第20讲 水平面和斜面上的圆周运动（转盘模型）及其临界问题（解析版）

第20讲 水平面和斜面上的圆周运动（转盘模型）及其临界问题

1．（2021·山东）如图所示，粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为L的轻质细杆，一端可绕竖直光滑轴O转动，另一端与质量为m的小木块相连。木块以水平初速度v0出发，恰好能完成一个完整的圆周运动。在运动过程中，木块所受摩擦力的大小为（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：因为细杆为轻质细杆，又因为其一端绕竖直光滑轴O转动，所以杆对球的力沿杆，即杆对球不做功，对小球完成一个完整的圆周运动过程，由动能定理得﹣f•2πL＝0，解得摩擦力f，故B正确，ACD错误。

故选：B。

一.       知识总结

1.水平转盘上运动物体的临界问题

水平转盘上运动物体的临界问题，主要涉及与摩擦力和弹力有关的临界极值问题。

（1）如果只有摩擦力提供向心力，物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，则最大静摩擦力Fm＝，方向指向圆心。

（2）如果水平方向除受摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其临界情况要根据题设条件进行判断，如判断某个力是否存在以及这个力存在时的方向(特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等)。

（3）运动实例

2.解决临界问题的注意事项

(1)先确定研究对象受力情况，看哪些力充当向心力，哪些力可能突变引起临界问题。

(2)注意分析物体所受静摩擦力大小和方向随圆盘转速的变化而发生变化。

(3)关注临界状态，例如静摩擦力达到最大值时，静摩擦力提供向心力，随转速的增大，静摩擦力增大，当所需向心力大于最大静摩擦力时开始相对滑动，出现临界情况，此时对应的角速度为临界角速度。

3.斜面上圆周运动的临界问题

在斜面上做圆周运动的物体，根据受力情况的不同，可分为以下三类。

（1）物体在静摩擦力作用下做圆周运动。

（2）物体在绳的拉力作用下做圆周运动。

（3）物体在杆的作用下做圆周运动。

这类问题的特点是重力的分力和其他力的合力提供向心力，运动和受力情况比较复杂。 　　　　

与竖直面内的圆周运动类似，斜面上的圆周运动也是集中分析物体在最高点和最低点的受力情况，列牛顿运动定律方程来解题。只是在受力分析时，一般需要进行立体图到平面图的转化，这是解斜面上圆周运动问题的难点。

二、例题精析

题型一.水平面上的圆周运动之转盘模型

例1．如图所示，两个质量相等、可视为质点的木块A和B放在转盘上，用长为L的细绳连接，最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A与转轴的距离为L，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力．现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，重力加速度为g，下列正确的是（　　）

A．当时，绳子一定无弹力 

B．当时，A、B相对于转盘会滑动 

C．ω在范围内增大时，A所受摩擦力大小一直变大 

D．ω在范围内增大时，B所受摩擦力大小变大

【解答】解：A．当B达到最大静摩擦力时，绳子开始出现弹力，有kmg＝m•2Lω2

解得

ω1

知ω时，绳子具有弹力，故A错误；

B．依题意，设AB的质量为m，当A所受的摩擦力达到最大静摩擦力时，方向指向圆心，A、B相对于转盘会滑动，对A有kmg﹣T＝mLω2

对B有T+kmg＝m•2Lω2

解得ω

当ω

时，A、B相对于转盘会滑动，故B错误；

C．当ω在0＜ω范围内，A相对转盘是静止的，A所受摩擦力为静摩擦力，所以f﹣T＝mLω2

当ω增大时，静摩擦力也增大，故C正确。

D．当ω时，B已经达到最大静摩擦力，则ω在ω内，B受到的摩擦力不变，故D错误；

故选：C。

题型二.斜面面上的圆周运动之转盘模型

例2．如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定的角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。小物体质量为1kg，与盘面间的动摩擦因数为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面的夹角为30°，g取10m/s2，则下列说法正确的是（　　）

A．角速度ω的最大值是rad/s 

B．小物体运动过程中所受的摩擦力始终指向圆心 

C．小物体在最高点的速度vm/s 

D．小物体由最低点运动到最高点的过程中摩擦力所做的功为25J

【解答】解：A、当小物体转到圆盘的最低点，所受的静摩擦力沿斜面向上达到最大时，角速度最大，由牛顿第二定律得：

μmgcos30°﹣mgsin30°＝mω2r

代入数据解得：ω＝1rad/s，故A错误；

B、由于小物体做匀速圆周运动，在圆盘面内静摩擦力的一个分量要与重力沿斜面向下的分量相平衡，另一个分量提供做圆周运动的向心力，所以小物体运动过程中所受的摩擦力不一定始终指向圆心，故B错误；

