第22讲 开普勒三大定律应用（解析版）

第22讲 开普勒三大定律应用

1．（新课标）为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。P与Q的周期之比约为（　　）

A．2：1 B．4：1 C．8：1 D．16：1

【解答】解：根据题意可得P与Q的轨道半径之比为：

rP：rQ＝4：1

根据开普勒第三定律有：

k

得：

可得周期之比为：

 TP：TQ＝8：1

故C正确，ABD错误。

故选：C。

一.知识回顾

1.开普勒三定律

2. 开普勒三定律的理解与应用

（1）微元法解读开普勒第二定律：行星在近日点、远日点时的速度方向与两点连线垂直，若行星在近日点、远日点到太阳的距离分别为a、b，取足够短的时间Δt，则行星在Δt时间内的运动可看作匀速直线运动，由Sa＝Sb知va·Δt·a＝vb·Δt·b，可得va＝。行星到太阳的距离越大，行星的速率越小，反之越大。

（2）行星绕太阳的运动通常按匀速圆周运动处理。半径等于半长轴。

（3）开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。

（4）开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，故该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。

二.例题精析

例1．地球的公转轨道接近圆，哈雷彗星的公转轨道则是一个非常扁的椭圆，如图所示．天文学家哈雷成功预言了哈雷彗星的回归，哈雷彗星最近出现的时间是1986年，预测下次飞近地球将在2061年左右．若哈雷彗星在近日点与太阳中心的距离为r1，远日点与太阳中心的距离为r2．下列说法正确的是（　　）

A．哈雷彗星轨道的半长轴是地球公转半径的倍 

B．哈雷彗星在近日点的速度一定大于地球的公转速度 

C．哈雷彗星在近日点和远日点的速度之比为 

D．相同时间内，哈雷彗星与太阳连线扫过的面积和地球与太阳连线扫过的面积相等

【解答】解：A、地球公转周期T＝1年，根据题意可知哈雷彗星的周期为T′＝75年，根据开普勒第三定律有，，解得，故A错误；

B、哈雷彗星的轨道在近日点的曲率半径比地球的公转轨道半径小，根据万有引力定律提供向心力G，得v，可知哈雷彗星在近日点的速度一定大于地球的公转速度，故B正确；

CD、根据开普勒第二定律，相同时间内，哈雷彗星与太阳连线扫过的面积相等，但并不与地球与太阳连线扫过的面积相等设哈雷彗星在近日点和远日点的速度分别是v1、v2，取时间微元Δt，结合扇形面积公式S，可知，解得，故CD错误；

故选：B。

例2．根据开普勒定律可知，火星绕太阳运行的轨道是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上，如图所示，下列说法正确的是（　　）

A．火星运动到近日点时的线速度最小 

B．火星运动到远日点时的加速度最小 

C．太阳对火星的万有引力大小始终保持不变 

D．太阳对火星的万有引力大于火星对太阳的万有引力

【解答】解：A、火星从远日点到近日点，万有引力做正功，则速度增加，则运动到近日点时的线速度最大，故A错误；

B、火星运动到远日点时，受太阳的引力最小，则加速度最小，故B正确；

C、太阳对火星的万有引力大小随距离的变化而不断变化，故C错误；

D、太阳对火星的万有引力与火星对太阳的万有引力是一对相互作用力，总是等大反向，故D错误。

故选：B。

例3．“中国天眼”是目前世界上口径最大的单天线射电望远镜（FAST）。通过FAST测量水星与太阳的视角θ（水星B、太阳S分别与地球A的连线所夹的角），如图所示。若视角的正弦值最大为a，地球和水星绕太阳的运动均视为匀速圆周运动，则水星与地球的公转周期的比值为（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：当视角最大时，地球和水星的连线恰好与水星的运动轨迹相切，设最大视角为θm，

