平分线过点P.故选：B.
9．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知点为拋物线的焦点，过点作两条互相垂直的直线，直线与交于两点，直线与交于两点，则的最小值为（ ）
A．32 B．48 C．64 D．72
【答案】C
【分析】抛物线的焦点，因为，所以直线，斜率存在，且均不为0．
设直线的方程为，
联立，化简得．
则，所以．
因为，故的斜率为，同理可得，
所以，
当且仅当，即是取等号，
故的最小值是64，
故选：C
10．（2022·全国·高三专题练习）已知点P为抛物线上一动点，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据抛物线的对称性，不妨设，
若，则，，，所以；
若，则，，，所以；
若且，此时且，
，所以，
因为,所以，则，当且仅当时取“=”，
而，所以.综上：的最大值为.故选：B.
11．（2020·福建·模拟预测）设的焦点为，过且倾斜角为的直线交于，两点，且又与圆相切于的中点，则的值为_____.
【答案】
【分析】：的焦点，，
又直线的倾斜角为，直线的方程为，
联立，得．
设，，，，的中点为，．
则，，．
与圆相切于的中点，
，解得，．
故答案为：．
12．（2021·全国全国·模拟预测）已知抛物线经过点，直线经过点且与抛物线交于，两点．若线段的中点为，为抛物线的焦点，则的周长为______．
【答案】
【分析】把点代入中得，故抛物线的方程为．
设，，由题意可知直线的斜率存在且不为0，故．
则，，两式相减得，
又因为的中点为，所以，将代入上式得直线的斜率，
于是直线的方程为，即．
联立消去得，，
由根与系数的关系得，，
由抛物线的定义得，
而，
因此的周长为．
故答案为：
13．（2021·全国全国·模拟预测）过原点O的直线与拋物线C：（）交于点A，线段OA的中点为M，又点，．在下面给出的三个条件中任选一个填在横线处，并解答下列问题：
①，②；③的面积为．
（1）______，求拋物线C的方程；
（2）在（1）的条件下，过y轴上的动点B作拋物线C的切线，切点为Q（不与原点O重合），过点B作直线l与OQ垂直，求证：直线l过定点．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】
（1）条件选择见解析，
（2）证明见解析
【分析】（1）由题意知直线OA的斜率存在且不为0，设其方程为，
由得或即，
所以线段OA的中点．因为，所以直线PM的斜率存在，．所以，解得，
所以直线OA的方程为，．
若选①，不妨令，由，得，解得（舍去），所以抛物线C的方程为．
若选②，因为，，所以点P到直线OA的距离为，即，解得（舍去），所以抛物线C的方程为．
若选③，不妨令，因为，
点P到直线OA的距离，
所以，解得（舍去），
所以抛物线C的方程为．
（2）由题意可知切线BQ的斜率存在且不为0．
设，切线BQ的方程为，由得，（*）
所以，解得，所以方程（*）的根为，
代入得，所以切点，于是，则，
所以直线l的方程为，即，所以当b变化时，直线l恒过定点．
14．（2021·广东·梅州市梅江区嘉应中学模拟预测）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，直线经过抛物线的焦点.
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线与抛物线相交于、两点，过、两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求面积的最小值.
【答案】（1）；（2）9.
【分析】：（1）设抛物线的方程为.
直线经过抛物线的焦点，，解得.
抛物线的方程为.
（2）设、，
由，得.
，，，
.
由得..
抛物线经过点的切线方程是，
将代入上式整理得.
同理可得抛物线经过点的切线方程为.
解方程组得，.
到直线的距离，
的面积.
，.当时，.
面积的最小值为.
