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高中数学高考解密03 函数及其性质（分层训练）（解析版）-【高频考点解密】2021年高考数学（文）二轮复习讲义+分层训练(1)
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这是一份高中数学高考解密03 函数及其性质（分层训练）（解析版）-【高频考点解密】2021年高考数学（文）二轮复习讲义+分层训练(1)，共21页。试卷主要包含了已知函数f=sinx+，则，函数的图像大致为，已知函数，，则________等内容，欢迎下载使用。
1．（2020·全国高考真题（文））已知函数f(x)=sinx+，则（）
A．f(x)的最小值为2B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的图象关于直线对称D．f(x)的图象关于直线对称
【答案】D
【详解】
可以为负，所以A错；
关于原点对称；
故B错；
关于直线对称，故C错，D对
故选：D
2．（2020·全国高考真题（文））设函数,则（ ）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
【答案】A
【详解】
因为函数定义域为，其关于原点对称，而，
所以函数为奇函数．
又因为函数在上单调递增，在上单调递增，
而在上单调递减，在上单调递减，
所以函数在上单调递增，在上单调递增．
故选：A．
3．（2019·全国高考真题（文））设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)=
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
是奇函数， 时，．
当时，，，得．故选D．
4．（2018·全国高考真题（文））函数的图像大致为 ( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
为奇函数，舍去A,
舍去D;
，
所以舍去C；因此选B.
5．（2018·全国高考真题（文））下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
函数过定点（1，0），（1，0）关于x=1对称的点还是（1，0），只有过此点．
故选项B正确
6．（2018·全国高考真题（文））设函数，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
将函数的图像画出来，观察图像可知会有，解得，所以满足的x的取值范围是，故选D.
7．（2018·全国高考真题（文））已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
因为是定义域为的奇函数，且，
所以,
因此，
因为，所以，
，从而，选C.
8．（2018·全国高考真题（文））已知函数，，则________．
【答案】
【详解】
因为，
，且，则.
故答案为-2
9．（2018·全国高考真题（文））已知函数，若，则________．
【答案】-7
【解析】
首先利用题的条件，将其代入解析式，得到，从而得到，从而求得，得到答案.
1．（2020·北京丰台区·高三二模）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
由，得或.
∴函数的定义域为.
故选：C.
2．（2020·广东湛江市·高三一模（文））已知函数，若在上为增函数，则实数的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
∵当时，，当时，，
∴当时，在上为增函数，
∴.
故选：A．
3．（2020·安徽淮北市·高三一模（文））设函数是定义在R上的奇函数，且，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
是奇函数，，即，
即，，，
.
故选：C.
4．（2020·四川内江市·高三一模（文））已知函数，则（ ）
A．4040B．4038C．2D．9
【答案】B
【详解】
，则
故选：B
5．（2020·全国福建省漳州市教师进修学校高三二模（文））函数的大致图像是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
可得的定义域为关于原点对称，且，
为奇函数，图象关于原点对称，故AC错误；
当时，，故当时，，单调递增，当时，，单调递减，故D错误，B正确.
故选：B.
【点睛】
思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
6．（2020·四川泸州市·高三一模（文））定义在上的函数满足，，当时，，则函数的图象与的图象的交点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】
由题意知：的周期为2，关于对称，且，
∴为偶函数，即可得、的图象如下：
即与交于三点，
故选：C
7．（2020·四川宜宾市·高三一模（文））已知定义在上的奇函数满足，，若且时，都有，则下列四个结论中：①图象关于直线对称；②；③在上为减函数；④.其中正确的个数（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【详解】
因为为奇函数，所以，
所以，所以对称轴为，
因为，所以，所以周期为4，
所以对称轴，故不符合，所以①不正确；
，
因为是定义在上的奇函数，所以，
所以，所以②正确；
因为且时，都有，
所以，即，
所以在上为增函数，所以在上为增函数，
所以在上为增函数，所以③不正确；
因为，，
所以，所以④不正确，即正确的个数为1个，
故选：A.
8．（2020·四川宜宾市·高三一模（文））函数部分图象大致形状为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
由解析式知：，即是奇函数，且，即可排除A、B；
因为，所以时有单调递减，排除D；
故选：C
9．（2020·河南郑州市·高三三模（文））函数的部分图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
因为，
所以是偶函数，图象关于轴对称，
可排除选项；
取，则，可排除，故选C.
