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2022-2023学年浙江省台州市书生中学高二上学期第三次月考数学试题（解析版）
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2022-2023学年浙江省台州市书生中学高二上学期第三次月考数学试题一、单选题1．已知点是点在坐标平面内的射影，则点的坐标为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据空间中射影的定义即可得到答案.【详解】因为点是点在坐标平面内的射影，所以的竖坐标为0 ，横、纵坐标与A点的横、纵坐标相同，所以点的坐标为.故选：D2．设等差数列的前n项和为．若，则（ ）A．19 B．21 C．23 D．38【答案】A【分析】由已知及等差数列的通项公式得到公差d，再利用前n项和公式计算即可.【详解】设等差数列的公差为d，由已知，得，解得，所以.故选：A3．设分别是椭圆的左、右焦点，P是C上的点，则的周长为（ ）A．13 B．16 C．20 D．【答案】B【分析】利用椭圆的定义及即可得到答案.【详解】由椭圆的定义，，焦距，所以的周长为.故选：B4．一个射手进行射击，记事件=“脱靶”，=“中靶”，=“中靶环数大于4”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件是（ ）A．与 B．与 C．与 D．以上都不对【答案】B【分析】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的意义逐项分析判断作答.【详解】射手进行射击时，事件=“脱靶”，=“中靶”，=“中靶环数大于4”，事件与不可能同时发生，并且必有一个发生，即事件与是互斥且对立，A不是；事件与不可能同时发生，但可以同时不发生，即事件与是互斥不对立，B是；事件与可以同时发生，即事件与不互斥不对立，C不是，显然D不正确.故选：B5．在棱长均为1的平行六面体中，，则（ ）A． B．3 C． D．6【答案】C【分析】设，，，利用结合数量积的运算即可得到答案.【详解】设，，，由已知，得，，，，所以，所以.故选：C6．已知数列满足，则（ ）A． B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】根据递推式以及迭代即可.【详解】由，得，，，，，，.故选：B7．抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为F，一条平行于y轴的光线从点射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则经点B反射后的反射光线必过点（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出、坐标可得直线的方程，与抛物线方程联立求出，根据选项可得答案,【详解】把代入得，所以，所以直线的方程为即，与抛物线方程联立解得，所以，因为反射光线平行于y轴，根据选项可得D正确,故选：D.8．已知点与不重合的点A，B共线，若以A，B为圆心，2为半径的两圆均过点，则的取值范围为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可得两点的坐标满足圆，然后由圆的性质可得当时，弦长最小，当过点时，弦长最长，再根据向量数量积的运算律求解即可【详解】设点，则以A，B为圆心，2为半径的两圆方程分别为和，因为两圆过，所以和，所以两点的坐标满足圆，因为点与不重合的点A，B共线，所以为圆的一条弦，所以当弦长最小时，，因为，半径为2，所以弦长的最小值为，当过点时，弦长最长为4，因为，所以当弦长最小时，的最大值为，当弦长最大时，的最小值为，所以的取值范围为，故选：D二、多选题9．圆与圆的位置关系可能是（ ）A．外离 B．外切 C．相交 D．内含【答案】ABC【分析】由圆心距与两圆半径的关系判断两圆的位置关系.【详解】整理为：，从而圆心为，半径为2，而的圆心为，半径为2，从而两圆的圆心距为，当，即或时，此时两圆外离；当，此时，此时两圆外切；由于恒成立，故当，即时，两圆相交；且，故两圆不会内含或内切，综上：两圆得位置关系可能是外离，外切或相交.故选：ABC10．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（ ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根据，，的值，可得，利用累加法可得即可判断选项A、C，再计算前项的和可判断B；利用裂项求和可判断D，进而可得答案.【详解】依题意因为，，，……，，以上个式子累加可得：，又满足上式，所以，，故A错误；因，所以，故B正确；因为，所以，故C正确；，，故D错误.故选：BC11．