15．（2021·西藏·拉萨那曲高级中学高三期中（理））抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交H于P、Q两点，且．
（1）求抛物线H的方程;
（2）一条直线经过抛物线H的焦点F，且交曲线H于A、B两点，点C为直线上的动点．
①求证：不可能是钝角;
②是否存在这样的点C，使得是正三角形？若存在，求点C的坐标；否则，说明理由．
【答案】
（1）（2）①证明见解析；②存在，
（1）解：（1）由抛物线H的对称性，得，此坐标为，
设抛物线H的方程为，，得抛物线H的方程为
（2）①设直线， ，
由，消去x并整理得，
则，，
∴，
，
所以，
所以
所以不可能是钝角;
②设存在这样的点C,设线段AB的中点为，连接CM，
因为△ABC为等边三角形，M为AB中点，∴CM⊥AB，
由①知，，所以，，
所以坐标为，当m=0时，直线AB斜率不存在，根据抛物线的对称性可知此时C的坐标为(-1,0),
而A(1,2),B(1,-2),此时AB=4，,,
△ABC不是等边三角形，当时，直线AB的斜率为,
直线CM的斜率为,
由CM⊥AB，得，
解得，
所以C的坐标为
所以 ,
由①得，，
所以
所以，
由得，
所以存在点.
B组 提升练
1．（2021·全国·高三专题练习）抛物线的准线方程是，则的值为（ ）
A．8 B．-8 C． D．
【答案】D
【解析】：将抛物线方程化为标准形式得，其准线方程为，所以．故选：D.
2．（2021·全国·高三专题练习（理））已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】设双曲线与抛物线的公共焦点为，
则抛物线的准线为，
令，则，解得，所以,
又因为双曲线的渐近线方程为，所以，
所以，即，所以，
所以双曲线的离心率.
故选：A.
3．（2022·全国·高三专题练习）不垂直于坐标轴的直线与双曲线的渐近线交于，两点，若线段的中点为，和的斜率满足，则顶点在坐标原点，焦点在轴上，且经过点的抛物线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，则，
相减得，，所以，
即，所以，．由题意设抛物线方程是，则．于是所求抛物线方程是．
故选：C．
4．（2021·江西·南昌市豫章中学高三开学考试）过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，，抛物线的准线l与x轴交于点C，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，
设抛物线的准线为l，过A作于M，过B作于N，过B作于K，设，则，，，
∴，∴，
∴
∴
∴的面积为．
故选：D
5．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线（）的焦点为，点为抛物线上一点，以为圆心的圆经过原点，且与抛物线的准线相切，切点为，线段交抛物线于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，，又，解得，，
则抛物线方程为，所以，，，
设，过点向抛物线的准线作垂线，
垂足为，根据抛物线的定义可知，，因为，
所以.
故选：.
6．（2021·全国·高三阶段练习）已知抛物线焦点为是抛物线上一点，且，点在抛物线上运动，则点到直线的最小距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】法一：抛物线的准线为，由抛物线的定义知：，解得，
∴抛物线的方程为．设，
点到直线的距离，当且仅当时等号成立.
法二：如图，当点到直线的距离最小时，抛物线在点处的切线与平行，
设切点的横坐标为，由，得，则，即
∴抛物线上的点到直线距离最小的点是，此时点到直线的距离为．
法三：设与抛物线相切且与直线平行的直线为，
由，整理得
由，则到直线的最小距离为.
故选：B．
7．（2021·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心模拟预测）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，且点P在第一象限，M是线段上的点，若，则直线的斜率的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，由题可知，设P点坐标为，则
，当且仅当时，等号成立.
故选：B.
8．（2021·福建·厦门市湖滨中学模拟预测）已知抛物线 和点D(2,0)，直线 与抛物线C交于不同两点A、B，直线BD与抛物线C交于另一点E.给出以下判断：
①直线OB与直线OE的斜率乘积为-2； ②轴； ③以BE为直径的圆与抛物线准线相切；
其中，所有正确判断的序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【答案】B
【解析】：由题意，可设直线的方程为，
代入抛物线的方程，有．
设点，的坐标分别为，，
则，．
所．
则直线与直线的斜率乘积为．所以①正确．
将代入抛物线的方程可得，，从而，，
根据抛物线的对称性可知，，两点关于轴对称，
所以直线轴．所以②正确．
如图，设为抛物线的焦点，以线段为直径的圆为，
则圆心为线段的中点．设，到准线的距离分别为，，的半径为，点到准线的距离为，显然，，三点不共线，
则．所以③不正确．
故选：B.
