专题：一元二次方程

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专题：一元二次方程一 基础提升专练题库：解一元二次方程1．用直接开平方法解下列方程：（1）x2＝3； （2）8x＝2；（3）（x+1）2﹣16＝0； （4）（3x﹣1）2﹣9＝0；（5）100（1﹣x）2＝64；（6）x2﹣4x+4＝3．2．用配方法解下列方程：（1）x2+2x﹣4＝0；（2）x2﹣7x+5＝0；（3）﹣3x﹣5＝0；（4）2x2+1＝3x；（5）0.1x2+x+0.5＝0；（6）x2﹣2x﹣＝0．3.用公式法解下列方程：（1）x2+3x﹣4＝0；（2）2x2﹣13x+15＝0；（3）﹣x2+3x﹣6＝0；（4）x2﹣＝1；（5）；（6）3x2﹣（x﹣2）2＝5．4.用因式分解法解下列方程：（1）x2﹣18x+81＝0；（2）（x﹣5）2﹣x+5＝0；（3）3x（x﹣1）＝2﹣2x；（4）（2x+3）2﹣（x﹣2）2＝0；（5）x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2；（6）5（x﹣3）2＝x2﹣9；（7）（2x+1）2+3（2x+1）+2＝0．二基础提升专练题库：一元二次方程的应用1．近年来，在市委市政府的宏观调控下，某市的商品房成交均价涨幅控制在合理范围内，由2018年的均价5000元/m2上涨到2020年的均价6050元/m2．（1）试求这两年此市商品房成交均价的年平均增长率；（2）如果房价继续上涨，按（1）中上涨的百分率，请预测2021年此市的商品房成交均价．2．某生物实验室需培育一群有益菌．现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂成若干个相同数目的有益菌．（1）每轮分裂中平均每个有益菌可分裂成多少个有益菌？（2）按照这样的分裂速度，60个活体益生菌经过三轮培植后有多少个有益菌？3．有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数．4．某校初二年级以班为单位进行篮球比赛，第一轮比赛是先把全年级平分成A、B两个大组，同一个大组的每两个班都进行一场比赛，这样第一轮A、B两个大组共进行了20场比赛，问该校初二年级共有几个班？5．如图，在一块长8m、宽6m的矩形绿地内，开辟出一个矩形的花圃，使四周的绿地等宽，已知绿地的面积与花圃的面积相等，求花圃四周绿地的宽．6．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天能售出20件，每件盈利40元．经调查发现：如果这种衬衫的售价每降低1元时，平均每天能多售出2件．设每件衬衫降价x元．（1）降价后，每件衬衫的利润为　 　元，销量为　 　件；（用含x的式子表示）（2）为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定釆取降价措施．但需要平均每天盈利1200元，求每件衬衫应降价多少元？7．“十一”黄金周期间，某旅游区，为吸引游客组团来此旅游，特推出了如下门票收费标准：标准一：如果人数不超过20人，门票价格70元/人；标准二：如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格不低于55元/人．（1）若某单位组织22名员工去此旅游区旅游，购买门票共需费用多少元？（2）若某单位共支付此旅游区门票费用共计1500元，试求该单位这次共有多少名员工去此旅游区旅游？8．为促进新旧功能转换，提高经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为25万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量y（台）和销售单价x（万元）满足如图所示的一次函数关系．（1）求月销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于35万元，如果该公司想获得130万元的月利润，那么该设备的销售单价应是多少万元？ 参考答案1．（1）x2＝3；∴x＝±，解得x1＝，x2＝﹣.（2）8x2＝2；∴x2＝，∴x＝±，解得x1＝，x2＝﹣.（3）（x+1）2﹣16＝0； ∴（x+1）2＝16； ∴x+1＝±4，解得x1＝﹣5，x2＝3.（4）（3x﹣1）2﹣9＝0；∴（3x﹣1）2＝9，∴3x﹣1＝±3，解得x1＝，x2＝﹣.（5）100（1﹣x）2＝64；∴（1﹣x）2＝，∴1﹣x＝±，解得x1＝，x2＝.（6）x2﹣4x+4＝3，（x﹣2）2＝3，∴x﹣2＝，解得x1＝2+，x2＝2﹣．2．