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2023年江苏省淮安市涟水县中考数学一模试卷（含解析）
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这是一份2023年江苏省淮安市涟水县中考数学一模试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年江苏省淮安市涟水县中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图案中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 如图是由6个相同的正方体堆成的物体，它的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
3. 下列运算正确的是( )
A. −3(a−1)=3a+1 B. (x−3)2=x2−9
C. 5y3⋅3y2=15y5 D. x3+x2=x
4. 下列说法中，正确的是( )
A. 为检测我校是否有学生感染新冠病毒，进行核酸检测应该采用抽查的方式
B. 若两名同学连续五次数学测试的平均分相同，则方差较大的同学数学成绩更稳定
C. 抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是12
D. “打开电视，正在播放广告”是必然事件
5. 如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOB=108°，则∠ACB的度数是( )
A. 54°
B. 27°
C. 36°
D. 108°
6. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，AC与BD相交于点O，则△ABO的面积与△CDO的面积的比为( )
A. 1：2
B. 2：2
C. 1：4
D. 2：4
7. 如图，A，B，C是正方形网格的格点，连接AC，AB，则tan∠BAC的值是( )
A. 25
B. 12
C. 13
D. 15
8. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(1,n)，其部分图象如图所示，下面结论错误的是( )
A. abc>0
B. b2−4ac>0
C. 关于x的方程ax2+bx+c=n+1没有实数根
D. 关于x的方程ax2+bx+c=0的负实数根x1取值范围为：−1
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 若x−6在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
10. 分解因式：xy2−x=______．
11. 2022年十三届全国人大五次会议审议通过的政府工作报告中提出，今年城镇新增就业目标为11000000人以上.数据11000000用科学记数法表示应为 ．
12. 某校九(1)班10名同学进行“引体向上”训练，将他们做的次数进行统计，制成下表，则这10名同学做的次数组成的一组数据中，中位数为______．
次数
4
5
6
7
8
人数
2
3
2
2
1
13. 如图所示，若用半径为8，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计)，则这个圆锥的底面半径是______．
14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A的坐标为(0,3)，tan∠ABO=3，则菱形ABCD的周长为 ．
15. 如图，点A是反比例函数y=kx图象上一点，过点A作AH⊥x轴，垂足为H，连接OA，已知△AOH的面积是6，则k的值是 ．
16. 如图，正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，将顶点D(1,0)绕点A(0,1)逆时针旋转90°得点D1，再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5……依此类推，则点D2023的坐标是 ．
三、解答题（本大题共11小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
(1)计算：sin60°−12×3−(π−3.14)0+2−2；
(2)解不等式组2x+7≥1−x①6−3(1−x)>5x②．
18. (本小题6.0分)
先化简(3a+1−a+1)÷a2−4a2+2a+1，再从−1，2，3中选择一个合适的数代入求值．
19. (本小题8.0分)
某校为提高学生的综合素质，准备开设“泥塑”“绘画”“书法”“街舞”四门校本课程，为了解学生对这四门课程的选择情况(要求每名学生只能选择其中一门课程)，学校从七年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你依据图中信息解答下列问题：
(1)参加此次问卷调查的学生人数是______人，在扇形统计图中，选择“泥塑”的学生所对应的扇形圆心角的度数是______；
(2)通过计算将条形统计图补充完整；
(3)若该校七年级共有600名学生，请估计七年级学生中选择“书法”课程的约有多少人？
20. (本小题8.0分)
将图中的A型、B型、C型矩形纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．
(1)搅匀后从中摸出1个盒子，则摸出的盒子中是A型矩形纸片的概率 ；
(2)搅匀后先从中摸出1个盒子(不放回)，再从余下的两个盒子中摸出一个盒子，用列表法或画树状图法求2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率(不重叠无缝隙拼接)．
21. (本小题8.0分)
如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE=CF.求证：△ABE≌△DCF．
22. (本小题8.0分)
某校数学兴趣小组为了测量建筑物CD的高度，先在斜坡AB的底部A测得建筑物顶点C的仰角为31°，再沿斜坡AB走了26m到达斜坡顶点B处，然后在点B测得建筑物顶点C的仰角为53°，已知斜坡AB的坡度i=1：2.4.(参考数据：tan53°≈43，tan31°≈35)
(1)求点B到地面的高度；
(2)求建筑物CD的高度．
23. (本小题10.0分)
如图，以Rt△ABC的直角边AC为直径作⊙O，交斜边AB于点D，E为BC边的中点，连DE．
(1)请判断DE是否为⊙O的切线，并证明你的结论．
(2)当AD：DB=9：16时，DE=8cm时，求⊙O的半径R．
24. (本小题10.0分)
某商场销售一种小商品，进货价为40元/件.当售价为60元/件时，每天的销售量为300件.在销售过程中发现：销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件.设销售价格上涨x元/件(x为偶数)，每天的销售量为y件．
(1)当销售价格上涨10元时，每天对应的销售量为 件.