10．（2020·陕西高三零模（文））已知在上是减函数，若，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
根据对数函数的单调性可知：，由 ，所以，两边同时取对数可得，即，所以，因为在上是减函数，所以，所以.
故选：B
11．（2020·云南民族大学附属中学高三一模（文））函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
由复合函数的单调性，可知，在上单调递增，
在上单调递增，且函数在处连续，所以在上是增函数，
由，得，解得，
故选：D
12．（2020·全国高三三模（文））高斯函数属于初等函数，以大数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯的名字命名，其图形在形状上像一个倒悬着的钟，高斯函数应用范围很广，在自然科学、社会科学、数学以及工程学等领域都能看到它的身影，设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.则函数的值域为（ ）
A．{0，1}B．C．D．
【答案】D
【详解】
即函数的值域为
由高斯函数定义可知
函数的值域为
故选：D
13．（2020·安徽马鞍山市·高三三模（文））已知函数是定义域为的偶函数，在上单调递减，则不等式的解集是（ ）
A．B．（1，3）C．D．
【答案】C
【详解】
因为的图象是由的图象向左平移2个单位，
而的图象关于轴对称，故的图象关于直线对称.
由在上单调递减可得在上单调递增，
故即为，
也就是，所以或，
解得或，
故选：C．
14．（2020·四川遂宁市·高三零模（文））函数的值域为______．
【答案】
【详解】
当时，
当时，
综上可得，的值域为
故答案为：
15．（2020·河南开封市·高三一模（文））已知函数则____________.
【答案】1
【详解】
，所以
故答案为：1
16．（2020·江西省临川第二中学高三二模（文））若函数，则不等式的取值范围为______.
【答案】
【详解】
当时，，
由得，解得；
当时，，
由得，即，解得或，
所以或，
综上，不等式的取值范围为.
故答案为：
17．（2020·四川泸州市·高三一模（文））函数的最大值为______.
【答案】0
【详解】
由，且，
∴令，，即在为单调递增，为单调递减，而为增函数，
∴在上单调递增，上单调递减，，
故答案为：0
18．（2020·辽宁葫芦岛市·高三一模（文））函数的单调递增区间是__________.
【答案】
【详解】
令，可得，或，故函数的定义域为．
又在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，所以函数的单调递增区间是.
故答案为：．
19．（2020·安徽高三三模（文））已知函数是定义域为 的偶函数，，都有，当时，，则________.
【答案】5
【详解】
解：由可知，关于对称，又因为是偶函数，
所以周期为2，则，
.
故答案为:5.
20．（2020·上海闵行区·高三一模）已知函数，给出下列命题：
①存在实数，使得函数为奇函数；
②对任意实数，均存在实数，使得函数关于对称；
③若对任意非零实数，都成立，则实数的取值范围为；
④存在实数，使得函数对任意非零实数均存在个零点.
其中的真命题是___________.（写出所有真命题的序号）
【答案】②③
【详解】
令，
函数的定义域为，则，
所以，函数为偶函数.
对于①，若，则，则，此时，函数不是奇函数；
若，则函数的定义域为且，，
，显然.
综上所述，对任意的，函数都不是奇函数；
对于②，，
所以，函数关于直线对称.
因此，对任意实数，均存在实数，使得函数关于对称，②正确；
对于③，，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
所以，
因为，当时，两个等号可以同时成立，所以，.
因此，实数的取值范围是，③正确；
对于④，假设存在实数，使得直线与函数的图象有个交点，
若，当时，，
此时，函数在区间单调递减，在区间上单调递增，
当时，；
当时，任取、，且，即，
则
，
，随着、的增大而增大，
当且时，；
当且时，.
所以，存在，使得当时，，则，所以，函数在区间上单调递减；
当时，，则，
所以，函数在区间上单调递增，
所以，当时，.
若存在实数，使得函数对任意非零实数均存在个零点，
即直线与函数的图象有个交点，
由于函数的图象关于直线对称，
则直线与函数在直线右侧的图象有个交点，
所以，.
