第14讲 绳、杆连接体（解析版）

第14讲 绳、杆连接体

1．（福建高考）如图，用跨过光滑定滑轮的缆绳将海面上一艘失去动力的小船沿直线拖向岸边。已知拖动缆绳的电动机功率恒为P，小船的质量为m，小船受到的阻力大小恒为f，经过A点时的速度大小为v0，小船从A点沿直线加速运动到B点经历时间为t1，A、B两点间距离为d，缆绳质量忽略不计。求：

（1）小船从A点运动到B点的全过程克服阻力做的功Wf；

（2）小船经过B点时的速度大小v1；

（3）小船经过B点时的加速度大小a。

【解答】解：（1）小船从A点运动到B点克服阻力做功Wf＝fd①

（2）小船从A点运动到B点，电动机牵引绳对小船做功W＝Pt1②

由动能定理有  ③

由①②③式解得  ④

（3）设小船经过B点时绳的拉力大小为F，绳与水平方向夹角为θ，绳的速度大小为u，

P＝Fu ⑤

u＝v1cosθ⑥

牛顿第二定律 Fcosθ﹣f＝ma⑦

由④⑤⑥⑦得

答：（1）A到B点过程中，小船克服阻力所做的功为fd。

（2）小船经过B点时速度大小。

（3）小船经过B点时的加速度大小。

2．（上海高考）如图所示，人沿平直的河岸以速度v行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行．当绳与河岸的夹角为α，船的速率为（　　）

A． B．vsinα C． D．vcosα

【解答】解：将人的运动速度v沿着绳子方向和垂直绳子方向正交分解，如图，由于绳子始终处于绷紧状态，因而小船的速度等于人沿着绳子方向的分速度

根据此图得：vc＝vcosα，故D正确，ABC错误；

故选：D。

一．模型特点

1. 绳或杆质量忽略不计

2. 绳或杆不可伸长

3.沿绳(杆)方向的速度分量大小相等．

二．思路方法

合运动（实际发生的运动）→合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v

分运动（对合运动沿某方向分解的运动）→分速度→

方法：v1与v2的合成遵循平行四边形定则．

三．解题原则

把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．常见的模型如图所示．

四.例题精讲

题型一：对绳端速度进行分解

例1．质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动，当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角θ2时（如图所示），下列判断正确的是（　　）

A．绳的拉力小于mgsinθ1 B．P的速率为vcosθ1 

C．P的速率为v D．绳的拉力大于mgsinθ1

【解答】解：BC、将小车的速度v进行分解如图所示，则vP＝vcosθ2，故BC错误；

AD、小车向右运动，θ2减小，v不变，则vP逐渐增大，说明物体P沿斜面向上做加速运动，由牛顿第二定律FT﹣mgsinθ1＝ma，可知绳子对A的拉力FT＞mgsinθ1，故A错误，D正确。

故选：D。

题型二：对杆端速度进行分解

例2．曲柄连杆结构是发动机实现工作循环，完成能量转换的主要运动零件如图所示，连杆下端连接活塞Q，上端连接曲轴P．在工作过程中，活塞在气缸内上下做直线运动，带动曲轴绕圆心O旋转，若P做线速度大小为v0的匀速圆周运动，则下列说法正确的是（　　）

A．当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度等于v0 

B．当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度大于v0 

C．当OPQ在同一直线时，活塞运动的速度等于v0 

D．当OPQ在同一直线时，活塞运动的速度大于v0

【解答】解：AB、当OP与OQ垂直时，P点速度的大小为v0，此时杆PQ整体运动的方向是相同的，方向沿OQ的平行的方向，所以活塞运动的速度等于P点的速度，都是v0．故A正确，B错误；

CD、当OPQ在同一直线时，P点的速度方向与OQ方向垂直，沿OQ方向的分速度为0，OQ的瞬时速度为0，所以活塞运动的速度等于0．故C错误，D错误。

故选：A。

五.举一反三，巩固训练

1. 如图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车匀速向右运动时，物体A的运动及受力情况是（　　）

A．匀速上升，拉力小于重力 

B．加速上升，拉力大于重力 

C．减速上升，拉力等于重力 

D．加速上升，拉力等于重力

【解答】解：设绳与水平方向的夹角为α，根据速度分解得vA＝vcosα，如图所示：

当小车匀速向右运动时，α减小，vA增大，物体A加速上升，拉力大于重力。

故ACD错误，B正确。

故选：B。

2. 如图所示，套在竖直细杆上的轻环A由跨过光滑轻质定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B相连，施加外力让A沿杆以速度v匀速上升，从图中M位置上升至与定滑轮的连线处于水平的N位置，已知AO与竖直杆成θ角，则下列说法不正确的是（　　）

