第15讲 多体平抛运动模型（原卷版）

第15讲 多体平抛运动模型

1．（2021·江苏）如图所示，A、B两篮球从相同高度同时抛出后直接落入篮筐，落入篮筐时的速度方向相同，下列判断正确的是（　　）

A．A比B先落入篮筐 

B．A、B运动的最大高度相同 

C．A在最高点的速度比B在最高点的速度小 

D．A、B上升到某一相同高度时的速度方向相同

一.知识总结

1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动．

2．性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．

3．研究方法：运动的合成与分解

(1)水平方向：匀速直线运动；

(2)竖直方向：自由落体运动．

4. 平抛运动基本规律

如图1，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向．

图1

(1)位移关系

(2)速度关系

（3）飞行时间

由t＝知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关．

（4）水平射程

x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关．

（5）落地速度

v＝＝，以θ表示落地速度与水平正方向的夹角，有tan θ＝＝，落地速度与初速度v0和下落高度h有关．

（6）速度改变量

因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图4所示．

图4

（7）两个重要推论

①做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图5所示，即xB＝.

图5

推导：

→xB＝

②做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tan θ＝2tan α.

推导：

→tan θ＝2tan α

5.多体平抛模型

（1）模型特点：涉及到两个或两个以上物体做平抛运动的模型

（2）模型运动规律

①若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动。

②若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由两物体的水平分运动和竖直高度差决定。

③若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动。

④两条平抛运动轨迹的相交处是两物体的可能相遇处，两物体要在此处相遇，必须同时到达此处。

二.例题精讲

题型一：同位置不同速平抛

例1．发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球（忽略空气的影响）。速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网。其原因是（　　）

A．速度较大的球在下降相同距离时通过的水平距离较大 

B．速度较小的球在竖直方向上的速度较大 

C．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多 

D．速度较大的球通过相同的水平距离时下降的距离较大

题型二：同高不同位置平抛

例2．如图所示，将一小球从水平面MN上方A点以初速度v1向右水平抛出，经过时间t1打在前方竖直墙壁上的P点，若将小球从与A点等高的B点以初速度v2向右水平抛出，经过时间t2落在竖直墙角的N点，不计空气阻力，下列选项中正确的是（　　）

A．v1＞v2 B．v1＜v2 C．t1＞t2 D．t1＝t2

题型三：不同高不同速平抛

例（多选）3．如图所示，小球A、B分别从2l和l的高度水平抛出后落地，上述过程中A、B的水平位移分别为l和2l。忽略空气阻力，则（　　）

A．A和B的位移大小相等 B．A的运动时间是B的2倍 

C．A的初速度是B的 D．A的末速度比B的大

题型四：以不同的速度从同一点平抛（临界 问题）

例4．如图所示，水平屋顶高H＝5m，围墙高h＝3.2m，围墙到房子的水平距离L＝3m，围墙外空地宽s＝10m，为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的空地上，g取10m/s2．求：

（1）小球离开屋顶时的速度v0的大小范围；

（2）小球落在空地上的最小速度．

三.举一反三，巩固练习

1. 如图所示，从地面上同一位置抛出两小球A、B，A球质量大于B球质量，分别落在地面上的M、N点，两球运动的最大高度相同，空气阻力不计，下列说法正确的是（　　）

A．B的加速度比A的大 

B．B的飞行时间比A的长 

C．B在最高点的速度可能等于A在最高点的速度 

D．B在落地时速度比A在落地时的大

2. 如图所示，甲，乙两猫从同一位置以相同速率同时跳出，速度方向与水平方向均成45°，一段时间后落至水平地面，不计空气阻力，则（　　）

A．两只猫落地时的动量方向不同 

B．两只猫在空中运动过程中相距越来越远 

C．起跳点越高，两猫落地点间距离越大 

D．只改变两猫起跳速度大小，两猫可能在空中相遇

3. 如图所示，a、b两点在同一竖直线上，现同时分别在a、b两点抛出两个小球甲、乙，甲球的速度大小为v甲，方向水平向右，乙球的速度大小为v乙，方向与水平方向的夹角为60°斜向右上方，两球在c点（未画出）相碰。已知碰前瞬间乙球速度方向水平，则下列判断正确的是（　　）