9．（2021·全国·高三专题练习（理））已知动点，关于坐标原点对称，，过点，且与直线相切.若存在定点，使得为定值，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，因为点关于坐标原点对称，所以是线段的中点，
又因为以为圆心的圆过两点，所以有，
因此有，因为点关于坐标原点对称，，所以.
又因为以为圆心的圆与直线相切，所以有，
把、代入中，得：
，化简得：，因此点的轨迹是抛物线，
该抛物线的焦点坐标为，准线方程为：，
，
由抛物线的定义可知：，
所以有，
由题意可知存在定点，使得当运动时，为定值，
因此一定有，此时定点是该抛物线的焦点.
故选：B.
10．（2020·河南·高三阶段练习（理））已知抛物线，有如下性质：由抛物线焦点发出的光线，经抛物线反射后，反射光线与抛物线的对称轴平行.现有一光线的倾斜角为，过抛物线的焦点，经反射后，反射光线与轴的距离为，则抛物线的方程为_________.
【答案】或
【解析】过点的直线为，
由，得或，
从而或3，故所求抛物线方程为或.故答案为：或.
11．（2022·全国·高三专题练习）切轴于点、对称轴平行于轴的抛物线和曲线交于点，并且两曲线在点的切线相互垂直，、两点的横坐标分别为、，和是正的常数，则的值为__________．
【答案】
【解析】因为点的横坐标为，
所以，可设抛物线方程为，即，
的定义域为，
因为抛物线和曲线交于点，点的横坐标为，
所以，即，
因为，所以，，，
则，，
因为两曲线在点的切线相互垂直，所以，
联立，整理得，
解得或（舍去），，
故答案为：.
三、解答题
12．（2021·四川·高三期中（理））设抛物线的焦点为，过焦点作直线交抛物线于，两点．
(1)若，求直线的方程；
(2)设为抛物线上异于，的任意一点，直线，分别与抛物线的准线相交于，两点，求证：以线段为直径的圆经过轴上的定点．
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】(1)由已知，得设直线的方程为，代入，得．
设，，则，．
则，解得，所以直线的方程为．
(2)证明：设，
则，故直线的方程为．
令，得，所以点．
同理可得，点．
设以线段为直径的圆与轴的交点为
则，．
由题意，知，则，即．
由（1）可得，
所以
解得或，
故以线段为直径的圆经过轴上的两个定点和.
13．（2021·全国·高三专题练习）已知抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，圆M的方程为x2＋y2－py＝0，若直线x＝4与x轴交于点R，与抛物线交于点Q，且|QF|＝|RQ|．
(1)求出抛物线E和圆M的方程；
(2)过焦点F的直线l与抛物线E交于A，B两点，与圆M交于C，D两点(点A，C在y轴同侧)，求证：|AC|·|BD|为定值．
【答案】(1)E：x2＝4y，M：x2＋y2－2y＝0；
(2)证明见解析﹒
【解析】(1)设，由，
得，即．
将点代入抛物线方程，可得．
抛物线，圆的方程为：；
(2)抛物线的焦点，
由题可知直线斜率存在，所以设直线的方程为，，，，．
联立，得．
则△，且，．
由圆的方程可得圆的圆心坐标为，半径为1，圆心就是焦点．
由抛物线的定义可知，．
则，，
．
即是定值1．
．
14．（2021·广东·模拟预测）已知圆的圆心为，点是圆上的动点，点是抛物线的焦点，点在线段上，且满足.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)不过原点的直线与（1）中轨迹交于两点，若线段的中点在抛物线上，求直线的斜率的取值范围.
【答案】(1)(2)或
【解析】
【分析】(1)易知点是抛物线的焦点，，依题意，
所以点轨迹是一个椭圆，其焦点分别为，长轴长为4，
设该椭圆的方程为，
则，
，
故点的轨迹的方程为.
(2)
易知直线1的斜率存在，
设直线1：，
由得：，
，
即①又，
故，将，代，
得：，
将②代入①，得：，
即，
即，即，
且，
即的取值范围为或.
15．（2021·湖南·临澧县第一中学高三阶段练习）如图，已知抛物线C：（p>0）的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于AB两点，且的最小值为4.