已知曲线，分别为C的左、右焦点，点P在C上，且是直角三角形，下列判断正确的是（ ）A．曲线C的焦距为B．若满足条件的点P有且只有4个，则m的取值范围是且C．若满足条件的点P有且只有6个，则D．若满足条件的点P有且只有8个，则m的取值范围是【答案】AC【分析】依次对所给选项利用数形结合的思想进行判断即可.【详解】A.当C表示椭圆时，因为，所以C的焦点在x轴上，且，所以，即，所以焦距为；当C表示双曲线时，因为，即，所以C的焦点在x轴上，所以，即，所以焦距为；故A正确；B.若满足条件的点P有且只有4个，则C表示椭圆，如图1，以为直径的圆O与C没有公共点，所以，即，所以m的取值范围是，故B错误；C.若满足条件的点P有且只有6个，则C表示椭圆，如图2，以为直径的圆O与C有2个公共点，所以，即，所以m的取值范围是，故C正确；D.若满足条件的点P有且只有8个，则当C表示椭圆时，如图3，以为直径的圆O与C有4个公共点，所以，即，所以m的取值范围是；当C表示双曲线时，如图4，以为直径的圆O与C恒有8个公共点，所以，综上m的取值范围是或；故D错误.故选：AC12．已知边长为的正三角形中，为中点，动点在线段上（不含端点），以为折痕将折起，使点到达的位置．记，异面直线与所成角为，则对于任意点，下列成立的是（ ）A．B．C．存在点，使得D．存在点，使得平面【答案】ABC【分析】利用空间向量数量积的运算性质可判断A选项；利用空间向量夹角的数量积表示可判断B选项；利用线面垂直的性质可判断C选项；利用反证法可判断D选项.【详解】对于A选项，因为，由图可知，为锐角，故，A对；对于B选项，因为，因为，，所以，，因为、均为锐角且函数在上单调递减，故，B对；对于C选项，，过直线作平面，使得平面，设，连接，因为平面，平面，则，在翻折的过程中，当时，，故存在点，使得，C对；对于D选项，若平面，平面，则，，事实上，，矛盾，故假设不成立，D错.故选；ABC.三、填空题13．已知，且，则_____________．【答案】2【分析】由共线向量得，解方程即可.【详解】因为，所以，解得.故答案为：214．若等比数列满足，则的前n项和____________．【答案】##【分析】由已知及等比数列的通项公式得到首项和公比，再利用前n项和公式计算即可.【详解】设等比数列的公比为，由已知，得，解得，所以.故答案为：15．已知P是椭圆的上顶点，过原点的直线l交C于A，B两点，若的面积为，则l的斜率为____________．【答案】【分析】设出直线AB的方程，联立椭圆方程得到A点横坐标满足，再利用，解方程即可得到答案.【详解】设直线AB的方程为：，，由，得，所以，又所以，解得.故答案为：16．设O为坐标原点，F为双曲线的焦点，过F的直线l与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，且的内切圆的半径为，则C的离心率为____________．【答案】##【分析】，作出渐近线图像，由题可知的内切圆圆心在x轴上，过内心作OA和AB的垂线，可得几何关系，据此即可求解.【详解】双曲线渐近线OA与OB如图所示，OA与OB关于x轴对称，设△OAB的内切圆圆心为，则M在的平分线上，过点分别作于点于，由，则四边形为正方形，由焦点到渐近线的距离为得，又，∴，且，∴，∴，则.故答案为：.四、解答题17．现有两个红球（记为，），两个白球（记为，），采用不放回简单随机抽样从中任意抽取两球.（1）写出试验的样本空间；（2）求恰好抽到一个红球一个白球的概率.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）按树形结构写出基本事件得事件空间；（2）事件空间中有6个样本点，再观察恰好抽到一个红球一个白球这个事件含有的样本点的个数后可得概率．【详解】解：（1）两个红球（记为，），两个白球（记为，），采用不放回简单随机抽样从中任意抽取两球，则试验的样本空间.（2）试验的样本空间，包含6个样本点，其中恰好抽到一个红球一个白球包含4个样本点，∴恰好抽到一个红球一个白球的概率.18．公差不为0的等差数列中，，且成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前n项和为．若，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等比数列的定义以及等差数列的性质，列出方程即可得到答案；（2）先求出的通项，再利用的单调性即可得到的最小值，从而求得的取值范围．【详解】（1）依题意，，，所以，设等差数列的公差为，则，解得，所以（2），则数列是递增数列，，所以，若，则.19．某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米．在建筑物底面中心O的东北方向米的点A处，有一全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度．