由于为定值，当且当逐渐增大时，也在逐渐增大，
所以，不可能恒成立，
所以，当时，不存在实数，使得函数对任意非零实数均存在个零点；
同理可知，当时，不存在实数，使得函数对任意非零实数均存在个零点，故命题④错误.
故答案为：②③.
1．（2020·全国高考真题（文））已知函数f(x)=sinx+，则（）
A．f(x)的最小值为2B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的图象关于直线对称D．f(x)的图象关于直线对称
【答案】D
【详解】
可以为负，所以A错；
关于原点对称；
故B错；
关于直线对称，故C错，D对
故选：D
2．（2020·全国高考真题（文））设函数,则（ ）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
【答案】A
【详解】
因为函数定义域为，其关于原点对称，而，
所以函数为奇函数．
又因为函数在上单调递增，在上单调递增，
而在上单调递减，在上单调递减，
所以函数在上单调递增，在上单调递增．
故选：A．
3．（2019·全国高考真题（文））设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)=
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
是奇函数， 时，．
当时，，，得．故选D．
4．（2018·全国高考真题（文））函数的图像大致为 ( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
为奇函数，舍去A,
舍去D;
，
所以舍去C；因此选B.
5．（2018·全国高考真题（文））下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
函数过定点（1，0），（1，0）关于x=1对称的点还是（1，0），只有过此点．
故选项B正确
6．（2018·全国高考真题（文））设函数，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
将函数的图像画出来，观察图像可知会有，解得，所以满足的x的取值范围是，故选D.
7．（2018·全国高考真题（文））已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
因为是定义域为的奇函数，且，
所以,
因此，
因为，所以，
，从而，选C.
8．（2018·全国高考真题（文））已知函数，，则________．
【答案】
【详解】
因为，
，且，则.
故答案为-2
9．（2018·全国高考真题（文））已知函数，若，则________．
【答案】-7
【解析】
首先利用题的条件，将其代入解析式，得到，从而得到，从而求得，得到答案.
1．（2020·北京丰台区·高三二模）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
由，得或.
∴函数的定义域为.
故选：C.
2．（2020·广东湛江市·高三一模（文））已知函数，若在上为增函数，则实数的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
∵当时，，当时，，
∴当时，在上为增函数，
∴.
故选：A．
3．（2020·安徽淮北市·高三一模（文））设函数是定义在R上的奇函数，且，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
是奇函数，，即，
即，，，
.
故选：C.
4．（2020·四川内江市·高三一模（文））已知函数，则（ ）
A．4040B．4038C．2D．9
【答案】B
【详解】
，则
故选：B
5．（2020·全国福建省漳州市教师进修学校高三二模（文））函数的大致图像是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
可得的定义域为关于原点对称，且，
为奇函数，图象关于原点对称，故AC错误；
当时，，故当时，，单调递增，当时，，单调递减，故D错误，B正确.
故选：B.
【点睛】
思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
6．（2020·四川泸州市·高三一模（文））定义在上的函数满足，，当时，，则函数的图象与的图象的交点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】
由题意知：的周期为2，关于对称，且，
∴为偶函数，即可得、的图象如下：
即与交于三点，
故选：C
7．（2020·四川宜宾市·高三一模（文））已知定义在上的奇函数满足，，若且时，都有，则下列四个结论中：①图象关于直线对称；②；③在上为减函数；④.其中正确的个数（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【详解】
因为为奇函数，所以，
所以，所以对称轴为，
因为，所以，所以周期为4，
所以对称轴，故不符合，所以①不正确；
，
因为是定义在上的奇函数，所以，
所以，所以②正确；
因为且时，都有，
所以，即，
所以在上为增函数，所以在上为增函数，
所以在上为增函数，所以③不正确；
因为，，
所以，所以④不正确，即正确的个数为1个，
故选：A.
8．（2020·四川宜宾市·高三一模（文））函数部分图象大致形状为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
由解析式知：，即是奇函数，且，即可排除A、B；
因为，所以时有单调递减，排除D；
故选：C
9．（2020·河南郑州市·高三三模（文））函数的部分图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
因为，
所以是偶函数，图象关于轴对称，
可排除选项；
取，则，可排除，故选C.