（1）∵x2+2x＝4，∴x2+2x+1＝4+1，即（x+1）2＝5，则x+1＝±，∴x1＝﹣1+，x2＝-1-.（2）x2﹣7x+5＝0，x2﹣7x＝﹣5，x2﹣7x+（）2＝﹣5+（）2，（x﹣）2＝，x﹣＝±，x1＝，x2＝．（3）∵﹣3x﹣5＝0，∴x2﹣6x＝10，∴x2﹣6x+9＝19，∴（x﹣3）2＝19，∴x1＝3+，x2＝3-.（4）∵2x2﹣3x＝﹣1，∴x2﹣x＝﹣，∴x2﹣x+＝﹣+，即（x﹣）2＝，则x﹣＝±，解得x1＝1、x2＝．（5）原方程化为：x2+10x+5＝0，∴x2+10x+25＝20，∴（x+5）2＝20，∴x＝﹣5±2．（6）原方程化为：x2﹣x﹣1＝0，∴x2﹣x+＝1+，∴（x﹣）2＝，∴x﹣＝±，∴x＝.3.（1）∵a＝1，b＝3，c＝﹣4，∴△＝9﹣4×1×（﹣4）＝25，∴x＝，∴x＝﹣4或x＝1．（2）∵a＝2，b＝﹣13，c＝15，∴△＝169﹣4×2×15＝49，∴x＝，∴x＝或x＝5．（3）∵a＝﹣1，b＝3，c＝﹣6，∴△＝32﹣4×（﹣1）×（﹣6）＝﹣15＜0，则此方程无解．（4）原方程化为：2x2﹣5＝0，∴a＝2，b＝0，c＝﹣5，∴△＝0﹣4×2×（﹣5）＝40，∴x＝＝．（5）∵a＝2，b＝﹣2，c＝﹣5，∴△＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣5）＝48＞0，则x＝＝.（6）3x2﹣x2+4x﹣4﹣5＝02x2+4x﹣9＝0∵a＝2，b＝4，c＝﹣9，△＝16+72＝88，∴x＝∴x1＝，x2＝．4.（1）x2﹣18x+81＝0，∴（x﹣9）2＝0，则x1＝x2＝9.（2）∵（x﹣5）2﹣x+5＝0，∴（x﹣5）（x﹣5﹣1）＝0，∴x＝5或x＝6.（3）3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0（x﹣1）（3x+2）＝0，x﹣1＝0，3x+2＝0，x1＝1，x2＝﹣.（4）∵（2x+3+x﹣2）（2x+3﹣x+2）＝0，∴（3x+1）（x+5）＝0，解得x1＝﹣，x2＝﹣5．（5）x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2（x﹣3）2﹣（5﹣2x）2＝0[（x﹣3）+（5﹣2x）][（x﹣3）﹣（5﹣2x）]＝0﹣x+2＝0，3x﹣8＝0，x1＝2，x2＝.（6）5（x﹣3）2＝（x+3）（x﹣3），移项，得5（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0．∴（x﹣3）[5（x﹣3）﹣（x+3）]＝0，即（x﹣3）（4x﹣18）＝0．∴x﹣3＝0或4x﹣18＝0．∴x1＝3，x2＝．（7）设2x+1＝y，则原方程可化为y2+3y+2＝0，∴（y+1）（y+2）＝0，解得y＝﹣1或y＝﹣2，即2x+1＝﹣1或2x+1＝﹣2，解得x1＝﹣1，x2＝﹣．1．（1）x2＝3；∴x＝±，解得x1＝，x2＝﹣.（2）8x2＝2；∴x2＝，∴x＝±，解得x1＝，x2＝﹣.（3）（x+1）2﹣16＝0； ∴（x+1）2＝16； ∴x+1＝±4，解得x1＝﹣5，x2＝3.（4）（3x﹣1）2﹣9＝0；∴（3x﹣1）2＝9，∴3x﹣1＝±3，解得x1＝，x2＝﹣.（5）100（1﹣x）2＝64；∴（1﹣x）2＝，∴1﹣x＝±，解得x1＝，x2＝.（6）x2﹣4x+4＝3，（x﹣2）2＝3，∴x﹣2＝，解得x1＝2+，x2＝2﹣．2．（1）∵x2+2x＝4，∴x2+2x+1＝4+1，即（x+1）2＝5，则x+1＝±，∴x1＝﹣1+，x2＝-1-.（2）x2﹣7x+5＝0，x2﹣7x＝﹣5，x2﹣7x+（）2＝﹣5+（）2，（x﹣）2＝，x﹣＝±，x1＝，x2＝．（3）∵﹣3x﹣5＝0，∴x2﹣6x＝10，∴x2﹣6x+9＝19，∴（x﹣3）2＝19，∴x1＝3+，x2＝3-.（4）∵2x2﹣3x＝﹣1，∴x2﹣x＝﹣，∴x2﹣x+＝﹣+，即（x﹣）2＝，则x﹣＝±，解得x1＝1、x2＝．（5）原方程化为：x2+10x+5＝0，∴x2+10x+25＝20，∴（x+5）2＝20，∴x＝﹣5±2．（6）原方程化为：x2﹣x﹣1＝0，∴x2﹣x+＝1+，∴（x﹣）2＝，∴x﹣＝±，∴x＝.3.（1）∵a＝1，b＝3，c＝﹣4，∴△＝9﹣4×1×（﹣4）＝25，∴x＝，∴x＝﹣4或x＝1．（2）∵a＝2，b＝﹣13，c＝15，∴△＝169﹣4×2×15＝49，∴x＝，∴x＝或x＝5．（3）∵a＝﹣1，b＝3，c＝﹣6，∴△＝32﹣4×（﹣1）×（﹣6）＝﹣15＜0，则此方程无解．（4）原方程化为：2x2﹣5＝0，∴a＝2，b＝0，c＝﹣5，∴△＝0﹣4×2×（﹣5）＝40，∴x＝＝．（5）∵a＝2，b＝﹣2，c＝﹣5，∴△＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣5）＝48＞0，则x＝＝.