人教版数学选择性必修一第三章测试

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人教版数学选择性必修一第三章测试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知是抛物线：的焦点，直线与抛物线相交于，两点，满足，记线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最大值为（    ）A． B． C． D．2．已知椭圆:，则椭圆的焦点坐标为（    ）A． B．C． D．3．已知是椭圆上的点，､分别是椭圆的左､右焦点，若，则的面积为（    ）A． B． C． D．4．已知中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的双曲线的一条渐近方程为，则该曲线的离心率为（    ）A． B． C．或 D．或5．已知方程表示双曲线，则实数k的取值范围是（    ）A．（﹣1，1） B．（0，+∞）C．[0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）6．已知F1，F2为椭圆的两个焦点，点A（0，2），点P为椭圆上任意一点，则的最小值是（      ）A．a B．2a C． D． 二、多选题7．已知双曲线的两个顶点分别是，两个焦点分别是．P是双曲线上异于的任意一点，则有（    ）A． B．若，则C．直线的斜率之积等于 D．使得为等腰三角形的点P有8个8．在平面直角坐标系xOy中，已知，，，若动点P满足，则（    ）A．存在点P，使得B．面积的最大值为C．对任意的点P，都有D．椭圆上存在2个点P，使得的面积为 三、填空题9．已知，是双曲线：的左、右焦点，点是双曲线上的任意一点（不是顶点），过作的角平分线的垂线，垂足为，线段的延长线交于点，是坐标原点，若，则双曲线的渐近线方程为______10．已知椭圆的离心率是，若以为圆心且与椭圆有公共点的圆的最大半径为，此时椭圆的方程是___________．11．焦点与双曲线右焦点相同的抛物线方程是________________________．12．方程表示椭圆，则实数的取值范围是__________. 四、解答题13．已知、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点（异于的左、右顶点）的周长为6，且面积的最大值为．(1)求椭圆的标准方程；(2)若为直线与椭圆的另一个交点，求内切圆面积的最大值．14．已知动点到点和直线：的距离相等.(1)求动点的轨迹的方程；(2)已知不与垂直的直线与曲线E有唯一公共点，且与直线的交点为，以为直径作圆.判断点和圆的位置关系，并证明你的结论．15．如图所示，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1,0)．Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程．16．已知椭圆的焦距为2，点在C上.(1)求C的方程；(2)若过动点P的两条直线，均与C相切，且，的斜率之积为-1，点，问是否存在定点B，使得？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案：1．C【分析】设，过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，进而得，再结合余弦定理得，进而根据基本不等式求解得.【详解】解：设，过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，则，因为点为线段的中点，所以根据梯形中位线定理得点到抛物线的准线的距离为，因为，所以在中，由余弦定理得，所以，又因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，故.所以的最大值为.故选：C【点睛】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，余弦定理，基本不等式，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意，设，进而结合抛物线的定于与余弦定理得， ，再求最值.2．B【分析】首先确定焦点位置是在轴还是在轴，再由标准方程求得即可求得焦点坐标.【详解】因为椭圆方程是，所以，所以，即，又因为椭圆焦点在轴上，所以焦点坐标为.故选：B.3．A【分析】由条件根据向量夹角公式求，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解.【详解】设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为，则，，即.设，所以由椭圆的定义可得：①.因为，所以由数量积的公式可得：，所以.在中，所以由余弦定理可得：②，由①②可得：，所以.故选：A.4．C【解析】根据双曲线的渐近线方程，分类讨论求得与的关系式，结合离心率的定义，即可求解.【详解】当双曲线焦点在轴时，因为双曲线的一条渐近线方程是，可得，即，又由，所以双曲线的离心率为.当双曲线焦点在轴上时，由双曲线的一条渐近线方程是，可得，即，又由，此时双曲线的离心率为.综上所述，该双曲线的离心率为或.故选：C.5．A【分析】根据双曲线的标准方程特点可得，即可得到答案.【详解】∵方程表示双曲线∴∴故选：A．6．D【分析】先化为椭圆的标准方程，根据椭圆的定义，求得，进而化简，得到当共线时，取得最小值，即可求解.【详解】由题意椭圆，可化为，由，则椭圆的焦点在轴上，设，且，又由椭圆的定义可得，则，所以，所以当共线时，的最小值为.故选D. 