（温馨提示：为了降低解决问题难度，以O为原点，正东方向为x轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系）(1)在西辅道上距离建筑物1米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内？请说明理由.(2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度．【答案】(1)不在，理由见解析(2)17.5米【分析】（1）求出直线AB的方程，再判断直线AB与圆O的位置关系即可得出结论；（2）摄像头监控会被建筑物遮挡，求出过点A并与圆O相切的直线方程，再令其与直线分别联立即可得出答案.【详解】（1）以O为原点，正东方向为x轴正方向建立如图所示平面直角坐标系，则，，观景直道所在直线方程为，由题意可得，游客所在点为，则直线AB的方程为，即，故圆心O到直线AB的距离，故直线AB与圆O相交，故游客不在该摄像头监控范围内；（2）由图可得：过点A的直线l与圆O相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物遮挡，所以设直线l过A点且与圆O相切，（1）若直线l垂直于x轴，则l不可能与圆O相切，（2）若直线l不垂直于x轴，设l：，即，故圆心O到直线l的距离，解得或，故直线l的方程为或，即或，设这两条直线与交于D，E两点，由解得，由解得，故，故观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为17.5米.20．如图，在三棱柱中，点在底面内的射影恰好是点，是的中点，且满足．(1)求证：平面；(2)已知，直线与底面所成角的大小为，求二面角的大小．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）分别证明出和，利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）以C为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法求二面角的平面角.【详解】（1）因为点在底面内的射影恰好是点，所以面.因为面,所以.因为是的中点，且满足．所以，所以.因为，所以，即,所以.因为,面,面,所以平面.（2）∵面，∴直线与底面所成角为，即.因为，所以由（1）知，，因为，所以，.如图示，以C为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.则,,,,所以，设，由得，，即.则.设平面BDC1的一个法向量为，则，不妨令，则.因为面，所以面的一个法向量为记二面角的平面角为，由图知，为锐角.所以,即.所以二面角的大小为.21．某企业为响应“安全生产”号召，将全部生产设备按设备安全系数分为A，两个等级，其中等设备安全系数低于A等设备.企业定时对生产设备进行检修，并将部分等设备更新成A等设备.据统计，2020年底该企业A等设备量已占全体设备总量的30%.从2021年开始，企业决定加大更新力度，预计今后每年将16%的等设备更新成A等设备，与此同时，4%的A等设备由于设备老化将降级成等设备.(1)在这种更新制度下，在将来的某一年该企业的A等设备占全体设备的比例能否超过80%？请说明理由；(2)至少在哪一年底，该企业的A等设备占全体设备的比例超过60%.（参考数据：，，）【答案】(1)A等设备量不可能超过生产设备总量的80%，理由见解析；(2)在2025年底实现A等设备量超过生产设备总量的60%.【分析】(1)根据题意表示出2020年开始，经过年后A等设备量占总设备量的百分比为，求出，根据的范围进行判断；(2)令＞即可求解.【详解】（1）记该企业全部生产设备总量为“1”，2020年开始，经过年后A等设备量占总设备量的百分比为，则经过1年即2021年底该企业A等设备量，，可得，又所以数列是以为首项，公比为的等比数列，可得，所以，显然有，所以A等设备量不可能超过生产设备总量的80%.（2）由，得.因为单调递减，又，，所以在2025年底实现A等设备量超过生产设备总量的60%.22．已知椭圆的离心率是，且过点.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线与椭圆交于A、B两点，线段的中点为，为坐标原点，且，求面积的最大值.【答案】(1)；(2)2.【分析】(1)根据已知条件列出关于a、b、c的方程组即可求得椭圆标准方程；(2)直线l和x轴垂直时，根据已知条件求出此时△AOB面积；直线l和x轴不垂直时，设直线方程为点斜式y＝kx＋t，代入椭圆方程得二次方程，结合韦达定理和弦长得k和t的关系，表示出△AOB的面积，结合基本不等式即可求解三角形面积最值.【详解】（1）由题知，解得，∴椭圆的标准方程为.（2）当轴时，位于轴上，且，由可得，此时；当不垂直轴时，设直线的方程为，与椭圆交于，，由，得.得，，从而已知，可得.∵.设到直线的距离为，则，结合化简得此时的面积最大，最大值为2.当且仅当即时取等号，综上，的面积的最大值为2.