（6）3x2﹣x2+4x﹣4﹣5＝02x2+4x﹣9＝0∵a＝2，b＝4，c＝﹣9，△＝16+72＝88，∴x＝∴x1＝，x2＝．4.（1）x2﹣18x+81＝0，∴（x﹣9）2＝0，则x1＝x2＝9.（2）∵（x﹣5）2﹣x+5＝0，∴（x﹣5）（x﹣5﹣1）＝0，∴x＝5或x＝6.（3）3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0（x﹣1）（3x+2）＝0，x﹣1＝0，3x+2＝0，x1＝1，x2＝﹣.（4）∵（2x+3+x﹣2）（2x+3﹣x+2）＝0，∴（3x+1）（x+5）＝0，解得x1＝﹣，x2＝﹣5．（5）x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2（x﹣3）2﹣（5﹣2x）2＝0[（x﹣3）+（5﹣2x）][（x﹣3）﹣（5﹣2x）]＝0﹣x+2＝0，3x﹣8＝0，x1＝2，x2＝.（6）5（x﹣3）2＝（x+3）（x﹣3），移项，得5（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0．∴（x﹣3）[5（x﹣3）﹣（x+3）]＝0，即（x﹣3）（4x﹣18）＝0．∴x﹣3＝0或4x﹣18＝0．∴x1＝3，x2＝．（7）设2x+1＝y，则原方程可化为y2+3y+2＝0，∴（y+1）（y+2）＝0，解得y＝﹣1或y＝﹣2，即2x+1＝﹣1或2x+1＝﹣2，解得x1＝﹣1，x2＝﹣．1．解：（1）设这两年此市商品房成交均价的年平均增长率是x，根据题意得：5000（1+x）2＝6050，（1+x）2＝1.21，解得：x1＝0.1=10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．答：这两年此市商品房成交均价的年平均增长率是10%.（2）预测2021年此市的商品房成交均价为：6050（1+10%）＝6655（元）．答：预测2021年此市的商品房成交均价是6655元．2．解：（1）设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂成x个有益菌，由题意，得60x2＝24000，解得x1＝20，x2＝﹣20，∵x＞0，∴x＝20．答：每轮分裂中平均每个有益菌可分裂成20个有益菌．（2）由题意，得60×203＝480000个．答：经过三轮培植后有480000个有益菌．3．解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x+2），根据题意得：3x（x+2）＝10x+（x+2），整理得：3x2﹣5x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣（不合题意，舍去），∴x+2＝4，∴这个两位数为24．4．解：设全年级共有2n个班，由题意得，解得n＝5或n＝﹣4（舍），2n＝10.答：全年级一共10个班．5．解：设花圃四周绿地的宽为xm，依题意，得（8﹣2x）（6﹣2x）＝×8×6，整理，得x2﹣7x+6＝0，解得：x1＝1，x2＝6（不合题意，舍去）．答：花圃四周绿地的宽为1m．6．解：（1）∵每件衬衫降价x元，∴每件衬衫的利润为（40﹣x）元，销量为（20+2x）件．故答案为：（40﹣x）；（20+2x）．（2）依题意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，整理，得x2﹣30x+200＝0，解得x1＝10，x2＝20．∵为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，∴x＝20．答：每件衬衫应降价20元．7．解：（1）70﹣2×（22﹣20）＝66（元/人），66×22＝1452（元）．答：购买门票共需费用1452元．（2）设该单位这次共有x名员工去此旅游区旅游，∵1500÷70＝21（人），1500÷55＝27，∴20＜x≤27．依题意，得：x[70﹣2（x﹣20）]＝1500，整理，得：x2﹣55x+750＝0，解得：x1＝25，x2＝30（不合题意，舍去）．答：该单位这次共有25名员工去此旅游区旅游．8．解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，依题意，得解得所以y与x的函数关系式为y＝﹣5x+200．（2）依题知（x﹣25）（﹣5x+200）＝130．整理方程，得x2﹣65x+1026＝0．解得x1＝27，x2＝38．∵此设备的销售单价不得高于35万元，∴x2＝38（舍），所以x＝27．答：该设备的销售单价应是27 万元．