新高考数学一轮复习《圆锥曲线小题易错练》课时练习(2份打包，教师版+原卷版)

新高考数学一轮复习

《圆锥曲线小题易错练》课时练习

一              、选择题

1.设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过点F且与C交于A，B两点.若|AF|＝3|BF|，则l的方程为(　　)

A.y＝x－1或y＝－x＋1

B.y＝(x－1)或y＝－(x－1)

C.y＝(x－1)或y＝－(x－1)

D.y＝(x－1)或y＝－(x－1)

【答案解析】答案为：C

解析：由抛物线方程y2＝4x知焦点F(1,0)，准线x＝－1，由题意可设直线l：x＝my＋1，代入y2＝4x中消去x，得y2－4my－4＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2).

由根与系数的关系得，y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.

设y1>0>y2，

∵|AF|＝3|BF|，

∴y1＝－3y2，

由解得y2＝－，

∴y1＝2.

∴m＝＝，

∴直线l的方程为x＝y＋1.

由对称性知，这样的直线有两条，即y＝±(x－1).

2.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为(　　)

A.－＝1         B.－＝1

C.－＝1         D.－＝1

【答案解析】答案为：C

解析：以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝c2，又因为点在圆上，所以32＋42＝c2，所以c＝5，双曲线的一条渐近线方程为y＝x，且点(3,4)在这条渐近线上，所以＝，又a2＋b2＝c2＝25，解得a＝3，b＝4，所以双曲线的方程为－＝1.

3.阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为，面积为12π，则椭圆C的方程为(　　)

A.＋＝1         B.＋＝1     C.＋＝1         D.＋＝1

【答案解析】答案为：D

解析：由题意可得解得a＝4，b＝3，

因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆方程为＋＝1.

4.已知F1，F2是椭圆的两个交点，过F1的直线与椭圆交于M,N两点，则△MNF2的周长为（   ）

A.16              B.8            C.25                 D.32

【答案解析】答案为：A；

5.已知点F是抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点，O为坐标原点，A，B是抛物线E上的两点，满足|FA|＋|FB|＝10，＋＋＝0，则p等于(　　)

A.1          B.2            C.3             D.4

【答案解析】答案为：D

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|FA|＋|FB|＝10，可得|FA|＋|FB|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝10.①

由＋＋＝0，可得＋＋＝(x1＋x2-,y1+y2)＝0，所以x1＋x2＝.②

联立①②，可得p＝4.

6.已知点P(m，n)是抛物线y＝－x2上一动点，则的最小值为(　　)

A.4          B.5          C.           D.6

【答案解析】答案为：D

解析：由y＝－x2，得x2＝－4y，则x2＝－4y的焦点为F(0，－1)，准线为l：y＝1.

的几何意义是点P(m，n)到F(0，－1)与到点A(4，－5)的距离之和，如图所示.

过点P作PP1⊥l，垂足为P1，过点A作AQ1⊥l，垂足为Q1，且与抛物线交于点Q.根据抛物线的定义知，点P(m，n)到F(0，－1)的距离等于点P(m，n)到准线l的距离，则|PF|＋|PA|＝|PP1|＋|PA|，所以当P运动到Q时，能够取得最小值，最小值为|AQ1|＝1－(－5)＝6.

7.P是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的一点，A为左顶点，F为右焦点，PF⊥x轴，若tan∠PAF＝，则椭圆的离心率e为(　　)

A.          B.        C.          D.

【答案解析】答案为：D；

解析：不妨设点P在第一象限，因为PF⊥x轴，所以xP＝c，

将xP＝c代入椭圆方程得yP＝，即|PF|＝，则tan∠PAF＝＝＝，

结合b2＝a2﹣c2，整理得2c2＋ac﹣a2＝0，两边同时除以a2得2e2＋e﹣1＝0，

解得e＝或e＝﹣1(舍去).故选D.

8.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是(　　)

A.            B.          C.              D.

【答案解析】答案为：D；

∵＝2，∴||＝2||.

又∵PO∥BF，∴＝＝，即＝，∴e＝＝.

二              、多选题

9. (多选)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在y轴上，若线段FM的中点B在抛物线上，且点B到抛物线准线的距离为，则点M的坐标为(　　)

A.(0，1)         B. (0，-2)       C.(0，2)          D.(0，-1)

【答案解析】答案为：BC

解析：在△MOF中，点B为边MF的中点，故点B的横坐标为，因此＝＋，

解得p＝，故抛物线的方程为y2＝2x，可得点B的坐标为(,±1)，

故点M的坐标为，.