根据几何关系有，

又根据开普勒第三定律，

解得，故D正确，ABC错误；

故选：D。

例4．开普勒第三定律指出：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即，其中a表示椭圆轨道半长轴，T表示公转周期，比值k是一个对所有行星都相同的常量。同时，开普勒第三定律对于轨迹为圆形和直线的运动依然适用：圆形轨迹可以认为中心天体在圆心处，半长轴为轨迹半径；直线轨迹可以看成无限扁的椭圆轨迹，长轴为物体与星球之间的距离。已知：星球质量为M，在距离星球的距离为r处有一物体，该物体仅在星球引力的作用下运动。星球可视为质点且认为保持静止，引力常量为G，则下列说法正确的是（　　）

A．该星球和物体的引力系统中常量 

B．要使物体绕星球做匀速圆周运动，则物体的速度为 

C．若物体绕星球沿椭圆轨道运动，在靠近星球的过程中动能在减少 

D．若物体由静止开始释放，则该物体到达星球所经历的时间为

【解答】解：AB、假设物体做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有：

解得：；，故AB错误；

C、若物体绕星球沿椭圆轨道运动，在靠近星球的过程中星球引力对物体做正功，物体动能在增加，故C错误；

D、假设物体做直线运动，若物体由静止开始释放，根据开普勒定律可得：

解得：，故D正确；

故选：D。

三.举一反三，巩固练习

1. 某行星周围的卫星绕其做圆周运动的轨道半径r与运行周期T的关系如图所示。行星的半径为R0，万有引力常量为G，图中a、b为已知量。下列说法正确的是（　　）

A．绕该行星表面运行卫星的周期为 

B．该行星的质量为 

C．该行星的密度为 

D．该行星表面的重力加速度为

【解答】解：A、根据开普勒第三定律；k，且k，可得：T，故A错误；

B、由万有引力提供向心力得：Gm，得，可得，解得：M，故B错误；

C、由ρ，且V

可得：ρ，故C 正确；

D、由Gmg 得：g，故D错误。

故选：C。

2. 中国对火星探测不懈追求，火星与地球距离最近的时刻最适合登陆火星和在地面对火星进行观测。设定火星、地球绕太阳做匀速圆周运动的轨道在同一平面内，火星绕太阳运动的轨道半径是地球绕太阳运动的轨道半径的k倍（k＞1），地球绕太阳运动的周期为T0。如图为某时刻火星与地球距离最近时的示意图，则到火星与地球再次距离最近所需的最短时间为（　　）

A．T0 B．T0 

C．T0 D．T0

【解答】解：设火星绕太阳做匀速圆周运动的周期为T，地球绕太阳运动的轨道半径为r，由知，TT0，

设到火星、地球再次距离最近所需的最短时间为t，tt＝2π，解得：tT0。

故选：A。

3. 如图，地球在椭圆轨道上运动，太阳位于椭圆的一个焦点上。A、B、C、D是地球运动轨道上的四个位置，其中A距离太阳最近，C距离太阳最远；B和D点是弧线ABC和ADC的中点。则地球绕太阳（　　）

A．做匀速率的曲线运动 

B．经过A点时的加速度最小 

C．从B经A运动到D的时间小于从D经C运动到B的时间 

D．从A经D运动到C的时间大于从C经B运动到A的时间

【解答】解：A、由开普勒第二定律，地球在近日点的速度大，在远日点的速度小，故A错误。

B、根据公式得，可知A点的加速度最大，故B错误。

C、由A可知，地球在近日点的速度大，远日点的速度小，所以从B经A运动到D的时间小于从D经C运动到B的时间，故C正确。

D、由C可知，从A经D运动到C的时间等于从C经B运动到A的时间，故D错误。

故选：C。

4. 在“金星凌日”的精彩天象中，观察到太阳表面上有颗小黑点缓慢走过，持续时间达六个半小时，那便是金星，如图所示。下面说法正确的是（　　）

A．观测“金星凌日”时可将太阳看成质点 

B．地球在金星与太阳之间 

C．金星绕太阳公转一周时间小于365天 

D．相同时间内，金星与太阳连线扫过的面积等于地球与太阳连线扫过的面积

【解答】解：A、观测“金星凌日”时，如果将太阳看成质点，无法看到“金星凌日”现象，故A错误；

B、“金星凌日”现象的成因是光的直线传播，当金星转到太阳与地球中间且三者在一条直线上时，金星挡住了沿直线传播的太阳光，人们看到太阳上的黑点实际上是金星，由此可知发生金星凌日现象时，金星位于地球和太阳之间，故B错误；