（1）求抛物线C的方程；
（2）过A、B分别作抛物线C的切线，两切线交于点M.
①求证：以M为圆心，MF为半径的圆恰与直线l相切；
②设直线l与准线交于点N，若，求直线l的方程.
【答案】（1）；（2）①证明见解析；②或.
【解析】
【分析】（1）设、，直线l：.
联立直线l与抛物线方程：，，
∴，，
当m=0时，，则，
∴抛物线C：.
（2）不妨设，且，.
①由，时，，，则，
直线AM：；
同理直线BM：.
联立直线AM、BM的方程，得：，，
即M为（），又F（1， 0），则
又M到直线l的距离为，
故以M为圆心、MF为半径的圆与直线l相切.
②准线，对于直线，
令，得，即N为，.
又，由题意，，
∴，
∴，，则直线l：或，
即或.
解密16 抛物线方程
A组 基础练
1．（2020·全国·高三专题练习（理））已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则（ ）
A．2 B．2或4 C．1或2 D．1
【答案】B
【分析】因为抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，
所以，即，代入抛物线方程可得，
整理得，解得或.
故选：B.
2．（2021·全国·高三专题练习（理））已知双曲线与抛物线（其中）交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】根据对称性，设A在第一象限，B在第四象限，由，知，
代入到抛物线方程中，即，解得，
则将代入双曲线方程得，化简得，
解得离心率为或（舍）
故选：D
3．（2022·全国·高三专题练习（理））设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为.设，与相交于点.若，且的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】：如图所示，，．
所以．
轴，，，所以四边形为平行四边形，
，．
，解得，代入可取，
，
解得．
故选：．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，抛物线上的两点，均在第一象限，且，，，则直线的斜率为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】如图：作垂直准线于，垂直准线于，作于，
因为，，，
由抛物线的定义可知：，，，所以，
直线的斜率为：.
故选：C.
5．（2021·上海市控江中学高三阶段练习）已知点的坐标为，点是抛物线上的点，则使得是等腰三角形的点的个数是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】，则P为OA垂直平分线与抛物线的交点，下图中的、；
，则P为以O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的交点，下图中的、；
，则P为以A为圆心，AO为半径的圆与抛物线的交点，下图中的、．
故选：C.
6．（2021·广东茂名·高三阶段练习）已知圆与抛物线交于，两点，与抛物线的准线交于，两点，若四边形是矩形，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】：因为四边形是矩形，
所以由抛物线与圆的对称性知：弦为抛物线的通径，
因为圆的半径为，抛物线的通径为，
所以有：，解得
故选：D
7．（2021·全国·高三阶段练习）如图，抛物线的焦点为F，直线l与C相交于A，B两点，l与y轴相交于E点．已知，记的面积为的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】：抛物线C的准线方程为，分别过点A，B作y轴的垂线，垂足为，
则，
所以.
故选：C．
8．（2021·全国·高三专题练习（理））设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q.则线段FQ的垂直平分线（ ）
A．经过点O B．经过点P
C．平行于直线OP D．垂直于直线OP
【答案】B
【分析】不妨设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，
如图所示，连接PF，
则|PF|＝|PQ|，则△QPF为等腰三角形，∴QF的垂直平分线过点P.故选：B.
9．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知点为拋物线的焦点，过点作两条互相垂直的直线，直线与交于两点，直线与交于两点，则的最小值为（ ）
A．32 B．48 C．64 D．72
【答案】C
【分析】抛物线的焦点，因为，所以直线，斜率存在，且均不为0．
设直线的方程为，
联立，化简得．
则，所以．
因为，故的斜率为，同理可得，
所以，
当且仅当，即是取等号，
故的最小值是64，
故选：C
10．（2022·全国·高三专题练习）已知点P为抛物线上一动点，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据抛物线的对称性，不妨设，
若，则，，，所以；
若，则，，，所以；
若且，此时且，
，所以，
因为,所以，则，当且仅当时取“=”，
而，所以.综上：的最大值为.故选：B.
11．（2020·福建·模拟预测）设的焦点为，过且倾斜角为的直线交于，两点，且又与圆相切于的中点，则的值为_____.
