2022-2023学年浙江省台州市书生中学高一上学期第一次月考数学试题含解析

2022-2023学年浙江省台州市书生中学高一上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．已知集合A=，B=，则=（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】直接利用集合并集的定义求解即可.

【详解】因为集合A=，B=，

所以=，

故选：D

【点睛】本题主要考查集合并集的定义，属于基础题.

2．已知集合，，若，则实数的值为（    ）

A．2 B．0 C．0或2 D．1

【答案】B

【解析】先化简集合A，再根据求解.

【详解】已知集合，，

因为，

所以m=0，

故选：B

【点睛】本题主要考查集合基本关系的应用，属于基础题.

3．命题“，”的否定是

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【解析】全称命题的否定是特称命题,进而得到答案

【详解】由题, “,”的否定是,,

故选:C

【点睛】本题考查全称命题的否定,属于基础题

4．若实数满足，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】特殊值法判断A、C、D，利用不等式性质判断B.

【详解】A：时不成立，错误；

B：且，则，正确；

C、D：时、不成立，错误；

故选：B

5．设，则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】解一元二次不等式、绝对值不等式求解集，根据充分、必要性定义判断条件间的关系.

【详解】由，可得，

由，可得，

所以是的充分不必要条件.

故选：A

6．南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为、、，则面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由公式列出面积的表达式，代入，然后利用基本不等式可求得结果

【详解】由题意得，

则

，

当且仅当，即时取等号，

所以三角形面积的最大值为.

故选:B

7．已知实数，满足，，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】令，，可得，再根据的范围求解即可.

【详解】令，，则，所以．因为，所以．因为，所以，所以.

故选：B

8．对于全集的子集定义函数为的特征函数,设为全集的子集,下列结论中错误的是(    )

A．若则 B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据,逐项分析,即可求得答案.

【详解】

对于A,,

分类讨论：

①当,则此时

②当且,即,此时，

③当且,

即时,,此时

综合所述,有,故A正确;

对于B , ,故(2)正确；

对于C ,

,故C正确;

对于D ,,故D错误.

故选:D.

【点睛】本题主要考查了函数新定义和集合运算,解题关键是充分理解新定义和掌握函数,集合基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于难题.

二、多选题

9．已知集合，则下列式子正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】求出集合A，即可依次判断.

【详解】，

.

故选：ACD.

10．下列说法中正确的有（    ）

A．“”是“”成立的充分不必要条件

B．命题：，均有，则的否定：，使得

C．设是两个数集，则“”是“”的充要条件

D．设是两个数集，若，则，

【答案】ACD

【分析】举反例可判断A选项；由全称例题的否定是特称命题可判断B选项；由集合间的交集运算和集合间的关系可判断C选项；由集合非空和集合与元素间的关系可判断D选项.

【详解】解：对于A，当时，能推出， 而由 不能推出 ，如，而，

所以 “”是“”成立的充分不必要条件，故A正确；

对于B，命题：，均有，则命题的否定：，使得，故B不正确；

对于C，是两个数集，则由能推出，反之，由 能推出 ，

所以 “”是“”的充要条件，故C正确；

对于D，是两个数集，若，即集合A、B存在相同的元素，则，，故D正确，

故选：ACD.

11．下列说法不正确的是（    ）

A．不等式的解集为

B．若实数a，b，c满足，则

C．若，则函数的最小值为2

D．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是

【答案】ACD

【分析】根据不含参一元二次不等式的解法解不等式，即可判定选项A；

根据不等式的性质即可判定选项B；

根据代入代数式即可判定选项C；

根据不等式恒成立的解法求出k的范围，即可判定选项D.

【详解】对A，由解得或，所以A错误；

对B，由于，所以可以对两边同除，得到，所以B正确；

对C，由于，所以，所以C错误；

对D，①当时，不等式为，恒成立；

②当时，若要使不等式恒成立，则，解得

所以当时，不等式恒成立，则k的取值范围是，所以D错误；

故选：ACD．

12．已知关于的不等式，下列结论正确的是（    ）

A．当时，不等式的解集为

B．当时，不等式的解集可以为的形式

C．不等式的解集恰好为，那么

D．不等式的解集恰好为，那么

【答案】AD

【分析】A：由，利用判别式即可判断；

B：在同一平面直角坐标系中，作函数以及和的图象，利用图象即可判断；

C：根据不等式的解集求出的值，再判断是否小于等于1，即可判断；

D：根据不等式的解集求出的值，再判断是否小于等于1，即可判断；

【详解】解：对于A：由，可得，又，所以，从而不等式的解集为，故A正确；

对于B：在同一平面直角坐标系中，作函数以及和的图象，如图所示，设交点，

由图可知，当时，不等式的解集为的形式，故B错误；

对于C：由不等式的解集恰好为，可知，即，

所以和是方程的两根，从而有，解得或，

又由，解得或，不满足，不符合题意，故C错误；

对于D：当时，由，解得或，当时满足，此时，故D正确．

故选：AD．

三、填空题

13．已知集合，且，则_________．

【答案】-3

【分析】由集合，，，且，得或，由此能求出结果．

【详解】解：集合，，，且，

或，

解得，或，

当时，，，，不合题意，

当时，，，，符合题意．

综上，．

故答案为：.

