2023年江苏省淮安市淮阴区中考数学二模试卷

这是一份2023年江苏省淮安市淮阴区中考数学二模试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列四个数中，最大的数是（ ）
A．﹣2B．C．0D．6
2．（3分）下列各式计算结果为a5的是（ ）
A．a3+a2B．a3×a2C．（a2）3D．a10÷a2
3．（3分）“瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用．下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）为了解某种电动汽车一次充电后行驶的里程数，抽检了10辆车，对一次充电后行驶的里程数进行了统计，结果如图所示，则在这组数据中，众数和中位数分别是（ ）
A．220，220B．210，215C．210，210D．220，215
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为CA，CB的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若，则DF的长为（ ）
A．B．1C．D．2
6．（3分）如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC＝54°，则∠BAC的度数为（ ）
A．36°B．46°C．54°D．42°
7．（3分）关于x的方程x2+bx﹣c＝0的两根分别是x1＝﹣1，x2＝3，若点A是二次函数y＝x2+bx﹣c的图象与y轴的交点，过A作AB⊥y轴交抛物线于另一交点B，则AB的长为（ ）
A．B．C．2D．3
8．（3分）将一根16cm长的细铁丝折成一个等腰三角形（弯折处长度忽略不计），设腰长为x cm，底边长为y cm，则下列选项中能正确描述y与x函数关系的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题。（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
10．（3分）分解因式：2x2﹣18＝ ．
11．（3分）已知圆锥的轴截面是边长为6的等边三角形，则这个圆锥的侧面积是 ．
12．（3分）某商场举办有奖销售活动，每张奖券获奖的可能性相同．以每10000张奖券为一个开奖单位，设一等奖100名，二等奖300名，三等奖600名，则1张奖券中奖的概率为 ．
13．（3分）如图，已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置（∠ABC＝45°），其中点B在直线n上，若∠1＝25°，则∠2的度数为 ．
14．（3分）若二元一次方程组的解为，则a﹣b＝ ．
15．（3分）如图，直线y＝2x与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作AC⊥AB交y轴于点C，若△OAC的面积为5，则k的值为 ．
16．（3分）如图所示，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝8，则AC的长为 ．
三、解答题。（本大题共11小题，共102分。）
17．（8分）计算：
（1）（a﹣1）2+a（2﹣a）；
（2）．
18．（6分）先化简，再求值：，其中a＝5．
19．（10分）某校积极开展中学生社会实践活动，决定成立文明宣传、环境保护、交通监督三个志愿者队伍，每名学生最多选择一个队伍，为了了解学生的选择意向，随机抽取A，B，C，D四个班，共200名学生进行调查．将调查得到的数据进行整理，绘制成统计图（不完整）．
（1）求扇形统计图中交通监督所在扇形的圆心角度数；
（2）求D班选择环境保护的学生人数，并补全折线统计图；
（3）若该校共有学生4000人，试估计该校选择文明宣传的学生人数．
20．（8分）4月9日，2023淮安西游乐园淮安马拉松赛暨大运河马拉松系列赛（淮安站）在淮安举办，15000名跑者共同组成春日淮安“醉美”的一道风景．赛事共有三项：A．“马拉松”、B．“半程马拉松”、C．“健康跑”．小华和小明参与了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组．
（1）小明被分配到“健康跑”项目组的概率为 ；
（2）请利用树状图或表格求小华和小明被分配到不同项目组的概率．
21．（8分）点M、N分别是菱形ABCD边BC、CD上的点．
（1）如图，若CM＝CN，求证：AM＝AN；
（2）判断命题“若AM＝AN，则CM＝CN”的真假，若真，请证明；若假，请在备用图上画出反例．
