2023年江苏省淮安市淮阴区中考数学一模试卷（含解析）

2023年江苏省淮安市淮阴区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列图标，是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  人体最小的细胞是血小板，个血小板紧密排成一直线长约，数据用科学记数法表示是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子次，下列事件中是不可能事件的是(    )

A. 朝上的点数之和为 B. 朝上的点数之和为
C. 朝上的点数之和为 D. 朝上的点数之和小于

5.  已知的半径为，直线与有个公共点，则点到直线的距离可能是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  在平面直角坐标系中，点是实数在(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

7.  若干桶方便面摆放在桌面上，它的三个视图如下，则这一堆方便面共有(    )

A. 桶 B. 桶 C. 桶 D. 桶

8.  如图，将矩形绕点逆时针旋转至矩形，点的旋转路径为，若，，则阴影部分的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  的算术平方根是______．

10.  分解因式：          ．

11.  函数中，自变量的取值范围是______ ．

12.  如果实数，满足方程组，那么        ．

13.  半径为，圆心角为的扇形的弧长为        ．

14.  如图，点、、都在格点上，则的正切值为        ．

15.  甲、乙两台机床生产同一种零件，并且每天产量相等，在随机抽取的天的生产中，每天生产零件中的次品数依次是：

则甲、乙两台机床中，性能较稳定的为        机床填“甲”或“乙”

16.  如图，中，，，为中点，、是边、上的动点，从出发向运动，同时以相同的速度从出发向运动，运动到停止，当为______时，的面积最大．

三、解答题（本大题共11小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：；
化简：．

18.  本小题分
解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
 

19.  本小题分
如图，点，，，在一条直线上，，，，写出与之间的关系，并证明你的结论．

20.  本小题分
某校为了解“阳光体育”活动的开展情况，从全校名学生中，随机抽取部分学生进行问卷调查每名学生只能从、、、中选择一项自己喜欢的活动项目，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
被调查的学生共有______人，并补全条形统计图；
在扇形统计图中，求表示区域的扇形圆心角的度数；
全校学生中喜欢篮球的人数大约是多少人？

21.  本小题分
某公司打算购买一批相同数量的玻璃杯和保温杯，计划用元购买玻璃杯，用元购买保温杯已知一个保温杯比一个玻璃杯贵元，求一个玻璃杯的价格．

22.  本小题分
从名男生和名女生中随机抽取运动会志愿者．
随机抽取名，恰好是女生的概率为        ；
请用画树状图或列表的方法，写出抽取名，恰好是名男生和名女生的概率．

23.  本小题分
如图，小明在热气球上看到正前方横跨河流两岸的大桥，并测得，两点的俯角分别为和，已知大桥的长度为，且与地面在同一水平面上．求热气球离地面的高度．
结果保留整数，参考数据：，，，

24.  本小题分
同时点燃甲乙两根蜡烛，蜡烛燃烧剩下的长度与燃烧时间的关系如图所示．
求乙蜡烛剩下的长度与燃烧时间的函数表达式；
求点的坐标，并说明其实际意义；
求点燃多长时间，甲蜡烛剩下长度是乙蜡烛剩下长度的倍．

25.  本小题分
如图，是的直径，点在圆上，直线交延长线于点，且．
求证：是的切线；
若，，求的长．

26.  本小题分
问题背景
如图，矩形中，，，、分别是、的中点，折叠矩形，使点落在上的点处，折痕为．
实践操作
用直尺和圆规在图中的边上作出点不写作法，保留作图痕迹；
基础应用
求的度数和的长；
思维探究
如图，若点是直线上的一个动点．连接，在左侧作等边三角形，连接则的最小值是______；
思维拓展
如图，若点是射线上的一个动点将沿翻折，得，延长至，使，连接当是直角三角形时，的长为多少？请直接写出答案．
 

27.  本小题分
如图，在中，，，，是上的动点不与、重合，过点作交于点，以为直径作，并在内作内接矩形设．
的面积______，______；用含的代数式表示
在动点的运动过程中，设与四边形重合部分的面积为试求关于的函数表达式，并求出为何值时，的值最大，最大值为多少？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是：．
故选：．
直接利用倒数的定义分析得出答案．
此题主要考查了倒数，正确把握定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
运用科学记数法的表示形式为即可求出答案．
本题考查了科学记数法表示较大的数，掌握科学记数法的表示方法是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、朝上的点数之和为，是随机事件，不符合题意；
B、朝上的点数之和为，是不可能事件，符合题意；
C、朝上的点数之和为，是随机事件，不符合题意；
D、朝上的点数之和小于，是随机事件，不符合题意；
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