(2)请写出y与x的函数关系式．
(3)设每天的销售利润为w元，为了让利于顾客，则每件商品的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？
25. (本小题8.0分)
如图，由小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点.⊙O经过A，B，C三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图(画图过程用虚线，结果用实线)．
(1)在图1中标出圆心O，并在圆上找一点E，使OE平分弧AC；
(2)在图2中的圆上画一点M，使CM平分∠ACB．
(3)如图3，△ABC的顶点A，B均在格点上，顶点C在网格线上，∠BAC=55°，P是如图所示的△ABC的外接圆上的动点，当∠PCB=35°时，请用无刻度的直尺，在圆上画出点P．
26. (本小题12.0分)
【基础模型】：
如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD=∠B.求证：AC2=AD⋅AB．
【尝试应用】：
如图2，在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE=∠A.若BF=6，BE=4，求AD的长．
【更上层楼】：
如图，在菱形ABCD中，E是直线AB上一点，F是菱形ABCD内一点，EF//AC，AC=2EF，∠EDF=12∠BAD，AE=2，DF=5，请直接写出菱形ABCD的边长．
27. (本小题14.0分)
如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于C点，顶点D(1,4)在直线l：y=43x+t上，动点P(m,n)在x轴上方的抛物线上．
(1)写出A点坐标 ；B点坐标 ；C点坐标 ；
(2)过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥l于点N，当1
(4)将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，若抛物线y=m(−x2+bx+c)(a≠0)与线段MN只有一个交点，请直接写出m的取值范围 ．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：选项A、B、D的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】A
【解析】解：这个组合体的三视图如下：
故选：A．
画出该组合体的三视图即可．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是得出正确答案的前提．
3.【答案】C
【解析】解：−3(a−1)=−3a+3，
故A不符合题意；
(x−3)2=x2−6x+9，
故B不符合题意；
5y3⋅3y2=15y5，
故C符合题意；
x3+x2不能合并同类项，
故D选项不符合题意，
故选：C．
根据合并同类项，完全平方公式，单项式乘单项式运算法则分别判断即可．
本题考查了完全平方公式，合并同类项，单项式乘单项式等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A、为检测我校是否有学生感染新冠病毒，进行核酸检测应该采用普查的方式，故选项A不符合题意；
B、若两名同学连续五次数学测试的平均分相同，则方差较小的同学数学成绩更稳定，故选项B不符合题意；
C、抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是12，故选项C符合题意；
D、“打开电视，正在播放广告”是随机事件，故选项D不符合题意；
故选：C．
由调查的方法、方差的意义、概率公式以及随机事件的定义分别对各个选项进行判断即可．
此题考查的是概率公式、随机事件以及方差的意义等知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5.【答案】A
【解析】解：∵∠AOB=108°，
∴∠ACB=12∠AOB=54°．
故选：A．
根据圆周角定理解答即可，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．
本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理并灵活运用．
6.【答案】C
【解析】解：设小方格的边长为1，
由图可知，AB//CD，
∴△ABO∽△CDO，且AB=2，CD=22，
∴S△ABO：S△CDO=(AB：CD)2，
∴S△ABO：S△CDO=(2：22)2=1：4，
故选：C．
△AOB∽△COD，只需求出其相似比，平方即得两三角形面积比．
本题考查相似三角形面积比与相似比的关系，关键是判断两三角形相似，确定其相似比．
7.【答案】D
【解析】解：如图，作CE⊥AB于E，
设小正方形边长为1，则易证△BEC是等腰直角三角形，
∴CE=BE=22，AB=32+32=32，
∴AE=AB−BE=32−22=522，
在Rt△AEC中，tan∠EAC=CEAE=22522=15．
∴tan∠BAC的值是15．
故选：D．
作CE⊥AB，然后根据正方形的性质和勾股定理，可以得到CE和AE的长，然后即可计算出tan∠EAC的值，从而可以得到tan∠BAC的值．
本题考查解直角三角形、勾股定理，构造直角三角形，计算出AE和CE的长度是求解答本题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：A.∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵对称轴为直线x=−b2a=−1，
∴b=2a<0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c>0，
∴abc>0，
故A正确；
B.∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，即4ac−b2<0，
故B正确；
C.∵抛物线开口向下，顶点为(−1,n)，
∴函数有最大值n，
∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n+1无交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=n+1无实数根，
故C正确；
D.∵抛物线的对称轴为直线x=−1，抛物线与x轴的一个交点在(−3,0)和(−2,0)之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在(0,0)和(1,0)之间，
∴于x的方程ax2+bx+c=0的正实数根x1取值范围为：0
故选：D．
根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对A进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对B进行判断；根据抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n+1无交点，可对C进行判断；根据抛物线的对称性，可对D进行判断．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
9.【答案】x≥6
【解析】
【分析】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解答】
解：若x−6在实数范围内有意义，
则x−6≥0，
解得：x≥6．
故答案为x≥6．
10.【答案】x(y−1)(y+1)
【解析】本题考查了用提取公因式法和平方差公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解：xy2−x，
=x(y2−1)，
=x(y−1)(y+1)．
故答案为：x(y−1)(y+1)．
11.【答案】1.1×107
【解析】解：11000000=1.1×107，
故答案为：1.1×107．
科学记数法的表现形式为±a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数．
本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为±a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键是要正确确定a的值以及n的值．