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义的应用，以及椭圆的标准方程与几何性质的应用，其中解答中根据椭圆的定义转化为三点共线时取得最小值是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.7．BD【分析】由双曲线的定义可判断A，利用向量的数量积公式判断B，化简斜率乘积推出结果判断C；判断三角形的公式判断D.【详解】由双曲线可得，，所以，，，，，对于A.由双曲线的定义得，故A错误.对于B.设，则，，因为，所以因为，，所以，故B正确.对于C. 设，则，所以，故C错误.对于D.若在第一象限，则当时，，，为等腰三角形；当时，，，为等腰三角形；因此，使得为等腰三角形的点P有8个，故D正确.故选：BD.8．AD【分析】根据题意求得P的轨迹是椭圆，从而判断椭圆上是否存在点，使得，判断A；当点P为椭圆上、下顶点时，面积的取最大值，进而判断B；由椭圆定义知，验证C选项；求得使得的面积为的P点坐标满足的关系，与椭圆联立，根据判别式判断交点个数，判断D.【详解】由题知，点P的轨迹是，，焦点在x轴上的椭圆，则，椭圆方程为，A：当点P为椭圆右顶点时，，故A正确；B：当点P为椭圆上、下顶点时，面积的取最大值，且最大值为，故B错误；C：，因，故C错误；D：设使得的面积为的P点坐标为，由坐标知，，直线的方程为，则，解得或，联立，化简得，则，因此存在两个交点；同理可得直线与椭圆没有交点；综上，有且仅有2个点，使得的面积为，故D正确；故选：AD9．【分析】根据是的角平分线，，推出，，结合以及双曲线的定义推出，再根据推出，即可得到双曲线的渐近线方程.【详解】因为是的角平分线，，所以是等腰三角形，，为的中点，又为的中点，所以是的中位线，所以，因为，当点在双曲线的右支上时，，当点在双曲线的左支上时，，所以，即，所以，所以，所以双曲线的渐近线方程为.故答案为：.10．【分析】由离心率求得关系，然后设椭圆上点，计算，由的最大值为可得，得椭圆方程．【详解】由已知，所以，则，设椭圆上的任一点的坐标为，则，若，则当时，，由得，满足题意，此时，椭圆方程为，若，则时，，则，即，但时，，无解．综上，椭圆方程为．故答案为：．11．【解析】求出双曲线的右焦点为，设抛物线的方程为，由求出，即可求解.【详解】由可得：，，所以，所以双曲线的右焦点为 设抛物线的方程为，由题意知，所以，所以抛物线的方程为，故答案为：12．【分析】由已知条件得，由此能求出结果．【详解】解：方程表示椭圆，，解得或．的取值范围是：．故答案为：．13．(1)(2) 【分析】（1）由题知，，，进而解方程即可得答案；（2）根据题意，将问题转化为求解的面积最大值，进而设出方程，，与椭圆方程联立，结合韦达定理，，函数单调性求最值等计算即可.【详解】（1）解：设椭圆的焦距为，因为为椭圆上的动点（异于的左、右顶点）的周长为6，所以①，因为面积的最大值为，所以，由椭圆性质得当为短轴端点时，面积的最大，即②，因为③，所以，由①②③解得，所以，椭圆的标准方程为.（2）解：设内切圆的半径为，所以，根据等面积法，所以，内切圆面积的最大时，的面积最大，由题知，设，与椭圆联立方程得，设，则，所以，，令，则，设，则由对勾函数单调性可知，在上单调递增，所以，当时，即时，的面积最大，最大值为，此时，所以，内切圆面积的最大值为14．(1)；(2)在以为直径的圆上，证明见解析. 【分析】（1）根据抛物线定义可得动点的轨迹E的方程；（2）设直线，联立直线和抛物线方程得到，求出，再证明，即得解.（1）解：设动点，由抛物线定义可知：点的轨迹E是以为焦点，直线：为准线的抛物线，所以轨迹的方程为.（2）解：由题意可设直线，由可得（*），因为直线与曲线有唯一公共点，所以，即.所以（*）可化简为，所以，令得，因为，所以，所以，则点在以为直径的圆上.15．【分析】由题意，连接MA．由题意知点M在线段CQ上，由|CQ|＝|MQ|＋|MC|，根据椭圆的定义，求得|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5，得到的值，即可得到椭圆的方程.【详解】如图，连接MA．由题意知点M在线段CQ上，从而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|.又点M在AQ的垂直平分线上，则|MA|＝|MQ|，故|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5.又A(1,0)，C(－1,0)，故点M的轨迹是以(1,0)，(－1，0)为焦点的椭圆，且2a＝5，故，c＝1，.故点M的轨迹方程为.【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及其标准方程，以及垂直平分线的性质的应用，其中解答中合理应用线段的垂直平分线的性质，及椭圆的定义求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.16．(1)；(2)存在，点. 【分析】(1)根据给定条件可得椭圆C的二焦点坐标，利用椭圆定义求出椭圆的长轴长即可计算作答.(2)设出过点的直线方程，与椭圆C的方程联立，由判别式探求出的关系即可推理作答.【详解】（1）由题意知，椭圆C的半焦距，焦点分别为，，由椭圆定义得：椭圆长轴长，即，，所以椭圆C的方程为.（2）设点，显然，过点P的直线方程为，由消去y并整理得：，因为直线l与C相切，则，得，即，设直线，的斜率分为，，显然，是上述关于k的一元二次方程的两个根，则，化简得，即点P到坐标原点O的距离，故点P在以O为圆心，为半径的圆上，并且是动点，而点A为该圆上一定点，则当满足时，AB为圆O的直径，即点，所以存在点满足题意.【点睛】思路点睛：涉及动直线与圆锥曲线相交满足某个条件问题，设出直线方程并与圆锥曲线方程联立，结合已知条件及韦达定理推理求解.