10. (多选)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，P为椭圆C上的动点，则下列说法正确的是(　　)

A.若a＝b，则满足∠F1PF2＝90°的点P有两个

B.若a<b，则满足∠F1PF2＝90°的点P有四个

C.△PF1F2的面积的最大值为

D.△PF1F2的周长小于4a

【答案解析】答案为：ACD.

解析：记椭圆C的上、下顶点分别为B1，B2，易知∠F1PF2≤∠F1B1F2＝∠F1B2F2.选项A中，∠F1B1F2＝∠F1B2F2＝90°，正确；选项B中，∠F1B1F2＝∠F1B2F2<90°，不存在90°的∠F1PF2，错误；选项C中，面积≤·2c·b＝bc≤＝，正确；选项D中，周长＝2c＋2a<4a，正确.

11. (多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，点P在l上的射影为P1，则(　　)

A.若x1＋x2＝6，则|PQ|＝8

B.以PQ为直径的圆与准线l相切

C.设M(0,1)，则|PM|+|PP1|≥

D.过点M与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条

【答案解析】答案为：ABC.

解析：对于A，因为p＝2，所以x1＋x2＋2＝|PQ|，则|PQ|＝8，故A正确；对于B，设N为PQ的中点，点N在l上的射影为N1，点Q在l上的射影为Q1，则由梯形性质可得＝＝＝，故B正确；对于C，因为F(1,0)，所以|PM|＋＝|PM|＋|PF|≥|MF|＝，故C正确；对于D，显然直线x＝0，y＝1与抛物线只有一个公共点.设过M的直线为y＝kx＋1，由可得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.令Δ＝(2k－4)2－4k2＝0，解得k＝1，所以直线y＝x＋1与抛物线也只有一个公共点，所以有三条直线符合题意，故D错误.

三              、填空题

12.已知抛物线y2＝2x，直线l的方程为x－y＋3＝0，点P是抛物线上的一动点，则点P到直线l的最短距离为________，此时点P的坐标为____________.

【答案解析】答案为：，(,1).

解析：设点P是y2＝2x上任意一点，则点P到直线x－y＋3＝0的距离

d＝＝＝，

当y0＝1时，dmin＝＝，此时x0＝，所以点P的坐标为(,1).

13.设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于________.

【答案解析】答案为：24.

解析：双曲线的实轴长为2，焦距为＝2×5＝10.由题意，知－＝－＝＝2，∴＝6，＝8，∴2＋2＝2，∴PF1⊥PF2，∴＝·＝×8×6＝24.

14.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1(﹣c，0)，右顶点为A，上顶点为B，现过A点作直线F1B的垂线，垂足为T，若直线OT(O为坐标原点)的斜率为﹣，则该椭圆的离心率为_______.

【答案解析】答案为：.

解析：因为椭圆＋＝1(a＞b＞0)，A，B和F1点坐标分别为(a，0)，(0，b)，

(﹣c，0)，所以直线BF1的方程是y＝x＋b，OT的方程是y＝﹣x.

联立解得T点坐标为，直线AT的斜率为﹣.

由AT⊥BF1得，﹣×＝﹣1，∴3b2＝4ac＋c2，∴3(a2﹣c2)＝4ac＋c2，

∴4e2＋4e﹣3＝0，又0＜e＜1，所以e＝.

15.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的半焦距为c，且满足c2﹣b2＋ac＜0，则该椭圆的离心率e的取值范围是________.

【答案解析】答案为：(0,)；

解析：∵c2﹣b2＋ac＜0，∴c2﹣(a2﹣c2)＋ac＜0，即2c2﹣a2＋ac＜0，∴2﹣1＋＜0，

即2e2＋e﹣1＜0，解得﹣1＜e＜.又∵0＜e＜1，∴0＜e＜.

∴椭圆的离心率e的取值范围是(0,).

16.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，A，B为椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M(a,0)，则椭圆的离心率e的取值范围是________.

【答案解析】答案为：(,1).

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2，则

即

所以(x1﹣x2)＝(x﹣x)，所以＝x1＋x2.

又﹣a≤x1≤a，﹣a≤x2≤a，x1≠x2，所以﹣2a＜x1＋x2＜2a，

则＜2a，即＜，所以e2＞.又0＜e＜1，所以＜e＜1.