C、小物体在最高点的速度v的最大值为：v＝rω＝2.5×1m/s＝2.5m/s，故C错误；

D、小物体由最低点运动到最高点的过程中，根据动能定理得：﹣mg•2rsin30°+Wf＝0，代入数据解得摩擦力所做的功为：Wf＝25J，故D正确。

故选：D。

三、举一反三，巩固提高

1. 水平转盘可绕竖直中心轴转动，如图甲所示。一小物块质量为m，放在转盘上到中心O的距离为r处，随着转盘角速度缓慢增大，小物块所受摩擦力F随时间变化的图像如图乙所示，小物块相对转盘始终未发生移动。则从t1到t2时间内，摩擦力对小物块做的功为（　　）

A．3F0r B．2F0r C．F0r D．F0r

【解答】解：t1时刻，根据牛顿第二定律得：

t2时刻，根据牛顿第二定律得：

根据动能定理得：

W

联立上述公式解得：W，故D正确，ABC错误。

故选：D。

2. 如图所示，圆盘在水平面内绕竖直中心轴匀速转动，圆盘上P点有一小物体随圆盘一起转动且相对圆盘静止。下列说法正确的是（　　）

A．小物体仅受重力作用 

B．小物体仅受重力、支持力作用 

C．小物体受重力、支持力和向心力作用 

D．小物体受重力、支持力和静摩擦力作用

【解答】解：圆盘转动时，小物体一起做匀速圆周运动，所受摩擦力提供向心力，所以小物体受重力、支持力、摩擦力作用，故ABC错误，D正确；

故选：D。

3. 如图，甲、乙两个物块（均可视为质点）用轻质细绳相连后放在水平圆盘上，甲的质量为2m，乙的质量为m，甲到圆心的距离为2R，乙到圆心的距离为R，两物块与水平圆盘间的动摩擦因数均为μ，重力加速度大小为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。让圆盘绕通过圆心的竖直轴匀速转动，在逐渐缓慢增大转动的角速度ω的过程中（　　）

A．当时，绳的拉力为0 

B．当时，绳的拉力为2μmg 

C．当时，乙受到的摩擦力为0 

D．当时，甲、乙两物块都会相对圆盘滑动

【解答】解：A.设当甲受到的摩擦力达到最大静摩擦力时，转动的角速度为ω1，则μ•2mg＝2m×2R

得ω1

此时绳的拉力为0，由于

所以当时，绳的拉力不为0，故A错误；

B.当时，甲所需要的向心力μ•2mg+T＝2m×2Rω2

解得绳的拉力为T＝2μmg

故B正确；

C、当时，乙所需的向心力由摩擦力提供，受到的摩擦力不为0，故C错误：

D.当时，由于

甲、乙两物块都不会相对圆盘滑动，故D错误。

故选：B。

4. 如图所示，一个圆盘在水平面内匀速转动，角速度是4rad/s。盘面上距圆盘中心0.10m的位置有一个质量为0.10kg的小物体在随圆盘一起做匀速圆周运动。下列对小物体的分析正确的是（　　）

A．小物体的向心加速度大小为0.4m/s2 

B．小物体的向心力大小为0.04N 

C．圆盘对小物体的静摩擦力大小为0.16N 

D．若圆盘对小物体的最大静摩擦力为4N，则当圆盘角速度是10rad/s时，小物体会发生滑动

【解答】解：A．根据向心加速度公式可得a＝ω2r＝42×0.1m/s2＝1.6m/s2，故A错误；

B．根据向心力公式可得Fn＝ma＝0.1×1.6N＝0.16N，故B错误；

C．由于小物体的向心力由圆盘对小物体的静摩擦力提供，因此f＝Fn＝0.16N，故C正确；

D．当向心力大小等于最大静摩擦力时，设此时的角速度为ω1，则Fnm＝mr

解得

ω1＝20rad/s

因此，当圆盘角速度大于20rad/s时，小物体会发生滑动，故D错误。

故选：C。

5. 在2022年2月5日北京冬奥会上，我国选手范可新、曲春雨、张雨婷、武大靖、任子威一起夺得短道速滑混合团体接力奥运冠军！为中国体育代表团拿到本届冬奥会首枚金牌，这也是短道速滑项目历史上第一枚男女混合接力奥运金牌。短道速滑比赛中运动员的最后冲刺阶段如图所示，设甲、乙两运动员在水平冰面上恰好同时到达虚线PQ，然后分别沿半径为r1和r2（r2＞r1）的滑道做匀速圆周运动，运动半个圆周后匀加速冲向终点线。假设甲、乙两运动员质量相等，他们做圆周运动时所受向心力大小相等，直线冲刺时的加速度大小也相等。下列判断中正确的是（　　）