12.【答案】5.5
【解析】解：10名同学做的次数的中位数是5+62=5.5，
故答案为：5.5．
根据将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数即可得出答案．
本题考查了中位数，掌握将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数是解题的关键．
13.【答案】83
【解析】解：设圆锥的底面半径为r，
由题意得，120π×8180=2πr，
解得，r=83，
故答案为：83．
根据半径为8，圆心角为120°的扇形弧长，等于圆锥的底面周长，列方程求解即可．
本题考查弧长的计算方法，明确扇形的弧长与圆锥底面周长的关系是正确解答的关键．
14.【答案】83
【解析】解：∵点A的坐标为(0,3)，
∴AO=3，
∵∠AOB=90°，tan∠ABO=AOBO=3，
∴BO=AO3=33=3，
∴AB=AO2+BO2=32+(3)2=23，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD=AD=AB=23，
∴菱形ABCD的周长=4AB=4×23=83，
故答案为：83．
由锐角三角函数定义求出BO的长，再由勾股定理求出AB的长，然后由菱形的性质得BC=CD=AD=AB=23，即可得出结论．
本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质、锐角三角函数定义、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和锐角三角函数定义是解题的关键．
15.【答案】−12
【解析】解：∵△AOH的面积=12|k|=6，
∴|k|=12，
∵k<0，
∴k=−12．
故答案为：−12．
反比例函数系数k的几何意义：反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是
1
2
|k|，且保持不变，由此即可计算．
本题考查反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．
16.【答案】(−2023,−2024)
【解析】解：如图，过点D1作D1E⊥y轴于E，过点D2作D2F⊥x轴于F，过点D3作D3G⊥y轴于G，过点D4作D4H⊥x轴于H，过点D5K作D5K⊥y轴于K，
∵正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，D(1,0)，
∴OA=OB=OC=OD=1，AB=BC=CD=AD=2，∠BAO=∠CBO=∠DCO=∠ADO=45°，
∴A(0,1)，B(−1,0)，C(0,−1)，
∵将顶点D(1,0)绕点A(0,1)逆时针旋转90°得点D1，
∴∠D1AE=45°，∠AED1=90°，AD1=AD=2，
∴AE=AD1⋅cos∠D1AE=2cos45°=1，D1E=AD1⋅sin∠D1AE=2sin45°=1，
∴OE=OA+AE=1+1=2，BD1=AB+BD1=2+2=22，
∴D1(1,2)，
∵再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，
∴∠D2BF=45°，∠D2FB=90°，BD2=BD1=22，
∴D2F=BD2sin∠D2BF=22sin45°=2，BF=BD2cos∠D2BF=22cos45°=2，
∴OF=OB+BF=1+2=3，
∴D2(−3,2)，
再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5……
同理可得：D3(−3,−4)，D4(5,−4)，D5(5,6)，D6(−7,6)，……，
观察发现：每四个点一个循环，D4n(4n+1,−4n)，D4n+1(4n+1,4n+2)，D4n+2(−4n−3,4n+2)，D4n+3(−4n−3,−4n−4)，
∵2023=4×505+3，
∴D2023(−2023,−2024)；
故答案为：(−2023,−2024)．
如图，过点D1作D1E⊥y轴于E，过点D2作D2F⊥x轴于F，过点D3作D3G⊥y轴于G，过点D4作D4H⊥x轴于H，过点D5K作D5K⊥y轴于K，可得D1(1,2)，D2(−3,2)，D3(−3,−4)，D4(5,−4)，D5(5,6)，D6(−7,6)，……，观察发现：每四个点一个循环，D4n(4n+1,−4n)，D4n+1(4n+1,4n+2)，D4n+2(−4n−3,4n+2)，D4n+3(−4n−3,−4n−4)，由2023=505×4+3，推出D2023(−2023,−2024)．
本题考查坐标与图形的变化−旋转，等腰直角三角形性质，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考选择题中的压轴题．
17.【答案】解：(1)原式=32−23×3−1+14
=32−6−1+14
=32−634；
(2)由①得：x≥−2，
由②得：x<1.5，
则不等式组的解集为−2≤x<1.5．
【解析】(1)先代入三角函数值、化简二次根式、计算零指数幂和负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可；
(2)分别求出每个不等式的解集，继而可得答案．
本题主要考查解一元一次不等式组和实数的运算，一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
18.【答案】解：原式=3−(a−1)(a+1)a+1÷(a−2)(a+2)(a+1)2
=3−a2+1a+1÷(a−2)(a+2)(a+1)2
=4−a2a+1⋅(a+1)2(a+2)(a−2)
=(2−a)(2+a)a+1⋅(a+1)2(a+2)(a−2)
=−a−1，
当a=3时，
原式=−3−1
=−4．
【解析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后根据分式有意义的条件求出a的值，最后代入原式即可求出答案．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
19.【答案】50 64.8°
【解析】解：(1)参加此次问卷调查的学生人数是：7÷14%=50；
选择“泥塑”的学生所对应的扇形圆心角的度数是：360°×950=64.8°．
故答案为：50，64.8°；
(2)“绘画”的人数为：50−9−18−7=16(人)，
补全条形统计图如图所示．
(3)1850×600=216(名)．
答：七年级学生中选择“书法”课程的约有216人．
(1)根据“街舞”的人数和所占的百分比，求出调查的学生总人数；用选择“泥塑”课程的学生数除以总人数，再乘以360°即可得出选择“泥塑”的学生所对应的扇形圆心角的度数；
(2)用总人数减去其它课程的人数，求出“绘画”的人数，从而补全统计图；
(3)用样本估计总体即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
20.【答案】13
【解析】解：(1)搅匀后从中摸出1个盒子有3种等可能结果，
所以摸出的盒子中是A型矩形纸片的概率为13；
(2)画树状图如下：
由树状图知共有6种等可能结果，其中2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的有4种结果，
所以2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率为46=23．
(1)直接利用概率公式计算可得；
(2)画树状图得出所有等可能结果，从中找打2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的结果数，利用概率公式计算可得．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠B=∠DCF，
在△ABE与△DCF中，
AB=DC∠B=∠DCFBE=CF，
∴△ABE≌△DCF(SAS)．
【解析】根据平行四边形的性质得出AB=CD，AB//CD，利用全等三角形的判定解答即可．
此题考查平行四边形去的性质，关键是根据平行四边形的性质得出AB=CD，AB//CD解答．
22.【答案】解：(1)过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，
在Rt△ABE中，BE：AE=1：2.4=5：12，