2022-2023学年浙江省台州市书生中学高二上学期第三次月考数学试题一、单选题1．已知点是点在坐标平面内的射影，则点的坐标为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据空间中射影的定义即可得到答案.【详解】因为点是点在坐标平面内的射影，所以的竖坐标为0 ，横、纵坐标与A点的横、纵坐标相同，所以点的坐标为.故选：D2．设等差数列的前n项和为．若，则（ ）A．19 B．21 C．23 D．38【答案】A【分析】由已知及等差数列的通项公式得到公差d，再利用前n项和公式计算即可.【详解】设等差数列的公差为d，由已知，得，解得，所以.故选：A3．设分别是椭圆的左、右焦点，P是C上的点，则的周长为（ ）A．13 B．16 C．20 D．【答案】B【分析】利用椭圆的定义及即可得到答案.【详解】由椭圆的定义，，焦距，所以的周长为.故选：B4．一个射手进行射击，记事件=“脱靶”，=“中靶”，=“中靶环数大于4”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件是（ ）A．与 B．与 C．与 D．以上都不对【答案】B【分析】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的意义逐项分析判断作答.【详解】射手进行射击时，事件=“脱靶”，=“中靶”，=“中靶环数大于4”，事件与不可能同时发生，并且必有一个发生，即事件与是互斥且对立，A不是；事件与不可能同时发生，但可以同时不发生，即事件与是互斥不对立，B是；事件与可以同时发生，即事件与不互斥不对立，C不是，显然D不正确.故选：B5．在棱长均为1的平行六面体中，，则（ ）A． B．3 C． D．6【答案】C【分析】设，，，利用结合数量积的运算即可得到答案.【详解】设，，，由已知，得，，，，所以，所以.故选：C6．已知数列满足，则（ ）A． B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】根据递推式以及迭代即可.【详解】由，得，，，，，，.故选：B7．抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为F，一条平行于y轴的光线从点射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则经点B反射后的反射光线必过点（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出、坐标可得直线的方程，与抛物线方程联立求出，根据选项可得答案,【详解】把代入得，所以，所以直线的方程为即，与抛物线方程联立解得，所以，因为反射光线平行于y轴，根据选项可得D正确,故选：D.8．已知点与不重合的点A，B共线，若以A，B为圆心，2为半径的两圆均过点，则的取值范围为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可得两点的坐标满足圆，然后由圆的性质可得当时，弦长最小，当过点时，弦长最长，再根据向量数量积的运算律求解即可【详解】设点，则以A，B为圆心，2为半径的两圆方程分别为和，因为两圆过，所以和，所以两点的坐标满足圆，因为点与不重合的点A，B共线，所以为圆的一条弦，所以当弦长最小时，，因为，半径为2，所以弦长的最小值为，当过点时，弦长最长为4，因为，所以当弦长最小时，的最大值为，当弦长最大时，的最小值为，所以的取值范围为，故选：D二、多选题9．圆与圆的位置关系可能是（ ）A．外离 B．外切 C．相交 D．内含【答案】ABC【分析】由圆心距与两圆半径的关系判断两圆的位置关系.【详解】整理为：，从而圆心为，半径为2，而的圆心为，半径为2，从而两圆的圆心距为，当，即或时，此时两圆外离；当，此时，此时两圆外切；由于恒成立，故当，即时，两圆相交；且，故两圆不会内含或内切，综上：两圆得位置关系可能是外离，外切或相交.故选：ABC10．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（ ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根据，，的值，可得，利用累加法可得即可判断选项A、C，再计算前项的和可判断B；利用裂项求和可判断D，进而可得答案.【详解】依题意因为，，，……，，以上个式子累加可得：，又满足上式，所以，，故A错误；因，所以，故B正确；因为，所以，故C正确；，，故D错误.故选：BC11．已知曲线，分别为C的左、右焦点，点P在C上，且是直角三角形，下列判断正确的是（ ）A．曲线C的焦距为B．若满足条件的点P有且只有4个，则m的取值范围是且C．若满足条件的点P有且只有6个，则D．