22．（10分）如图1是小区常见的漫步机，当人踩在踏板上，握住扶手，像走路一样抬腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转，如图2，从侧面看，立柱DE高1.8米，踏板静止时踏板连杆与DE上的线段AB重合，BE长为0.2米，当踏板连杆绕着点A旋转到AC处时，测得∠CAB＝37°，此时点C距离地面的高度CF为0.45米，求AB和AD的长（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
23．（8分）如图，已知正方形ABCD，点E是AB边上的一点，连接ED．
（1）请用尺规作图的方法在线段DE上求作一点F，使得∠BEF+∠BCF＝180°（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若AD＝12，AE＝5，则CF的长为 ．
24．（10分）如图1，在⊙O外取一点P，作直线PO分别交⊙O于B、A两点，先以点P为圆心，PO的长为半径画弧，再以点O为圆心，AB的长为半径画弧，两弧交于点Q，连接OQ，交⊙O于点C，连接PC，完成下列任务：
（1）判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，继续作点C关于直线AB的对称点D，连接CD，交AB于点E，连接BD．
①若∠P＝20°，则∠BDC＝ °；
②若⊙O的半径为13，BE＝8，求PB的长．
25．（10分）平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶80元，售价为每顶120元，平均每周可售出200顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于108元，经调查发现：每降价1元，平均每周可多售出20顶．
（1）该商店若希望每周获利12000元，则每顶头盔应降价多少元？
（2）当每顶头盔的售价为多少元，商店每月获得最大利润，最大利润是多少？
26．（12分）如图，抛物线与x轴交于点A（1，0）和点B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一动点，作PD⊥x轴，垂足为D，连接PC．
①如图1，若点P在第三象限，且，求点P的坐标；
②若点P在y轴左侧时，直线PD交直线BC于点E，当点E关于直线PC的对称点E′落在y轴上时，直接写出点P的坐标．
27．（12分）【探究发现】
（1）如图1，在△ABC中，D为BC边的中点，连接AD并延长至点H，使DH＝AD，连接CH，由∠ADB＝∠CDH，得△ADB≌△HDC，则AB与CH的数量关系为 ，位置关系为 ．
【尝试应用】
（2）如图2，在△ABC中，AP平分∠BAC，D为BC边的中点，过点D作DQ∥AP，交CA的延长线于点Q，交AB边于点K，试判断BK与CQ的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，D为BC边的中点，连接AD，E为AC边上一动点，连接BE交AD于点F．
①若BF＝AC，求AE的长度；
②在射线AD上取一点G，且，连接BG，求4BE+5BG的最小值．
参考答案与试题解析
一、选择题。（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.）
1．（3分）下列四个数中，最大的数是（ ）
A．﹣2B．C．0D．6
【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得
6＞＞0＞﹣2，
故四个数中，最大的数是6．
故选：D．
2．（3分）下列各式计算结果为a5的是（ ）
A．a3+a2B．a3×a2C．（a2）3D．a10÷a2
【解答】解：A．a3与a2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B．a3×a2＝a5，故本选项符合题意；
C．（a2）3＝a6，故本选项不合题意；
D．a10÷a2＝a8，故本选项不合题意；
故选：B．
3．（3分）“瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用．下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形；
故选：D．
4．（3分）为了解某种电动汽车一次充电后行驶的里程数，抽检了10辆车，对一次充电后行驶的里程数进行了统计，结果如图所示，则在这组数据中，众数和中位数分别是（ ）
A．220，220B．210，215C．210，210D．220，215
【解答】解：数据210出现了4次，最多，