A．a、c 两点竖直方向的距离大于b、c两点竖直方向的距离 

B．甲，乙两球相碰前瞬间甲球的速率与乙球速率相等 

C．甲、乙两球自抛出至相碰前瞬间速度变化不相等 

D．甲、乙两球抛出时的速度大小v甲与v乙之比为 1：2

4. 某工厂为了落实有关节能减排政策，水平的排水管道满管径工作，减排前、后，水落点距出水口的水平距离分别为x0、x1，则减排前、后单位时间内的排水量之比（　　）

A． B． C． D．

5. 某次军事演习中，在P、Q两处的炮兵向正前方同一目标O发射炮弹A、B，炮弹轨迹如图所示，已知炮口高度相同，忽略空气阻力，则（　　）

A．B的加速度比A的大 

B．B的飞行时间比A的短 

C．B在最高点的速度比A在最高点的小 

D．B打到目标时的速度比A打到目标时的大

6. 如图所示，两人各自用吸管吹黄豆，甲黄豆从吸管末端P点水平射出的同时乙黄豆从另一吸管末端M点斜向上射出，经过一段时间后两黄豆在N点相遇，曲线1和2分别为甲、乙黄豆的运动轨迹。若M点在P点正下方，M点与N点位于同一水平线上，且PM长度等于MN的长度，不计黄豆的空气阻力，可将黄豆看成质点，则（　　）

A．两黄豆相遇时，甲的速度与水平方向的夹角的正切值为乙的两倍 

B．甲黄豆在P点速度与乙黄豆在最高点的速度不相等 

C．两黄豆相遇时甲的速度大小为乙的两倍 

D．乙黄豆相对于M点上升的最大高度为PM长度一半

7. 如图所示，斜面体ABC固定在水平地面上，斜面的高AB为2m，倾角为θ＝37°，且D是斜面的中点，在A点和D点分别以相同的初速度水平抛出一个小球，结果两个小球恰能落在地面上的同一点，则落地点到C点的水平距离为（　　）

A．m B．m C．m D．m

8. 如图所示，质量相同的两小球a、b分别从斜面顶端A和斜面中点B沿水平方向抛出后，恰好都落在斜面底端，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）

A．小球a、b在空中飞行的时间之比为4：1 

B．小球a、b抛出时的初速度大小之比为2：1 

C．小球a、b到达斜面底端时的速率之比为：1 

D．小球a、b到达斜面底端时速度方向与斜面的夹角之比为：1

9. 某次军事演习中，在P、Q两处的炮兵向正前方同一目标O发射炮弹A、B，要求同时击中目标，炮弹轨迹如图所示，忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　）

A．A先发射 

B．A、B同时发射 

C．A在最高点的速度比B的大 

D．A、B在最高点的速度相同

10. 如图所示，a、b两点位于同一条竖直线上，从a、b两点分别以速度v1、v2同时水平抛出两个相同的小球，它们都能通过在水平地面上方的P点。下列说法正确的是（　　）

A．两小球抛出时的初速度可能相等 

B．抛出时的水平速度与高度成反比 

C．两小球通过P点时机械能可能相等 

D．落地时b的速度一定大于a的速度

11. 一学生用两个颜色不同的篮球做斜抛运动游戏，如图所示，第一次出手时，红色篮球的初速度与竖直方向的夹角α＝60°；第二次出手时，橙色篮球的初速度与竖直方向的夹角为β＝30°；两次出手的位置在同一竖直线上，结果两篮球正好到达相同的最高点C，则红色篮球与橙色篮球运动的高度之比为（　　）

A． B． C． D．