【答案】
【分析】：的焦点，，
又直线的倾斜角为，直线的方程为，
联立，得．
设，，，，的中点为，．
则，，．
与圆相切于的中点，
，解得，．
故答案为：．
12．（2021·全国全国·模拟预测）已知抛物线经过点，直线经过点且与抛物线交于，两点．若线段的中点为，为抛物线的焦点，则的周长为______．
【答案】
【分析】把点代入中得，故抛物线的方程为．
设，，由题意可知直线的斜率存在且不为0，故．
则，，两式相减得，
又因为的中点为，所以，将代入上式得直线的斜率，
于是直线的方程为，即．
联立消去得，，
由根与系数的关系得，，
由抛物线的定义得，
而，
因此的周长为．
故答案为：
13．（2021·全国全国·模拟预测）过原点O的直线与拋物线C：（）交于点A，线段OA的中点为M，又点，．在下面给出的三个条件中任选一个填在横线处，并解答下列问题：
①，②；③的面积为．
（1）______，求拋物线C的方程；
（2）在（1）的条件下，过y轴上的动点B作拋物线C的切线，切点为Q（不与原点O重合），过点B作直线l与OQ垂直，求证：直线l过定点．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】
（1）条件选择见解析，
（2）证明见解析
【分析】（1）由题意知直线OA的斜率存在且不为0，设其方程为，
由得或即，
所以线段OA的中点．因为，所以直线PM的斜率存在，．所以，解得，
所以直线OA的方程为，．
若选①，不妨令，由，得，解得（舍去），所以抛物线C的方程为．
若选②，因为，，所以点P到直线OA的距离为，即，解得（舍去），所以抛物线C的方程为．
若选③，不妨令，因为，
点P到直线OA的距离，
所以，解得（舍去），
所以抛物线C的方程为．
（2）由题意可知切线BQ的斜率存在且不为0．
设，切线BQ的方程为，由得，（*）
所以，解得，所以方程（*）的根为，
代入得，所以切点，于是，则，
所以直线l的方程为，即，所以当b变化时，直线l恒过定点．
14．（2021·广东·梅州市梅江区嘉应中学模拟预测）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，直线经过抛物线的焦点.
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线与抛物线相交于、两点，过、两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求面积的最小值.
【答案】（1）；（2）9.
【分析】：（1）设抛物线的方程为.
直线经过抛物线的焦点，，解得.
抛物线的方程为.
（2）设、，
由，得.
，，，
.
由得..
抛物线经过点的切线方程是，
将代入上式整理得.
同理可得抛物线经过点的切线方程为.
解方程组得，.
到直线的距离，
的面积.
，.当时，.
面积的最小值为.
15．（2021·西藏·拉萨那曲高级中学高三期中（理））抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交H于P、Q两点，且．
（1）求抛物线H的方程;
（2）一条直线经过抛物线H的焦点F，且交曲线H于A、B两点，点C为直线上的动点．
①求证：不可能是钝角;
②是否存在这样的点C，使得是正三角形？若存在，求点C的坐标；否则，说明理由．
【答案】
（1）（2）①证明见解析；②存在，
（1）解：（1）由抛物线H的对称性，得，此坐标为，
设抛物线H的方程为，，得抛物线H的方程为
（2）①设直线， ，
由，消去x并整理得，
则，，
∴，
，
所以，
所以
所以不可能是钝角;
②设存在这样的点C,设线段AB的中点为，连接CM，
因为△ABC为等边三角形，M为AB中点，∴CM⊥AB，
由①知，，所以，，
所以坐标为，当m=0时，直线AB斜率不存在，根据抛物线的对称性可知此时C的坐标为(-1,0),
而A(1,2),B(1,-2),此时AB=4，,,
△ABC不是等边三角形，当时，直线AB的斜率为,
直线CM的斜率为,
由CM⊥AB，得，
解得，
所以C的坐标为
所以 ,
由①得，，
所以
所以，
由得，
所以存在点.