设BE=5x m，AE=12x m，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB=BE2+AE2=(5x)2+(12x)2=13x(m)，
∴13x=26，
解得：x=2(m)，
∴BE=FD═5x=10(m)，
∴点B到地面的高度为10m；
(2)AE=12x=24(m)，
过点B作BF⊥CD于点F，
∵CD⊥AD，
∴四边形BEDF是矩形，
∴DF=BE=10m，BF=DE，
∵tan∠CBF=CFBF，
∴BF=CFtan53∘≈CF43=34CF=DE，
∵tan∠CAD=CDAD，
∴DF+CFAE+DE≈35，
即：10+CF24+34CF=35，
解得：CF=8(m)，
∴CD=DF+CF=10+8=18(m)．
【解析】(1)过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，由坡度定义得BE：AE=5：12，设BE=5x m，AE=12x m，求出x=2，即可求解；
(2)AE=12x=24(m)，过点B作BF⊥CD于点F，由锐角三角函数定义求出BF=CFtan53∘≈34CF=DE，则DF+CFAE+DE≈35，求出CF=8(m)，即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度坡角问题等知识；熟练掌握锐角三角函数定义、仰角俯角以及坡度坡角定义是解题的关键．
23.【答案】解：(1)DE是⊙O的切线，
证明：连接OE，OD；
在Rt△CDB，E为BC边的中点，
∴CE=DE．
在△OEC和△ODC中，
OE=OECE=DEOC=OD，
∴△OEC≌Rt△ODC(SSS)．
∴∠ODC=∠OCE=90°．
∴DE是⊙O的切线．
(2)连接CD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠BDC=90°，
∵E为BC的中点，
∴BC=2DE=16(cm)，
∵∠BDC=∠ACB，∠B=∠B，
∴△BCD∽△BAC，
∴BCAB=BDBC，
∴BC2=BD⋅AB，
设AD=9x cm(x>0)，BD=16x cm，
∴162=25x⋅16x，
∴x=45(负值舍去)．
∴AB=20，AC=12．
∴⊙O的半径R=6(cm)．
【解析】(1)连接OE，OD，根据全等三角形的判定，易得△OEC≌Rt△ODC，进而可得∠ODC=∠OCE=90°，故DE是⊙O的切线．
(2)连接CD，设AD=9x cm(x>0)，BD=16xcm，证明△BCD∽△BAC，由相似三角形的性质得出BCAB=BDBC，代入数据可得关于x的方程，解可得答案．
本题考查切线的判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
24.【答案】200
【解析】解：(1)∵销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件，
∴当销售价格上涨10元时，每天对应的销售量为300−102×20=200(件)，
故答案为：200；
(2)设销售价格上涨x元/件，
∵销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件．
∴其销售量y=300−20×x2=300−10x；
(3)依题意可得每天的销售利润为w=(300−10x)(60−40+x)=−10(x−5)2+6250，
故当x=5时，最大值w=6250，
∵x为偶数，
∴当x=4或x=6时，有最大利润，
为了让利于顾客，∴x=4，符合题意，此时w=6240．
此时销售单价为60+4=64(元)，
∴每件商品的销售单价定为64元时，每天获得的利润最大，最大利润是6240元．
(1)根据销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件即可得到答案；
(2)根据销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件可得到y与x的函数关系式；
(3)先求出利润w关于x的二次函数解析式，根据二次函数的性质进行解答即可．
此题主要考查了一次函数和二次函数的应用，读懂题意，正确列函数解析式是解题的关键．
25.【答案】解：(1)如图1中，点E即为所求；
(2)如图2中，点M即为所求；
(3)如图3中，点P即为所求．
【解析】(1)取格点P，Q，T，R，连接PQ，TR，可得PQ，RT的中点O，K，作射线OK交O于点E，点E即为所求(由作图可知OK⊥AC，利用垂径定理可得结论)；
(2)作AB的垂直平分线WL交圆于点M，连接CM，点M即为所求(由作图可知AM=BM，可得∠ACM=∠BCM)；
(3)取格点T，作射线BT交圆于点J，连接AJ，作AB的垂直平分线MN交AJ于点O，作直径CP即可(由作图可知∠ABJ=90°，推出AJ是直径，由∠CBP=90°，∠CPB=∠CAB=55°，可得∠PCB=35°)．
本题考查作图−应用与设计作图，三角形的外心，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
26.【答案】【基础模型】证明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ADC∽△ACB．
∴ADAC=ACAB，
∴AC2=AD⋅AB；
【尝试应用】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠A=∠C，
又∵∠BFE=∠A，
∴∠BFE=∠C，
又∵∠FBE=∠CBF，
∴△BFE∽△BCF，
∴BFBC=BEBF，
∴BF2=BE⋅BC．
∵BF=6.BE=4，
∴BC=BF2BE=624=9，
∴AD=9；
【更上层楼】解：如图，分别延长EF，DC相交于点G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//DC，∠BAC=12∠BAD，
∵AC//EF，
∴四边形AEGC为平行四边形，
∴AC=EG，CG=AE，∠EAC=∠G，
∵∠EDF=12∠BAD，
∴∠EDF=∠BAC，
∴∠EDF=∠G，
又∵∠DEF=∠GED，
∴△EDF∽△EGD，
∴EDEG=EFDE，
∴DE2=EF⋅EG，
又∵EG=AC=2EF，
∴DE2=2EF2，
∴DE=2EF，
又∵DGDF=DEEF，
∴DG=2DF=52，
∴DC=DG−CG=52−2，
∴菱形ABCD的边长52−2．
【解析】【基础模型】证明△ADC∽△ACB，得出ADAC=ACAB，则可得出结论；
【尝试应用】证明△BFE∽△BCF，得出比例线段BFBC=BEBF，则BF2=BE⋅BC，求出BC，则可求出AD；
【更上层楼】分别延长EF，DC相交于点G，证得四边形AEGC为平行四边形，得出AC=EG，CG=AE，∠EAC=∠G，证明△EDF∽△EGD，得出比例线段EDEG=EFDE，则DE=2EF，可求出DG，即可求解．
本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质等知识，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
27.【答案】(−1,0) (3,0) (0,3) m=54或m≤−1或m>53
【解析】解：(1)∵抛物线的顶点D(1,4)，
∴可以假设抛物线的解析式为y=−(x−1)2+4=−x2+2x+3，
当x=0时，y=3，即点C(0,3)，
令y=−x2+2x+3=0，
解得：x=3或−1，
即A(−1,0)，B(3,0)，
故答案为：(−1,0)，(3,0)，(0,3)；
(2)延长MP交直线l与点H，
将点D的坐标代入直线l的表达式得：4=43+t，
解得：t=83，
则直线l：y=43x+83，
∴H(m,43m+83)设直线l交x轴于点C，交y轴于点L，
∴C(−2,0)，L(0,83)，
∴CL=103，
∴sin∠CLO=35，
由LO//HM，
∴∠NHM=∠CLO，
∴sin∠NHM=35，
∴PH=43m+83+m2−2m−3=m2−23m−13，
∴PN=35PH，
∴PM+PN=−m2+2m+3+35(m2−23m−13)=−25(m−2)2+225，
∵−25<0，
∴m=2时，PM+PN的值最小，最小值为225；
(3)四边形AFBG的面积不变，理由：
理由：如图，设P(m,−m2+2m+3)，
∵A(−1,0)，B(3,0)，
∴直线AP的解析式为y=−(m−3)x−m+3，
∴E(1,−2m+6)，
∵E，G关于x轴对称，
