2023年江苏省淮安市淮安区中考数学一模试卷（含解析）

2023年江苏省淮安市淮安区中考数学一模试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列式子中，计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  下面的几何体中，主视图为三角形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  一条古称在称物时的状态如图所示，已知，则(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，在中，，点在上，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  下列命题是真命题的是(    )

A. 对顶角相等
B. 平行四边形的对角线互相垂直
C. 三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点
D. 三角分别相等的两个三角形是全等三角形

8.  关于的一元二次方程有两根，其中一根为，则这两根之积为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  太阳光的速度是米秒，用科学记数法表示为______ 米秒。

10.  的算术平方根是______．

11.  因式分解： ______ ．

12.  若圆锥的侧面积为，底面半径为，则该圆锥的母线长是______ ．

13.  已知一组数据：，，，，，，，，则这组数据的众数是          ．

14.  比较大小： ______填“”，“”或“”．

15.  “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点之间的距离为______ ．

16.  如图，在中，，，，点为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为______．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17.  解方程：．

四、解答题（本大题共10小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
计算．
；
解不等式组，并求出它的所有整数解的和．

19.  本小题分
如图，在矩形中，是对角线．
实践与操作：利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为点，交边于点，交边于点要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母．
猜想与证明：试猜想线段与的数量关系，并加以证明．

20.  本小题分
某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了个活动小组每位学生只能参加一个活动小组：音乐；体育；美术；阅读：人工智能为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．

根据图中信息，解答下列问题：
此次调查一共随机抽取了______ 名学生；
补全条形统计图要求在条形图上方注明人数；
扇形统计图中圆心角 ______ 度；
若该校有名学生，估计该校参加组阅读的学生人数．

21.  本小题分
从甲、乙、丙、丁名学生中选名学生参加一次乒乓球单打比赛，求下列事件发生的概率．
甲一定参加比赛，再从其余名学生中任意选取名，恰好选中丙的概率是______；
任意选取名学生参加比赛，求一定有乙的概率．用画树状图或列表的方法求解

22.  本小题分
如图，为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对，两地间的公路进行改建．如图，，两地之间有一座山，汽车原来从地到地需途径地沿折线行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线行驶．已知千米，，，开通隧道后，汽车从地到地大约可以少走多少千米结果精确到千米？参考数据：，

23.  本小题分
如图，在中，，以为直径作，交于点，交的延长线于点过点作，垂足为．
求证：为的切线；
若，，求劣弧的长．

24.  本小题分
如图，矩形的两边，的长分别为，，，在轴上，是的中点，反比例函数的图象经过点，与交于点，且．

求反比例函数的解析式；
在轴上找一点，使得，求此时点的坐标．

25.  本小题分
某商品的进货价为每件元，为了合理定价，先投放市场试销．据市场调查，销售价为每件元时，每周的销售量是件，而销售价每上涨元，则每周的销售量就会减少件，设每件商品的销售价上涨元，每周的销售利润为元．
用含的代数式表示：每件商品的销售价为______元，每件商品的利润为______元，每周的商品销售量为______件；
求关于的函数关系式不要求写出的取值范围；
应怎样确定销售价，使该商品的每周销售利润最大？最大利润是多少？

26.  本小题分
综合与实践
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：
如图，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上．

探究展示：
如图，作经过点，，的，在劣弧上取一点不与，重合，连接，，则依据


点，，，四点在同一个圆上对角互补的四边形四个顶点共圆
点，在点，，所确定的上依据
点，，，四点在同一个圆上
反思归纳：
上述探究过程中的“依据”、“依据”分别是指什么？
依据：______；依据：______．
如图，在四边形中，，，则的度数为______．
拓展探究：
如图，已知是等腰三角形，，点在上不与的中点重合，连接作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，．
求证：，，，四点共圆；
若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．
 

27.  本小题分
在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，两点．是抛物线上一点，且在直线的上方．
求抛物线的解析式；
若面积是面积的倍，求点的坐标；
如图，交于点，交于点记，，的面积分别为，，判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
 

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是，
故选：．
根据倒数的定义即可得到结论．
本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、原式，不符合题意；
B、原式，符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，不符合题意．
故选：．
各式计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：长方体的主视图是长方形，因此选项A不符合题意；
B.圆锥的主视图是三角形，因此选项B符合题意；
C.圆柱的主视图是长方形，因此选项C不符合题意；
D.三棱柱的主视图是长方形中间带有一条竖线，因此选项D不符合题意；
故选：．
根据每个选项中的几何体的主视图的形状进行判断即可．
本题考查简单几何体的主视图，掌握各种几何体的主视图的形状是正确判断的前提．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据中心对称的性质，可知：点关于原点中心对称的点的坐标为．
故选：．
根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，然后直接作答即可．
本题考查了关于原点对称的点坐标的关系，是需要熟记的基本问题，记忆方法可以结合平面直角坐标系的图形．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，

