2022-2023学年新疆乌鲁木齐市第六十八中学高一上学期期末检测数学试题（解析版）

2022-2023学年新疆乌鲁木齐市第六十八中学高一上学期期末检测数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义求解作答.

【详解】全集，集合，则，而，

所以.

故选：D

2．函数的定义城为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据被开方数非负和分母不等于零，列出不等式组即可求解.

【详解】要使函数有意义，则

解得且，

所以定义域为.

故选：C．

3．的值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用三角函数的诱导公式，即可求解.

【详解】由三角函数的诱导公式，可得.

故选：B.

4．函数的零点所在的区间为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】结合函数的单调性，利用零点存在定理可判断出函数的零点所在的区间.

【详解】∵函数，

∴函数在上单调递增，

又，，，

故函数的零点所在区间为．

故选：C.

5．中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴.《乐府诗集》中《夏歌二十首》的第五首曰：“叠扇放床上，企想远风来轻袖佛华妆，窈窕登高台.”如图所示，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成若一把折扇完全打开时圆心角为，扇面所在大圆的半径为，所在小圆的半径为，那么这把折扇的扇面面积为（    ）

A． B． C． D．以上都不对

【答案】A

【分析】先分别计算出大的扇形和小的扇形面积，两个求差就是扇面面积.

【详解】由扇形的面积公式可知大的扇形面积为，

小的扇形面积为，

所以扇面的面积为.

故选：A

6．已知，则下列命题中一定成立的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】B

【分析】由不等式的性质及特值法逐一判断即可．

【详解】对于A，，，取，，，则，故A错误；

对于B，若，则，所以，故B正确；

对于C，若，，取，，，，则，故C错误；

对于D，若，则，故D错误．

故选：B．

7．设，，，则、、的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用指数函数、对数函数的单调性，结合中间值法可得出、、的大小关系.

【详解】因为函数为上的减函数，则，

函数为上的增函数，则，

函数为上的减函数，则，

因此，.

故选：D.

8．函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的解析式是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【分析】由图象求出函数的解析式，然后由图象变换得结论．

【详解】由图象得，，所以，又，所以，

又，，，，

由得，

所以，

因为将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，

所以．

故选：D．

二、多选题

9．下列结论中，正确的是（    ）

A．函数是指数函数

B．若，则

C．函数的值域是

D．函数的图像必过定点

【答案】CD

【分析】对于A项,根据指数函数的定义求解；对于B项，当时验证；对于C项，根据的范围求解即可；对于D项，根据求解.

【详解】对于A项，函数的指数位置不符合指数函数，故A不正确.

对于B项，当时，时，，故B不正确.

对于C项，，，故函数的值域是

所以C正确.

对于D项，因为，函数的图像必过定点,故D正确.

故选：CD

10．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点（    ）

A．向左平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）

B．向左平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）

C．横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再把图象向左平移个单位长度

D．横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再把图象向左平移个单位长度

【答案】BC

【分析】根据三角形函数的平移法则，依次判断每个选项的平移后的函数，对比得到答案.

【详解】对选项A：向左平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）得到，不正确；

对选项B：向左平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）得到，正确；

对选项C：横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再把图象向左平移个单位长度得到，正确；

对选项D：横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再把图象向左平移个单位长度得到，不正确.

故选：BC

11．下列函数的最小值为4的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】构造基本不等式，然后根据基本不等式计算与判断A，B，C选项，取特殊值验证选项D即可.

【详解】对于A，，

当且仅当时等号成立，

，故A正确；

对于B，，

当且仅当即时等号成立，

故B正确；

对于C，，

因为无解，故等号不成立，故不是4，

故C错误.

对于D，，取，则，

故D不正确.

故选：AB.

12．已知函数，给出下列结论正确的是（    ）

A．函数f（x）的图像可以由的图像向左平移个单位得到

B．是的一条对称轴

C．若，则的最小值为

D．直线与函数在上的图像有5个交点

【答案】ACD

【分析】根据平移法则得到A正确，计算，不是对称轴，B错误，的最小值为半个周期，C正确，画出图像知D正确，得到答案.

【详解】对选项A：的图像向左平移个单位得到，正确；

对选项B：时，，不是对称轴，错误；

对选项C：，，则的最小值为半个周期为，正确；

对选项D：当时，，如图所示画出函数图像，根据图像知正确.

故选：ACD

三、填空题

13．函数是___________函数（填“奇”或“偶”）.

【答案】奇

【分析】根据函数的奇偶性定义判断.

【详解】定义域为，

对，

所以是奇函数.

故答案为：奇

14．计算：___________.

【答案】5

【分析】根据指数对数运算法则计算得到答案.

【详解】.

故答案为：

15．已知，则___________．

【答案】

【分析】将化为，再利用平方关系化弦为切，将代入即可求解.

【详解】解：，

因为，所以.

故答案为：.

16．如图，摩天轮的半径为，点距地面的高度为，摩天轮做匀速转动，每转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处，在摩天轮转动的一圈内，有___________时间点距离地面超过．

【答案】分钟.

【分析】由题意求出的值，结合周期求出，写出函数解析式，由求出的范围，再由的端点值差求出一圈中点距离地面超过的时间．

【详解】设点离地面的距离为，则可令，

由题可知，，又，解得，则

当时，，代入得，解得，从而，故，

若点距离地面超过，则，即，解得，则，即在摩天轮转动的一圈内，有分钟时间点距离地面超过．

故答案为：分钟

四、解答题

17．若且为第四象限角，求的值．

【答案】

【分析】根据同角的三角函数关系式进行求解即可.

【详解】因为且为第四象限角，

所以，

因此.

即.

18．已知函数，判断并证明在上的单调性.

【答案】单调递增，证明见解析

【分析】利用单调性的定义判断证明.

【详解】函数在上单调递增.

证明：，任取，

，

因为，所以，，，

所以，即，

所以在上单调递增.

19．已知函数（且）满足.求函数的值域.

【答案】

【分析】根据题意可得，结合指数函数单调性求值域.

【详解】由题意可得，故，

∵，且在上单调递减，

∴，当且仅当，即时，等号成立，

故函数的值域为.

20．已知，，，求的值.

【答案】

【分析】，根据已知条件判断和的象限，求出和即可.

【详解】，

，

，，

.

所以.

21．已知函数，若，求的单调区间.

【答案】增区间为，减区间为

【分析】计算定义域得到或，分别判断和的单调区间，根据复合函数单调性得到答案.

【详解】，，

函数定义域满足，解得或，

函数在上单调递减，

函数在上单调递减，在上单调递增，

故函数的单调增区间为，减区间为

22．已知函数，将的图象向左平移个单位长度，所得函数的图象关于轴对称.

(1)求函数的解析式；

(2)若关于的方程在上恰有两个实数根，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)直接利用三角函数的关系式的变换和函数的图像的变换的应用求出函数的关系式；

(2)利用函数的性质的应用求出的取值范围.

【详解】（1）由，

函数的图象向左平移个单位，得到的图象关于轴对称；

由于，则，

所以，则；

（2）因为，所以，

所以，

因方程在上恰有两个实数根，

当时，，当时，，

所以，即的取值范围为.