∴G(1,2m−6)，
∴直线PB的解析式y=−(m+1)x+3(m+1)，
∴F(1,2m+2)，
∴GF=2m+2−(2m−6)=8，
∴四边形AFBG的面积=12×AB×FG=12×4×8=16．
∴四边形AFBG的面积是定值；
(4)∵A(−1,0)，B(3,0)；
将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，
∴M(0,5)，N(4,5)，
而y=m(−x2+bx+c)=−m(x−1)2+4m，
∴抛物线的顶点为(1,4m)，
当顶点在线段MN上时，抛物线与线段MN只有一个交点，则m=54，
当m<0时，如图，
当x=4时，y=−m(4−1)2+4m≥5，解得：m≤−1；
当x=0时，y<5，
解得：m<53，
∴m≤−1；
当m>0时，如图所示，
当x=0时，y=−m+4m>5，
解得：m>53，
当x=4时，y≤5，解得：x≥−1，
∴m>53，
综上所述：m=54或m≤−1或m>53，
故答案为：m=54或m≤−1或m>53．
(1)利用顶点式求解，可得结论；
(2)设H(m,43m+83)求出CL=103，得到sin∠CLO=35，故PH=43m+83+m2−2m−3=m2−23m−13，PN=35PH，进而求解；
(3)四边形AFBG的面积不变．如图，设P(m,−m2+2m+3)，求出直线AP，BP的解析式，可得点E，F的坐标，求出FG的长，可得结论；
(4)根据平移求得点M，N的坐标，得出抛物线的顶点坐标，分顶点在抛物线线上，开口向上和开口向下三种情况结合图形分别讨论即可求解．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，线段问题，点的平移等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
2023年江苏省淮安市涟水县中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图案中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 如图是由6个相同的正方体堆成的物体，它的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
3. 下列运算正确的是( )
A. −3(a−1)=3a+1 B. (x−3)2=x2−9
C. 5y3⋅3y2=15y5 D. x3+x2=x
4. 下列说法中，正确的是( )
A. 为检测我校是否有学生感染新冠病毒，进行核酸检测应该采用抽查的方式
B. 若两名同学连续五次数学测试的平均分相同，则方差较大的同学数学成绩更稳定
C. 抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是12
D. “打开电视，正在播放广告”是必然事件
5. 如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOB=108°，则∠ACB的度数是( )
A. 54°
B. 27°
C. 36°
D. 108°
6. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，AC与BD相交于点O，则△ABO的面积与△CDO的面积的比为( )
A. 1：2
B. 2：2
C. 1：4
D. 2：4
7. 如图，A，B，C是正方形网格的格点，连接AC，AB，则tan∠BAC的值是( )
A. 25
B. 12
C. 13
D. 15
8. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(1,n)，其部分图象如图所示，下面结论错误的是( )
A. abc>0
B. b2−4ac>0
C. 关于x的方程ax2+bx+c=n+1没有实数根
D. 关于x的方程ax2+bx+c=0的负实数根x1取值范围为：−1
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 若x−6在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
10. 分解因式：xy2−x=______．
11. 2022年十三届全国人大五次会议审议通过的政府工作报告中提出，今年城镇新增就业目标为11000000人以上.数据11000000用科学记数法表示应为 ．
12. 某校九(1)班10名同学进行“引体向上”训练，将他们做的次数进行统计，制成下表，则这10名同学做的次数组成的一组数据中，中位数为______．
次数
4
5
6
7
8
人数
2
3
2
2
1
13. 如图所示，若用半径为8，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计)，则这个圆锥的底面半径是______．
14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A的坐标为(0,3)，tan∠ABO=3，则菱形ABCD的周长为 ．
15. 如图，点A是反比例函数y=kx图象上一点，过点A作AH⊥x轴，垂足为H，连接OA，已知△AOH的面积是6，则k的值是 ．
16. 如图，正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，将顶点D(1,0)绕点A(0,1)逆时针旋转90°得点D1，再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5……依此类推，则点D2023的坐标是 ．
三、解答题（本大题共11小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
(1)计算：sin60°−12×3−(π−3.14)0+2−2；
(2)解不等式组2x+7≥1−x①6−3(1−x)>5x②．
18. (本小题6.0分)
先化简(3a+1−a+1)÷a2−4a2+2a+1，再从−1，2，3中选择一个合适的数代入求值．
19. (本小题8.0分)
某校为提高学生的综合素质，准备开设“泥塑”“绘画”“书法”“街舞”四门校本课程，为了解学生对这四门课程的选择情况(要求每名学生只能选择其中一门课程)，学校从七年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你依据图中信息解答下列问题：
(1)参加此次问卷调查的学生人数是______人，在扇形统计图中，选择“泥塑”的学生所对应的扇形圆心角的度数是______；
(2)通过计算将条形统计图补充完整；
(3)若该校七年级共有600名学生，请估计七年级学生中选择“书法”课程的约有多少人？
20. (本小题8.0分)
将图中的A型、B型、C型矩形纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．
(1)搅匀后从中摸出1个盒子，则摸出的盒子中是A型矩形纸片的概率 ；
(2)搅匀后先从中摸出1个盒子(不放回)，再从余下的两个盒子中摸出一个盒子，用列表法或画树状图法求2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率(不重叠无缝隙拼接)．
21. (本小题8.0分)
如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE=CF.求证：△ABE≌△DCF．
22. (本小题8.0分)
某校数学兴趣小组为了测量建筑物CD的高度，先在斜坡AB的底部A测得建筑物顶点C的仰角为31°，再沿斜坡AB走了26m到达斜坡顶点B处，然后在点B测得建筑物顶点C的仰角为53°，已知斜坡AB的坡度i=1：2.4.(参考数据：tan53°≈43，tan31°≈35)
(1)求点B到地面的高度；
(2)求建筑物CD的高度．
23. (本小题10.0分)
如图，以Rt△ABC的直角边AC为直径作⊙O，交斜边AB于点D，E为BC边的中点，连DE．
(1)请判断DE是否为⊙O的切线，并证明你的结论．
(2)当AD：DB=9：16时，DE=8cm时，求⊙O的半径R．
24. (本小题10.0分)
某商场销售一种小商品，进货价为40元/件.当售价为60元/件时，每天的销售量为300件.在销售过程中发现：销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件.设销售价格上涨x元/件(x为偶数)，每天的销售量为y件．
(1)当销售价格上涨10元时，每天对应的销售量为 件.