5.【答案】 

【解析】解：直线与有个公共点，
直线与相交，
的半径为，
点到直线的距离，
故选：．
根据圆的半径和圆心到直线的距离的大小，相交：；相切：；相离：；即可选出答案．
本题主要考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
点在第二象限，
故选：．
根据平方数非负数判断出纵坐标为正数，再根据各象限内点的坐标的特点解答．
本题考查了点的坐标，判断出纵坐标是正数是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：综合三视图，这堆方便面底层应该有桶，
第二层应该有桶，
第三层应该有桶，
因此共有桶．
故选：．
根据三视图的知识，底层应有桶方便面，第二层应有桶，第三层有桶，即可得出答案．
本题考查了由三视图判断几何体，学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了矩形的性质，旋转的性质，扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
设与交于，连接，根据旋转的性质得到，根据直角三角形的性质得到，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】
解：如图，设与交于，连接，
，，
，
，
，
，
阴影部分的面积，
故选A．  

9.【答案】 

【解析】解：，
的算术平方根是．
故答案为：．
本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义即可求出结果。
算术平方根的概念易与平方根的概念混淆．弄清概念是解决本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项都是平方项；符号相反．
直接利用平方差公式分解则可．
【解答】
解：．
故答案为：．  

11.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，得
，，
．
故答案为：．
把第一个方程乘以，然后利用加减消元法求解得到、的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
本题考查了二元一次方程组的解和整体思想，解题时利用整体思想无需解方程．
 

13.【答案】 

【解析】解：弧长；
故答案为：．
根据弧长的计算公式即可得到结论．
本题考查了扇形的弧长的计算，熟记弧长的计算公式是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，作的延长线于点，则，
，
．
故答案为：．
作的延长线于点，利用勾股定理求得和的长，根据正弦的定义即可求解．
本题考查的是勾股定理，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键是解答此题的关键．
 

15.【答案】乙 

【解析】解：甲的平均数，
乙的平均数，


，
乙台机床性能较稳定．
故答案为：乙．
先计算出甲乙的平均数，甲的平均数乙的平均数，再根据方差的计算公式分别计算出它们的方差，然后根据方差的意义得到方差小的性能较稳定．
本题考查了方差的计算公式和意义：一组数据，，，，其平均数为，则这组数据的方差；方差反映一组数据在其平均数左右的波动大小，方差越大，波动就越大，越不稳定，方差越小，波动越小，越稳定．
 

16.【答案】 

【解析】

【试题解析】

【分析】
根据题意可以表示出的面积，然后根据二次函数的性质即可解答本题．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【解答】

解：设点运动的距离为，则点运动的距离也为，
，
当时，的面积最大，
故答案为．
 

17.【答案】解：

；


． 

【解析】先计算负整数指数幂、零指数幂、去绝对值；然后计算加减法；
先计算括号内的，然后对分式的分子进行因式分解，通过约分进行化简．
本题主要考查了分式的混合运算，实数的运算，零指数幂，把分式化到最简是解答题的关键．
 

18.【答案】解：，
由得，，
由得，，
故不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
 

【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来即可．
本题考查的是解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式组的解集，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解题的关键．
 

19.【答案】解：，，
理由是：，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
． 

【解析】本题考查了平行线的判定和全等三角形的性质和判定的应用．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
求出，根据证≌，推出，，根据平行线的判定推出即可．
 

20.【答案】，
则项目人数为，补全图形如下：

表示区域的扇形圆心角的度数为；
全校学生中喜欢篮球的人数大约是人． 

【解析】

解：被调查的学生人数为人，
故答案为：；
见答案；
见答案．
【分析】由项目人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去、、的人数求得的人数即可补全图形；
用乘以项目人数所占比例；
总人数乘以样本中项目人数所占比例．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估计总体．  

21.【答案】解：设一个玻璃杯的价格是元，则一个保温杯的价格是元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：一个玻璃杯的价格是元． 