由平行线的性质得：，
，
．
故选：．
根据平行线的性质和平角的定义可得结论．
本题考查了平行线的性质和平角的定义，掌握两直线平行，内错角相等是解本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，点在上，
，
故选：．
根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出的度数．
本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：对顶角相等是一个正确的命题，是真命题，故选项A符合题意；
B.菱形的对角线互相垂直，非菱形的平行四边形的对角线不垂直，所以平行四边形的对角线互相垂直是一个假命题，故选项B不符合题意；
C.三角形的内心是三角形内角平分线的交点，不一定是三边的垂直平分线的交点，则三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点是一个假命题，故选项C不符合题意；
D.三角分别相等的两个三角形不一定全等，故选项D不符合题意；
故选：．
根据对顶角性质判断，根据平行四边形的性质判断，根据三角形的内心定义判断，根据全等三角形的判定定理判断．
本题考查了真命题与假命题的判断，对顶角的性质，平行四边形的性质，三角形的内心定义，全等三角形的判定，熟练掌握这些性质、定义、定理是解决问题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：方程的其中一个根是，
，解得，
两根的积为，
两根的积为，
故选：．
直接把代入一元二次方程即可求出的值，根据根与系数的关系即可求得．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，．
 

9.【答案】 

【解析】解：将用科学记数法表示为。
故答案为：。
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数。确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同。当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数。
此题考查科学记数法的表示方法。表示时关键要正确确定的值以及的值。
 

10.【答案】 

【解析】解：因为，
所以的算术平方根是．
故答案为：．
根据算术平方根的定义解答即可．
本题考查了数的算术平方根，解题的关键是牢记算术平方根为非负数．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接提取公因式，进而分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：圆锥的侧面积为，底面半径为，
．
解得：，
故答案为：．
根据圆锥的侧面积，列出方程求解即可．
本题考查了圆锥的侧面积，解题关键是熟记圆锥的侧面积公式，列出方程进行求解．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据的频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
根据众数的定义求解即可．
【解答】
解：这组数据中出现次，次数最多，所以这组数据的众数是．
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】解：，，，
，
故答案为：．
利用平方法比较大小即可．
本题考查了实数大小比较，利用平方法比较大小是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
由平移变换的性质可知，
，
故答案为：．
利用正方形的性质以及勾股定理求出，求出小正方形的对角线的长即可．
本题考查利用平移设计图案，正方形的性质，勾股定理，平移变换等知识，解题关键是掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题．
 

16.【答案】 

【解析】解：，，，
，
四边形是平行四边形，
，，
最短也就是最短，
过作的垂线，

，，
∽，
，
，
，
则的最小值为，
故答案为：．
以，为邻边作平行四边形，由平行四边形的性质可知是中点，最短也就是最短，所以应该过作的垂线，证明∽，利用相似三角形的性质得出，求出，即可求出的最小值．
本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质．
 

17.【答案】解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解． 

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
 

18.【答案】解：原式
；
，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
原不等式组的解集是，
该不等式组的整数解是，，，，，，
，
该不等式组所有整数解的和是． 

【解析】分别根据绝对值的性质，有理数的乘方的定义，零指数幂以及负整数指数幂的定义计算即可；
先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后即可求得该不等式组所有整数解的和．
本题考查了有理数的混合运算以及解一元一次不等式组，解答本题的关键是掌握相关定义以及明确解一元一次不等式的方法．
 

19.【答案】解：如图，

，证明如下：
四边形是矩形，
，
，，
是的垂直平分线，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】利用尺规作图线段垂直平分线的作法，进行作图即可；
利用矩形的性质求证，，由线段的垂直平分线得出，即可证明≌，进而得出．
本题考查了基本作图，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握线段垂直平分线的作法，矩形的性质，全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：调查人数：名，
故答案为：；
组的人数：名，
组的人数：名，

扇形统计图中圆心角，
故答案为：，
，
答：参加组阅读的学生人数为人．
由组的人数除以所占百分比即可；
求出、组的人数，补全条形统计图即可；
由乘以组所占的比例即可；
由该校共有学生人数乘以参加组阅读的学生人数所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中恰好抽中甲、乙两人的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的概率及其应用，掌握概率所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
 