(2)请写出y与x的函数关系式．
(3)设每天的销售利润为w元，为了让利于顾客，则每件商品的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？
25. (本小题8.0分)
如图，由小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点.⊙O经过A，B，C三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图(画图过程用虚线，结果用实线)．
(1)在图1中标出圆心O，并在圆上找一点E，使OE平分弧AC；
(2)在图2中的圆上画一点M，使CM平分∠ACB．
(3)如图3，△ABC的顶点A，B均在格点上，顶点C在网格线上，∠BAC=55°，P是如图所示的△ABC的外接圆上的动点，当∠PCB=35°时，请用无刻度的直尺，在圆上画出点P．
26. (本小题12.0分)
【基础模型】：
如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD=∠B.求证：AC2=AD⋅AB．
【尝试应用】：
如图2，在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE=∠A.若BF=6，BE=4，求AD的长．
【更上层楼】：
如图，在菱形ABCD中，E是直线AB上一点，F是菱形ABCD内一点，EF//AC，AC=2EF，∠EDF=12∠BAD，AE=2，DF=5，请直接写出菱形ABCD的边长．
27. (本小题14.0分)
如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于C点，顶点D(1,4)在直线l：y=43x+t上，动点P(m,n)在x轴上方的抛物线上．
(1)写出A点坐标 ；B点坐标 ；C点坐标 ；
(2)过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥l于点N，当1
(4)将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，若抛物线y=m(−x2+bx+c)(a≠0)与线段MN只有一个交点，请直接写出m的取值范围 ．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：选项A、B、D的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】A
【解析】解：这个组合体的三视图如下：
故选：A．
画出该组合体的三视图即可．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是得出正确答案的前提．
3.【答案】C
【解析】解：−3(a−1)=−3a+3，
故A不符合题意；
(x−3)2=x2−6x+9，
故B不符合题意；
5y3⋅3y2=15y5，
故C符合题意；
x3+x2不能合并同类项，
故D选项不符合题意，
故选：C．
根据合并同类项，完全平方公式，单项式乘单项式运算法则分别判断即可．
本题考查了完全平方公式，合并同类项，单项式乘单项式等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A、为检测我校是否有学生感染新冠病毒，进行核酸检测应该采用普查的方式，故选项A不符合题意；
B、若两名同学连续五次数学测试的平均分相同，则方差较小的同学数学成绩更稳定，故选项B不符合题意；
C、抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是12，故选项C符合题意；
D、“打开电视，正在播放广告”是随机事件，故选项D不符合题意；
故选：C．
由调查的方法、方差的意义、概率公式以及随机事件的定义分别对各个选项进行判断即可．
此题考查的是概率公式、随机事件以及方差的意义等知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5.【答案】A
【解析】解：∵∠AOB=108°，
∴∠ACB=12∠AOB=54°．
故选：A．
根据圆周角定理解答即可，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．
本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理并灵活运用．
6.【答案】C
【解析】解：设小方格的边长为1，
由图可知，AB//CD，
∴△ABO∽△CDO，且AB=2，CD=22，
∴S△ABO：S△CDO=(AB：CD)2，
∴S△ABO：S△CDO=(2：22)2=1：4，
故选：C．
△AOB∽△COD，只需求出其相似比，平方即得两三角形面积比．
本题考查相似三角形面积比与相似比的关系，关键是判断两三角形相似，确定其相似比．
7.【答案】D
【解析】解：如图，作CE⊥AB于E，
设小正方形边长为1，则易证△BEC是等腰直角三角形，
∴CE=BE=22，AB=32+32=32，
∴AE=AB−BE=32−22=522，
在Rt△AEC中，tan∠EAC=CEAE=22522=15．
∴tan∠BAC的值是15．
故选：D．
作CE⊥AB，然后根据正方形的性质和勾股定理，可以得到CE和AE的长，然后即可计算出tan∠EAC的值，从而可以得到tan∠BAC的值．
本题考查解直角三角形、勾股定理，构造直角三角形，计算出AE和CE的长度是求解答本题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：A.∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵对称轴为直线x=−b2a=−1，
∴b=2a<0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c>0，
∴abc>0，
故A正确；
B.∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，即4ac−b2<0，
故B正确；
C.∵抛物线开口向下，顶点为(−1,n)，
∴函数有最大值n，
∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n+1无交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=n+1无实数根，
故C正确；
D.∵抛物线的对称轴为直线x=−1，抛物线与x轴的一个交点在(−3,0)和(−2,0)之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在(0,0)和(1,0)之间，
∴于x的方程ax2+bx+c=0的正实数根x1取值范围为：0
故选：D．
根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对A进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对B进行判断；根据抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n+1无交点，可对C进行判断；根据抛物线的对称性，可对D进行判断．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
9.【答案】x≥6
【解析】
【分析】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解答】
解：若x−6在实数范围内有意义，
则x−6≥0，
解得：x≥6．
故答案为x≥6．
10.【答案】x(y−1)(y+1)
【解析】本题考查了用提取公因式法和平方差公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解：xy2−x，
=x(y2−1)，
=x(y−1)(y+1)．
故答案为：x(y−1)(y+1)．
11.【答案】1.1×107
【解析】解：11000000=1.1×107，
故答案为：1.1×107．
科学记数法的表现形式为±a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数．
本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为±a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键是要正确确定a的值以及n的值．
12.【答案】5.5
【解析】解：10名同学做的次数的中位数是5+62=5.5，
故答案为：5.5．
根据将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数即可得出答案．
本题考查了中位数，掌握将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数是解题的关键．
13.【答案】83
【解析】解：设圆锥的底面半径为r，
由题意得，120π×8180=2πr，
解得，r=83，
故答案为：83．