B组 提升练
1．（2021·全国·高三专题练习）抛物线的准线方程是，则的值为（ ）
A．8 B．-8 C． D．
【答案】D
【解析】：将抛物线方程化为标准形式得，其准线方程为，所以．故选：D.
2．（2021·全国·高三专题练习（理））已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】设双曲线与抛物线的公共焦点为，
则抛物线的准线为，
令，则，解得，所以,
又因为双曲线的渐近线方程为，所以，
所以，即，所以，
所以双曲线的离心率.
故选：A.
3．（2022·全国·高三专题练习）不垂直于坐标轴的直线与双曲线的渐近线交于，两点，若线段的中点为，和的斜率满足，则顶点在坐标原点，焦点在轴上，且经过点的抛物线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，则，
相减得，，所以，
即，所以，．由题意设抛物线方程是，则．于是所求抛物线方程是．
故选：C．
4．（2021·江西·南昌市豫章中学高三开学考试）过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，，抛物线的准线l与x轴交于点C，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，
设抛物线的准线为l，过A作于M，过B作于N，过B作于K，设，则，，，
∴，∴，
∴
∴
∴的面积为．
故选：D
5．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线（）的焦点为，点为抛物线上一点，以为圆心的圆经过原点，且与抛物线的准线相切，切点为，线段交抛物线于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，，又，解得，，
则抛物线方程为，所以，，，
设，过点向抛物线的准线作垂线，
垂足为，根据抛物线的定义可知，，因为，
所以.
故选：.
6．（2021·全国·高三阶段练习）已知抛物线焦点为是抛物线上一点，且，点在抛物线上运动，则点到直线的最小距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】法一：抛物线的准线为，由抛物线的定义知：，解得，
∴抛物线的方程为．设，
点到直线的距离，当且仅当时等号成立.
法二：如图，当点到直线的距离最小时，抛物线在点处的切线与平行，
设切点的横坐标为，由，得，则，即
∴抛物线上的点到直线距离最小的点是，此时点到直线的距离为．
法三：设与抛物线相切且与直线平行的直线为，
由，整理得
由，则到直线的最小距离为.
故选：B．
7．（2021·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心模拟预测）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，且点P在第一象限，M是线段上的点，若，则直线的斜率的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，由题可知，设P点坐标为，则
，当且仅当时，等号成立.
故选：B.
8．（2021·福建·厦门市湖滨中学模拟预测）已知抛物线 和点D(2,0)，直线 与抛物线C交于不同两点A、B，直线BD与抛物线C交于另一点E.给出以下判断：
①直线OB与直线OE的斜率乘积为-2； ②轴； ③以BE为直径的圆与抛物线准线相切；
其中，所有正确判断的序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【答案】B
【解析】：由题意，可设直线的方程为，
代入抛物线的方程，有．
设点，的坐标分别为，，
则，．
所．
则直线与直线的斜率乘积为．所以①正确．
将代入抛物线的方程可得，，从而，，
根据抛物线的对称性可知，，两点关于轴对称，
所以直线轴．所以②正确．
如图，设为抛物线的焦点，以线段为直径的圆为，
则圆心为线段的中点．设，到准线的距离分别为，，的半径为，点到准线的距离为，显然，，三点不共线，
则．所以③不正确．
故选：B.
9．（2021·全国·高三专题练习（理））已知动点，关于坐标原点对称，，过点，且与直线相切.若存在定点，使得为定值，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，因为点关于坐标原点对称，所以是线段的中点，
又因为以为圆心的圆过两点，所以有，
因此有，因为点关于坐标原点对称，，所以.
又因为以为圆心的圆与直线相切，所以有，
把、代入中，得：
，化简得：，因此点的轨迹是抛物线，
该抛物线的焦点坐标为，准线方程为：，
，
由抛物线的定义可知：，
所以有，
由题意可知存在定点，使得当运动时，为定值，
因此一定有，此时定点是该抛物线的焦点.
故选：B.
10．（2020·河南·高三阶段练习（理））已知抛物线，有如下性质：由抛物线焦点发出的光线，经抛物线反射后，反射光线与抛物线的对称轴平行.现有一光线的倾斜角为，过抛物线的焦点，经反射后，反射光线与轴的距离为，则抛物线的方程为_________.
