解密12 空间向量在空间几何体中应用（分层训练）-高考数学二轮复习讲义+分层训练（新高考专用）

 解密12  空间向量在空间几何体的应用

1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为（     ）

A． B．

C． D．

2．（2021·河南开封·高三阶段练习（理））已知边长为的菱形中，，为边的中点，将沿对角线翻折，在翻折过程中，记直线与所成的角为.当平面平面时，（    ）

A． B． C． D．

3．（2021·黑龙江·哈尔滨德强学校高三期中（理））如图一副直角三角板，现将两三角板拼成直二面角，得到四面体，则下列叙述正确的是（    ）

①平面的法向量与平面的法向量垂直；

②异面直线与所成的角的余弦值为；

③四面体有外接球且该球的半径等于棱BD长；

④直线与平面所成的角为．

A．①②④ B．③ C．③④ D．②③④

4．（2022·全国·高三专题练习）已知O为坐标原点，向量，点Q在直线上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（    ）

A． B． C． D．

5．（2021·河北武强中学高三阶段练习）如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论不正确的是（    ）

A．直线平面

B．三棱锥的体积为定值

C．异面直线与所成角的取值范围是

D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为

6．（2022·全国·高三专题练习）在下列命题中：

①若向量共线，则向量所在的直线平行；

②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；

③若三个向量两两共面，则向量共面；

④已知空间的三个向量则对于空间的任意一个向量总存在实数使得.

其中正确命题的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

7．（2021·浙江·台州一中高三期中）如图，等腰直角中，，点为平面外一动点，满足，，则存在点使得（    ）

A． B．与平面所成角为

C． D．二面角的大小为

8．（2022·全国·高三专题练习）点M是棱长为3的正方体中棱AB的中点，，动点P在正方形（包括边界）内运动，且面DMN，则PC的长度范围为（    ）

A． B． C． D．

9．（2022·广东·华南师大附中模拟预测）如图，三棱柱中，侧面是菱形，其对角线的交点为，且，.

（1）求证: 平面;

（2）设，若直线与平面所成的角为 ，求二面角的余弦值.

10．（2021·天津二中高三阶段练习）如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点.

（1）求证：；

（2）求二面角的正弦值；

（3）求B点到平面的距离.

1．（2021·全国·模拟预测）如图，在正方体中，，，，O为底面ABCD的中心，G为的重心，则（ ）

A． B．

C． D．

2．（2021·浙江·高三阶段练习）如图已知正方体，点是对角线上的一点且，，则（       ）

A．当时，平面 B．当时，平面

C．当为直角三角形时， D．当的面积最小时，

3．（2019·浙江·诸暨市教育研究中心高三期末）三棱锥如图所示，是以为底的等腰直角三角形，中，.当以为轴旋转时，记，二面角的余弦值为，则与的函数关系的图像大致形状是（       ）

A． B．

C． D．

4．（2022·全国·高三专题练习）若正四棱柱的底边长为2，，E是的中点，则到平面EAC的距离为（       ）

A． B． C． D．

5．（2018·浙江·高三学业考试）如图，在长方体中，，，，点是的中点，点为棱上的动点，则平面与平面所成的锐二面角正切的最小值是（       ）

A． B．

C． D．

6．（2022·浙江·高三专题练习）在正三棱柱中，，点满足，则（       ）

A．存在点使得

B．存在点使得

C．存在点使得

D．存在点使得

7．（2021·河南新乡·高三阶段练习（理））在棱长为3的正方体中，点满足，点在平面内，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

8．（2021·全国·高三专题练习（理））如图，正方体中，点，是上的两个三等分点，点，是上的两个三等分点，点，，分别为，和的中点，点是上的一个动点，下面结论中正确的是___________.

①与异面且垂直；

②与相交且垂直；

③平面；

④，，，四点共面.

9．（2022·全国·高三专题练习）如图，边长为的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点、分别在正方形对角线和上移动，且.则下列结论：

①长度的最小值为；

②当时，与相交；

③始终与平面平行；

④当时，为直二面角．

正确的序号是__________．

10．（2022·全国·高三专题练习（理））已知四棱锥P­ABCD的底面是菱形，∠BAD＝60°，PD⊥平面ABCD，且PD＝AB，E是棱AD的中点，F为棱PC上一点.若PF∶FC＝1∶2，则直线EF与平面ABCD所成角的正弦值为________.

三、解答题

11．（2021·天津·静海一中高三阶段练习）已知如图，四边形为矩形，为梯形，平面平面，，，．

(1)若为中点，求证：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值；

(3)在线段上是否存在一点（除去端点），使得平面与平面所成锐二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

12．（2022·天津和平·高三期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为正三角形，且侧面底面，为的中点.

(1)求证：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值；

(3)求平面与平面夹角的余弦值．