故众数为210，
共10辆车，排序后位于第5和第6位的数分别为210，220，
故中位数为（210+220）÷2＝215．
故选：B．
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为CA，CB的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若，则DF的长为（ ）
A．B．1C．D．2
【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝2，BC＝4，
由勾股定理得：AB＝＝6，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠EBF，
∵D，E分别为CA，CB的中点，
∴DE∥AB，DE＝AB＝3，BE＝BC＝2，
∴∠ABF＝∠EFB，
∴∠EFB＝∠EBF，
∴EF＝BE＝2，
∴DF＝DE﹣EF＝1，
故选：B．
6．（3分）如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC＝54°，则∠BAC的度数为（ ）
A．36°B．46°C．54°D．42°
【解答】解：∵∠ADC＝54°，
∴∠ABC＝∠ADC＝54°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣54°＝36°，
故选：A．
7．（3分）关于x的方程x2+bx﹣c＝0的两根分别是x1＝﹣1，x2＝3，若点A是二次函数y＝x2+bx﹣c的图象与y轴的交点，过A作AB⊥y轴交抛物线于另一交点B，则AB的长为（ ）
A．B．C．2D．3
【解答】解：∵x1＝﹣1，x2＝3，
∴x1+x2＝﹣b＝2，x1x2＝﹣c＝﹣3，
∴b＝﹣2，c＝3，
∴y＝x2﹣2x﹣3，
当x＝0时，y＝﹣3，
∴A（0，﹣3），
∵AB⊥y轴，
∴B点的纵坐标为﹣3，
将y＝﹣3代入y＝x2﹣2x﹣3，得：﹣3＝x2﹣2x﹣3，
解得：x1＝0，x2＝2，
∴B（2，﹣3），
∴AB＝2．
故选：C．
8．（3分）将一根16cm长的细铁丝折成一个等腰三角形（弯折处长度忽略不计），设腰长为x cm，底边长为y cm，则下列选项中能正确描述y与x函数关系的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由已知y＝16﹣2x，
由三角形三边关系得：，
解得：4＜x＜8，
故选：D．
二、填空题。（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥﹣3 ．
【解答】解：由题意得：3+x≥0，
解得：x≥﹣3，
故答案为：x≥﹣3．
10．（3分）分解因式：2x2﹣18＝ 2（x+3）（x﹣3） ．
【解答】解：原式＝2（x2﹣9）＝2（x+3）（x﹣3），
故答案为：2（x+3）（x﹣3）
11．（3分）已知圆锥的轴截面是边长为6的等边三角形，则这个圆锥的侧面积是 18π ．
【解答】解：∵圆锥的轴截面是一个边长为6的等边三角形，
∴底面半径＝3，底面周长＝6π，
∴圆锥的侧面积＝×6π×6＝18π．
故答案为：18π．
12．（3分）某商场举办有奖销售活动，每张奖券获奖的可能性相同．以每10000张奖券为一个开奖单位，设一等奖100名，二等奖300名，三等奖600名，则1张奖券中奖的概率为 ． ．
【解答】解：∵以每10000张奖券为一个开奖单位，设一等奖100名，二等奖300名，三等奖600名，
∴一张奖券中奖概率为＝．
故答案为：．
13．（3分）如图，已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置（∠ABC＝45°），其中点B在直线n上，若∠1＝25°，则∠2的度数为 20° ．
【解答】解：作直线CE∥m，
∵直线m∥n，
∴直线CE∥m∥n，
∴∠ACE＝∠2，∠BCE＝∠1＝25°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠ACE+∠BCE＝45°，
∴∠ACE＝20°，
∴∠2＝20°，
故选：20°．
14．（3分）若二元一次方程组的解为，则a﹣b＝ ．
【解答】解：将代入原方程组得：，
解得：，
∴a﹣b＝﹣＝．
故答案为：．
15．（3分）如图，直线y＝2x与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作AC⊥AB交y轴于点C，若△OAC的面积为5，则k的值为 8 ．
【解答】解：作AD⊥y于点D，
∵AC⊥AB，
∴AD2＝OD•CD，
∵直线y＝2x与反比例函数的图象交于A、B两点，