A．刚开始时B的速度大小为vcosθ 

B．A匀速上升到N点之前过程中，重物B处于失重状态 

C．重物B下降过程，绳对B的拉力大于B的重力 

D．A运动到位置N时，B的速度为0

【解答】解：AD、对于轻环A，其速度如图中标出的v，这个速度看成是A的合速度，其分速度分别是v1和v2，其中v2等于B的速度vB（沿同一根绳子，大小相同），根据平行四边形定则，可得刚开始时B的速度为vB＝vcosθ；

当A环上升至与定滑轮的连线处于水平位置时，v2＝0，所以B的速度vB＝0，故AD正确；

BC、因轻环A匀速上升时，由公式vB＝vcosθ，当A上升时，夹角θ增大，cosθ减小，因此B在竖直方向上做减速运动，加速度竖直向上，处于超重状态，对重物B，由牛顿第二定律得：F﹣mg＝ma，可知绳对B的拉力大于B的重力，故B错误，C正确。

本题选择不正确的，

故选：B。

3. 如图所示，人用绳通过定滑轮拉船，当船的速度大小为v时，细绳与速度方向的夹角为θ，此时人拉绳的速度大小为（　　）

A．vsinθ B．vcosθ C． D．

【解答】解：对船的实际速度的分解如图所示，根据题意v人＝v1＝vcosθ，故ACD错误，B正确。

故选：B。

4. 2022年6月6日，重庆1949大剧院荣获中国旅游投资“ITIA艾蒂亚”奖评选活动“最佳科技进步奖”。其中一幕如图所示。工作人员A以速度v沿直线水平向左拉轻绳，绳与水平方向的夹角为θ，此时表演者B速度大小为（　　）

A．vsinθ B．vcosθ C． D．

【解答】解：将工作人员A的速度v沿着平行绳子和垂直绳子方向进行分解，如图所示

根据几何关系有v1＝vcosθ

B的速度与沿绳方向的速度相等，故B正确，ACD错误。

故选：B。

5. 如图所示，某救援队利用如下装置转运救灾物资，物资穿在竖直固定光滑杆上，若汽车速度为v1，物资运动速度为v2，定滑轮左右两侧轻绳与竖直方向夹角分别为α、β。不计滑轮质量以及绳与滑轮间的摩擦，下列关系正确的是（　　）

A．v1＝v2 B．v1 

C．v1＝2v2sinαcosα D．v1

【解答】解：汽车的速度等于沿绳子方向和垂直于绳子方向速度的合速度，根据平行四边形定则，将汽车的速度沿水平方向以及沿绳子的方向分解如图：

则有v1sinα＝v绳

物资的速度等于沿绳子方向和垂直于绳子方向速度的合速度，将物资的速度沿杆的方向以及沿绳子的方向分解如图，则有v2cosβ＝v绳

它们沿绳子方向的分速度是大小相等的，解得，故ABC错误，D正确。

故选：D。

6. 如图所示，一根长为l的轻杆OA、O端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，轻杆靠在一个高为h的物块上。不计摩擦，则当物块以速度v向右运动至轻杆与水平面的夹角为θ时，物块与轻杆的接触点为B，下列说法正确的是（　　）

A．小球A的线速度大小为 

B．轻杆转动的角速度为 

C．小球A的线速度大小为 

D．轻杆转动的角速度为

【解答】解：AC．物块的速度v在垂直于杆方向的分速度等于B点的线速度，即vB＝vsinθ

根据v＝ωr

可知

联立以上两式解得

故A错误，C正确；

BD．轻杆转动的角速度为

解得：ω

故BD错误。

故选：C。

7. 如图，套在竖直杆上的物块P与放在水平桌面上的物块Q用足够长的轻绳跨过定滑轮相连，将P由图示位置释放，当绳与水平方向夹角为θ时物块Q的速度大小为v，此时物块P的速度大小为（　　）

A．vsinθ B．vcosθ C． D．

【解答】解：将物块P的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子的方向，在沿绳子方向的分速度等于Q的速度。

在沿绳子方向的分速度为。

所以vp．故C正确，ABD错误。

故选：C。

8. 如图所示，小滑块M、N通过铰链用轻杆连接，M套在固定的竖直光滑杆上，NM放在光滑水平地面上，轻弹簧水平放置，左端与N相连，右端固定在竖直杆O点上。M由静止释放，M、N整个运动过程中始终在同一竖直平面内，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦。则M、N的速度大小相等时，轻杆与竖直方向夹角θ为（　　）

A．30° B．37° C．45° D．60°

【解答】解：将M、N的速度进行分解，如图所示，由于沿杆的方向分速度大小相等，可得：vMcosθ＝vNsinθ，即有vM＝vNtanθ，仅当θ＝45°时，vM＝vN，故C正确，ABD错误。

故选：C。