C、根据开普勒第三定律K，可得，由题意可知：T地＝365天，R金＜R地，有：T金＜365天，所以金星绕太阳公转一周时间小于365天，故C正确；

D、根据开普勒第二定律，可知在同一轨道内，相同时间内，金星与太阳连线扫过的面积相等，但是不能说金星与太阳连线扫过的面积等于地球与太阳连线扫过的面积，故D错误。

故选：C。

5. 2019年10月28日发生了天王星冲日现象，即太阳、地球、天王星处于同一直线，此时是观察天王星的最佳时间。已知日地距离为R0，天王星和地球的公转周期分别为T和T0，则天王星与太阳的距离为（　　）

A．R0 B．R0 

C．R0 D．R0

【解答】解：天王星、地球绕太阳做匀速圆周运动，根据开普勒第三定律可知，，解得天王星与太阳的距离为R，故A正确，BCD错误。

故选：A。

6. 如图，三个质点a、b、c的质量分别为m1、m2、M（M远大于m1及m2），在万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为ra：rb＝1：4，则下列说法中正确的有（　　）

A．a、b运动的周期之比为Ta：Tb＝1：8 

B．a、b运动的周期之比为Ta：Tb＝1：4 

C．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次 

D．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线13次

【解答】解：AB、万有引力提供向心力，则Gmr，有T，则Ta：Tb：1：8，故B错误，A正确；

CD、设每隔时间t，a、b共线一次，则（ωa﹣ωb）t＝π，所以t

故从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线，有nTb（）＝14，故CD错误。

故选：A。

7. （多选）如图所示，在某行星的轨道上有a、b、c、d四个对称点，若行星运动周期为T，则行星（　　）

A．从b到c的运动时间等于从d到a的时间 

B．从d经a到b的运动时间小于从b经c到d的时间 

C．从a到b的时间tab 

D．从c到d的时间tcd

【解答】解：

根据开普勒第二定律知：在相等时间内，太阳和运动着的行星的连线所扫过的面积都是相等的。据此，行星运行在近日点时，与太阳连线距离短，故运行速度大，在远日点，太阳与行星连线长，故运行速度小。即在行星运动中，远日点的速度最小，近日点的速度最大。

图中a点为近日点，所以速度最大，c点为远日点，所以速度最小。

A、那么从b到c的运动时间大于从d到a的时间，故A错误；

B、从d经a到b的运动时间小于从b经c到d的时间，故B正确；

C、从a到b的时间tab，故C正确；

D、从c到d的时间tcd，故D错误。

故选：BC。

8. （多选）我国发射的探月卫星有一类为绕月极地卫星。利用该卫星可对月球进行成像探测。如图所示，设卫星在绕月极地轨道上做圆周运动时距月球表面的高度为H，绕行周期为TM；月球绕地球公转的周期为TE，公转轨道半径为R0；地球半径为RE，月球半径为RM，忽略地球引力、太阳引力对绕月卫星的影响，则下列说法正确的是（　　）

A．月球与地球的质量之比为 

B．若光速为C，信号从卫星传输到地面所用时间为 

C．由开普勒第三定律可得 

D．由开普勒第三定律可得

【解答】解：A、根据天体间的运动，万有引力提供向心力，F万＝m，分别可求得地球的质量和月球的质量，

即M月：M地，故A正确；

B、设探月极地轨道上卫星到地心的距离为L0，则卫星到地面最短距离为L0﹣RE，由几何知识得：

   L02＝R02+（RM+H）2

将照片发回地面的时间t，故B正确；

CD、由于开普勒第三定律只适用于绕同一个中心天体运动，TM和TE对应的中心天体分别是月球和地球，所以CD选项的表达式错误，故CD错误。

故选：AB。