根据半径为8，圆心角为120°的扇形弧长，等于圆锥的底面周长，列方程求解即可．
本题考查弧长的计算方法，明确扇形的弧长与圆锥底面周长的关系是正确解答的关键．
14.【答案】83
【解析】解：∵点A的坐标为(0,3)，
∴AO=3，
∵∠AOB=90°，tan∠ABO=AOBO=3，
∴BO=AO3=33=3，
∴AB=AO2+BO2=32+(3)2=23，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD=AD=AB=23，
∴菱形ABCD的周长=4AB=4×23=83，
故答案为：83．
由锐角三角函数定义求出BO的长，再由勾股定理求出AB的长，然后由菱形的性质得BC=CD=AD=AB=23，即可得出结论．
本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质、锐角三角函数定义、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和锐角三角函数定义是解题的关键．
15.【答案】−12
【解析】解：∵△AOH的面积=12|k|=6，
∴|k|=12，
∵k<0，
∴k=−12．
故答案为：−12．
反比例函数系数k的几何意义：反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是
1
2
|k|，且保持不变，由此即可计算．
本题考查反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．
16.【答案】(−2023,−2024)
【解析】解：如图，过点D1作D1E⊥y轴于E，过点D2作D2F⊥x轴于F，过点D3作D3G⊥y轴于G，过点D4作D4H⊥x轴于H，过点D5K作D5K⊥y轴于K，
∵正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，D(1,0)，
∴OA=OB=OC=OD=1，AB=BC=CD=AD=2，∠BAO=∠CBO=∠DCO=∠ADO=45°，
∴A(0,1)，B(−1,0)，C(0,−1)，
∵将顶点D(1,0)绕点A(0,1)逆时针旋转90°得点D1，
∴∠D1AE=45°，∠AED1=90°，AD1=AD=2，
∴AE=AD1⋅cos∠D1AE=2cos45°=1，D1E=AD1⋅sin∠D1AE=2sin45°=1，
∴OE=OA+AE=1+1=2，BD1=AB+BD1=2+2=22，
∴D1(1,2)，
∵再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，
∴∠D2BF=45°，∠D2FB=90°，BD2=BD1=22，
∴D2F=BD2sin∠D2BF=22sin45°=2，BF=BD2cos∠D2BF=22cos45°=2，
∴OF=OB+BF=1+2=3，
∴D2(−3,2)，
再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5……
同理可得：D3(−3,−4)，D4(5,−4)，D5(5,6)，D6(−7,6)，……，
观察发现：每四个点一个循环，D4n(4n+1,−4n)，D4n+1(4n+1,4n+2)，D4n+2(−4n−3,4n+2)，D4n+3(−4n−3,−4n−4)，
∵2023=4×505+3，
∴D2023(−2023,−2024)；
故答案为：(−2023,−2024)．
如图，过点D1作D1E⊥y轴于E，过点D2作D2F⊥x轴于F，过点D3作D3G⊥y轴于G，过点D4作D4H⊥x轴于H，过点D5K作D5K⊥y轴于K，可得D1(1,2)，D2(−3,2)，D3(−3,−4)，D4(5,−4)，D5(5,6)，D6(−7,6)，……，观察发现：每四个点一个循环，D4n(4n+1,−4n)，D4n+1(4n+1,4n+2)，D4n+2(−4n−3,4n+2)，D4n+3(−4n−3,−4n−4)，由2023=505×4+3，推出D2023(−2023,−2024)．
本题考查坐标与图形的变化−旋转，等腰直角三角形性质，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考选择题中的压轴题．
17.【答案】解：(1)原式=32−23×3−1+14
=32−6−1+14
=32−634；
(2)由①得：x≥−2，
由②得：x<1.5，
则不等式组的解集为−2≤x<1.5．
【解析】(1)先代入三角函数值、化简二次根式、计算零指数幂和负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可；
(2)分别求出每个不等式的解集，继而可得答案．
本题主要考查解一元一次不等式组和实数的运算，一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
18.【答案】解：原式=3−(a−1)(a+1)a+1÷(a−2)(a+2)(a+1)2
=3−a2+1a+1÷(a−2)(a+2)(a+1)2
=4−a2a+1⋅(a+1)2(a+2)(a−2)
=(2−a)(2+a)a+1⋅(a+1)2(a+2)(a−2)
=−a−1，
当a=3时，
原式=−3−1
=−4．
【解析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后根据分式有意义的条件求出a的值，最后代入原式即可求出答案．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
19.【答案】50 64.8°
【解析】解：(1)参加此次问卷调查的学生人数是：7÷14%=50；
选择“泥塑”的学生所对应的扇形圆心角的度数是：360°×950=64.8°．
故答案为：50，64.8°；
(2)“绘画”的人数为：50−9−18−7=16(人)，
补全条形统计图如图所示．
(3)1850×600=216(名)．
答：七年级学生中选择“书法”课程的约有216人．
(1)根据“街舞”的人数和所占的百分比，求出调查的学生总人数；用选择“泥塑”课程的学生数除以总人数，再乘以360°即可得出选择“泥塑”的学生所对应的扇形圆心角的度数；
(2)用总人数减去其它课程的人数，求出“绘画”的人数，从而补全统计图；
(3)用样本估计总体即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
20.【答案】13
【解析】解：(1)搅匀后从中摸出1个盒子有3种等可能结果，
所以摸出的盒子中是A型矩形纸片的概率为13；
(2)画树状图如下：
由树状图知共有6种等可能结果，其中2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的有4种结果，
所以2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率为46=23．
(1)直接利用概率公式计算可得；
(2)画树状图得出所有等可能结果，从中找打2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的结果数，利用概率公式计算可得．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠B=∠DCF，
在△ABE与△DCF中，
AB=DC∠B=∠DCFBE=CF，
∴△ABE≌△DCF(SAS)．
【解析】根据平行四边形的性质得出AB=CD，AB//CD，利用全等三角形的判定解答即可．
此题考查平行四边形去的性质，关键是根据平行四边形的性质得出AB=CD，AB//CD解答．
22.【答案】解：(1)过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，
在Rt△ABE中，BE：AE=1：2.4=5：12，
设BE=5x m，AE=12x m，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB=BE2+AE2=(5x)2+(12x)2=13x(m)，
∴13x=26，
解得：x=2(m)，
∴BE=FD═5x=10(m)，
∴点B到地面的高度为10m；
(2)AE=12x=24(m)，
过点B作BF⊥CD于点F，
∵CD⊥AD，
∴四边形BEDF是矩形，
∴DF=BE=10m，BF=DE，
∵tan∠CBF=CFBF，
∴BF=CFtan53∘≈CF43=34CF=DE，
∵tan∠CAD=CDAD，
∴DF+CFAE+DE≈35，
即：10+CF24+34CF=35，
解得：CF=8(m)，
∴CD=DF+CF=10+8=18(m)．
【解析】(1)过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，由坡度定义得BE：AE=5：12，设BE=5x m，AE=12x m，求出x=2，即可求解；
(2)AE=12x=24(m)，过点B作BF⊥CD于点F，由锐角三角函数定义求出BF=CFtan53∘≈34CF=DE，则DF+CFAE+DE≈35，求出CF=8(m)，即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度坡角问题等知识；熟练掌握锐角三角函数定义、仰角俯角以及坡度坡角定义是解题的关键．