若满足条件的点P有且只有8个，则m的取值范围是【答案】AC【分析】依次对所给选项利用数形结合的思想进行判断即可.【详解】A.当C表示椭圆时，因为，所以C的焦点在x轴上，且，所以，即，所以焦距为；当C表示双曲线时，因为，即，所以C的焦点在x轴上，所以，即，所以焦距为；故A正确；B.若满足条件的点P有且只有4个，则C表示椭圆，如图1，以为直径的圆O与C没有公共点，所以，即，所以m的取值范围是，故B错误；C.若满足条件的点P有且只有6个，则C表示椭圆，如图2，以为直径的圆O与C有2个公共点，所以，即，所以m的取值范围是，故C正确；D.若满足条件的点P有且只有8个，则当C表示椭圆时，如图3，以为直径的圆O与C有4个公共点，所以，即，所以m的取值范围是；当C表示双曲线时，如图4，以为直径的圆O与C恒有8个公共点，所以，综上m的取值范围是或；故D错误.故选：AC12．已知边长为的正三角形中，为中点，动点在线段上（不含端点），以为折痕将折起，使点到达的位置．记，异面直线与所成角为，则对于任意点，下列成立的是（ ）A．B．C．存在点，使得D．存在点，使得平面【答案】ABC【分析】利用空间向量数量积的运算性质可判断A选项；利用空间向量夹角的数量积表示可判断B选项；利用线面垂直的性质可判断C选项；利用反证法可判断D选项.【详解】对于A选项，因为，由图可知，为锐角，故，A对；对于B选项，因为，因为，，所以，，因为、均为锐角且函数在上单调递减，故，B对；对于C选项，，过直线作平面，使得平面，设，连接，因为平面，平面，则，在翻折的过程中，当时，，故存在点，使得，C对；对于D选项，若平面，平面，则，，事实上，，矛盾，故假设不成立，D错.故选；ABC.三、填空题13．已知，且，则_____________．【答案】2【分析】由共线向量得，解方程即可.【详解】因为，所以，解得.故答案为：214．若等比数列满足，则的前n项和____________．【答案】##【分析】由已知及等比数列的通项公式得到首项和公比，再利用前n项和公式计算即可.【详解】设等比数列的公比为，由已知，得，解得，所以.故答案为：15．已知P是椭圆的上顶点，过原点的直线l交C于A，B两点，若的面积为，则l的斜率为____________．【答案】【分析】设出直线AB的方程，联立椭圆方程得到A点横坐标满足，再利用，解方程即可得到答案.【详解】设直线AB的方程为：，，由，得，所以，又所以，解得.故答案为：16．设O为坐标原点，F为双曲线的焦点，过F的直线l与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，且的内切圆的半径为，则C的离心率为____________．【答案】##【分析】，作出渐近线图像，由题可知的内切圆圆心在x轴上，过内心作OA和AB的垂线，可得几何关系，据此即可求解.【详解】双曲线渐近线OA与OB如图所示，OA与OB关于x轴对称，设△OAB的内切圆圆心为，则M在的平分线上，过点分别作于点于，由，则四边形为正方形，由焦点到渐近线的距离为得，又，∴，且，∴，∴，则.故答案为：.四、解答题17．现有两个红球（记为，），两个白球（记为，），采用不放回简单随机抽样从中任意抽取两球.（1）写出试验的样本空间；（2）求恰好抽到一个红球一个白球的概率.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）按树形结构写出基本事件得事件空间；（2）事件空间中有6个样本点，再观察恰好抽到一个红球一个白球这个事件含有的样本点的个数后可得概率．【详解】解：（1）两个红球（记为，），两个白球（记为，），采用不放回简单随机抽样从中任意抽取两球，则试验的样本空间.（2）试验的样本空间，包含6个样本点，其中恰好抽到一个红球一个白球包含4个样本点，∴恰好抽到一个红球一个白球的概率.18．公差不为0的等差数列中，，且成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前n项和为．若，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等比数列的定义以及等差数列的性质，列出方程即可得到答案；（2）先求出的通项，再利用的单调性即可得到的最小值，从而求得的取值范围．【详解】（1）依题意，，，所以，设等差数列的公差为，则，解得，所以（2），则数列是递增数列，，所以，若，则.19．某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米．在建筑物底面中心O的东北方向米的点A处，有一全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度．（温馨提示：为了降低解决问题难度，以O为原点，正东方向为x轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系）(1)在西辅道上距离建筑物1米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内？