∴点A与点B关于原点成中心对称．
设B（m，2m），则A（﹣m，﹣2m），
∴AD＝m，OD＝2m，
∴m2＝2m•CD，
∴CD＝，
∴OC＝，
∵△OAC的面积为5，
∴，
∴m＝2（舍去﹣2），
∴B（2，4），
k＝2×4＝8．
故答案为：8．
16．（3分）如图所示，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝8，则AC的长为 6 ．
【解答】解：过D点作DF∥BE，
∵AD是△ABC的中线，AD⊥BE，
∴F为EC中点，AD⊥DF，
∵AD＝BE＝8，
∴DF＝4，AF＝＝4，
∵BE是△ABC的角平分线，AD⊥BE，
∴△ABG≌△DBG，
∴G为AD中点，
∴E为AF中点，
∴AC＝AF＝×4＝6．
故答案为：6．
三、解答题。（本大题共11小题，共102分。）
17．（8分）计算：
（1）（a﹣1）2+a（2﹣a）；
（2）．
【解答】解：（1）（a﹣1）2+a（2﹣a）
＝a2﹣2a+1+2a﹣a2
＝1；
（2）
＝1+（﹣2）+2
＝1+（﹣2）+2
＝1．
18．（6分）先化简，再求值：，其中a＝5．
【解答】解：
＝÷﹣
＝•﹣
＝﹣
＝
＝，
当a＝5时，原式＝＝．
19．（10分）某校积极开展中学生社会实践活动，决定成立文明宣传、环境保护、交通监督三个志愿者队伍，每名学生最多选择一个队伍，为了了解学生的选择意向，随机抽取A，B，C，D四个班，共200名学生进行调查．将调查得到的数据进行整理，绘制成统计图（不完整）．
（1）求扇形统计图中交通监督所在扇形的圆心角度数；
（2）求D班选择环境保护的学生人数，并补全折线统计图；
（3）若该校共有学生4000人，试估计该校选择文明宣传的学生人数．
【解答】解：（1）交通监督所在扇形的圆心角度数是：360°×＝97.2°；
（2）200×30%﹣15﹣14﹣16＝15（人），补全折线统计图如下：
（3）4000×（1﹣30%﹣5%﹣）＝1520（人），
答：估计该校选择文明宣传的学生人数有1520人．
20．（8分）4月9日，2023淮安西游乐园淮安马拉松赛暨大运河马拉松系列赛（淮安站）在淮安举办，15000名跑者共同组成春日淮安“醉美”的一道风景．赛事共有三项：A．“马拉松”、B．“半程马拉松”、C．“健康跑”．小华和小明参与了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组．
（1）小明被分配到“健康跑”项目组的概率为 ；
（2）请利用树状图或表格求小华和小明被分配到不同项目组的概率．
【解答】解：（1）∵从A．“马拉松”、B．“半程马拉松”、C．“健康跑”3种等可能出现的结果中，小明被分配到“健康跑”项目组的只有1种，
∴小明被分配到“健康跑”项目组的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图法如下：
共有9种等可能出现的结果，其中小华和小明被分配到不同项目组的有6种，
所以小华和小明被分配到不同项目组的概率为＝．
21．（8分）点M、N分别是菱形ABCD边BC、CD上的点．
（1）如图，若CM＝CN，求证：AM＝AN；
（2）判断命题“若AM＝AN，则CM＝CN”的真假，若真，请证明；若假，请在备用图上画出反例．
【解答】解：（1）连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ACM＝∠ACN，
在△ACM与△ACN中，
，
∴△ACM≌△ACN（SAS），
∴AM＝AN，
（2）当AM＝AN＝AN'时，CM≠CN'，如备用图，
所以命题“若AM＝AN，则CM＝CN”是假命题．
22．（10分）如图1是小区常见的漫步机，当人踩在踏板上，握住扶手，像走路一样抬腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转，如图2，从侧面看，立柱DE高1.8米，踏板静止时踏板连杆与DE上的线段AB重合，BE长为0.2米，当踏板连杆绕着点A旋转到AC处时，测得∠CAB＝37°，此时点C距离地面的高度CF为0.45米，求AB和AD的长（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【解答】解：过点C作CG⊥AB于G，
则四边形CFEG是矩形，
∴EG＝CF＝0.45，
设AD＝x，
∴AE＝1.8﹣x，
∴AC＝AB＝AE﹣BE＝1.6﹣x，AG＝AE﹣CF＝1.35﹣x，
在Rt△ACG中，∠AGC＝90°，∠CAG＝37°，
cs∠CAG＝＝＝0.8，
解得：x＝0.35，
∴AD＝0.35米，AB＝1.25米，
答：AB和AD的长分别为1.25米，0.35米．