21.【答案】解：；
画树状图如下：

由上可得，一共有种等可能的结果，其中一定有乙的有种可能，
故一定有乙的概率是． 

【解析】

【分析】
本题考查列表法与画树状图法求概率，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
由题意可得，甲一定参加比赛，再从其余名学生中任意选取名，有种可能，其中选中丙的有种可能，从而可以求得恰好选中丙的概率；
根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得一定有乙的概率．
【解答】
解：由题意可得，甲一定参加比赛，再从其余名学生中任意选取名，有种可能，其中选中丙的有种可能，
故恰好选中丙的概率是．
故答案为：；
见答案．  

22.【答案】解：过点作的垂线，垂足为，
，，千米，
千米，
千米，
，千米，
千米，
，千米，
千米，
千米，
汽车从地到地比原来少走多少路程为：千米．
答：汽车从地到地比原来少走的路程为千米． 

【解析】过点作的垂线，垂足为，在直角中，解直角三角形求出的长度和的长度，在直角中，解直角三角形求出的长度，再求出的长度，进而求出汽车从地到地比原来少走多少路程．
本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形的知识，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
 

23.【答案】证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
连接，
，
，
，
，
，
的长． 

【解析】

【分析】
此题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、弧长的计算等知识点，属于基础题．
连接，根据等腰三角形的性质进行角度的转换，推出，可得，可得结论；
先求出圆的半径，再根据外角的性质可得：，可得圆心角，根据弧长公式可得结论．  

24.【答案】解：是的中点，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
的横坐标为，
设，则，
，都在反比例函数图象上，
，解得，
，
，
反比例函数的解析式．
，
，
，
由知，点的坐标为，
或． 

【解析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征、待定系数法求函数的解析式、勾股定理等知识，表示出，的坐标是解题的关键．
根据勾股定理求出，由得，设，则，因为，都在反比例函数图象上，得出方程，解方程即可；
由，可得的长，从而得出坐标．
 

25.【答案】；；
所求函数关系式为：                
即；

在中，
，，，
当时，，
有最大值且最大值为：元，
当售价为元时，可获得最大利润元． 

【解析】解：每件商品的销售价为：元，每件商品的利润为：元，
每周的商品销售量为：件；
故答案为：，，；

见答案
见答案
根据题意分别表示每件商品的销售价以及每件商品的利润和每周的商品销售量；
利用每件利润每周销量总利润，进而得出答案；
利用公式法求出二次函数最值进而得出答案．
本题主要考查二次函数的实际应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系是解题的关键．
 

26.【答案】圆内接四边形对角互补  过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆   

【解析】解：依据：圆内接四边形对角互补；依据：过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆，
故答案为：圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；
解：，
点，，，四点在同一个圆上，
，
，
，
故答案为：；
证明：，
，
点与点关于的对称，
，，
，，
，
，
，，，四点共圆；
解：的值不会发生变化，
理由如下：如图，连接，
点与点关于的对称，
，
，
，
，，，四点共圆，
，
，
，，，四点共圆，
，
，
∽，
，
．
根据圆内接四边形的性质、过三点的圆解答即可；
根据四点共圆、圆周角定理解答；
根据轴对称的性质得到，，，，进而得到，证明结论；
连接，证明∽，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
本题考查的是四点共圆、相似三角形的判定和性质、轴对称的性质，正确理解四点共圆的条件是解题的关键．
 

27.【答案】解：将，代入，
，
解得，
抛物线的解析式为：
设直线的解析式为：，
将，代入，
，
解得，
，，
，
，即，
过点作轴于点，与交于点，过点作于点，如图，

，
，
设点的横坐标为，
，，
．
解得或；
或．
，
∽，
：：：，
，，
，
设直线交轴于点则，
过点作轴，垂足为，交于点，如图，

，
，
，
，
，
：：，
设，
由可知，，
．
，
当时，的最大值为． 

【解析】本题考查一次函数和二次函数的图象与性质、三角形面积、相似三角形的判定与性质等基础知识，考查数形结合、函数与方程，函数建模等数学思想方法，考查运算能力、推理能力、空间观念与几何直观、创新意识等数学素养．
将点，的坐标代入二次函数的解析式，利用待定系数法求解即可；
利用待定系数法求出直线的解析式，过点作轴于点，与交于点，过点作于点，可分别表达和的面积，根据题意列出方程求出的长，设出点的坐标，表达的长，求出点的坐标即可；
根据三角形面积推出再证明，得出：：，进而得出，表示出，求最值即可．