10．（2020·陕西高三零模（文））已知在上是减函数，若，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
根据对数函数的单调性可知：，由 ，所以，两边同时取对数可得，即，所以，因为在上是减函数，所以，所以.
故选：B
11．（2020·云南民族大学附属中学高三一模（文））函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
由复合函数的单调性，可知，在上单调递增，
在上单调递增，且函数在处连续，所以在上是增函数，
由，得，解得，
故选：D
12．（2020·全国高三三模（文））高斯函数属于初等函数，以大数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯的名字命名，其图形在形状上像一个倒悬着的钟，高斯函数应用范围很广，在自然科学、社会科学、数学以及工程学等领域都能看到它的身影，设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.则函数的值域为（ ）
A．{0，1}B．C．D．
【答案】D
【详解】
即函数的值域为
由高斯函数定义可知
函数的值域为
故选：D
13．（2020·安徽马鞍山市·高三三模（文））已知函数是定义域为的偶函数，在上单调递减，则不等式的解集是（ ）
A．B．（1，3）C．D．
【答案】C
【详解】
因为的图象是由的图象向左平移2个单位，
而的图象关于轴对称，故的图象关于直线对称.
由在上单调递减可得在上单调递增，
故即为，
也就是，所以或，
解得或，
故选：C．
14．（2020·四川遂宁市·高三零模（文））函数的值域为______．
【答案】
【详解】
当时，
当时，
综上可得，的值域为
故答案为：
15．（2020·河南开封市·高三一模（文））已知函数则____________.
【答案】1
【详解】
，所以
故答案为：1
16．（2020·江西省临川第二中学高三二模（文））若函数，则不等式的取值范围为______.
【答案】
【详解】
当时，，
由得，解得；
当时，，
由得，即，解得或，
所以或，
综上，不等式的取值范围为.
故答案为：
17．（2020·四川泸州市·高三一模（文））函数的最大值为______.
【答案】0
【详解】
由，且，
∴令，，即在为单调递增，为单调递减，而为增函数，
∴在上单调递增，上单调递减，，
故答案为：0
18．（2020·辽宁葫芦岛市·高三一模（文））函数的单调递增区间是__________.
【答案】
【详解】
令，可得，或，故函数的定义域为．
又在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，所以函数的单调递增区间是.
故答案为：．
19．（2020·安徽高三三模（文））已知函数是定义域为 的偶函数，，都有，当时，，则________.
【答案】5
【详解】
解：由可知，关于对称，又因为是偶函数，
所以周期为2，则，
.
故答案为:5.
20．（2020·上海闵行区·高三一模）已知函数，给出下列命题：
①存在实数，使得函数为奇函数；
②对任意实数，均存在实数，使得函数关于对称；
③若对任意非零实数，都成立，则实数的取值范围为；
④存在实数，使得函数对任意非零实数均存在个零点.
其中的真命题是___________.（写出所有真命题的序号）
【答案】②③
【详解】
令，
函数的定义域为，则，
所以，函数为偶函数.
对于①，若，则，则，此时，函数不是奇函数；
若，则函数的定义域为且，，
，显然.
综上所述，对任意的，函数都不是奇函数；
对于②，，
所以，函数关于直线对称.
因此，对任意实数，均存在实数，使得函数关于对称，②正确；
对于③，，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
所以，
因为，当时，两个等号可以同时成立，所以，.
因此，实数的取值范围是，③正确；
对于④，假设存在实数，使得直线与函数的图象有个交点，
若，当时，，
此时，函数在区间单调递减，在区间上单调递增，
当时，；
当时，任取、，且，即，
则
，
，随着、的增大而增大，
当且时，；
当且时，.
所以，存在，使得当时，，则，所以，函数在区间上单调递减；
当时，，则，
所以，函数在区间上单调递增，
所以，当时，.
若存在实数，使得函数对任意非零实数均存在个零点，
即直线与函数的图象有个交点，
由于函数的图象关于直线对称，
则直线与函数在直线右侧的图象有个交点，
所以，.
由于为定值，当且当逐渐增大时，也在逐渐增大，
所以，不可能恒成立，
所以，当时，不存在实数，使得函数对任意非零实数均存在个零点；
同理可知，当时，不存在实数，使得函数对任意非零实数均存在个零点，故命题④错误.
故答案为：②③.
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