23．（8分）如图，已知正方形ABCD，点E是AB边上的一点，连接ED．
（1）请用尺规作图的方法在线段DE上求作一点F，使得∠BEF+∠BCF＝180°（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若AD＝12，AE＝5，则CF的长为 ．
【解答】解：（1）过C作CF⊥DE于F，如图：
点F即为所求；
理由：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，
∵∠EFC＝90°，
∴∠BEF+∠BCF＝360°﹣90°﹣90°＝180°；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝AD＝12，∠A＝90°，
∴DE＝＝＝13，
∴cs∠ADE＝＝，
∵∠ADE＝90°﹣∠CDF＝∠DCF，
∴cs∠DCF＝，
∴＝，
∴CF＝．
故答案为：．
24．（10分）如图1，在⊙O外取一点P，作直线PO分别交⊙O于B、A两点，先以点P为圆心，PO的长为半径画弧，再以点O为圆心，AB的长为半径画弧，两弧交于点Q，连接OQ，交⊙O于点C，连接PC，完成下列任务：
（1）判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，继续作点C关于直线AB的对称点D，连接CD，交AB于点E，连接BD．
①若∠P＝20°，则∠BDC＝ 35 °；
②若⊙O的半径为13，BE＝8，求PB的长．
【解答】解：（1）由题意得：OP＝PQ，OQ＝AB，连接PQ，
∵AB是直径，
∴OQ＝AB＝2OC，即点C是OQ得中点，
又∵OP＝PQ，即△OPQ是等腰三角形，
∴∠PCO＝90°（三线合一），
∴PC与⊙O相切；
（2）①∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠PCD+∠OCD＝90°，
∵点C与点D关于AB的对称，
∴CD⊥AB，OC＝OD，
∴∠BOC+∠OCD＝90°，点D在圆上，
∴∠PCD＝∠BOC，
∵∠BOC＝2∠BDC，
∴∠PCD＝2∠BDC；
又∵CD⊥AB，
∴∠P+∠PCD＝90°，
∵∠P＝20°，
∴∠PCD＝70°，
∴∠BDC＝∠PCD＝35°，
故答案为：35；
②∵OB＝13．BE＝8，
∴OE＝OB﹣OE＝5．
∵∠OCP＝∠OEC＝90°，∠COP＝∠EOC，
∴△OCP∽△OEC，
∴，即，
∴OP＝，
∴PB＝OP﹣OB＝﹣13＝．
25．（10分）平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶80元，售价为每顶120元，平均每周可售出200顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于108元，经调查发现：每降价1元，平均每周可多售出20顶．
（1）该商店若希望每周获利12000元，则每顶头盔应降价多少元？
（2）当每顶头盔的售价为多少元，商店每月获得最大利润，最大利润是多少？
【解答】解：（1）设每顶头盔降价a元，则平均每周可售出（20a+200）顶，
由题意得：（120﹣a﹣80）（20a+200）＝12000，
解得a＝10或a＝20，
当a＝10时，售价为120﹣10＝110＞108，不符题意，舍去，
当a＝20时，售价为120﹣20＝100＜108，符合题意，
答：每顶头盔应降价20元；
（2）设商店每周获得最大利润w元，每顶头盔的售价为x元，则平均每周可售出[20（120﹣x）+200]顶，且80≤x≤108，
由题意得：w＝[20（120﹣x）+200]（x﹣80），
整理得：w＝﹣20（x﹣105）2+12500，
由二次函数的性质可知，在80≤x≤108内，当x＝105时，w取最大值12500，
12500×4＝50000（元），
答：当每顶头盔的售价为105元，商店每周获得最大利润，最大利润是50000元．
26．（12分）如图，抛物线与x轴交于点A（1，0）和点B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一动点，作PD⊥x轴，垂足为D，连接PC．
①如图1，若点P在第三象限，且，求点P的坐标；
②若点P在y轴左侧时，直线PD交直线BC于点E，当点E关于直线PC的对称点E′落在y轴上时，直接写出点P的坐标．
【解答】解：（1）将A（1，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+x+c，得：，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝x2+x﹣3；