A．在做圆周运动时，甲先完成半圆周运动 

B．在做圆周运动时，乙先完成半圆周运动 

C．在直线加速阶段，甲、乙所用的时间相等 

D．在冲刺时，甲、乙到达终点线时的速度相等

【解答】解：AB．根据向心力公式可得，由题意，甲、乙两运动员质量相等，他们做圆周运动时所受向心力大小相等，可知，做圆周运动的半径越大，周期越大，则甲先完成半圆周运动，故B错误，A正确；

CD．根据向心力公式可得，甲乙运动员滑行速度为可知，乙的滑行速度大于甲的滑行速度，在直线加速阶段，根据位移—时间关系有：可知，甲的滑行时间大于乙的滑行时间；根据可知，甲到达终点线时的速度小于乙到达终点线时的速度，故CD错误

故选：A。

6. 2021年11月5日，占全球市场份额70%的无人机巨头大疆，发布迄今为止影像质量最优异的消费级无人机Mavic3。如图是该型号无人机绕拍摄主体时做水平匀速圆周运动的示意图。已知无人机的质量为m，无人机的轨道距拍摄对象高度为h，无人机与拍摄对象距离为r，无人机飞行的线速度大小为v，则无人机做匀速圆周运动时（　　）

A．角速度为 

B．所受空气作用力为mg 

C．向心加速度为 

D．绕行一周的周期为T

【解答】解：根据几何关系可知无人机运行半径R

A、无人机做匀速圆周运动时，，故A错误；

B、无人机做匀速圆周运动时，向心力为Fn，所受空气作用力为F，故B错误；

C、向心加速度为a，故C正确；

D、根据v可知，T，故D错误；

故选：C。

7. A、B、C三个物体放在旋转圆台上，如图所示，静摩擦因数均为μ，A的质量为2m，B、C的质量均为m，A、B离轴为R，C离轴为2R。当圆台旋转时，三个物体都没有滑动，下列判断中正确的是（　　）

A．A物的向心加速度最大 

B．C物的静摩擦力最小 

C．当圆台转速增加时，C比A先滑动 

D．当圆台转速增加时，B比A先滑动

【解答】解：A、三个物体都随圆台做匀速圆周运动，角速度相等，根据公式an＝ω2r分析得知，向心加速度与半径成正比，则C物的向心加速度最大。故A错误。

B、物体随圆台做匀速圆周运动的过程中，由圆台的静摩擦力提供向心力，根据牛顿第二定律得：三个物体所受的静摩擦力分别：fA＝2mω2R，fB＝mω2R，fC＝2mω2R，所以B物的静摩擦力最小。故B错误。

CD、当圆台转速增加时，三个物体受到的静摩擦力都增大，而三个物体的最大静摩擦力分别为：fmA＝2μmg，fmB＝μmg，fmC＝μmg，可见，当圆台转速增加时，C的静摩擦力最先达到最大值，C比A先滑动，而A、B所受静摩擦力会同时达到最大，A、B会同时滑动。故C正确，D错误。

故选：C。

8. 近年来我国高速铁路发展迅速，开启了高铁发展的新时代，现已知两轨间宽度为L，内外轨高度差是h，重力加速度为g，如果机车要进入半径为R的弯道，该弯道的设计速度最为适宜的是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：转弯中，当内外轨对车轮均没有侧向压力时，火车的受力如图所受：

根据牛顿第二定律得：mgtanθ＝m

斜面的倾角正切值满足：tanθ

解得该弯道的设计速度为：v，故A正确，BCD错误。

故选：A。

9. 如图，在水平圆盘上沿半径放有质量均为m＝3kg的两物块a和b（均可视为质点），两物块与圆盘间的动摩擦因数均为μ＝0.9，物块a到圆心的距离为ra＝0.5m，物块b到圆心的距离为rb＝1m．圆盘由静止开始绕通过圆心的转轴OO′缓慢地加速转动，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计空气阻力，重力加速度大小为g＝10m/s2．下列说法正确的是（　　）

A．物块a、b相对圆盘滑动前所受摩擦力方向相反 

B．物块a比物块b先滑动 

C．物块b刚好要滑动时，圆盘转动的角速度为9rad/s 

D．若用水平轻绳（图中未画出）将两物块连接，轻绳刚好拉直，当两物块刚好要滑动时，轻绳的拉力大小为9N

【解答】解：A、物块a、b做圆周运动的向心力由摩擦力提供，均指向圆心，故物块a、b所受摩擦力方向相同，故A错误；

B、物块a与物块b所受的最大静摩擦力大小相等，由F＝mω2r可知，角速度相同时，物块b需要的向心力较大，物块b先滑动，故B错误；

C、物块b处于临界状态时，由μmg＝mrb，解得ωb＝3rad/s，故C错误；

D、当两物块刚好要滑动时，设圆盘转动的角速度为ω0，轻绳的拉力大小为T，对物块a受力分析有：μmg﹣T＝mra，对物块b受力分析有：μmg+T＝mrb，解得T＝9N，ω0＝2rad/s，故D正确．