14．函数的定义域是___________.（用区间表示）

【答案】

【分析】利用根式、分式性质列不等式组求定义域.

【详解】由题设，可得且，

所以定义域为.

故答案为：

15．已知，，且，则的最小值是___________.

【答案】4.5

【分析】利用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意取值条件.

【详解】由，，则，

当且仅当，即时等号成立.

所以的最小值是.

故答案为：

16．设关于x的不等式，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则全部不等式的整数解的和为____________

【答案】

【分析】先确定，再利用0为其中的一个解，，求出的值，从而可得不等式，由此确定不等式的整数解，从而可得结论.

【详解】设，其图象为抛物线，

对于任意一个给定的值其抛物线只有在开口向下的情况下才能满足而整数解只有有限个，所以，

因为0为其中一个解可以求得，

又，所以或，

则不等式为和，

可分别求得和，

因为位整数，所以和，

所以全部不等式的整数解的和为.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的应用，其中解答中根据题设条件确定出实数的值，求出相应的一元二次不等式的解集是解答关键，推理与运算能力.

四、解答题

17．已知集合，．

(1)时，求及；

(2)若时，求实数a的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）先求出集合，，，然后结合集合的交、并运算求解即可；

（2）由，得，然后结合集合的包含关系对B是否为空集进行分讨论，即可求解．

【详解】(1)∵由，得

由题可知

∴或

∴

∴；

(2)∵，

∴

分两种情况考虑：

时，，解得：

时，则，解得：

所以a的取值范围为．

18．如图，定义在上的函数的图象由一条线段及抛物线的一部分组成．

(1)求的解析式；

(2)写出的值域．

【答案】（1）；（2）

【详解】试题分析：（1）由图像可知，函数为分段函数，当时，设解析式为，代入(-1,0),(0,1)可求出此段函数表达式，当时，函数图像的对称轴为x=2,过（4,0），（0,0）点，所以设解析式为，可求，最后要写成分段函数形式．

试题解析：（1）当时，设解析式为，

由图象有，解得，∴，当时，

设解析式为，

∵图象过点，∴，解得，

∴，

综上，函数在上的解析式为

（2）由图可知，其值域为.

19．已知全集，，，.

(1)当时，求阴影部分表示的集合；

(2)在①，②，③，这三个条件中任选一个补充到下列问题中并作答.

问题：设        ，，是否存在实数，使得是的必要不充分条件？若实数存在，求的取值范围；若实数不存在，说明理由.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】(1)由图可知阴影部分表示的集合为，根据含参一元二次不等式的求法求出集合B，结合补集的概念求出，利用交集的运算即可得出结果；

(2) 由（1）可知命题为，选择一个条件，利用集合的交并补运算和集合与集合之间的关系即可求出对应参数的取值范围.

【详解】(1)或

当时，，则

所以阴影部分表示的集合

(2)由（1）可知，命题为

若选①，命题为

若是的必要不充分条件，则

所以或

则或

故存在满足题意，且的取值范围为.

若选②，命题为

若是的必要不充分条件，则

所以，且等号不同时成立，

解得

故不存在满足题意的实数

若选③，命题为

若是的必要不充分条件，则

所以且等号不同时成立，

解得

故存在满足题意，的取值范围为.

20．为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为.设直角梯形的高为.

(1)当时，求海报纸的面积；

(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？

【答案】(1)

(2)当海报纸宽为，长为，可使用纸量最少．

【分析】（1）根据已知条件，先求出梯形长的底边，再分别求出，，即可求解；

（2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．

【详解】(1)宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为，直角梯形的高为，

则梯形长的底边，

海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，

，，

故海报面积为．

(2)直角梯形的高为，宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为，

，

海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，

海报宽，海报长，

故，

当且仅当，即，

故当海报纸宽为，长为，可使用纸量最少．

21．已知二次函数．

（1）若的解集为，解关于x的不等式；

（2）若不等式对恒成立，求的最大值．

【答案】(1) ;(2) .

【解析】(1)先根据一元二次不等式解集与对应方程根的关系，求得，代入并解一元二次不等式得结果，（2）根据二次函数图像得，即得，因此，再令化为对勾函数，利用基本不等式求最值.

【详解】（1）∵的解集为

∴，，

∴.故

从而，解得.

（2）∵恒成立，

∴，

∴∴，

令，∵ ∴，从而，

∴，令.

①当时，；

②当时， ，

∴的最大值为.

【点睛】易错点睛:在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.