23.【答案】解：(1)DE是⊙O的切线，
证明：连接OE，OD；
在Rt△CDB，E为BC边的中点，
∴CE=DE．
在△OEC和△ODC中，
OE=OECE=DEOC=OD，
∴△OEC≌Rt△ODC(SSS)．
∴∠ODC=∠OCE=90°．
∴DE是⊙O的切线．
(2)连接CD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠BDC=90°，
∵E为BC的中点，
∴BC=2DE=16(cm)，
∵∠BDC=∠ACB，∠B=∠B，
∴△BCD∽△BAC，
∴BCAB=BDBC，
∴BC2=BD⋅AB，
设AD=9x cm(x>0)，BD=16x cm，
∴162=25x⋅16x，
∴x=45(负值舍去)．
∴AB=20，AC=12．
∴⊙O的半径R=6(cm)．
【解析】(1)连接OE，OD，根据全等三角形的判定，易得△OEC≌Rt△ODC，进而可得∠ODC=∠OCE=90°，故DE是⊙O的切线．
(2)连接CD，设AD=9x cm(x>0)，BD=16xcm，证明△BCD∽△BAC，由相似三角形的性质得出BCAB=BDBC，代入数据可得关于x的方程，解可得答案．
本题考查切线的判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
24.【答案】200
【解析】解：(1)∵销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件，
∴当销售价格上涨10元时，每天对应的销售量为300−102×20=200(件)，
故答案为：200；
(2)设销售价格上涨x元/件，
∵销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件．
∴其销售量y=300−20×x2=300−10x；
(3)依题意可得每天的销售利润为w=(300−10x)(60−40+x)=−10(x−5)2+6250，
故当x=5时，最大值w=6250，
∵x为偶数，
∴当x=4或x=6时，有最大利润，
为了让利于顾客，∴x=4，符合题意，此时w=6240．
此时销售单价为60+4=64(元)，
∴每件商品的销售单价定为64元时，每天获得的利润最大，最大利润是6240元．
(1)根据销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件即可得到答案；
(2)根据销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件可得到y与x的函数关系式；
(3)先求出利润w关于x的二次函数解析式，根据二次函数的性质进行解答即可．
此题主要考查了一次函数和二次函数的应用，读懂题意，正确列函数解析式是解题的关键．
25.【答案】解：(1)如图1中，点E即为所求；
(2)如图2中，点M即为所求；
(3)如图3中，点P即为所求．
【解析】(1)取格点P，Q，T，R，连接PQ，TR，可得PQ，RT的中点O，K，作射线OK交O于点E，点E即为所求(由作图可知OK⊥AC，利用垂径定理可得结论)；
(2)作AB的垂直平分线WL交圆于点M，连接CM，点M即为所求(由作图可知AM=BM，可得∠ACM=∠BCM)；
(3)取格点T，作射线BT交圆于点J，连接AJ，作AB的垂直平分线MN交AJ于点O，作直径CP即可(由作图可知∠ABJ=90°，推出AJ是直径，由∠CBP=90°，∠CPB=∠CAB=55°，可得∠PCB=35°)．
本题考查作图−应用与设计作图，三角形的外心，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
26.【答案】【基础模型】证明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ADC∽△ACB．
∴ADAC=ACAB，
∴AC2=AD⋅AB；
【尝试应用】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠A=∠C，
又∵∠BFE=∠A，
∴∠BFE=∠C，
又∵∠FBE=∠CBF，
∴△BFE∽△BCF，
∴BFBC=BEBF，
∴BF2=BE⋅BC．
∵BF=6.BE=4，
∴BC=BF2BE=624=9，
∴AD=9；
【更上层楼】解：如图，分别延长EF，DC相交于点G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//DC，∠BAC=12∠BAD，
∵AC//EF，
∴四边形AEGC为平行四边形，
∴AC=EG，CG=AE，∠EAC=∠G，
∵∠EDF=12∠BAD，
∴∠EDF=∠BAC，
∴∠EDF=∠G，
又∵∠DEF=∠GED，
∴△EDF∽△EGD，
∴EDEG=EFDE，
∴DE2=EF⋅EG，
又∵EG=AC=2EF，
∴DE2=2EF2，
∴DE=2EF，
又∵DGDF=DEEF，
∴DG=2DF=52，
∴DC=DG−CG=52−2，
∴菱形ABCD的边长52−2．
【解析】【基础模型】证明△ADC∽△ACB，得出ADAC=ACAB，则可得出结论；
【尝试应用】证明△BFE∽△BCF，得出比例线段BFBC=BEBF，则BF2=BE⋅BC，求出BC，则可求出AD；
【更上层楼】分别延长EF，DC相交于点G，证得四边形AEGC为平行四边形，得出AC=EG，CG=AE，∠EAC=∠G，证明△EDF∽△EGD，得出比例线段EDEG=EFDE，则DE=2EF，可求出DG，即可求解．
本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质等知识，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
27.【答案】(−1,0) (3,0) (0,3) m=54或m≤−1或m>53
【解析】解：(1)∵抛物线的顶点D(1,4)，
∴可以假设抛物线的解析式为y=−(x−1)2+4=−x2+2x+3，
当x=0时，y=3，即点C(0,3)，
令y=−x2+2x+3=0，
解得：x=3或−1，
即A(−1,0)，B(3,0)，
故答案为：(−1,0)，(3,0)，(0,3)；
(2)延长MP交直线l与点H，
将点D的坐标代入直线l的表达式得：4=43+t，
解得：t=83，
则直线l：y=43x+83，
∴H(m,43m+83)设直线l交x轴于点C，交y轴于点L，
∴C(−2,0)，L(0,83)，
∴CL=103，
∴sin∠CLO=35，
由LO//HM，
∴∠NHM=∠CLO，
∴sin∠NHM=35，
∴PH=43m+83+m2−2m−3=m2−23m−13，
∴PN=35PH，
∴PM+PN=−m2+2m+3+35(m2−23m−13)=−25(m−2)2+225，
∵−25<0，
∴m=2时，PM+PN的值最小，最小值为225；
(3)四边形AFBG的面积不变，理由：
理由：如图，设P(m,−m2+2m+3)，
∵A(−1,0)，B(3,0)，
∴直线AP的解析式为y=−(m−3)x−m+3，
∴E(1,−2m+6)，
∵E，G关于x轴对称，
∴G(1,2m−6)，
∴直线PB的解析式y=−(m+1)x+3(m+1)，
∴F(1,2m+2)，
∴GF=2m+2−(2m−6)=8，
∴四边形AFBG的面积=12×AB×FG=12×4×8=16．
∴四边形AFBG的面积是定值；
(4)∵A(−1,0)，B(3,0)；
将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，
∴M(0,5)，N(4,5)，
而y=m(−x2+bx+c)=−m(x−1)2+4m，
∴抛物线的顶点为(1,4m)，
当顶点在线段MN上时，抛物线与线段MN只有一个交点，则m=54，
当m<0时，如图，
当x=4时，y=−m(4−1)2+4m≥5，解得：m≤−1；
当x=0时，y<5，
解得：m<53，
∴m≤−1；
当m>0时，如图所示，
当x=0时，y=−m+4m>5，
解得：m>53，
当x=4时，y≤5，解得：x≥−1，
∴m>53，
综上所述：m=54或m≤−1或m>53，
故答案为：m=54或m≤−1或m>53．
(1)利用顶点式求解，可得结论；
(2)设H(m,43m+83)求出CL=103，得到sin∠CLO=35，故PH=43m+83+m2−2m−3=m2−23m−13，PN=35PH，进而求解；
(3)四边形AFBG的面积不变．如图，设P(m,−m2+2m+3)，求出直线AP，BP的解析式，可得点E，F的坐标，求出FG的长，可得结论；
(4)根据平移求得点M，N的坐标，得出抛物线的顶点坐标，分顶点在抛物线线上，开口向上和开口向下三种情况结合图形分别讨论即可求解．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，线段问题，点的平移等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
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