请说明理由.(2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度．【答案】(1)不在，理由见解析(2)17.5米【分析】（1）求出直线AB的方程，再判断直线AB与圆O的位置关系即可得出结论；（2）摄像头监控会被建筑物遮挡，求出过点A并与圆O相切的直线方程，再令其与直线分别联立即可得出答案.【详解】（1）以O为原点，正东方向为x轴正方向建立如图所示平面直角坐标系，则，，观景直道所在直线方程为，由题意可得，游客所在点为，则直线AB的方程为，即，故圆心O到直线AB的距离，故直线AB与圆O相交，故游客不在该摄像头监控范围内；（2）由图可得：过点A的直线l与圆O相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物遮挡，所以设直线l过A点且与圆O相切，（1）若直线l垂直于x轴，则l不可能与圆O相切，（2）若直线l不垂直于x轴，设l：，即，故圆心O到直线l的距离，解得或，故直线l的方程为或，即或，设这两条直线与交于D，E两点，由解得，由解得，故，故观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为17.5米.20．如图，在三棱柱中，点在底面内的射影恰好是点，是的中点，且满足．(1)求证：平面；(2)已知，直线与底面所成角的大小为，求二面角的大小．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）分别证明出和，利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）以C为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法求二面角的平面角.【详解】（1）因为点在底面内的射影恰好是点，所以面.因为面,所以.因为是的中点，且满足．所以，所以.因为，所以，即,所以.因为,面,面,所以平面.（2）∵面，∴直线与底面所成角为，即.因为，所以由（1）知，，因为，所以，.如图示，以C为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.则,,,,所以，设，由得，，即.则.设平面BDC1的一个法向量为，则，不妨令，则.因为面，所以面的一个法向量为记二面角的平面角为，由图知，为锐角.所以,即.所以二面角的大小为.21．某企业为响应“安全生产”号召，将全部生产设备按设备安全系数分为A，两个等级，其中等设备安全系数低于A等设备.企业定时对生产设备进行检修，并将部分等设备更新成A等设备.据统计，2020年底该企业A等设备量已占全体设备总量的30%.从2021年开始，企业决定加大更新力度，预计今后每年将16%的等设备更新成A等设备，与此同时，4%的A等设备由于设备老化将降级成等设备.(1)在这种更新制度下，在将来的某一年该企业的A等设备占全体设备的比例能否超过80%？请说明理由；(2)至少在哪一年底，该企业的A等设备占全体设备的比例超过60%.（参考数据：，，）【答案】(1)A等设备量不可能超过生产设备总量的80%，理由见解析；(2)在2025年底实现A等设备量超过生产设备总量的60%.【分析】(1)根据题意表示出2020年开始，经过年后A等设备量占总设备量的百分比为，求出，根据的范围进行判断；(2)令＞即可求解.【详解】（1）记该企业全部生产设备总量为“1”，2020年开始，经过年后A等设备量占总设备量的百分比为，则经过1年即2021年底该企业A等设备量，，可得，又所以数列是以为首项，公比为的等比数列，可得，所以，显然有，所以A等设备量不可能超过生产设备总量的80%.（2）由，得.因为单调递减，又，，所以在2025年底实现A等设备量超过生产设备总量的60%.22．已知椭圆的离心率是，且过点.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线与椭圆交于A、B两点，线段的中点为，为坐标原点，且，求面积的最大值.【答案】(1)；(2)2.【分析】(1)根据已知条件列出关于a、b、c的方程组即可求得椭圆标准方程；(2)直线l和x轴垂直时，根据已知条件求出此时△AOB面积；直线l和x轴不垂直时，设直线方程为点斜式y＝kx＋t，代入椭圆方程得二次方程，结合韦达定理和弦长得k和t的关系，表示出△AOB的面积，结合基本不等式即可求解三角形面积最值.【详解】（1）由题知，解得，∴椭圆的标准方程为.（2）当轴时，位于轴上，且，由可得，此时；当不垂直轴时，设直线的方程为，与椭圆交于，，由，得.得，，从而已知，可得.∵.设到直线的距离为，则，结合化简得此时的面积最大，最大值为2.当且仅当即时取等号，综上，的面积的最大值为2.
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