【解析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
设一个玻璃杯的价格是元，则一个保温杯的价格是元，根据用元购买玻璃杯的数量等于用元购买保温杯的数量，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
 

22.【答案】 

【解析】解：有名男生和名女生，
随机抽取名，恰好是女生的概率为．
故答案为：．
设名男生分别记为，，名女生分别记为，，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中抽取名，恰好是名男生和名女生的结果有，，，，，，，，共种，
抽取名，恰好是名男生和名女生的概率为．
直接利用概率公式计算即可．
画树状图得出所有等可能的结果数和抽取名，恰好是名男生和名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

23.【答案】解：作交所在直线于点，由题知，
，，
在中，，，
．
在中，，，
，
，
，解得．
答：热气球离地面的高． 

【解析】作交所在直线于点，利用锐角三角函数的定义求出及的长，利用即可得出结论．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
 

24.【答案】解：设乙蜡烛剩下的长度与燃烧时间的函数表达式为，
，
解得，，
即乙蜡烛剩下的长度与燃烧时间的函数表达式为；

将代入，得，
即点的坐标为，实际意义是：点燃分钟，甲乙两根蜡烛剩下的长度都是；

设甲蜡烛剩下的长度与之间的函数表达式为，
，解得，
与之间的函数表达式为，
甲蜡烛剩下长度是乙蜡烛剩下长度的倍，

解得，
答：点燃分钟，甲蜡烛剩下长度是乙蜡烛剩下长度的倍． 

【解析】根据函数图象中的数据可以求得乙蜡烛剩下的长度与燃烧时间的函数表达式；
根据中的函数解析式可以求得点的坐标，以及写出点表示的实际意义；
根据题意可以得到甲蜡烛剩下的长度与燃烧时间的函数表达式，从而可以求得点燃多长时间，甲蜡烛剩下长度是乙蜡烛剩下长度的倍．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，求出相应的函数解析式，利用函数的性质解答问题．
 

25.【答案】证明：连接，如图，

是的直径，
，即，
，
，
，
，即，
，
是的切线；
解：，，
∽，
，即，
，
． 

【解析】连接，利用圆周角定理得，再利用得到，然后根据切线的判定定理得到结论；
先证明∽，则利用相似比计算出的长，然后计算即可．
本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
 

26.【答案】解：如图中，点即为所求：

在中，
，
；
；
如图中，当时，．

如图中，当时，点与重合，此时．

如图中，当时，．

如图中，当时，．

综上所述，满足条件的的值为或或或． 

【解析】

解：见答案

见答案

如图中，连接，取的中点，连接．

，，，
，
≌，
、分别是、上的中线，
，
根据垂线段最短可知，当时，的值最小，最小值，
的最小值为．
故答案为：．

见答案．
【分析】
在上截取一点，使得，作的平分线交于，点即为所求；
根据，即可解决问题；
由≌，因为、分别是、上的中线，推出，根据垂线段最短可知，当时，的值最小，的最小值；
分四种情形分别求解即可；
本题考查四边形综合题、矩形的性质、翻折变换、等边三角形的判定和性质、解直角三角形、全等三角形的判定、垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．  

27.【答案】；
当点为线段中点时，点落在线段上，
分及两种情况考虑．
当时，如图所示．
，
，
当时，取最大值，最大值为；
当时，如图所示．
，则，，
，
，
，
．
，
当取时，取最大值，最大值为．
综上所述：关于的函数表达式为，当时，的值最大，最大值为． 

【解析】

解：在中，，，，
．
，
，即．
，
，，
．
四边形为矩形，
．
故答案为：；
见答案
【分析】
在中，利用勾股定理可求出的值，由，利用平行线分线段成比例可求出、的值，再利用三角形的面积公式结合矩形的性质即可求出的面积的值；
分及两种情况考虑：当时，利用的结论可得出关于的函数关系式，利用二次函数的性质可求出此时的最大值；当时，由可得出、的值，利用三角形的面积公式结合可得出关于的函数关系式，利用二次函数的性质可求出此时的最大值．综上，此题得解．
本题考查了三角形的面积、平行线的性质、矩形的性质以及二次函数的性质，解题的关键是：根据三角形的面积公式结合矩形的性质找出的值；分及两种情况找出关于的函数关系式．