（2）设P（t，t2+t﹣3），则D（t，0），
①∵点P在第三象限，
∴PD＝﹣t2﹣t+3，
过点C作CE⊥PD于点E，如图1，
则∠PEC＝90°，
∵C（0，﹣3），
∴CE＝﹣t，PE＝﹣3﹣（t2+t﹣3）＝﹣t2﹣t，
∵＝tan∠CPD＝，
∴PE＝2CE，
即﹣t2﹣t＝﹣2t，
解得：t1＝0（舍去），t2＝﹣，
∴P（﹣，﹣）；
②在y＝x2+x﹣3中，令y＝0，得x2+x﹣3＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝1，
∴B（﹣4，0），
∵C（0，﹣3），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣3，
在Rt△BOC中，BC＝＝＝5，
设点P（m，m2+m﹣3），则E（m，﹣m﹣3），
当点P在第三象限时，作EF⊥y轴于F，如图2，
∵点E与E′关于PC对称，
∴∠ECP＝∠E′CP，CE＝CE′，
∵PE∥y轴，
∴∠EPC＝∠E′CP，
∴∠ECP＝∠EPC，
∴PE＝CE，
∵EF∥OA，
∴＝，
∴＝，
∴CE＝﹣m，
∵PE＝（﹣m﹣3）﹣（m2+m﹣3）＝﹣m2﹣3m，
∴﹣m2﹣3m＝﹣m，
∴m1＝0（舍去），m2＝﹣，
∴P（﹣，﹣）；
当点P在第二象限时，
同理可得：m2+3m＝﹣m，
∴m1＝0（舍去），m2＝﹣，
∴P（﹣，），
综上所述，点P的坐标为（﹣，﹣）或（﹣，）．
27．（12分）【探究发现】
（1）如图1，在△ABC中，D为BC边的中点，连接AD并延长至点H，使DH＝AD，连接CH，由∠ADB＝∠CDH，得△ADB≌△HDC，则AB与CH的数量关系为 AB＝CH ，位置关系为 AB∥CH ．
【尝试应用】
（2）如图2，在△ABC中，AP平分∠BAC，D为BC边的中点，过点D作DQ∥AP，交CA的延长线于点Q，交AB边于点K，试判断BK与CQ的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，D为BC边的中点，连接AD，E为AC边上一动点，连接BE交AD于点F．
①若BF＝AC，求AE的长度；
②在射线AD上取一点G，且，连接BG，求4BE+5BG的最小值．
【解答】解：（1）∵D为BC边的中点，
∴BD＝CD，
∵∠ADB＝∠CDH，AD＝HD，
∴△ADB≌△HDC（SAS），
∴AB＝CH，∠B＝∠DCH，
∴AB∥CH，
故答案为：AB＝CH，AB∥CH；
（2）BK＝CQ，理由如下：
如图2，延长KD至点T，使DT＝DK，连接CT，
∵D为BC的中点，
∴BD＝CD，
∵∠KDB＝∠TDC，DK＝DT，
∴△KDB≌△TDC（SAS），
∴BK＝CT，∠BKD＝∠T，
∵DQ∥AP，
∴∠BKD＝∠BAP，∠Q＝∠CAP，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP＝∠CAP，
∴∠T＝∠Q，
∴CQ＝CT，
∴BK＝CQ；
（3）①如图3，延长FD至G，使DG＝DF，连接CG，
同（2）得：△BDF≌△CDG（SAS），
∴BF＝CG，∠BFD＝∠CGD，
∵BF＝AC＝6，
∴CG＝AC，
∴∠CAD＝∠CGD，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠AFE＝∠CAD，
∴AE＝FE，
设AE＝FE＝x，则BE＝BF+FE＝6+x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE2+AB2＝BE2，
即x2+82＝（6+x）2，
解得：x＝，
即AE的长度为；
②∵∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，
∴BC＝＝＝10，
∵D为BC边的中点，
∴AD＝BD＝BC＝×10＝5，S△ABD＝S△ABC＝×AB•AC＝××8×6＝12，
如图4，过点B作BH⊥AD于点H，
则点B到AD射线的最短距离为BH，
∴在AH之间的点越靠近H点与点B的线段长度越小，
∵＝，
∴CE越大，AG越大，
∵CE最大为AC的长，
即点E与点A重合时，CE最大，最大值为6，
∵∠BAC＝90°，
∴此时，BE最小＝AB＝8，AG＝×6＝，点G在AD上，在AH之间，
∴此时，BE、BG均最小，
∵S△ABD＝AH•AD＝×AH×5＝AH，
∴AH＝12，
∴AH＝，
在Rt△BHD中，由勾股定理得：DH＝＝＝，
∵DG＝AD﹣AG＝5﹣＝，
∴GH＝DG+DH＝+＝，
在Rt△BHG中，由勾股定理得：BG＝＝＝，
∴4BE+5BG＝4×8+5×＝32+8．