【答案】或
【解析】过点的直线为，
由，得或，
从而或3，故所求抛物线方程为或.故答案为：或.
11．（2022·全国·高三专题练习）切轴于点、对称轴平行于轴的抛物线和曲线交于点，并且两曲线在点的切线相互垂直，、两点的横坐标分别为、，和是正的常数，则的值为__________．
【答案】
【解析】因为点的横坐标为，
所以，可设抛物线方程为，即，
的定义域为，
因为抛物线和曲线交于点，点的横坐标为，
所以，即，
因为，所以，，，
则，，
因为两曲线在点的切线相互垂直，所以，
联立，整理得，
解得或（舍去），，
故答案为：.
三、解答题
12．（2021·四川·高三期中（理））设抛物线的焦点为，过焦点作直线交抛物线于，两点．
(1)若，求直线的方程；
(2)设为抛物线上异于，的任意一点，直线，分别与抛物线的准线相交于，两点，求证：以线段为直径的圆经过轴上的定点．
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】(1)由已知，得设直线的方程为，代入，得．
设，，则，．
则，解得，所以直线的方程为．
(2)证明：设，
则，故直线的方程为．
令，得，所以点．
同理可得，点．
设以线段为直径的圆与轴的交点为
则，．
由题意，知，则，即．
由（1）可得，
所以
解得或，
故以线段为直径的圆经过轴上的两个定点和.
13．（2021·全国·高三专题练习）已知抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，圆M的方程为x2＋y2－py＝0，若直线x＝4与x轴交于点R，与抛物线交于点Q，且|QF|＝|RQ|．
(1)求出抛物线E和圆M的方程；
(2)过焦点F的直线l与抛物线E交于A，B两点，与圆M交于C，D两点(点A，C在y轴同侧)，求证：|AC|·|BD|为定值．
【答案】(1)E：x2＝4y，M：x2＋y2－2y＝0；
(2)证明见解析﹒
【解析】(1)设，由，
得，即．
将点代入抛物线方程，可得．
抛物线，圆的方程为：；
(2)抛物线的焦点，
由题可知直线斜率存在，所以设直线的方程为，，，，．
联立，得．
则△，且，．
由圆的方程可得圆的圆心坐标为，半径为1，圆心就是焦点．
由抛物线的定义可知，．
则，，
．
即是定值1．
．
14．（2021·广东·模拟预测）已知圆的圆心为，点是圆上的动点，点是抛物线的焦点，点在线段上，且满足.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)不过原点的直线与（1）中轨迹交于两点，若线段的中点在抛物线上，求直线的斜率的取值范围.
【答案】(1)(2)或
【解析】
【分析】(1)易知点是抛物线的焦点，，依题意，
所以点轨迹是一个椭圆，其焦点分别为，长轴长为4，
设该椭圆的方程为，
则，
，
故点的轨迹的方程为.
(2)
易知直线1的斜率存在，
设直线1：，
由得：，
，
即①又，
故，将，代，
得：，
将②代入①，得：，
即，
即，即，
且，
即的取值范围为或.
15．（2021·湖南·临澧县第一中学高三阶段练习）如图，已知抛物线C：（p>0）的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于AB两点，且的最小值为4.
（1）求抛物线C的方程；
（2）过A、B分别作抛物线C的切线，两切线交于点M.
①求证：以M为圆心，MF为半径的圆恰与直线l相切；
②设直线l与准线交于点N，若，求直线l的方程.
【答案】（1）；（2）①证明见解析；②或.
【解析】
【分析】（1）设、，直线l：.
联立直线l与抛物线方程：，，
∴，，
当m=0时，，则，
∴抛物线C：.
（2）不妨设，且，.
①由，时，，，则，
直线AM：；
同理直线BM：.
联立直线AM、BM的方程，得：，，
即M为（），又F（1， 0），则
又M到直线l的距离为，
故以M为圆心、MF为半径的圆与直线l相切.
②准线，对于直线，
令，得，即N为，.
又，由题意，，
∴，
∴，，则直线l：或，
即或.
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