故选：D。

10. 如图所示，水平转台上的小物体A、B通过轻弹簧连接，并随转台一起匀速转动，A、B的质量分别为m、2m，A、B与转台间的动摩擦因数都为μ，A、B离转台中心的距离分别为1.5r、r，已知弹簧的原长为1.5r，劲度系数为k，假设物块的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，使转台转速缓慢增大，以下说法正确的是（　　）

A．当B受到的摩擦力为0时，转台转动的角速度为 

B．当A受到的摩擦力为0时，转台转动的角速度为 

C．当B刚好要滑动时，转台转动的角速度为 

D．当A刚好要滑动时，转台转动的角速度为

【解答】解：由题知弹簧的伸长量为1.5r+r﹣1.5r＝r，则弹簧对A、B的拉力等于kr

A、当B受到的摩擦力为0时，由弹簧弹力提供向心力，则有kr＝2mω2r

解得：，故A错误；

B、当A受到的摩擦力为0时，由弹簧弹力提供向心力，则有kr＝mω2•1.5r

解得：，故B正确；

D、假设B刚好要相对滑动时而A不滑动，则B所受静摩擦力达到最大静摩擦力，弹簧弹力与最大静摩擦力的合力提供向心力，则有：

kr+2μmg＝2mω′2r

解得此时的角速度为：ω′

此时，设A受到的静摩擦力为fA，则有：

kr+fA＝1.5mω′2r

解得：fA＝1.5μmg﹣0.25kr

当水平转台不转动时应满足：kr≤μmg，在此条件下可得：fA＞1.5μmg﹣0.25μmg＝1.25μmg

即此情况下A受到的静摩擦力大于了最大静摩擦力，故假设不成立，可知A刚好要相对滑动时，B不滑动；而当B刚好发生相对运动时，A已发生相对滑动。

所以当A刚好要滑动时有：

kr+μmg＝1.5mω2r

解得：ω，故D错误；

C，经以上分析，当B刚好要滑动时，转台转动的角速度必大于，而，故C错误。

故选：B。

11. 如图所示，光滑水平地面上小球B、C用两段绳子与A点连接，AB和BC长度相等，小球质量也相等.现使两小球以相同角速度绕A点做匀速圆周运动，则下列说法错误的是（　　）

A．绳子AB和绳子BC的张力之比为1：2 

B．B小球和C小球的向心加速度之比为1：2 

C．B小球和C小球所需的向心力之比为1：2 

D．B小球和C小球的线速度之比为1：2

【解答】解：A、对小球C受力分析

对小球B受力分析

则TAB：TBC＝3：2

故A错误；

B、根据a＝ω2r，可知，B小球和C小球的向心加速度之比为1：2，故B正确；

C、根据，可知B小球和C小球所需的向心力之比为1：2，故C正确；

D、根据v＝ωr，可知B小球和C小球的线速度之比为1：2，故D正确。

本题选择错误选项

故选：A。

12. 一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，圆盘半径为R，甲、乙两物体质量分别为M和m（M＞m），它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为压力的μ倍，两物体用一根长为L（L＜R）的轻绳连在一起，如图所示。若将甲物体放在转轴的位置，甲、乙之间的轻绳刚好沿半径方向被拉直，让圆盘从角速度为0开始转到，角速度逐渐增大，两物体与圆盘不发生相对滑动，（两物体均可看作质点，重力加速度为g）则下列说法正确的是（　　）

A．随着角速度的增大的过程中，物块m受到的摩擦力先增加再逐渐减少 

B．随着角速度的增大的过程中，物块M始终受到摩擦力 

C．则圆盘旋转的角速度最大不得超过 

D．则圆盘旋转的角速度最大不得超过

【解答】解：AB.当圆盘角速度较小时，m的向心力由静摩擦力提供，绳子没拉力，由牛顿第二定律

fm＝mω2L

m受的静摩擦力随角速度增大而增大，当角速度增大到ω1时，静摩擦力达到最大静摩擦力μmg，角速度再增大，绳子拉力出现，由牛顿第二定律

T+μmg＝mω2L

随着角速度增大，m受的摩擦力保持不变，一直为最大静摩擦力μmg.则随着角速度的增大的过程中，物块m受到的摩擦力先增加后保持不变，当绳子有力时，M开始受到摩擦力作用，故AB错误；

CD.当绳子的拉力增大到等于甲的最大静摩擦力时，角速度达到最大，对m和M，分别有

T+μmg＝mω2L

T＝μMg

联立可得

ω

故C错误，D正确。

故选：D。